人教版数学九年级上册同步学案
第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
要 点 讲 解
要点一 正多边形的有关概念
1. 中心的定义:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
2. 半径的定义:外接圆的半径叫做正多边形的半径.
3. 中心角的定义:正多边形每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
4. 边心距的定义:中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.
要点二 与正多边形有关的计算
1. 正n边形的中心角an=.
2. 正n边形的每个内角为,正n边形的每个外角为,正多边形的中心角与外角的大小相等.
3. 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形,设正多边形的面积为S,周长为l,边心距为r,则S=lr.
经典例题 正六边形的边心距为,则该正六边形的边长是( )
A. B. 2 C. 3 D. 2
解析:如图所示,在正六边形ABCDEF中作OH⊥AB,则∠OHA=90°,OH=,连接OA,OB,∠AOB==60°,OA=OB,∴△OAB是等边三角形,∴OA=OB=AB,∠OAH=60°,∴∠AOH=30°,∴AH=OA,∵OH=,∴OH2+(OA)2=OA2,解得OA=2,故AB=2.
答案:B
要点三 正n边形的画法
一般通过等分圆周的方法:用量角器等分圆周或用尺规等分圆周.
(1)用量角器等分圆周有两种方法:一是通过依次作相等的圆心角来等分圆周;二是先用量角器画一个的圆心角,然后在圆上依次截取与这个圆心角所对弧相等的弧,得到n个等分点.
(2)用尺规等分圆周:对于正四边形及其2n(n为正整数)倍边形(如正八边形、正十六边形…)、正六边形及其2n(n为正整数)倍边形(如正十二边形、正二十四边形…)和正三角形等特殊图形可以通过用直尺和圆规等分圆周画出.
当 堂 检 测
1. 下面图形中,是正多边形的是( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形
2. 如图,正六边形的每一个内角都相等,则其中一个内角α的度数是( )
A. 240° B. 120° C. 60° D. 30°
3. 如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边数是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为( )
A. 1 B. C. 2 D. 2
5. 如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,若正方形的面积等于4,则⊙O的面积等于 .(结果保留π)
6. 如图,正五边形ABCDE中,M是CD的中点,连接AC,BE,AM.
求证:(1)AC=BE;
(2)AM⊥CD.
7. 若一个正六边形的周长为24,求该正六边形的面积.(结果保留根号)
当堂检测参考答案
1. C 2. B 3. B 4. B
5. 2π
6. 证明:(1)∵五边形ABCDE为正五边形,∴AB=AE=BC,∠BAE=∠ABC,∴△ABE≌△BAC,则AC=BE.
(2)连接AD,易证AC=AD,又∵M为CD中点,∴AM⊥CD.
7. 解:如图,过点O作OD⊥AB,垂足为D.∵∠AOB=360°÷6=60°,OA=OB,∴△AOB为等边三角形,且三条对角线把正六边形分成了六个全等的等边三角形.∵正六边形的周长为24,∴AB=4.∵OD⊥AB,∴∠AOD=30°,AD=2.在Rt△AOD中,根据勾股定理得OD=2.∴S△AOB=×4×2=4.∴S正六边形=6×4=24.