第二章 立体几何 单元测试卷（含答案）

立体几何单元测试卷

一、单选题
1．设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是(　　)
A．若,,则
B．若,则
C．若,则
D．若,则

2．如图，在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ）

A．在直线上 B．在直线上
C．在直线上 D．都不对

3．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，则点P到对角线BD的距离为(　　)
A． B．
C． D．
4．四面体中，棱两两互相垂直，则顶点在底面上的正投影为的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心



5．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，∠DAD1=，∠CDC1=，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是 （ ）

A． B． C． D．
6．在三棱锥中，平面，已知，则二面角的平面角是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则点P为 (　 　)

A．K B．H C．G D．B′
8．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b，AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影长分别是m和n，若a＞b，则 (　 　)

A．θ＞φ，m＞n B．θ＞φ，m＜n
C．θ＜φ，m＜n D．θ＜φ，m＞n

9．点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则点P的轨迹为 (　 　)

A．线段B1C
B．BB1的中点与CC1的中点连成的线段
C．线段BC1
D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段

10．设是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线和的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线和的两个平行平面；③经过直线有且只有一个平面垂直于直线；④经过直线有且只有一个平面平行于直线，其中正确的个数有（ ）
A． B． C． D．



二、填空题
11．如图所示，在直三棱柱 中，底面是 为直角的等腰直角三角形， 是 的中点，点 在线段 上，当 ________时， 平面 .

12．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.


13．已知四棱锥P?ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则
①棱AB与PD所在直线垂直；
②平面PBC与平面ABCD垂直；
③△PCD的面积大于△PAB的面积；
④直线AE与直线BF是异面直线．
以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
14．如图所示，在正方体中，分别是棱和上的点，若是直角，则________.

在正四面体中,分别是和的中点,则异面直线和所成角为__________．

平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知底面四边形ABCD为矩形，∠A1AB＝∠A1AD＝。其中｜AB｜＝a，｜AD｜＝b，｜AA1｜＝c，体对角线｜A1C｜＝1，则c的最大值为__

17．如图，正方体的棱长为，点为的中点，在对角面上取一点，使最小，其最小值为_____


三、解答题
18．如图，长方体中，，，点为的中点.

（1）求证：直线∥平面；
（2）求证：平面 平面；
（3）求证：直线 平面.




19．如图（1）是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下面问题。
（1）求证：MN∥平面PBD；
（2）求证：平面；
（3）求PB和平面NMB所成的角的大小．





20．如图,在底面为直角梯形的四棱锥中，， 平面，,.

(1)求证: 平面；
(2)求二面角的大小.





21．四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，E，F分别为AC和PB上的点，它的直观图，正视图，侧视图如图所示.

(1)求EF与平面ABCD所成角的大小；
(2)求二面角B－PA－C的大小.










22．如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，，．

（Ⅰ）若点是的中点，求证：平面；
（Ⅱ）若点在线段上，且，当三棱锥的体积为时，求实数的值.



参考答案
1．D
【解析】
对于A，,时，若 ，则，但题目中无条件 ，故A也不一定成立；
对于B，,.显然不成立；
对于C，由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有 不能得到 或，故不正确．
对于D， ，则，又，则，结论成立；
故选D
2．A
【解析】依题意有：由于交点在上，故在平面上，同理由于交点在上，故在平面上，故交点在这两个平面的交线上.
3．B
【解析】
如图， ，
则， ，
所以，故选B。
4．A
【解析】
连接，平面，因为平面，，又平面平面，，平面，得到为边上的高，同理可得为边上的高，因此为直角三角形的垂心，故选A.
5．C
【详解】
由长方体∠DAD1=，∠CDC1=,设,.连接。
由，所以异面直线AD1与DC1所成角，即。
在中，由余弦定理可得，
所以异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是，选C.
6．D
【解析】因为平面平面，即为二面角的平面角，又，所以，故为直角三角形，，二面角的平面角是，故选D.
7．C
【解析】应用验证法：选G点为P时，EF∥A′B′且EF∥AB，此时恰有A′B′和AB平行于平面PEF，故选C．
8．D
【解析】由勾股定理得a2＋n2＝b2＋m2＝AB2．又a＞b，∴m＞n．
由已知得sinθ＝，sinφ＝，而a＞b，∴sinθ＜sinφ，
又θ，φ∈(0， )，∴θ＜φ． 故选D．
9．A
【解析】∵AP⊥BD1恒成立，

∴要保证AP所在的平面始终垂直于BD1．
∵AC⊥BD1，AB1⊥BD1，AC∩AB1＝A，
∴BD1⊥面AB1C，∴P点在线段B1C上运动．故选A．
10．C
【解析】对于①，可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确；对于②，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确；对于③，当这两条直线不垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③锗误；对于④，假设过直线有两个平面与直线平行，则面相交于直线，过直线做一平面与面相交于两条直线都与直线平行，可得与平行，所以假设不成立，所以④正确，故选C.
11．或
【解析】由已知得平面，又平面，∴，故若平面，则必有，设（），则， ，又，∴，解得或，故答案为或.
12．
【解析】
如图，取中点， 中点，连接，
由题可知， 边长均为1，则，
中， ，则，得，
所以二面角的平面角即，
在中， ，
则，
所以。
13．①③
【解析】
由条件可得AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，故①正确；
若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，
得PB⊥平面ABCD，从而PA∥PB，这是不可能的，故②错；S△PCD＝CD·PD，S△PAB＝AB·PA，
由AB＝CD，PD>PA知③正确；
由E、F分别是棱PC、PD的中点，
可得EF∥CD，又AB∥CD，
∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错．
14．90°
【解析】
因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，
所以MN⊥MB1，因为B1C1是棱，所以MN⊥B1C1，所以MN⊥平面MB1C1，
所以∠C1MN=90°
故答案为90°
15．
【解析】因为 是正四面体，所以.取 中点 ，连接 则的大小为异面直线和所成角的大小.因为,且 .所以可知.
16．
【详解】
如图，由∠A1AB＝∠A1AD＝可知，点在底面的射影点在直线AC上，记直线与底面所成的角为，则,

所以，所以，在中，由正弦定理可知：，所以,当时，最大为。
17．
【详解】
取中点，连接

则
（当且仅当三点共线时取等号）
又
的最小值为：
本题正确结果：
18．【详解】
（1）设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是，
BD的中点，故PO//，所以直线∥平面

（2）长方体中，，底面ABCD是正方形，则ACBD
又 面ABCD，则 AC， BD∩=D
所以AC面，AC面，则平面 平面
（3）PC2=2，PB12=3，B1C2=5，所以△PB1C是直角三角形。 PC，
同理 PA，PC∩PA=P 所以直线 平面。



19.【详解】
MN和PB的位置如右图示：

（1）∵ND∥MB 且ND＝MB，∴四边形NDBM为平行四边形
∴MN//DB
∵平面PDB,平面PDB
∴MN∥平面PBD
（2）∵平面ABCD，平面，∴
又∵ ∴平面,
面 ∴,同理可得,∵

∴面PDB
（3）连结PQ交MN于点E,
∵ ,
∴平面
连结BE,则为PB和平面NMB所成的角
在直角三角形PEB中∵ ∴=30°.
即PB和平面NMB所成的角为30°
20．（1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析：(1)连接交于，由平面，可得，,可得，，，即，从而根据线面垂直的判定定理可得平面；(2) 连接，平面．，．为二面角的平面角，根据直角三角形的性质可得，进而可得二面角的大小.
试题解析：（1）连接交于，平面，平面．．

又，．
，，，即．
又．平面．
（2）连接．平面．，．为二面角的平面角．
在中，，，，二面角的大小为．
21．（1）45°；（2）45°
试题解析：
根据三视图可知：PA垂直于平面ABCD，点E，F分别为AC和PB的中点，ABCD是边长为4的正方形，且PA＝4．
(1)如图，取AB中点G，连接FG，GE，则FG∥PA，GE∥BC，所以FG⊥平面ABCD，∠FEG为EF与平面ABCD所成的角，在Rt△FGE中，FG＝2，GE＝2，所以∠FEG＝45°．

(2)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BA，PA⊥CA，
所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．
又因为∠BAC＝45°，
所以二面角B－AP－C的平面角的大小为45°．
22．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接，设，又点是的中点，由三角形中位线的性质可得//，从而由线面平行的判定理得平面；
（Ⅱ）依据题意可得：，取中点，所以，且，作于上一点，则平面，因为，可由求出，最近由求出实数的值.
试题解析（Ⅰ）如图(1)，连接，设，又点是的中点，则在中，中位线//，又平面，平面。所以平面 6分
（Ⅱ）依据题意可得：，取中点，所以，且
又平面平面，则平面；（如图2）
作于上一点，则平面，
因为四边形是矩形，所以平面，则为直角三角形，
所以，则直角三角形的面积为
.
由得： 13分
























试卷第1页，总3页


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