24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时--切线长学案(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十四章　圆
24.2　点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2　直线和圆的位置关系
第3课时　直线和圆的位置关系——切线长
要 点 讲 解
要点一　切线长定理
1. 切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
经典例题1　如图所示，点P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，PA＝PB＝4cm，∠P＝40°，点C是上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E，试求：
(1)△PDE的周长；
(2)∠DOE的度数.
解析：(1)把DE的长转移，考虑到点C为切点，DA，DE，EB均为⊙O的切线，从而有DA＝DC，EB＝EC，故DE＝DC＋CE＝DA＋EB，结合PA，PB是⊙O的切线即可求解.
(2)从四边形PAOB入手，考虑∠AOB的大小，结合切线长定理，求∠DOE的大小.
解：(1)如图所示，连接OA，OB，OC.∵PA，PB，DE分别是⊙O的切线，A，B，C为切点，∴DA＝DC，EB＝EC，∴DE＝DC＋CE＝DA＋EB.∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝PD＋PE＋DA＋EB＝PA＋PB＝4＋4＝8(cm).　
(2)∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.在四边形PAOB中，∠AOB＝180°－∠P＝140°.∵DA，DC为⊙O的切线，∴∠DAO＝∠DCO＝90°，∠ADO＝∠CDO.∴∠1＝∠2.同理，∠3＝∠4.∴∠DOE＝∠2＋∠3＝∠AOB＝×140°＝70°.
点拨：切线长定理包含两个方面：一是从圆外一点引的这两条切线长相等；二是这点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.切线长相等可以判断两条线段相等，连线平分夹角可以证明角相等和求角的度数.
要点二　三角形的内切圆与内心
1. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形三个内角的平分线的交点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个，并且只能作出一个，这个内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
2. “切”是说明三角形的边与圆的关系，而“内”是三角形与圆的相对位置，因此我们可以说这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形有唯一的内切圆，而圆有无数个外切三角形.
经典例题2　如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝________°.
解析：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴BO与CO是△ABC的角平分线.∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝20°.∴∠BOC＝130°.
答案：130
点拨：三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点.
易错易混警示　混淆三角形外心和内心的实质
经典例题3　如图所示，已知△ABC的内心为点O，∠BOC＝110°，求∠BAC的大小.
解：∵点O为△ABC的内心，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠BAC)＝90°＋∠BAC.
又∵∠BOC＝110°，∴90°＋∠BAC＝110°，∴∠BAC＝40°.
点拨：三角形的外心是其外接圆的圆心，实质是三角形三边垂直平分线的交点，性质是到三角形三个顶点的距离相等，因此可以推导出“三角形的一内角等于外心与另外两顶点连线夹角的一半”的结论.如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，则有∠A＝∠BOC.本题易将内心O混淆为三角形三边垂直平分线的交点，得出“∠BAC＝∠BOC＝×110°＝55°”的错误结论.
当 堂 检 测
1. 三角形的内心是(　　)
A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条高所在直线的交点 D. 三条中线的交点
2. 如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是(　　)
A. PA＝PB B. ∠APO＝20°
C. ∠OBP＝70° D. ∠AOP＝70°

第2题 第3题
3. 如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(　　)
A. 4 B. 8 C. 4 D. 8
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是(　　)
A.  B.  C.  D. 2

第4题 第5题
5. 如图，AB，AC是⊙O的切线，且∠A＝54°，则∠BDC＝ .
6. 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切，铁环与水平桌面的公共点为点P，并测得PA＝5cm，求铁环的半径.

7. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18cm，BC＝28cm，CA＝26cm，求AF，BD，CE的长.

当堂检测参考答案
1. B 2. C 3. B 4. B
5. 63°
6. 解：设圆心为O，连接OA，OP.∵三角板有一个锐角为30°，∴∠PAO＝60°.又∵PA与⊙O相切，
∴∠OPA＝90°.∴∠POA＝30°.∵PA＝5cm，∴OP＝5cm，即铁环的半径为5cm.
7. 解：根据切线长定理，得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.设AF＝AE＝xcm，则CE＝CD＝(26－x)cm，BF＝BD＝(18－x)cm.∵BC＝28cm，∴(18－x)＋(26－x)＝28.解得x＝8.∴AF＝8cm，BD＝10cm，CE＝18cm.