12.3角的平分线的性质 同步练习
一、单选题
1.点P在∠A0B的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是0B边上的任意一点，则下列不符合题意的是(??? )
A.?PQ≤5?????????????????????????????????B.?PQ<5?????????????????????????????????C.?PQ≥5?????????????????????????????????D.?PQ>5
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=3，BD=2CD，??? 则BC=（???? ）
A.?7???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?9???????????????????????????????????????????D.?10
3.如图，△ABC的角平分线BO、CO相交于点O，∠A=120°，则∠BOC=（??? ）
A.?150°????????????????????????????????????B.?140°????????????????????????????????????C.?130°????????????????????????????????????D.?120°
4.如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（?? ）
A.?PC⊥OA，PD⊥OB????????????????????B.?OC=OD????????????????????C.?∠OPC=∠OPD????????????????????D.?PC=PD
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC=4BE，则S△ABC=8S△BDE其中正确的有（ ??）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
6.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（? ??）.
A.?SAS????????????????????????????????????B.?AAS????????????????????????????????????C.?ASA????????????????????????????????????D.??? SSS
7.如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（?? ）
A.?3个???????????????????????????????????????B.?4个???????????????????????????????????????C.?5个???????????????????????????????????????D.?6个
8.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（??? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
二、填空题
9.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E， ，DE=2，AB=4，则AC的长是________．
10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为________．
11.如图，已知△ABC的周长是21，0B、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是________。
12.两条平行线中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫这两条平行线之间的距离.如图，已知 ∥ ， 、 分别平分 和 ， 于点 ，且 ，则 、 之间的距离为________.
13.如图，已知钝角三角形ABC的面积为20，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为________．
14.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于O点。如果∠A=α，那么∠BOC的度数为________.
三、解答题
15.如图：△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EG⊥AB于G，EF⊥AC交AC的延长线于F，BG与CF的大小关系如何？并证明你的结论．
16.有这样一个故事，一位老农民的家业是一块任意四边形的土地ABCD，并且在地里有一口井P，井的位置不在地的中间，如图所示，老人想让两个儿子平分他的土地，但井不能分，两家可以共用．老人还没有想出办法，聪明的同学请你帮老人分一下，说明理由．
17.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB，PM⊥AC，垂足分别为点N，M．求证：BN=CM
18.如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
12.3角的平分线的性质 同步练习
参考答案与解析
一、单选题
1.点P在∠A0B的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是0B边上的任意一点，则下列不符合题意的是(??? )
A.?PQ≤5?????????????????????????????????B.?PQ<5?????????????????????????????????C.?PQ≥5?????????????????????????????????D.?PQ>5
解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∴点P到OB边的距离为5，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥5.
故答案为：C.
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=3，BD=2CD，??? 则BC=（???? ）
A.?7???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?9???????????????????????????????????????????D.?10
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=DE=3, ∴BD=2CD=6, ∴BC=BD+DC=6+3=9。 故答案为：C。
3.如图，△ABC的角平分线BO、CO相交于点O，∠A=120°，则∠BOC=（??? ）
A.?150°????????????????????????????????????B.?140°????????????????????????????????????C.?130°????????????????????????????????????D.?120°
解：∵∠BAC=120°，
∴∠ABC+∠ACB=60°，
∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=30°，
∴∠BOC=150°．
故答案为：A．
4.如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（?? ）
A.?PC⊥OA，PD⊥OB????????????????????B.?OC=OD????????????????????C.?∠OPC=∠OPD????????????????????D.?PC=PD
解：对于A，由PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS判定定理可以判定△POC≌△POD； 对于B OC=OD，根据SAS判定定理可以判定△POC≌△POD； 对于C，∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理可以判定△POC≌△POD； 对于D，PC=PD，无法判定△POC≌△POD。
故答案为：D．
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC=4BE，则S△ABC=8S△BDE其中正确的有（ ??）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
解：①∵ AD平分∠BAC ，DE⊥AB ， ∠C=90°， ∴DC=DE，∠DAE=∠DAC，∠C=∠DEA=90°， 在Rt△ADE和Rt△ADC中， ∵， ∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）， ∴∠ADE=∠ADC，AE=AC， ∴ AD平分∠CDE ， 故①正确； ② ∵∠C=90°， ∴∠B+∠BAC=90°， ∵ DE⊥AB ， ∴∠DEB=90°， ∴∠B+∠BDE=90°， ∴∠BAC=∠BDE， 故②正确； ③无法证明DE平分∠ADB， 故③错误； ④由①知AE=AC， ∵AB=AE+BE=AC+BE，AC=4BE， ∴AB=5BE， ∴S△ADB=·AB·DE=·5BE·DE=5S△BDE ， S△ADC=·AC·DC=·4BE·DE=4S△BDE ， ∴S△ABC=S△ADB+S△ADC ， =5S△BDE+4S△BDE ， =9S△BDE.故④错误； 综上所述：正确的有①②. 故答案为：B. ?
6.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（? ??）.
A.?SAS????????????????????????????????????B.?AAS????????????????????????????????????C.?ASA????????????????????????????????????D.??? SSS
解：根据作图可知： OD=OC=OD=OC，DC=DC ∴△OCD≌△OCD（SSS） 故答案为：D
7.如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（?? ）
A.?3个???????????????????????????????????????B.?4个???????????????????????????????????????C.?5个???????????????????????????????????????D.?6个
解：如图，
货物中转站在三角形内部有一个位置，在外部有三个位置，共有4个位置可选。
故答案为：B。
8.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（??? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
解：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F ∵OP平分∠AOB， ∴PF=PE，∠PEO=∠PFO=90° ∴∠EPF+∠AOB=180° ∵∠MPN+∠AOB=180° ∴∠EPF=∠MPN ∴∠EPM=∠FPN 在△POE和△POF中 OP=OP，PE=PF ∴△POE≌△POF（HL） ∴OE=OF 在△PEM和△PFN中 ∠MPE=∠NPF，PE=PF，∠PEM=∠PFN ∴△PEM≌△PFN（ASA） ∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确； S△PEM=S△PNF ∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定植，故（3）正确； ∵OM+ON=OE+OF+ME-NF=2OE=定植，故（2）正确； MN的长度要发生变化，故（4）错误。 正确的有（2）（3）（1）一共3个 故答案为：B
二、填空题
9.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E， ，DE=2，AB=4，则AC的长是________．
解：如图，过点D作DF⊥AC于F。 ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC ∴DF=DE=2 又∵+=7 ∴ ∴AB+AC=7 又∵AB=4 ∴AC=3. 故答案为：3.
10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为________．
解：∵BC=10cm，BD：DC=3:2，
∴BD=6cm，CD=4cm，
∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，
∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．
11.如图，已知△ABC的周长是21，0B、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是________。
解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F， ∵OB平分∠ABC，OE⊥AB， OD⊥BC， ∴OD=OE=4, 同理OD=OF=4, ∵S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO=.故答案为：42.
12.两条平行线中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫这两条平行线之间的距离.如图，已知 ∥ ， 、 分别平分 和 ， 于点 ，且 ，则 、 之间的距离为________.
解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
∵OA、OC分别平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OM=3，OF=OM=3，
∵AB∥CD，
∴点E、O、F在同一条直线上，
∴AB、CD之间的距离=OE+OF=6。
故答案为：6。
13.如图，已知钝角三角形ABC的面积为20，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为________．
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN=ME，
∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为15，AB=10，
∴ ×10?CE=20，
∴CE=4．
即CM+MN的最小值为4．
故答案为：4
14.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于O点。如果∠A=α，那么∠BOC的度数为________.
解：∵∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A)=90°- ∠A，
∵在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠BOC=180°-（90°- ∠A）=90°+ ∠A=90°+ .
三、解答题
15.如图：△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EG⊥AB于G，EF⊥AC交AC的延长线于F，BG与CF的大小关系如何？并证明你的结论．
证明：BG=CF． 理由如下：如图，连接BE、CE， ∵AE是∠BAC的平分线，EG⊥AB，EF⊥AC， ∴EG=EF， ∵D为BC的中点，DE⊥BC， ∴BE=CE， 在Rt△△EG和Rt△FEC中， ， ∴Rt△△EG≌Rt△FEC（HL）， ∴BG=CF．
16.有这样一个故事，一位老农民的家业是一块任意四边形的土地ABCD，并且在地里有一口井P，井的位置不在地的中间，如图所示，老人想让两个儿子平分他的土地，但井不能分，两家可以共用．老人还没有想出办法，聪明的同学请你帮老人分一下，说明理由．
解：取AB，BC，CD，AD的中点F，G，H，E，连接PA，PF，PB，PG，PC，PH，PD，PE．
记四边形AFPE的面积为a，四边形BGPF的面积为b，四边形CHPG的面积为c，四边形DEPH的面积为d，则a+c＝b+d．
理由：∵AF＝FB，BG＝GC，CH＝HD，AE＝ED，∴S△APF＝S△PFB ， S△PBG＝S△PGC ， S△PHC＝S△PHD ， S△PAE＝S△PDE ， ∴S△PAF+S△PAE+S△PGC+S△PHC＝S△PFB+S△PBG+S△DEP+S△DHP ， ∴a+c＝b+d，∴可以把四边形AFPE和四边形CHPG分给一个该儿子，剩下的分给另一个儿子即可．
17.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB，PM⊥AC，垂足分别为点N，M．求证：BN=CM
证明：连接PB，PC，
∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，
∴PM=PN,∠PMC=∠PNB=90°，
∵P在BC的垂直平分线上，
∴PC=PB，
在Rt△PMC和Rt△PNB中 ，
∴Rt△PMC≌Rt△PNB(HL)，
∴BN=CM.
18.如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°- ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
