2.3 幂函数 学案

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学案 幂函数
【知识要点】：
①定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．
②作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（ 4）；（5）．
观察图象，举例学习这类函数的一些性质．
归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：（课本78页填表）
（Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（Ⅱ）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（Ⅲ）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．


类型一 幂函数定义域和值域
【例1】设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为________。


变式1：已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出定义域。



类型二 幂函数的图像问题
【例2】：给定一组函数解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦及如图所示的一组函数图象，请按照图象顺序将7个函数解析式依次排序______．



【例3】幂函数的图像必不过第________象限



变式2：已知幂函数的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足的a的取值范围．



类型三 幂函数单调性及奇偶性的应用
【例4】利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：
与；（2）与；（3）与；（4）与


变式3：比较大小
（1），； （2），； （3），；
（4），． （5），；



变式4：函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且的值为负值，则下列结论可能成立的是（ ）
B.
C. D. 以上都有可能


当堂练习
1．若，则的取值范围是（　　）


2．设，，，则的大小关系是（　　）


3．对于幂函数，若，则，大小关系是（　　）
A． B．
C． D．无法确定


4．如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知分别取，四个值，与曲线、、、相应的依次为（　　）

A． B．
C． D．



5．若，则实数的取值范围（　　）
A． B．
C． D．



6．是偶函数，且在是减函数，则整数的值是　 　．







7．已知实数满足，则实数的取值范围是　 　．






答案：
【例一】D.当＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；
当＝1时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；
当函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；
当＝3时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；
故选：D．
变式1：因为为幂函数，所以，解得或
当时，，则，且有；
当时，，则，且有。
故所求吗，函数的解析式为或，它们的定义域都是
【例二】：的定义域为，当时，对应第6个图象；
是偶函数，图象关于y轴对称，当时为增函数，且当时，对应第4个图象；
的定义域为，在上为减函数，对应第3个图象；
的定义域为是偶函数，在上为减函数，对应第2个图象：
的定义域为，在上是增函数，且当时，，对应第7个图象；
的定义域为是奇函数，在是减函数，对应第1个图象；
是奇函数的应用为R，则上是增函数，对应第5个图象
故7个函数解析式依次排序，
故答案为：
【例三】四
【解析】由题意得，所以或
当时，；当时，；因此图像必不过第四象限
变式2：
【解析】因为函数在上单调递减，所以，解得。
又因为，所以
因为函数图像关于轴对称，所以为偶数，故。
所以有，因为在上均单调递减，
所以或或
解得或,所以的取值范围为
【例四】
>；（2）<；（3）>；（4）<
变式3：（1）<； （2）<； （3）>；
（4）<． （5）；
变式4：C
由于函数为幂函数，故，解得.当时，，当时，.由于“对任意，且，满足”故函数在上为增函数，故.由于，故函数值单调递增的奇函数.由于，所以且，故选C.
当堂练习答案：
1．解：
2．解：a＝＜＝0，b＝∈（0，1），c＝＞1，∴c＞b＞a，
3．解：∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，∴当0＜x1＜x2时，应有＞．故选：A．
4．解：根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象，当n＞0时，n越大，递增速度越快，故曲线c1的n＝2，曲线c2的n＝，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝，曲线c4的﹣2，故依次填2，，﹣，﹣2．故选：A．
5．解：y＝在定义域上是增函数，故有，解不等式组得x≥﹣．故选：B．
6．解：∵函数是（0，+∞）是减函数∴a2﹣4a﹣9＜0∴
∵a为整数∴a＝﹣1、0、1、2、3、4、5∴当a＝﹣1时，y＝x﹣4是偶函数；
当a＝0时，y＝x﹣9是奇函数；当a＝1时，y＝x﹣12是偶函数；当a＝2时，y＝x﹣13是奇函数；
当a＝3时，y＝x﹣12是偶函数当a＝4时，y＝x﹣9是奇函数；
当a＝5时，y＝x﹣4是偶函数．∴a＝﹣1、1、3、5故答案为：﹣1、1、3、5．
7．解：∵实数a满足，∴，解得0.5＜a＜2，
∴实数a的取值范围是（0.5，2）．











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