2.2.2 对数函数性质 学案

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学案 对数函数性质
知识要点
1.对数函数的概念
一般地，叫做对数函数，它的定义域是
2．对数函数与指数函数的关系
的定义域和值域分别是函数的值域和定义域，它们互为反函数
对数函数及其复合函数的单调性


类型一 求下列函数的单调区间
1. 2.y＝lg（x2﹣2x﹣8）


4.



类型二 已知单调性求参数范围

例2、函数f（x）＝log0.5（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）单调递减，则a的取值范围（　　）



例3、函数f（x）＝loga（x2﹣2ax）在[4，5]上为增函数，则a的取值范围（　　）



例4、f（x）＝在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，实数a的取值范围是（）





类型三 对数函数定义域、值域R
例5.已知函数f（x）＝lg（ax2+2x+1）．

（1）若f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围及f（x）的值域；



（2）若f（x）的值域是R，求实数a的取值范围及f（x）的定义域．





例6、(1) 求函数的最小值和最大值



已知求函数的最大值和最小值


（3）已知求的最大值，并求取得最大值时的值


（4）已知函数在上的最大值比最小值大1，则＝______



类型四 对数函数的奇偶性
例7、（1）判断函数的奇偶性


（2）若函数为R上的偶函数，则k＝　 　


（3）已知函数，f（t）＝7，则f（﹣t）＝　 　



答案
（1）增区间（﹣∞，﹣2），减区间（0，+∞）；
（2）减区间（﹣∞，﹣2），增区间（4，+∞）；
（3）增区间（﹣1，），减区间（，2）
（4）增区间（﹣2，1），减区间（-5，-2）
例2、令g（x）＝x2﹣ax+3a，∵f（x）＝log0.5（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）单调递减
∴函数g（x）在区间[2，+∞）内单调递增，且恒大于0，∴a≤2且g（2）＞0
∴a≤4且4+a＞0，∴﹣4＜a≤4
例3、由题意可得g（x）＝x2﹣2ax的对称轴为x＝a①当a＞1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立则∴1＜a＜2
②0＜a＜1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立
则此时a不存在，综上可得，1＜a＜2
例4、f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调递增函数；∴；
解得，；∴实数a的取值范围为．
例5、解：（1）∵f（x）的定义域为R，∴ax2+2x+1＞0对一切x∈R成立．
由此得，解得a＞1．又∵ax2+2x+1＝a（x+）2+1﹣＞0，
∴f（x）＝lg（ax2+2x+1）≥lg（1﹣），∴实数a的取值范围是（1，+∞），
f（x）的值域是[lg（1﹣），+∞）；
（2）∵f（x）的值域是R，∴t＝ax2+2x+1能够取到大于0的所有实数，则a＝0或，
解得0≤a≤1．当a＝0时，由ax2+2x+1＝2x+1＞0，得x，函数的定义域为（﹣，+∞）．
当0＜a≤1时，由ax2+2x+1＞0，解得x或x＞，函数的定义域为（）∪（，+∞）．∴a的取值范围为[0，1]，
当a＝0时，函数的定义域为（﹣，+∞）．
当0＜a≤1时，函数的定义域为（）∪（，+∞）．
例6、(1)[5.75,7]
(2)解：∵，∴，即，
而函数y＝（log2x﹣1）（log2x﹣2）＝log22x﹣3log2x+2＝…（6分）
上式是关于log2x的二次函数，在[，]上单调递减，[，3]上单调递增，
故当log2x＝，即当时，；…（11分）
当log2x＝3，即x＝8时，ymax＝2；…（16分）
当x=1时，y取到最大值1 （4）2或
例7、（1）奇函数
（2）【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣1）＝f（1），即log2（+1）+k＝log2（4+1）﹣k，即2k＝log25﹣log2＝log2＝log24＝2，则k＝1，故答案为：1

（3）【解答】解：；∴；
∴．故答案为：﹣1．







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