24.2.2 直线和圆的位置关系第2课时--切线学案(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十四章　圆
24.2　点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2　直线和圆的位置关系
第2课时　直线和圆的位置关系——切线
要 点 讲 解
要点一　切线的判定
1. 切线的定义：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2. 证明直线是圆的切线的步骤：
(1)确定直线与圆是否有公共点；
(2)若有公共点，则连接过公共点的半径(或直径)，证明半径(或直径)与这条直线垂直.若没有公共点，则过圆心作这条直线的垂线段，证明该垂线段的长等于半径.
经典例题1　如图，AB为⊙O的直径，P为⊙O上一点，AP平分∠CAB，CA⊥MP于C.求证：MP是⊙O的切线.
解析：由AP平分∠CAB，可知∠CAP＝∠OAP，结合OP＝OA，得出∠OAP＝∠OPA，由等量代换，利用平行线判定定理可知AC∥OP，再结合AC⊥CM，即可证明.
证明：连接OP.
∵AB为⊙O的直径，P为⊙O上一点，
∴OP为⊙O的半径.
∴∠OAP＝∠OPA.
∵AP平分∠CAB，∴∠CAP＝∠OAP.
∴∠CAP＝∠OPA.∴OP∥AC.
又∵AC⊥MP，∴OP⊥MP.
∴MP是⊙O的切线.
点拨：证明一条直线是圆的切线，题目给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，故要“连半径，证垂直”.
要点二　切线的性质
1. 圆的切线垂直于过切点的半径.
2. 已知圆的切线时，常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题，即“见切线，连半径，得垂线”.
经典例题2　如图，点P是⊙O的直径BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，若∠P＝30°，PB＝6，则PC＝________.
解析：连接OC.∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP＝90°.∵∠P＝30°，∴PO＝2OC＝2OA，∴PB＝3OC.∵PB＝6，∴OC＝2，PO＝4.在Rt△OCP中，PC＝＝＝2.
答案：2
点拨：由切线的性质得出直角，然后利用直角三角形的性质解决问题.
当 堂 检 测
1. 下列说法中，不正确的是(　　)
A. 与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C. 与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D. 垂直于半径的直线是圆的切线
2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D.若∠C＝70°，则∠AOD的度数为(　　)
A. 70° B. 35° C. 20° D. 40°

第2题 第3题
3. 如图，A是⊙O上一点，且AO＝5，PO＝13，AP＝12，则PA与⊙O的位置关系是 .
4. 如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线.若∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝ 时，AC才能成为⊙O的切线.

第4题 第5题
5. 如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PA＝4，OP＝5，则⊙O的周长为 (结果保留π).
6. 如图，AB与⊙O相切于点C，∠A＝∠B，⊙O的半径为6，AB＝16.求OA的长.

7. 如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC，BC.试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由.

当堂检测参考答案
1. D 2. D
3. 相切
4. 60°
5. 6π
6. 解：连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB.∵∠A＝∠B，∴OA＝OB.∴AC＝BC＝AB＝8.∵OC＝6，∴OA＝＝10.
7. 解：直线CD与⊙O相切.理由：连接OC.∵C为的中点，∴＝.∴∠DAC＝∠BAC.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线.