人教版八年级数学上册经典题型同步汇编
第十五章 分式
题型1：分式的判断
【例1】指出下列各式中哪些是整式?哪些是分式?
,-,,,-3b2,,,x+y,-.
题型2：分式有意义的条件
【例2】当x取何值时,分式有意义.
题型3：分式的应用
【例3】两块棉田,第一块x公顷,每公顷收棉花m千克,第二块y公顷,每公顷收棉花n千克,这两块棉田平均每公顷的棉产量是 .?
题型4：分式的性质
【例4】不改变分式的值,使下列分式的分子、分母都不含“-”号.
(1); (2); (3).
题型5：分数约分的计算
【例5】下列约分正确的有( ).
①=;②=1;③=0;④=.
A. 1个??? B. 2个 C. 3个 D. 4个
题型6：分数通分的计算
【例6】通分:与.
题型7：分式乘法的运算
【例7】计算:(1)·; (2) (2y-x)·.
题型8：分式除法的运算
【例8】计算:(1)÷(-24ac2); (2)÷.
题型9：分式乘方的运算
【例9】计算:(1); (2).
题型10：分式的乘除混合运算
【例10】计算:
(1)1÷·(m2-1); (2)÷(x+3)·.
题型11：分式加减的运算
【例11】计算:(1)-; (2)+.
题型12：分式加减的简便计算
【例12】已知b-1的相反数等于它本身,ab与-2互为相反数,求++…+的值.
题型13:分式混合运算的计算
【例13】计算?÷.
题型14：分式混合运算的实际应用
【例14】小明从甲地到乙地的速度是a,从乙地返回甲地的速度是b(b≠a),小敏从甲地到乙地,又从乙地返回甲地的速度一直是,谁所用的时间短?
题型15：负整数指数幂的运算
【例15】(1)= ;?(2)已知x+x-1=3,则x2+x-2= .?
题型16：科学记数法的实际应用
【例16】一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米,0.0000065用科学记数法表示为( ).
A. 6.5×10-5?? B. 6.5×10-6??? C. 6.5×10-7??? D. 65×10-6
题型17：分式方程的判定
【例17】下列各式是分式方程吗?
(1)2x-3y=0;
(2)?-3=;
(3)=;
(4)+3;
(5)2+=.
题型18：分式方程的解法
【例18】解分式方程:+=.
题型19：分式方程的增根
【例19】分式方程-1=有增根,则m的值为( ).
?A. 0和3????? ? B. 1?? ??? C. 1和-2? ???? D. 3
题型20：列分式方程解应用题
【例20】我市某校为了创建书香校园,去年购进一批图书.经了解,科普书的单价比文学书的单价贵4元,用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等.今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变,该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书,问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书?
?
人教版八年级数学上册经典题型同步汇编
第十五章 分式
题型1：分式的判断
【例1】指出下列各式中哪些是整式?哪些是分式?
,-,,,-3b2,,,x+y,-.
解:整式有:,,x+y;
分式有:-,,-3b2,,,-.
点拨:整式与分式的区分关键是看分母中是否含有字母,含有字母的则是分式,不含有字母的则是整式,而不必对式子作其他的变形.
题型2：分式有意义的条件
【例2】当x取何值时,分式有意义.
解:由(x+1)(x-2)≠0,得x+1≠0且x-2≠0.
∴ x≠-1且x≠2.
∴ x≠-1且x≠2时,原分式有意义.
点拨:要使(x+1)(x-2)≠0,就必须x+1≠0且x-2≠0,可得分母不等于零的条件,从而得到分式有意义的条件.
题型3：分式的应用
【例3】两块棉田,第一块x公顷,每公顷收棉花m千克,第二块y公顷,每公顷收棉花n千克,这两块棉田平均每公顷的棉产量是 .?
解:kg.
点拨:在本题中平均每公顷棉产量=,总产量是mx+ny,总面积是x+y,所以平均每公顷棉产量是千克.
题型4：分式的性质
【例4】不改变分式的值,使下列分式的分子、分母都不含“-”号.
(1);(2);(3).
点拨:(1)改变分子、分母的“负”号,分式的值不变;(2)改变分子和分式本身的符号,分式的值不变;(3)改变分母和分式本身的符号,分式的值不变.
解:(1)=;(2)=-;(3)=-.
题型5：分数约分的计算
【例5】下列约分正确的有( ).
①=;②=1;③=0;④=.
A. 1个??? B. 2个 C. 3个 D. 4个
点拨:①分子、分母中的m分别与a和b相加,而不是相乘,故分子、分母没有公因式,①错误;②(m-n)3=-(n-m)3,约分后结果为-1,②错误;③分子、分母完全相同,约分以后应为1,③错误;④分子a2-2a-3=(a-3)(a+1),分母a2+2a+1=(a+1)2,约去公因式(a+1),结果为,④正确.
答案:A.
题型6：分数通分的计算
【例6】通分:与.
解:因为最简公分母是(m+3)(m-3),所以
=,==-.
点拨:通分的关键是确定各分母的最简公分母.先确定两个分式的最简公分母是(m+3)(m-3),再利用公式的基本性质分别变形.
题型7：分式乘法的运算
【例7】计算:(1)·;(2) (2y-x)·.
解:(1)·==xy;
(2) (2y-x)·
=(2y-x)×=(2y-x)×=.
点拨:(1)各分式的分子、分母都是单项式,直接运用乘法法则进行计算、约分;(2)分子、分母是多项式的分式乘法,先利用法则相乘,然后把各多项式分解因式、约分.
题型8：分式除法的运算
【例8】计算:(1)÷(-24ac2);(2)÷.
点拨:熟练掌握除法法则和约分的技巧.其中(1)中的(-24ac2)看作,然后颠倒除式的分子、分母后与被除式相乘.(2)应先分解因式,再运用法则进行计算.
解:(1)÷(-24ac2)=·=;
(2)?÷=·=.
?
题型9：分式乘方的运算
【例9】计算:(1);(2).
解:(1)==;
(2)===-.
点拨:先运用分式乘方的法则,将分子、分母分别乘方,再综合运用幂的乘方和积的乘方法则计算.
题型10：分式的乘除混合运算
【例10】计算:
(1)1÷·(m2-1);(2)÷(x+3)·.
解:(1)原式=1××(m+1)(m-1)=-(m-1)2=-m2+2m-1.
(2)原式=··=-.
点拨:(1)因为分式的分子、分母中的多项式能分解因式,故先因式分解再进行分式的乘除计算;(2)(x+3)是一个整式,在运算中,需把(x+3)看作是分母为1的式子,然后按分式的乘除法法则运算.
题型11：分式加减的运算
【例11】计算:(1)-;(2)+.
解:(1)原式=-===.
(2)原式==-1.
点拨:本例两个题都不是同分母.注意到(a-b) 2与(b-a)2相等,a-1与1-a互为相反数,所以都可以将异分母化成同分母计算.
题型12：分式加减的简便计算
【例12】已知b-1的相反数等于它本身,ab与-2互为相反数,求++…+的值.
解:∵ b-1的相反数等于它本身,
∴ b-1=0.∴ b=1.
∵ ab与-2互为相反数,∴ ab=2.∴ a=2.
∴ ++…+=++…+
=++…+=1-=.
点拨:先由已知条件求出a,b的值.再运用式子-=把各分式化为两个分式的差,然后求值.
题型13:分式混合运算的计算
【例13】计算?÷.
解:原式=÷=·=-.
点拨：分式的混合运算过程较繁,关键是要严格按照分式混合运算的顺序进行,即先进行乘方运算,其次进行乘、除运算,再进行加、减运算,遇有括号,先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式,并且能分解因式,可先分解因式,能约分的先约分,再进行运算.
题型14：分式混合运算的实际应用
【例14】小明从甲地到乙地的速度是a,从乙地返回甲地的速度是b(b≠a),小敏从甲地到乙地,又从乙地返回甲地的速度一直是,谁所用的时间短?
点拨:本题是速度、时间、路程之间关系,先表示出小明,小敏往返时间,然后再作差比较.
解:设甲、乙两地之间的路程为s.由题意,得
-2s÷=-2s·
??? ===.
∵ a>0,b>0,s>0,b≠a,∴ >0.
由此可知小敏的用时短.
题型15：负整数指数幂的运算
【例15】(1)= ;?(2)已知x+x-1=3,则x2+x-2= .?
点拨:(1)利用a-n=,即可求解.
(2)已知(x+x-1)2=32,应用完全平方公式展开可以解答.
解:(1)==-.
(2)(x+x-1)2=32,
∴ x2+x-2+2=9.∴ x2+x-2=7.
题型16：科学记数法的实际应用
【例16】一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米,0.0000065用科学记数法表示为( ).
A. 6.5×10-5?? B. 6.5×10-6??? C. 6.5×10-7??? D. 65×10-6
解:B.
点拨:把0.0000065的小数点向右移动6位变成6.5×0.000001.
题型17：分式方程的判定
【例17】下列各式是分式方程吗?
(1)2x-3y=0;
(2)?-3=;
(3)=;
(4)+3;
(5)2+=.
解:(1)因为方程里面没有分母,所以2x-3y=0不是分式方程;(2)虽然方程里含有分母,但是分母里没有未知数,所以不是分式方程;(3)方程=具备分式方程的三个特征;(4)+3没有等号,所以不是方程,它是一个代数式;(5)2+=具备分式方程的三个特征,所以是分式方程.
点拨:逐个检查是否符合分式方程的三个特征:(1)是方程;(2)方程里含有分母;(3)分母里含有未知数.
题型18：分式方程的解法
【例18】解分式方程:+=.
解:去分母,得3x+x+2=4,解得x=,经检验x=是原方程的解.
点拨:在方程的两边同乘以最简公分母x(x+2),化去分母,进而求解,并检验.
题型19：分式方程的增根
【例19】分式方程-1=有增根,则m的值为( ).
?A. 0和3????? ? B. 1?? ??? C. 1和-2? ???? D. 3
点拨:分式方程中公分母为(x-1)(x+2),方程若存在增根,那么去掉分母以后所得整式方程的根,至少存在一个根一定可以使(x-1)(x+2)等于0.
解:方程两边同乘以(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=m,即x=m-2.
由(x-1)(x+2)=0,得x=1或x=-2.
由题意,
当x=1时,m-2=1,解得m=3.
当得x=-2时,m-2=-2,解得m=0,此时原方程无实根,所以m=0,不成立,舍去.故选D.
题型20：列分式方程解应用题
【例20】我市某校为了创建书香校园,去年购进一批图书.经了解,科普书的单价比文学书的单价贵4元,用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等.今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变,该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书,问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书?
点拨:设文学书的单价每本x元,则科普书的单价每本(x+4)元.然后根据两种钱数购进的图书本数相等,即可列出分式方程,从而求解.
解:根据题意,得?=.
解之得x=8.
经检验,x=8是方程的根,且符合题意,∴ x+4=12.
即去年购进的文学书和科普书的单价分别是8元和12元.
设购进文学书550本后至多还能购进y本科普书.根据题意,得
550×8+12y≤10000,解得y≤466.
由题意,y取最大整数解,y=466.
故至多还能购进466本科普书.
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