人教版八年级数学上册经典题型汇编
第十二章 全等三角形
题型1：全等三角形的对应边和对应角判定
【例1】如图所示,△ABC绕点B顺时针旋转90°到△DBE,且∠ABC=90°.
(1)△ABC和△DBE是否全等?若全等,指出对应边和对应角;
(2)直线AC、DE有怎样的位置关系?
题型2：利用全等三角形的定义判断三角形的全等
【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,连接AD.DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,则图中共有多少对全等三角形?请直接用符号“≌”把它们分别表示出来.(不要求证明)
题型3：全等三角形性质的应用
【例3】如图所示,A、D、E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE.
(1)试说明BD=DE+CE;
(2)当△ABD满足什么条件时,BD∥CE?
题型4：利用“SSS”证明三角形全等
【例4】如图,点A、E、C、F在同一条直线上,AB=FD,BC=DE,AE=FC.求证:△ABC≌△FDE.
题型5：“SSS”证明三角形全等在实际生活中的应用
?【例5】曙光中学师生自己动手新建一条水泥路(如图),为检验这条水泥路的两边缘l1,l2是否平行,小鹏同学手中只有米尺,他先在此水泥路的一边缘l1上取两点A、B,在此水泥路的另一边缘l2上取两点C、D,并且使CD=AB,然后用手中的米尺测得AC=BD.小鹏由此便确定此水泥路的两边缘l1,l2是平行的,你知道其中的道理吗?
题型6：利用SAS证明三角形全等
【例6】如图,点C是线段AB的中点,CE=CD,∠ACD=∠BCE.求证:AE=BD.
题型7：用SAS证明三角形全等解决问题
【例7】如图,已知在△ABC中,AB=12,AC=8,AD是BC边上的中线,求AD的取值范围.
题型8：利用“ASA”证明两个三角形全等
【例8】如图,点A、B、C、D在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD.求证:AE=FC.
题型9：利用“AAS”证明两个三角形全等
【例9】两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O为边AC和DF的交点,不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等?为什么?
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题型10：利用“HL” 证明两个三角形全等
【例10】如图,AC=AD,∠C=∠D=90°,求证:BC=BD.
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题型11：灵活选择方法证明三角形全等
【例11】如图,两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图(1)摆放,使直角顶点重合. 将图(1)中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图(2),点F、G分别是CD、DE与AB的交点,点H是DE与AC的交点.
(1)不添加辅助线,写出图(2)中所有与△BCF全等的三角形;
(2)将图(2)中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C,点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1?,如图(3).探究线段D1F1与AH1之间的数量关系,并写出推理过程;
(3)在(2)的条件下,若D1E1与CE交于点I,求证:G1I=CI.
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(1)????????????? (2) ????????????????(3)
题型12：利用全等三角形证两直线平行与垂直
【例12】如图,已知:点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AC=DF.能否由上面的已知条件证明AB∥ED?如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使AB∥ED成立,并给出证明.
供选择的三个条件(请从其中选择一个):
AB=DE;②BC=EF;③∠ACB=∠DFE.
题型13：利用全等三角形证线段之间的和差关系
【例13】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
题型14：利用角平分线条件求距离与角
【例14】如图,AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为 .?
题型15：利用角平分线条件证明角或边相等
【例15】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:
(1)CF=EB;
(2)∠CBA+∠AFD=180°.
?????????????
题型16：利用角平分线条件证明线段的和差
【例16】如图 (1),已知AC∥BD,AE、BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由.
????????
(1)?????????????????? ?(2)????????????
人教版八年级数学上册经典题型汇编
第十二章 全等三角形
题型1：全等三角形的对应边和对应角判定
【例1】如图所示,△ABC绕点B顺时针旋转90°到△DBE,且∠ABC=90°.
(1)△ABC和△DBE是否全等?若全等,指出对应边和对应角;
(2)直线AC、DE有怎样的位置关系?
解:(1)因为△ABC绕点B顺时针旋转90°后与△DBE重合,所以△ABC≌△DBE.
对应边:AB与DB,BC与BE,AC与DE;对应角:∠A与∠D,∠ABC与∠DBE,∠ACB与∠E.
(2)延长AC交DE于点F.如图所示,
由(1)知∠A=∠D,又∠ACB=∠DCF,所以在△ABC和△DFC中,有∠DFC=∠ABC=90°,即直线AC与DE互相垂直.
点拨:(1)中的△ABC和△DBE形状和大小没有发生变化,只是位置发生改变,所以这两个三角形是全等三角形,根据旋转过程中点的对应关系,从而确定出对应边和对应角;(2)延长AC交DE于点F,可以证明∠CFD=∠ABC=90°,从而可以判断出两条线段是垂直关系.
题型2：利用全等三角形的定义判断三角形的全等
【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,连接AD.DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,则图中共有多少对全等三角形?请直接用符号“≌”把它们分别表示出来.(不要求证明)
解:图中共有3对全等三角形,它们分别是:△ADE≌△ADF,△ADB≌△ADC,△BDE≌△CDF.
点拨:本题通过观察就可得到,主要考查学生的观察能力.另外,在小学里,我们已经学过等腰三角形关于底边上的中线所在的直线对称,从这个角度去分析,很快也能得到答案.
题型3：全等三角形性质的应用
【例3】如图所示,A、D、E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE.
(1)试说明BD=DE+CE;
(2)当△ABD满足什么条件时,BD∥CE?
解:(1)∵ △BAD≌△ACE,
∴ BD=AE,AD=CE.
又A、D、E三点在同一直线上,
∴ AE=AD+DE,
即BD=DE+CE.
(2)当△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE.
点拨:本题主要考查全等三角形性质的应用.
(1)由△BAD≌△ACE知,BD=AE,AD=CE,
又A、D、E三点在同一直线上,借助线段的和差及线段的等量转化即可得到结论.
(2)根据平行线的性质,只要∠BDE=∠E,便可得到BD∥CE,这时只需BD⊥AE或∠ADB=90°即可.
题型4：利用“SSS”证明三角形全等
【例4】如图,点A、E、C、F在同一条直线上,AB=FD,BC=DE,AE=FC.求证:△ABC≌△FDE.
解:∵ AE=FC,∴ AE+EC=FC+CE,即AC=FE.
在△ABC和△FDE中,∴ △ABC≌△FDE(SSS).
?
点拨:在两个三角形中,已经知道了两条对应边相等,即AB=FD,BC=DE,还缺少一个条件,可以找两边的夹角,也可以找边.本题中已知AE=FC,所以可以寻求第三条对应边相等.?
题型5：“SSS”证明三角形全等在实际生活中的应用
?【例5】曙光中学师生自己动手新建一条水泥路(如图),为检验这条水泥路的两边缘l1,l2是否平行,小鹏同学手中只有米尺,他先在此水泥路的一边缘l1上取两点A、B,在此水泥路的另一边缘l2上取两点C、D,并且使CD=AB,然后用手中的米尺测得AC=BD.小鹏由此便确定此水泥路的两边缘l1,l2是平行的,你知道其中的道理吗?
解:如图,连接AD.在△ABD与△DCA中
,
???
∴ △ABD≌△DCA(SSS).∴ ∠BAD=∠CDA.∴ l1∥l2.
题型6：利用SAS证明三角形全等
【例6】如图,点C是线段AB的中点,CE=CD,∠ACD=∠BCE.求证:AE=BD.
解:∵ 点C是线段AB的中点,∴ AC=BC.
∵ ∠ACD=∠BCE,∴ ∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中,
?∴ △ACE≌△BCD(SAS).∴ AE=BD.
?
点拨:要证明AE=BD,可以证明△ACE和△BCD全等,由于两个三角形中具备AC=BC,CE=CD两条边相等,所以只要再具备夹角相等即可.
题型7：用SAS证明三角形全等解决问题
【例7】如图,已知在△ABC中,AB=12,AC=8,AD是BC边上的中线,求AD的取值范围.
解:如图,延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.
∵ AD是BC边上的中线,∴ BD=CD.
在△BDE和△CDA中,
∴ △BDE≌△CDA.∴ BE=AC=8.
在△ABE中,AB-BE
点拨:欲求AD的取值范围,联想到三角形三边的关系定理,必须把AD和与AD相关的已知线段移到同一个三角形中去,故可延长AD到点E,使DE=AD.连接BE.若能证明△BDE≌△CDA,则有BE=AC,而AE=2AD,在△ABE中不难求出AD的取值范围.
题型8：利用“ASA”证明两个三角形全等
【例8】如图,点A、B、C、D在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD.求证:AE=FC.
解:∵ BE∥DF,∴ ∠ABE=∠D.
在△ABE和△FDC中,∠ABE=∠D,AB=FD,∠A=∠F,
∴ △ABE≌△FDC(ASA).∴ AE=FC.
点拨:要证明AE=FC,可以证明△ABE和△FDC全等.由BE∥DF,可知∠ABE=∠D.由已知可知两个三角形还具备AB=FD,∠A=∠F,所以根据ASA可以证明两个三角形全等.
题型9：利用“AAS”证明两个三角形全等
【例9】两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O为边AC和DF的交点,不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等?为什么?
解:不重叠的两部分全等.
理由如下:
∵ 三角形纸板ABC和DEF完全相同,
∴ AB=DB,BC=BF,∠A=∠D,
∴ AB-BF=BD-BC,即AF=DC.
在△AOF和△DOC中
,
∴ △AOF≌△DOC.
点拨:根据三角形纸板ABC和DEF完全相同,可得∠A=∠D, AB=DB,BC=BF,进一步得出AF=CD,由∠AOF=∠DOC可判定两个三角形全等.
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题型10：利用“HL” 证明两个三角形全等
【例10】如图,AC=AD,∠C=∠D=90°,求证:BC=BD.
????????????
证明:在Rt△ABC和Rt△ABD中,
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).
∴BC=BD(全等三角形的对应边相等).
点拨：本题条件中已知两三角形为直角三角形,可考虑利用HL证明.
题型11：灵活选择方法证明三角形全等
【例11】如图,两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图(1)摆放,使直角顶点重合. 将图(1)中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图(2),点F、G分别是CD、DE与AB的交点,点H是DE与AC的交点.
(1)不添加辅助线,写出图(2)中所有与△BCF全等的三角形;
(2)将图(2)中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C,点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1?,如图(3).探究线段D1F1与AH1之间的数量关系,并写出推理过程;
(3)在(2)的条件下,若D1E1与CE交于点I,求证:G1I=CI.
???????????
(1)????????????? (2) ????????????????(3)
解:(1)图(2)中与△BCF全等的有△GDF、 △GAH、△ECH.
(2)D1F1=AH1.
证明如下∵ ∠A=∠D1=30°,CA=CD1,∠F1CA=∠H1CD1,
∴ △AF1C ≌△D1H1C.∴ F1C=H1C.
又 CD1=CA,∴ CD1-F1C=CA-H1C,即D1F1=AH1.
(3)如图,连接CG1.
在△D1G1F1和△AG1H1中,
∵ ∠D1=∠A,∠D1G1F1=∠AG1H1,D1F1=AH1,
∴ △D1G1F1?≌△AG1H1.∴ G1F1=G1H1.
又 H1C=F1C,G1C=G1C,∴ △CG1F1≌△CG1H1.∴ ∠1=∠2.
∵ ∠B=60°,∠BCF=30°,∴ ∠BFC=90°.
又 ∠DCE=90°,∴ ∠BFC=∠DCE.∴ BA∥CE.
∴ ∠1=∠3.∴ ∠2=∠3.∴ G1I=CI.
点拨:(1)本题要结合直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半,以及ASA判定三角形全等的方法解决;(2)首先根据ASA证明△AF1C ≌△D1H1C,然后再根据全等三角形的性质得到线段相等,进而求解.(3)首先根据AAS证明三角形全等,然后再依据全等三角形的性质和三角形中各角之间的关系求解.
题型12：利用全等三角形证两直线平行与垂直
【例12】如图,已知:点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AC=DF.能否由上面的已知条件证明AB∥ED?如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使AB∥ED成立,并给出证明.
供选择的三个条件(请从其中选择一个):
①AB=DE;②BC=EF;③∠ACB=∠DFE.
解:由上面两条件不能证明AB∥ED.有两种添加方法.
第一种:FB=CE,AC=DF,添加①AB=DE.
证明如下:因为FB=CE,所以BC=EF,又AC=DF,AB=DE,所以△ABC≌△DEF(SSS).所以∠ABC=∠DEF,所以AB∥ED.
第二种:FB=CE,AC=DF,添加③∠ACB=∠DFE.
证明如下:因为FB=CE,所以BC=EF,又∠ACB=∠DFE,AC=DF,所以△ABC≌△DEF(SAS).所以∠ABC=∠DEF,所以AB∥ED.
点拨：两直线平行的判定方法是“同位角相等,两直线平行”或“内错角相等,两直线平行”或“同旁内角互补,两直线平行”,因此在本题中,要使AB∥ED,只需证∠ABC=∠DEF,这可化归为证“全等三角形的对应角相等”,而题中给出全等的两个条件后,尚缺一个条件,通过题中给出的条件,添加一个,可以满足SSS或SAS,问题便可以解决了.
题型13：利用全等三角形证线段之间的和差关系
【例13】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
证明:(1)因为E是CD的中点,所以DE=CE.
因为AD∥BC,所以∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE.
所以△ADE≌△FCE.所以FC=AD.
(2)因为△ADE≌△FCE,所以AE=FE.又因为BE⊥AE,
所以在△ABE和△FBE中,
所以△ABE≌△FBE,所以AB=FB.
因为FB=BC+FC=BC+AD.所以AB=BC+AD.
点拨：当题中出现“平行+中点”的条件时,根据“AAS”或“SAS”定理容易证得全等三角形,从而得到相等的角或边;欲证一线段等于另两线段之和,可通过“延长”的方法将所证两线段合为一线段,再证其与另一线段相等,当然,也可利用“截取”的方法将最长线段一分为二,分别等于另外两线段.
题型14：利用角平分线条件求距离与角
【例14】如图,AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为 .?
答案:4
点拨:如图,过点P作PM⊥AD于点M,PN⊥BC于点N,则M、N、P三点共线.
?????????
∵ BP平分∠ABC,AP平分∠BAD,PE⊥AB于点E,
PM⊥AD于点M,PN⊥BC于点N,
∴ PN=PE=PM(角平分线上的点到角两边的距离相等).
∵ PE=2,∴ PM=PN=2. ∴ MN=4.
题型15：利用角平分线条件证明角或边相等
【例15】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:
(1)CF=EB;
(2)∠CBA+∠AFD=180°.
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证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE.又∵DF=DB,∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL).∴CF=EB.
(2)由(1)得∠DBE=∠DFC,而∠DFC+∠AFD=180°,
∴∠CBA+∠AFD=180°.
点拨：欲证CF=EB,只需证△DCF≌△DEB.而这两个三角形都是直角三角形,已知BD=DF,还需要证明DC=DE,由角平分线的性质可证得结论.欲证两角互补,有两种方法:其一是邻补角互补,其二是平行线的同旁内角互补.本题所证两角不符合上述条件,所以可通过证全等三角形来将∠CBA转化成∠AFD的邻补角∠CFD即可.
题型16：利用角平分线条件证明线段的和差
【例16】如图 (1),已知AC∥BD,AE、BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由.
????????
(1)?????????????????? ?(2)????????????
解:AB=AC+BD.理由如下:
如图 (2),在AB上截取AF=AC,连接EF.
在△ACE和△AFE中,
∴△ACE≌△AFE(SAS).
?∠6=∠D.
在△EFB和△EDB中
,
∴△EFB≌△EDB(AAS),
∴FB=DB.
∴AC+BD=AF+FB=AB.
点拨：欲证线段a=b+c,通常利用“截长补短”法,如本题的方法一,是在最长线段AB上“截取”AF=AC后,再证BF=BD;而本题的方法二,是在较短线段AC上“补接”CF,再证AB=AF,BD=FC.
