24.4.2 圆锥的侧面积和全面积学案(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十四章　圆
24.4　弧长和扇形面积
第2课时　圆锥的侧面积和全面积
要 点 讲 解
要点　圆锥的侧面积和全面积
1. 圆锥的构成：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体(如图所示).
2. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
3. 圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.
4. 圆锥的基本特征：
(1)圆锥的轴通过底面的圆心，并垂直于底面；
(2)圆锥的母线长都相等；
(3)圆锥可以看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，故圆锥的母线l、圆锥的高h、圆锥底面圆的半径r恰好构成一个直角三角形(如图所示)，满足r2＋h2＝l2，利用这一关系，可以已知任意两个量求出第三个量.
设圆锥的侧面展开扇形的圆心角为a°，则由该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得＝2πr，∴a＝·360.在这个公式中，已知r，l，a中任意两个量，都可求出第三个量.
5. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥的底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形的面积；圆锥的全面积就是它的侧面积和底面积的和.即若圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝·2πr·l＝πrl，全面积S全＝πrl＋πr2.
经典例题1　如图，用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的高是(　　　)
A. 6　　　　　　 B. 8 C. 3 D. 4
解析：设这个圆锥底面半径为r，由扇形的面积等于圆锥的侧面积可得πr×6＝，解得r＝2.所以圆锥的高为＝4，故选D.
答案：D
易错易混警示　把圆锥的底面圆的半径误认为是侧面展开图(扇形)的半径
在解决圆锥侧面展开图的相关问题时，圆锥的母线长即为圆锥侧面展开图的半径，而底面半径与2π的乘积为圆锥侧面展开图(扇形)的弧长，两个半径不要混淆，要结合图形加以区分.
经典例题2　已知圆锥的侧面展开图的圆心角为180°，底面圆的面积为15cm2，求圆锥侧面积.
解：设圆锥底面圆的半径为r，侧面展开图的扇形半径为R.
由题意可知∴R＝2r＝2.
∴S侧＝(2)2＝×4×＝30(cm2).
点拨：此题易把圆锥的底面圆的半径当成侧面展开图(扇形)的半径，从而导致错误.明确圆锥与其侧面展开图的关系是解题的关键.
当 堂 检 测
1. 一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为(　　)
A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3
2. 如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为(　　)
A. 30πcm2 B. 48πcm2 C. 60πcm2 D. 80πcm2

第2题 第3题
3. “赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝6cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积是(　　)
A. 68πcm2 B. 74πcm2 C. 84πcm2 D. 100πcm2
4. 若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是 cm.
5. 圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角的度数为 .
6. 如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为 .

第6题 第7题
7. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC＝3，∠BOC＝2∠AOC.若用扇形OAC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是　 　.
8. 如图，一个圆锥的高为3cm，侧面展开图是半圆.求：
(1)圆锥的母线长与底面半径之比；
(2)∠BAC的底数；
(3)圆锥的侧面积(结果保留π).
当堂检测参考答案
1. D 2. C 3. C
4. 9
5. 120°
6. 2π
7. 
8. 解：(1)设此圆锥的底面半径为rcm，母线长AB＝lcm.∵2πr＝πl，∴l＝2r，即l∶r＝2∶1.∴圆锥的母线长与底面半径之比为2∶1.　
(2)由(1)知AB＝AC＝2BO＝2CO.∴AB＝AC＝BC.∴∠BAC＝60°.　
(3)设OB＝xcm，则AB＝2xcm.由题意得x2＋(3)2＝(2x)2，解得x1＝3，x2＝－3(舍去).∴OB＝3cm，AB＝6cm.∴圆锥的侧面积为π×6×3＝18π(cm2).