2.1.1 指数与指数幂的运算 学案

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2.1.1　指数与指数幂的运算
1.根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N
.
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
a∈R
n为偶数
±
[0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
2.根式的性质
(1)＝0(n∈N
，且n＞1)；
(2)()n＝a(n∈N
，且n＞1)；
(3)＝a(n为大于1的奇数)；
(4)＝|a|＝(n为大于1的偶数).
3.分数指数幂
(1)定义：规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a＞0，m、n∈N
，且n＞1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝(a＞0，m、n∈N
，且n＞1)；
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
4.无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
类型一　n次方根的概念问题
【例1】
(1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.[]
(2)若有意义，则实数a的取值范围是________.
解析　(1)依题意，a＝±＝±9，b＝＝－2.
∴a＋b＝－11或a＋b＝7.
(2)由于根指数是3，只需有意义，∴a－3≠0，故a的取值范围是{a|a≠3}.
答案　(1)－11或7　(2){a|a≠3}
【训练1】
(1)若x4＝3，则x＝________.
(2)设m＜0，则()2＝________.
解析　(1)依题意，x是3的4次方根，∴x＝±.
(2)∵m＜0，∴－m＞0，∴()2＝－m.
答案　(1)±　(2)－m
类型二　根式的化简与求值
【例2】
(1)化简＋；
(2)求值＋.
解　(1)原式＝＋＝－2－(＋2)＝－4.
(2)＋＝＋
＝＋＝＋＋2－＝2＋.
【训练2】化简＋.
解　＋
＝＋1＋|1－|＝＋1＋－1＝2.
类型三　有限制条件的根式运算
【例3】
(1)若x<0，则x＋|x|＋＝________；
(2)若代数式＋有意义，
化简＋2.
(1)解析　当x<0时，x＋|x|＋
＝x－x＋＝＝－1.
答案
－1
(2)
解
由＋有意义，则即≤x≤2.
故＋2
＝＋2
＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.
【训练3】
设－3＜x＜3，求－的值.
解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时，
原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x＜3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，
∴原式＝
类型四　根式与分数指数幂的互化
【例4】
(1)设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　)
A.a
B.a
C.a
D.a
(2)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A.－＝(－x)(x>0)
B.＝y(y<0)[]
C.x－＝(x>0)
D.x－＝－(x≠0)
解析　(1)＝＝
＝＝a2－＝a.
(2)选项A中，当x
>0时，(－x)无意义，不正确.
B中，＝y＝(－y)(y<0)，B不正确.
C中，x－＝＝(x>0)正确.
D中，x－＝＝≠－(x≠0)，不正确.[]
答案　(1)D　(2)C
【训练4】
将下列各式化为分数指数幂的形式：
(1)(x>0)；(2)(a>0，b>0).
解　(1)原式＝＝＝＝.
(2)原式＝[ab3(ab5)]＝[a·ab3(b5)]＝(ab)＝ab.
类型五　利用分数指数幂运算性质化简与求值[]
【例5】计算：
(1)ab·÷；
(2)(0.064)－－＋＋|－0.01|.
解　(1)原式＝a＋－b＋－＝－9a.
(2)原式＝(0.43)－－1＋＋(0.12)
＝0.4－1－1＋＋0.1＝.
【训练5】
化简求值：
(1)··；
(2)×＋8×－.
解　(1)原式＝5··x－－1＋y＋－
＝x－y.
(2)原式＝×1＋2·2－
＝＋21－＝＋2－＝2.
类型六　相关式的求值
【例6】
已知a＋a＝3，求a＋a－1，a2＋a－2的值.
解　∵a＋a＝3，
∴两边平方得：a＋a－1＋2a＋＝9，
故a＋a－1＝7.
将a＋a－1＝7两边平方得a2＋a－2＋2a·a－1＝49.
因此a2＋a－2＝47.
【训练6】已知x＋x－1＝7，求值：
(1)x＋x－；(2)x－x－.
解　(1)设m＝x＋x－，两边平方得m2＝x＋x－1＋2x·x－＝7＋2＝9.又m>0，
所以m＝3，即x＋x－＝3.
(2)设n＝x－x－
则n2＝x＋x－1－2x·x－＝7－2＝5.
∴n＝±，即x－x－＝±.
课时同步训练
1.若a＜，则化简的结果是(　　)
A.
B.－
C.
D.－
解析　∵a＜，∴2a－1＜0，∴＝1－2a，∴＝.
答案　C
2.下列式子中成立的是(　　)
A.a＝
B.a＝－
C.a＝－
D.a＝
解析　依题意－a≥0，即a≤0，∴a＝－＝－＝－.
答案　C
3.化简－得(　　)
A.6
B.2x
C.6或－2x
D.－2x或6或2
解析　原式＝|x＋3|－(x－3)，当x≥－3时，原式＝x＋3－x＋3＝6.当x<－3时，原式＝－(x＋3)－x＋3＝－2x.
答案　C
4.化简()4()4的结果为(　　)
A.a16
B.a8
C.a4
D.a2
解析　()4()4＝＝＝a4.
答案　C
5.计算2＋＋－，结果是(　　)
A.1
B.2
C.
D.2－
解析　原式＝＋＋－1
＝＋＋＋1－1＝2.
答案　B
6.化简(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)的结果为(　　)
A.1
B.－1
C.
D.
解析　(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)＝＝＝＝.
答案　C
7.化简的结果为(　　)
A.－
B.
C.－
D.[]
解析　要使式子有意义，只需－x3>0，即x<0，所以＝＝－.
答案　A
8.已知二次函数y＝ax2＋2bx图象如图所示，则的值为(　　)
A.a＋b
B.－(a＋b)
C.a－b
D.b－a
解析　由图象知a＜0，－＞－1，故b＞a，即a－b＜0，∴＝|a－b|＝b－a.
答案　D[]
9.计算：－＋＋＝____________.
解析　原式＝＋1－1＋＋π－＝π＋.
答案　π＋
10.＝________.
解析　原式＝2＋2＋－×5＋－＝23＝8.
答案　8
11.若a<0，则·(a＋1)＋＝________.
解析　∵a<0，∴·(a＋1)＋＝|a|(a＋1)＋a＝－a(a＋1)＋a＝－a2.
答案　－a2
12.若＋＝0，则x2
015＋y2
016＝________.
解析　由＋＝0，得＝0且＝0，∴x＝1且y＝－1，
从而x2
015＋y2
016＝12
015＋(－1)2
016＝1＋1＝2.
答案　2
13.下列根式、分数指数幂的互化中，正确命题的序号是______.
①－＝(－x)
(x≠0)；②x＝－；
③＝(x，y≠0)；④＝b.
解析　①不正确，∵－＝－x；
②不正确，∵x－＝；
③正确，∵＝＝；
④不正确，∵b≠0时，＝b.
答案　③
14.已知＋＝－a－b，求＋的值.
解　
因为＋＝－a－b.所以＝－a，＝－b，所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.
15.若x>0，则(2x＋3)(2x－3)－4x－(x－x)＝________.
解析　因为x>0，所以原式＝(2x)2－(3)2－4x－·x＋4x－·x＝4x×2－3×2－4x＋4x－＋＝4x－33－4x＋4x0＝4x－33－4x＋4＝4－27＝－23.
答案　－23
16.若＝－x－2，则实数x的取值范围是________.
解析　因为＝＝|x＋2|.
又|x＋2|＝－(x＋2)，所以x＋2≤0，故x≤－2.
答案　(－∞，－2]
17.计算下列各式的值或化简：
(1)(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0；
(2)化简：4÷.
解　(1)原式＝[(0.3)3]－＋(44)
＋－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝.
原式＝x＋－(－)y－－＝2x·y－1＝.
18.化简：··(xy)－1(xy≠0).
解　原式＝·(xy)·(xy)－1[]
＝x·y|x||y|·|x|·|y|
＝x·|x|＝
19.化简：÷×.
解　原式＝÷·a
＝··a
＝＝＝a.
20.已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值.
解　因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
所以因为a>b>0，所以>>0.所以>0.
所以＝＝＝＝，
所以＝＝.
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