人教版八年级数学上册经典题型同步汇编
第十四章 整式的乘法与因式分解
题型1：逆用同底数幂的乘法法则解决问题
【例1】已知xa=5,xb=7,求xa+b的值.
题型2：底数为多项式的同底数幂相乘
【例2】计算:(1)(a+b)3(a+b)4;
(2)(m-n)2(n-m)3.
?
题型3：逆用幂的乘方法则解决问题
【例3】(1)若=a9,求n;
(2)已知5m=8,求25m.
题型4：幂的乘方与同底数幂相乘的混合运算
【例4】计算:(1)y··;
(2)2m3·m5-(m2)4.
题型5：逆用积的乘方巧解题
【例5】计算:(1) 0.125299×(-8)299;
(2)×.
题型6；有关乘方的混合运算
【例6】计算:(1)-(2ax2)4;
(2)-a3·a4·a+(a2)4+(-2a4)2.
题型7：单项式乘单项式的计算
【例7】计算:(1)10x2yz3·?;(2)·;
(3)3ab2··2abc;(4)(- 2xn+1yn)·(-3xy)·.
题型8:单项式乘多项式的计算
【例8】计算:(1)2xy(5xy2+3xy-1);
(2)(a2-2bc)·(-2ab)2.
题型9：多项式与多项式相乘的计算
【例9】计算:(1)(3x-2y)(2a+3b);(2)(x-y)(x2+xy+y2).
题型10：整式乘法的实际应用
【例10】为应对国际金融危机,2009年我国出台了一系列刺激住房消费的优惠政策.李小雨家刚刚买了一套房子,房子的结构如图所示(单位:m),他家打算在房子里铺满地砖.
?(1)他家至少需要购买多少平方米的地砖?
(2)如果铺设的这种地砖的价格是每平方米3n元,请你帮他家算一算至少需要花多少钱?
题型11：同底数幂的除法法则的灵活应用
【例11】已知3m=6,9n=2,求32m-4n+1的值.
题型12：整式除法的计算
【例12】计算:
(1)(25x2+15x3y-20x4)÷(-5x2);(2)[2(m+n)5-3(m+n)4+(-m-n)3]÷[2(m+n)3].
题型13：整式除法的实际应用
【例13】某高分子聚合材料的性质优于铝合金材料,且密度为9×102kg/m3,已知铝的密度为2.7×103kg/m3.铝的密度是这种材料密度的多少倍?
题型14：利用平方差公式计算
【例14】计算:
(1)100.5×99.5;(2)(a+3)(a-3)-(a+2)(a-5);(3)(x2+yz)(x2-yz).
题型15：利用完全平方公式化简求值
【例15】已知x2-5x=14,求-+1的值.
题型16：完全平方公式的应用
【例16】如图,长方形ABCD的周长是20 cm,以AB,AD为边分别向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为68 cm2,那么长方形ABCD的面积是( )
A.21 cm2?? ?????????B.16 cm2???????? C.24 cm2??????D.9 cm2
????????????????????????????
题型17：提公因式法分解因式
【例17】把下列各式因式分解:
(1)2a2bc+8a3b;(2)-a2xm+2+abxm+1-acxm-axm+3;
(3)6q(p+q)-4p(p+q);(4)a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a).
题型18：提公因式法的简便应用
【例18】计算123×?+268×+456×+521×.
题型19：利用平方差公式因式分解
【例19】分解因式:(1)(x+p)2-(x+q)2;(2)16(a-b)2-9(a+b)2.
题型20：利用平方差公式因式分解解决问题
【例20】用因式分解法证明499-714能被2400整除.
?
题型21：利用完全平方公式法因式分解
【例21】分解因式:
(1)4x2-20x+25;(2)?+ab+a2b2;(3)16(a+b)2+40(a2-b2)+25(a-b)2.
题型22：因式分解的综合题
【例22】把多项式x3-2x2+x分解因式结果正确的是( )
A.x(x2-2x) B.x2(x-2)? C.x(x+1)(x-1)? D.x(x-1)2
人教版八年级数学上册经典题型同步汇编
第十四章 整式的乘法与因式分解
题型1：逆用同底数幂的乘法法则解决问题
【例1】已知xa=5,xb=7,求xa+b的值.
解:xa+b=xa·xb=5×7=35.
点拨：?因为am·an=am+n,所以am+n=am·an,本题逆用同底数幂的乘法法则求解.
题型2：底数为多项式的同底数幂相乘
【例2】计算:(1)(a+b)3(a+b)4;
(2)(m-n)2(n-m)3.
解:(1)(a+b)3(a+b)4=(a+b)7.
(2)(m-n)2(n-m)3=(n-m)2(n-m)3=(n-m)5.
点拨：当底数为多项式时,我们可将其看作一个整体,利用同底数幂的乘法法则求解.
?
题型3：逆用幂的乘方法则解决问题
【例3】(1)若=a9,求n;
(2)已知5m=8,求25m.
解:(1)因为(an)3=a3n,所以由3n=9得n=3;
(2)25m=(52)m=(5m)2=82=64.
点拨：对于“5的几次方等于8”的问题,我们将在高中阶段学习,本题利用数学中的整体思想,将5m看作整体进行代换.
题型4：幂的乘方与同底数幂相乘的混合运算
【例4】计算:(1)y··;
(2)2m3·m5-(m2)4.
解:(1)y··=y·y6·y6=y13;
(2)2m3·m5-=2m8-m8=m8.
点拨：本题运算顺序是先乘方,再乘法,最后加减.
题型5：逆用积的乘方巧解题
【例5】计算:(1) 0.125299×(-8)299;
(2)×.
解:(1)0.125299×(-8)299=[0.125×(-8)]299=(-1)299=-1;
(2)×=××=×=.
点拨：因为本题两算式中的数据是互为倒数的形式,所以可逆用积的乘方法则,先进行乘法运算,再进行乘方运算,这是一种较为简便的运算方法.
题型6；有关乘方的混合运算
【例6】计算:(1)-(2ax2)4;
(2)-a3·a4·a+(a2)4+(-2a4)2.
解:(1)-(2ax2)4=a4x8-16a4x8=-a4x8;
(2)-a3·a4·a+(a2)4+(-2a4)2=-a8+a8+4a8=4a8.
点拨：本题的运算顺序是先乘方,再乘法,最后加减.
题型7：单项式乘单项式的计算
【例7】计算:(1)10x2yz3·?;(2)·;
(3)3ab2··2abc;(4)(- 2xn+1yn)·(-3xy)·.
解:(1)10x2yz3·=(x2·x)(y·y4)z3
=-5x3y5z3;
(2)·=(a·a2)(b2·b)=-a3b3;
(3)3ab2··2abc=(a·a2·a)(b2·b·b)c=-2a4b4c;
(4)(-2xn+1yn)·(-3xy)·
=(xn+1·x·x2)(yn·y)z=-3xn+4yn+1z.
点拨：(1)系数参与运算时,正确理解系数是参与乘方运算还是乘法运算.(2)凡是单项式中出现过的字母,在结果中也要再出现,不能遗漏.
题型8:单项式乘多项式的计算
【例8】计算:(1)2xy(5xy2+3xy-1);
(2)(a2-2bc)·(-2ab)2.
点拨:(1)中单项式为2xy,多项式含有三项,分别为5xy2,3xy,-1,乘积仍为三项;(2)中应先算(-2ab)2.
解:(1)原式=2xy·5xy2+2xy·3xy+2xy·(-1)
=10x2y3+6x2y2-2xy;
(2)原式=(a2-2bc)·4a2b2
=4a2b2·a2+4a2b2·(-2bc)
=4a4b2-8a2b3c.
题型9：多项式与多项式相乘的计算
【例9】计算:(1)(3x-2y)(2a+3b);(2)(x-y)(x2+xy+y2).
解:(1)原式=3x·2a+3x·3b+(-2y)·2a+(-2y)·3b
=6ax+9bx-4ay-6by;
(2)原式=x·x2+x·xy+x·y2+(-y)·x2+(-y)·xy+(-y)·y2
=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3.
点拨:(1)中先用3x分别与2a,3b相乘,再用-2y分别与2a,3b相乘,然后把所得的积相加;(2)中可先用二项式(x-y)中的x分别与三项式中的各项相乘,再用-y分别与三项式中的各项相乘,然后把所得的积相加.
题型10：整式乘法的实际应用
【例10】为应对国际金融危机,2009年我国出台了一系列刺激住房消费的优惠政策.李小雨家刚刚买了一套房子,房子的结构如图所示(单位:m),他家打算在房子里铺满地砖.
?(1)他家至少需要购买多少平方米的地砖?
(2)如果铺设的这种地砖的价格是每平方米3n元,请你帮他家算一算至少需要花多少钱?
解:(1)4a·2b+(2a+a)(4b-2b)+b(4a-2a-a)=8ab+3a·2b+b·a=8ab+6ab+ab=15ab(m2);
(2)3n·15ab=45abn(元).
点拨：此种解法是把整个图形分成若干个小长方形,分别计算它们的面积,再把结果相加.分割的方法不同,所列的整式也就不同.
题型11：同底数幂的除法法则的灵活应用
【例11】已知3m=6,9n=2,求32m-4n+1的值.
解:?32m-4n+1=32m×3÷34n=3?÷,
∵3m=6,9n=2,
∴32m-4n+1=3×62÷22=27.
点拨：欲求32m-4n+1的值,应逆用同底数幂的乘除法法则,将其转化为关于3m和9n的表达式后,利用整体代换的数学思想求.
题型12：整式除法的计算
【例12】计算:
(1)(25x2+15x3y-20x4)÷(-5x2);(2)[2(m+n)5-3(m+n)4+(-m-n)3]÷[2(m+n)3].
解:(1)原式=25x2÷(-5x2)+15x3y÷(-5x2)-20x4÷(-5x2)=-5-3xy+4x2;
(2)原式=2(m+n)5÷2(m+n)3-3(m+n)4÷2(m+n)3-(m+n)3÷2(m+n)3
=(m+n)2-(m+n)-=m2+2mn+n2-m-n-.
点拨:(1)先写成单项式除以单项式和的形式,再按单项式和单项式除法法则计算;(2)注意运算顺序.
题型13：整式除法的实际应用
【例13】某高分子聚合材料的性质优于铝合金材料,且密度为9×102kg/m3,已知铝的密度为2.7×103kg/m3.铝的密度是这种材料密度的多少倍?
解:(2.7×103)÷(9×102)=(2.7÷9)×(103÷102)=0.3×10=3.
点拨:应用单项式除法法则进行化简计算.
题型14：利用平方差公式计算
【例14】计算:
(1)100.5×99.5;(2)(a+3)(a-3)-(a+2)(a-5);(3)(x2+yz)(x2-yz).
解:(1)100.5×99.5=(100+0.5)(100-0.5)=1002-0.52=9999.75;
(2)(a+3)(a-3)-(a+2)(a-5)=a2-32-(a2-3a-10)=a2-9-a2+3a+10=3a+1;
(3)(x2+yz)(x2-yz)=(x2)2-(yz)2=x4-y2z2.
点拨:(1)可以变形为(100+0.5)(100-0.5)后用平方差公式;(2)中前面一算式可以用平方差,后一算式用多项式乘法展开后合并同类项;(3)中分别把x2,yz看作公式中的a,b,然后套用公式.
?
题型15：利用完全平方公式化简求值
【例15】已知x2-5x=14,求-+1的值.
解:-+1=2x2-x-2x+1-(x2+2x+1)+1
=2x2-x-2x+1-x2-2x-1+1=x2-5x+1,
当x2-5x=14时,原式=(x2-5x)+1=14+1=15.
点拨：本题利用公式化简后,再用整体代换的数学思想求值,不必将已知等式中的x值求出.
题型16：完全平方公式的应用
【例16】如图,长方形ABCD的周长是20 cm,以AB,AD为边分别向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为68 cm2,那么长方形ABCD的面积是( )
A.21 cm2?? ?????????B.16 cm2???????? C.24 cm2??????D.9 cm2
????????????????????????????
答案:B
点拨：设AB=x cm,AD=y cm,由题意得x2+y2=68,x+y=10,所以(x+y)2=100,即x2+y2+2xy=100,所以2xy=32,xy=16,所以长方形ABCD的面积是16 cm2?,选B.此题是一道几何计算问题,运用方程的方法可转化为整式的运算问题.
题型17：提公因式法分解因式
【例17】把下列各式因式分解:
(1)2a2bc+8a3b;(2)-a2xm+2+abxm+1-acxm-axm+3;
(3)6q(p+q)-4p(p+q);(4)a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a).
?解:(1)2a2bc+8a3b=2a2b·c+2a2b·4a=2a2b(c+4a);
(2)-a2xm+2+abxm+1-acxm-axm+3=-axm·ax2+axm·bx-axm·c-axm·x3
=-axm(x3+ax2-bx+c);
(3)6q(p+q)-4p(p+q)=2(p+q)·3q-2(p+q)·2p=2(p+q)(3q-2p);
(4)a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a)
?=a(a-b)3+2a2(a-b)2+2ab(a-b)
=a(a-b)[(a-b)2+2a(a-b)+2b]
=a(a-b)(3a2-4ab+b2+2b).
点拨：根据提公因式法的一般步骤,先确定各题的公因式,再提取即可.在第(2)题中,因多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号;在第(4)题中,将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为含有公因式,如:当n为正整数时,(a-b)2n=(b-a)2n;(a-b)2n-1=-(b-a)2n-1.
题型18：提公因式法的简便应用
【例18】计算123×?+268×+456×+521×.
解:原式=×(123+268+456+521)=×1 368=987.
点拨：算式中每一项都含有,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果.
题型19：利用平方差公式因式分解
【例19】分解因式:(1)(x+p)2-(x+q)2;(2)16(a-b)2-9(a+b)2.
解:(1)原式=(x+p+x+q)(x+p-x-q)=(2x+p+q)(p-q);
(2)原式=[4(a-b)]2-[3(a+b)]2
=[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]
=?(4a-4b-3a-3b)=(7a-b)(a-7b).
点拨:(1)把(x+p)看作a,(x+q)看成b;(2)先把式子化成[4(a-b)]2-[3(a+b)]2后,再用平方差公式分解.
题型20：利用平方差公式因式分解解决问题
【例20】用因式分解法证明499-714能被2400整除.
解:499-714
=(72)9-714=718-714=714(74-1)
=714×2400,
∴ 499-714被2400整除得714.
点拨:首先把底数化成相同的,然后再提公因式.
?
题型21：利用完全平方公式法因式分解
【例21】分解因式:
(1)4x2-20x+25;(2)?+ab+a2b2;(3)16(a+b)2+40(a2-b2)+25(a-b)2.
点拨:(1)式中2x,5分别为公式中的a,b;(2)中ab,分别为公式中的a,b;(3)中将4(a+b)与5(a-b)看作公式中的a,b.
解:(1)原式=(2x)2-2×2x×5+52=(2x-5)2;
(2)原式=+2××ab+(ab)2=;
(3)原式=[4(a+b)+5(a-b)]2=(4a+4b+5a-5b)2=(9a-b)2.
题型22：因式分解的综合题
【例22】把多项式x3-2x2+x分解因式结果正确的是( )
A.x(x2-2x) B.x2(x-2)? C.x(x+1)(x-1)? D.x(x-1)2
答案:D
点拨：x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2,故选D.本题要进行多步因式分解,首先提取公因式,然后再用公式.
?
