24.4.1 弧长和扇形面积学案(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十四章　圆
24.4　弧长和扇形面积
第1课时　弧长和扇形面积
要 点 讲 解
要点一　弧长公式
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝.
(1)这里的n，180在弧长计算公式中表示倍数关系，没有单位；
(2)在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量：n＝，R＝；
(3)题目中若没有写明精确度，可用“π”表示弧长，如弧长为2π，35π等；
(4)也可以用来表示的长；
(5)正确区分弧、弧的度数相等、弧长相等.度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧.要特别注意，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧，才有这三者的统一.
经典例题1　在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于(　　　)
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 
解析：∵弦长和半径都为2，∴弦AB所对圆心角为60°，所以的长为＝＝，故选C.
答案：C
点拨：确定圆心角和半径的值，代入弧长公式计算即可.
要点二　扇形的面积
在半径为R的圆中，n°的圆心角对应的扇形面积为S＝＝lR.
(1)扇形的面积公式S＝lR与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底，半径R看成高即可；
(2)在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式S扇形＝，还是使用公式S扇形＝lR；
(3)已知S扇形，l，R，n四个量中任意两个，都可以求出另外两个；
(4)扇形面积公式中的“n”与弧长公式中的“n”的意义是一样的，表示“1°”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位.
经典例题2　如图Rt△ABC的三边长分别为a，b，c(a解：SC＋SA＝SB.证明：设扇形的圆心角为n°，则SC＝，SB＝，SA＝.
∵a2＋b2＝c2，＋＝＝(a2＋b2)＝，
∴SC＋SA＝SB.
∴两个较小的扇形的面积的和等于最大扇形的面积.
点拨：在解决扇形面积问题时，要结合题意灵活选用公式，在已知半径和圆心角时，选用公式S扇形＝.
易错易混警示　计算弧的长度时易忽略一条弦所对的弧有两条
在求圆中一条弦所对的弧的长度时，往往忽视非直径的弦所对的弧有两条，一条是优弧，一条是劣弧.
经典例题3　在一个半径为6cm的圆中，有一条长度为6cm的弦，则这条弦所对的弧长为________.
解析：如图所示，∵OA＝OB＝AB＝6cm，
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°.
而弦AB所对应的弧有两条和，
∴l＝＝2π(cm)，l＝＝10π(cm).
答案：2πcm或10πcm
点拨：一条弦所对的弧有两条，当弦不是直径时，所对的弧分优弧和劣弧.本题易只求的长度而忽略的长度，造成漏解而出现错误.
当 堂 检 测
1. 圆心角为60°，且半径为3cm的扇形的弧长为(　　)
A. 2πcm B. πcm C. πcm D. πcm
2. 半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是(　　)
A. 3π B. 6π C. 9π D. 12π
3. 在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则弧AB的长是(　　)
A. cm B. cm C. cm D. cm
4. 一个扇形的圆心角是120°，面积是3πcm2，那么这个扇形的半径是(　　)
A. 1cm B. 3cm C. 6cm D. 9cm
5. 圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为 .
6. 已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm2，则该扇形的弧长等于　 　.
7. 一个扇形的半径为3cm，面积为πcm2，则此扇形的圆心角为 度.
8. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积.
9. 如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC，BD.
(1)求证：AC＝BD；
(2)若图中阴影部分的面积是πcm2，OA＝2cm，求OC的长.
当堂检测参考答案
1. B 2. D 3. C 4. B
5. 18
6. cm
7. 40
8. 解：(1)∵AB是⊙O的直径.∴∠C＝90°，∠BDA＝90°.∵BC＝6cm，AC＝8cm，∴AB＝10cm.∵∠ABD＝45°.∴△ABD是等腰直角三角形.∴BD＝AD＝5cm.　
(2)连接DO，∵BD＝AD，∠BDA＝90°，∴∠BAD＝45°.∴∠BOD＝90°.∵AB＝10cm，∴OB＝OD＝5cm，∴S阴影＝S扇形OBD－S△OBD＝－×5×5＝(－)cm2.
9. 解：(1)证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOD.∴∠AOC＝∠BOD.又∵AO＝BO，CO＝DO.∴△AOC≌△BOD(SAS).∴AC＝BD.　
(2)根据题意，得S阴影＝－＝，∴π＝，解得OC＝1.∴OC＝1cm.