人教版八年级数学上册经典题型同步汇编
第十一章 三角形
题型1：三角形的数法
【例1】如图,图中有几个三角形,哪几个三角形?
题型2：三角形的分类
【例2】设M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直角三角形,则下列四个选项中,能表示它们之间关系的是( ).
题型3：三角形边的求法
【例3】已知等腰三角形的周长是600px.
(1)腰长是底边长的2倍,求腰长;
(2)已知其中一边长为150px,求其他两边长.
题型4：三角形的三边关系
【例4】用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形,能摆成不同的三角形的个数为 .?
题型5：三角形的高、中线与角平分线的判定
【例5】如图,在△ABC中,∠BAD=∠CAD,AE=CE,AG⊥BC,垂足为点G,AD与BE相交于点F,试指出AD、AF分别是哪个三角形的角平分线?BE、DE分别是哪个三角形的中线?AG是哪些三角形的高？
???????????????????????
题型6：三角形中线的应用
【例6】有一块三角形优良品种试验基地,如图所示,由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案供选择.(画图说明)
考点7：三角形稳定性的应用
【例7】如图所示,建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部都是三角形结构,这是应用了三角形的哪个性质?答: .?
题型8：求直角三角形中角的度数
【例8】如图,直线a∥b,EF⊥CD于点F,∠2=65°,则∠1的度数是 ???.?
题型9：三角形内角和的实际应用
【例9】一块模板如图所示,按规定AB、CD的延长线应相交成85°的角,因为交点不在模板上,不便测量,所以工人师傅连接AC,测量出∠BAC的度数为32°,∠DCA的度数为64°,这时工人师傅就判定,AB、CD的延长线相交所成的角不符合规定,你认为工人师傅的判断正确吗?为什么?
题型10：三角形外角的应用
【例10】已知某零件的形状如图所示,按规定∠BAC=90°,∠B=18°,∠C
=25°,检测工人测得∠BDC=135°,就断定此零件不合格.你能说明理由吗?
题型11：三角形内角和外角的综合应用
【例11】如图 (1),在△ABC中,∠1=∠2,∠C>∠B,E为AD上一点,且EF⊥BC,垂足为F.
(1)试探索∠DEF与∠B、∠C的大小关系;
(2)如图 (2),当点E在AD的延长线上时,其他条件都不变,你在(1)中探索得到的结论是否还成立?并说明理由.
???????
(1) ??????????????(2)
题型12：凹、凸多边形的判定
【例12】如图,是凸多边形的是( ).
?????????
A.?①②? ????? B. ②③ ?????? C. ③④??? ? D. ①④
题型13：多边形对角线的求法
【例13】若过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形,求这个多边形所有对角线的条数.
题型14：多边形的判定
【例14】下列说法错误的是( ).
A. 正多边形的各条边都相等
B.?正多边形的各个角都相等
C.?各个角都相等的多边形不一定是正多边形
D.?各条边都相等的多边形一定是正多边形
题型15：多边形内角和的计算
【例15】两个正多边形的边数之比为1∶2,内角和之比为3∶8,求这两个多边形的边数、内角和.
题型16：多边形内角和的应用
【例16】小华想:2010年世博会在上海举行,设计一个内角和是2010°的多边形图案多有意义,她的想法能实现吗?说说理由.
题型17：多边形外角和的应用
【例17】正多边形的一个外角等于30°,则这个多边形的边数为( ).
A. 6 ??????? B. 9? ?????? C. 12? ???? D. 15
人教版八年级数学上册经典题型同步汇编
第十一章 三角形
题型1：三角形的数法
【例1】如图,图中有几个三角形,哪几个三角形?
解:有6个三角形.它们分别是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC.
点拨：只要符合有不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接,就是一个三角形.在数三角形的个数的问题上,要注意不重不漏的问题.形如例1这样的三角形的个数也可以根据点E、D把BC分成了三段,所以三角形的个数为3+2+1=6(个).
题型2：三角形的分类
【例2】设M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直角三角形,则下列四个选项中,能表示它们之间关系的是( ).
解:A.
点拨:本题主要考查了三角形的分类以及不同三角形之间的关系,只要正确地理顺三角形之间的关系即可.等腰三角形与直角三角形的公共部分是等腰直角三角形,等腰三角形包括等边三角形和等腰直角三角形,只有选项A符合题意.
题型3：三角形边的求法
【例3】已知等腰三角形的周长是600px.
(1)腰长是底边长的2倍,求腰长;
(2)已知其中一边长为150px,求其他两边长.
解:(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm.
根据题意,得x+2x+2x=24.
解得x=4.8.
故腰长=2x=2×4.8=9.6(cm).
(2)因为长为150px的边可能是腰,也可能是底,所以要分两种情况计算.
当长为150px的边为腰时,则底边为24-6×2=12.
由6+6=12,两边之和等于第三边,所以150px长为腰不能组成三角形,舍去.
当长为150px的边为底边时,则腰长为(24-6)÷2=9.
∵ 150px,225px,225px可以组成三角形,
∴ 三角形其他两边长均为225px.
点拨:计算(1)可以通过设未知数来进行计算,得出方程,通过求方程的解从而求出答案,其中体现了方程思想.计算(2)要注意分两种情况考虑,因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边,所以通过其中一边长为150px,求其他两边的长应该分成两种情况考虑:一种是150px长的边为腰,另一种是150px长的边为底,体现了数学中的分类讨论思想.并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和大于第三边.
题型4：三角形的三边关系
【例4】用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形,能摆成不同的三角形的个数为 .?
解:能摆成不同形状的三角形的个数为2.
点拨:设一根火柴棒的长度为单位1,最短边不能大于2,若最短边大于2,则周长至少是9,不合题意.
①当最短边长为1时,另两边长可能为1,5;2,4;3,3;其中当边长为1,1,5;1,2,4时不能构成三角形,只有1,3,3能构成三角形;
②当最短边长为2时,另两边长可能为2,3;3,2;边长为2,2,3和2,3,2能构成三角形,但这两种三角形的形状相同.
题型5：三角形的高、中线与角平分线的判定
【例5】如图,在△ABC中,∠BAD=∠CAD,AE=CE,AG⊥BC,垂足为点G,AD与BE相交于点F,试指出AD、AF分别是哪个三角形的角平分线?BE、DE分别是哪个三角形的中线?AG是哪些三角形的高？
???????????????????????
解:AD、AF分别是△ABC、△ABE的角平分线;BE、DE分别是△ABC、△ADC的中线;AG是△ABC、△ABD、△ACD、△ABG、△ACG、△ADG的高.
点拨:首先要抓住特殊线段的数量关系,因为∠BAD=∠CAD,所以AD是∠BAC的平分线,AF是∠BAE的平分线等.其次要抓住特殊线段的位置关系,即它们都过三角形的一个顶点,以及它对边上的一点,这样就能确定是哪个三角形的特殊线段了.
题型6：三角形中线的应用
【例6】有一块三角形优良品种试验基地,如图所示,由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案供选择.(画图说明)
解:方案1:如答图 (1),在BC上取D、E、F,使BD=ED=EF=FC,连接AE、AD、 AF.
???????
(1)??????????? (2)???????? (3)
方案2:如答图 (2),分别取AB、BC、CA的中点D、E、F,连接DE、EF、DF.
方案3:如答图 (3),分别取BC的中点D,CD的中点E,AB的中点F,连接AD、AE、DF.
点拨:可根据中线所分的两个三角形的面积相等以及三角形的面积公式的特征,先分为两个面积相等的三角形,然后再依次等分.
考点7：三角形稳定性的应用
【例7】如图所示,建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部都是三角形结构,这是应用了三角形的哪个性质?答: .?
解:三角形的稳定性.
点拨:因为塔吊的上部是三角形结构,所以这是运用了三角形的稳定性.故填三角形的稳定性.
?
题型8：求直角三角形中角的度数
【例8】如图,直线a∥b,EF⊥CD于点F,∠2=65°,则∠1的度数是 ???.?
答案:25°
点拨:因为a∥b,所以∠FDE=∠2.
在直角三角形DEF中,∠1=90°-∠FDE=90°-65°=25°.
题型9：三角形内角和的实际应用
【例9】一块模板如图所示,按规定AB、CD的延长线应相交成85°的角,因为交点不在模板上,不便测量,所以工人师傅连接AC,测量出∠BAC的度数为32°,∠DCA的度数为64°,这时工人师傅就判定,AB、CD的延长线相交所成的角不符合规定,你认为工人师傅的判断正确吗?为什么?
解:工人师傅的判断正确. 说明如下:
作AB、CD的延长线,两线相交于点M.
在△ACM中,因为∠MAC+∠MCA+∠M=180°,所以∠M=180°-∠MAC-∠MCA=180°-32°-64°=84°≠85°.
所以此模板不合格,工人师傅的判断是正确的.
点拨:要判断是否合格,关键在于利用三角形的内角和求解AB、CD的延长线相交的角度.
题型10：三角形外角的应用
【例10】已知某零件的形状如图所示,按规定∠BAC=90°,∠B=18°,∠C
=25°,检测工人测得∠BDC=135°,就断定此零件不合格.你能说明理由吗?
解:如图,
连接AD并延长到点E,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠CDE=∠C+∠CAE,∠BDE=∠B+∠BAE.所以∠BDC=∠C+∠B+∠CAB.若零件合格,则有∠BDC=90°+18°+25°=133°,而量得∠BDC=135°,所以这个零件不合格.
点拨:这是一个有关三角形知识在实际问题中的应用的题目,其关键是如何将实际问题转化为相应的有关三角形的角的知识来解决.
题型11：三角形内角和外角的综合应用
【例11】如图 (1),在△ABC中,∠1=∠2,∠C>∠B,E为AD上一点,且EF⊥BC,垂足为F.
(1)试探索∠DEF与∠B、∠C的大小关系;
(2)如图 (2),当点E在AD的延长线上时,其他条件都不变,你在(1)中探索得到的结论是否还成立?并说明理由.
???????
(1) ??????????????(2)
解:(1)∵ ∠1=∠2,∴ ∠1=∠BAC.
∵ ∠BAC=180°-(∠B+∠C),
∴ ∠1=[180°-(∠B+∠C)]=90°-?(∠B+∠C).
∴ ∠EDF=∠B+∠1=∠B+90°-(∠B+∠C)=90°+(∠B-∠C).
又 EF⊥BC,∴ ∠EFD=90°.
∴ ∠DEF=90°-∠EDF=90°-=(∠C-∠B).
(2)当点E在AD的延长线上时,其余条件都不变,(1)中探索所得的结论仍成立,理由同(1).
点拨:本题的关键是寻找∠DEF与∠B、∠C之间的联系,由三角形的内角和定理及外角性质,可通过∠1(或∠2)、∠EDF搭桥解决.
题型12：凹、凸多边形的判定
【例12】如图,是凸多边形的是( ).
?????????
A.?①②? ????? B. ②③ ?????? C. ③④??? ? D. ①④
答案:C.
点拨:根据凸多边形与凹多边形的判定方法,①②是凹多边形,③④是凸多边形.
题型13：多边形对角线的求法
【例13】若过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形,求这个多边形所有对角线的条数.
解:设多边形的边数为n,则有n-2=8,所以n=10.再由n边形的所有对角线的条数为得对角线的总数为35条.
点拨:若求这个多边形的所有对角线的条数,只需求出多边形的边数.由于过多边形一个顶点可以把多边形分成n-2个三角形,因此可以求出边数,进而由求出多边形所有对角线的条数.
题型14：多边形的判定
【例14】下列说法错误的是( ).
A. 正多边形的各条边都相等
B.?正多边形的各个角都相等
C.?各个角都相等的多边形不一定是正多边形
D.?各条边都相等的多边形一定是正多边形
答案:D.
点拨:正多边形必须具备“各个角都相等,各条边都相等”,故D错误,如菱形的四条边都相等,但菱形不是正多边形.
?
题型15：多边形内角和的计算
【例15】两个正多边形的边数之比为1∶2,内角和之比为3∶8,求这两个多边形的边数、内角和.
解:设这两个正多边形的边数分别为n和2n条.
根据多边形的内角和公式,得两多边形的内角和分别为(n-2)·180°和(2n-2)·180°.
由于两内角和度数之比为3∶8,因此=,
解得n=5.
(n-2)·180°=540°,(2n-2)·180°=1440°.
因此这两个多边形分别是五边形和十边形,内角和分别为540°和1440°.
点拨:由于正多边形的每一个内角都相等,从而可建立方程.
题型16：多边形内角和的应用
【例16】小华想:2010年世博会在上海举行,设计一个内角和是2010°的多边形图案多有意义,她的想法能实现吗?说说理由.
解:小华的想法不能实现.因为多边形的内角和为(n-2)·180°,一定是180°的整数倍,而2010不能被180整除,所以不可能有内角和为2010°的多边形,因此她的想法是不能实现的.
点拨:观察多边形的内角和公式(n-2)·180°,发现多边形的内角和一定是180°的整数倍.
题型17：多边形外角和的应用
【例17】正多边形的一个外角等于30°,则这个多边形的边数为( ).
A. 6 ??????? B. 9? ?????? C. 12? ???? D. 15
答案:C.
点拨:根据多边形的外角和为360°,正多边形的每一外角都相等,用360÷30即可求出边数﹒
