人教版八年级数学上册经典题型汇编
第十三章 轴对称
题型1：对轴对称图形的认识
【例1】如图,在由小正方形组成的L形图中,请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形,使它成为轴对称图形.
题型2：轴对称图形的对称轴 【例2】找出图中的轴对称图形,并说出有几条对称轴.
题型3：有关轴对称图形及轴对称的性质应用
【例3】如图,△ABC与△A'B'C' 关于直线l对称,则∠B的度数为( )
A.30° ??????? B.50°???? ? ?C.90°???? ? D.100°
??????????????????
题型4：线段垂直平分线的性质应用
【例4】如图 (1),有分别过A,B两个加油站的公路l1,l2,l1,l2相交于点O,现准备在∠AOB内建一个油库,要求油库的位置点P满足到A,B两个加油站的距离相等,而且P到两个公路l1,l2的距离也相等.请用尺规作图,作出点P.(不写作法,保留作图痕迹)
???????????
(1) ? ???????
题型5：利用线段垂直平分线的性质及判定解题
【例5】如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( )
A.PA=PB?? B.PO平分∠APB
C.OA=OB?? D.AB垂直平分OP
题型6：作图形的对称轴
【例6】如图,已知线段AB和线段A'B'关于某条直线对称,请你画出这条对称轴.
题型7：利用作对称轴解决实际问题
【例7】如图,校园内有两条路OA、OB,在交叉口附近有两块宣传牌C、D,学校准备在这里安装一盏路灯,要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远,并且到两条路的距离也一样远,请你帮忙画出灯柱的位置P,并说明理由.
题型8：利用作图形的轴对称图形补全图形
【例8】如图,把下列图形补成关于直线l对称的图形.
题型9：利用轴对称图形的性质割补图形
【例9】请你将一个等边三角形分割成三角形或四边形(至少4块),然后将它们重新组合,拼成不同形状的轴对称图形.
题型10：坐标系中的轴对称变换
????【例10】在平面直角坐标系中,对于平面内任一点(m,n),规定以下两种变换:①f(m,n)=(m,-n),如f(2,1)=(2,-1);②g(m,n)=(-m,-n) ,如g(2,1)=(-2,-1).
按照以上变换有:f=f=,那么g等于( )
A.(3,2)?? ??? B.(3,-2) ???????C.(-3,2) ?? ???D.(-3,-2)
题型11：在坐标系中利用轴对称解决问题
【例11】已知点A(a,b)和点B(c,d)关于y轴对称,试求3a+3c+的值.
题型12：在等腰三角形中求边的长度
【例12】已知等腰三角形的底边长为10,周长不大于40,求腰长的取值范围.
题型13：利用等腰三角形的性质求角的度数
【例13】?如图,△ABC中,AC=AD=BD,∠DAC=80°.则∠B的度数是( )
A.40° B.35° C.25° D.20°
?????????????????????????
题型14：利用三角形的性质解决实际问题
? ??【例14】如图是一钢架,∠AOB=10°,为使钢架更加坚固,需要在内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等,则最多可以添加这样的钢管 根.?
题型15：等腰三角形的判定
【例15】如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证:
(1)BC=AD;
(2)△OAB是等腰三角形.
??????????????
题型16：等边三角形的边角计算
【例16】如图,过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为( )
A.?????????? B.?????????? C.??????? D.不能确定
题型17：利用等边三角形证线段和差
【例17】如图,在△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上的一点,∠ADB=60°,E是AD上的一点,且DE=DB.求证:AE=BE+BC.
????????????????????
(1)??????????????? (2)???????????????? (3)
题型18：含30°角的直角三角形的边角关系
【例18】如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1.
(1)求证:AD=BE.
(2)求AD的长.
题型19：特殊直角三角形性质的实际应用
【例19】如图,一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发,小岛P在轮船的北偏西15°方向,轮船每小时航行15海里,11时轮船到达点B处,小岛P此时在轮船的北偏西30°方向.
(1)求PB的距离;
(2)在小岛P的周围20海里范围内有暗礁,如果轮船不改变方向继续向前航行,是否会有触礁危险?请说明理由.
题型20：解决实际生活中的最短路径问题
【例20】如图,在河岸l的同侧有亚运村A和奥运村B,现计划在河边修建一座小型休闲中心P,使P到两村的距离之和最短;另在河两岸架起一座桥Q,使Q与A、B两村的距离相等,试画出P、Q所在的位置.
人教版八年级数学上册经典题型汇编
第十三章 轴对称
题型1：对轴对称图形的认识
【例1】如图,在由小正方形组成的L形图中,请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形,使它成为轴对称图形.
解:根据图中三个图形的特征,利用轴对称的知识可以得到如图13.1-14所示的补充后的轴对称图形.
点拨:本题不同于直接作出一个图形的轴对称图形,而是需要先找准对称轴,然后才能把轴对称图形补充完整.
题型2：轴对称图形的对称轴 【例2】找出图中的轴对称图形,并说出有几条对称轴.
点拨:轴对称图形的特征是将该图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合.因此,判定一个图形是不是轴对称图形的关键是看能否找到一条直线,使得沿此直线折叠时,直线两侧的部分能够重合.
解:(1)是轴对称图形,有3条对称轴;(2)是轴对称图形,有5条对称轴;(3)是轴对称图形,有4条对称轴;(4)是轴对称图形,有1条对称轴;(5)是轴对称图形,有2条对称轴;(6)不是轴对称图形;(7)是轴对称图形,有1条对称轴;(8)是轴对称图形,有1条对称轴;(9)、(10)都不是轴对称图形.
题型3：有关轴对称图形及轴对称的性质应用
【例3】如图,△ABC与△A'B'C' 关于直线l对称,则∠B的度数为( )
A.30° ??????? B.50°???? ? ?C.90°???? ? D.100°
??????????????????
答案:D
点拨:根据轴对称的定义可知,两个图形成轴对称,则它们是全等图形,从而对应元素相等.
题型4：线段垂直平分线的性质应用
【例4】如图 (1),有分别过A,B两个加油站的公路l1,l2,l1,l2相交于点O,现准备在∠AOB内建一个油库,要求油库的位置点P满足到A,B两个加油站的距离相等,而且P到两个公路l1,l2的距离也相等.请用尺规作图,作出点P.(不写作法,保留作图痕迹)
解:作出的点P如图 (2)所示.
???????????
(1) ? ??????? ?(2)
点拨：到两点距离相等的点,在这两点所连线段的垂直平分线上.在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.这两条线的交点就是加油站的位置.
题型5：利用线段垂直平分线的性质及判定解题
【例5】如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( )
A.PA=PB?? B.PO平分∠APB
C.OA=OB?? D.AB垂直平分OP
答案:D
点拨：∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,∴在△AOP与△BOP中,
∴△AOP≌△BOP,
∴结论A,B,C均正确,故选D.
题型6：作图形的对称轴
【例6】如图,已知线段AB和线段A'B'关于某条直线对称,请你画出这条对称轴.
解:如图所示:
点拨:连接AA'或BB'作它们的线段垂直平分线,就是对称轴所在直线.
题型7：利用作对称轴解决实际问题
【例7】如图,校园内有两条路OA、OB,在交叉口附近有两块宣传牌C、D,学校准备在这里安装一盏路灯,要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远,并且到两条路的距离也一样远,请你帮忙画出灯柱的位置P,并说明理由.
解:到∠AOB两边距离相等的点在这个角的平分线上,而到宣传牌C、D的距离相等的点则在线段CD的垂直平分线上,于是如图,交点P即为所求.
点拨:本题根据角的平分线和线段的垂直平分线的性质作图即可.
题型8：利用作图形的轴对称图形补全图形
【例8】如图,把下列图形补成关于直线l对称的图形.
解:如图:
点拨:该图形均由线段构成,可以利用找特殊点(端点)的对称点的方法画轴对称图形,要注意图(2)中图形被直线l穿过的情况.
题型9：利用轴对称图形的性质割补图形
【例9】请你将一个等边三角形分割成三角形或四边形(至少4块),然后将它们重新组合,拼成不同形状的轴对称图形.
解:答案不唯一,如图:
点拨:根据轴对称图形的性质,先分割,再验证,最后确定分法.
题型10：坐标系中的轴对称变换
????【例10】在平面直角坐标系中,对于平面内任一点(m,n),规定以下两种变换:①f(m,n)=(m,-n),如f(2,1)=(2,-1);②g(m,n)=(-m,-n) ,如g(2,1)=(-2,-1).
按照以上变换有:f=f=,那么g等于( )
A.(3,2)?? ??? B.(3,-2) ???????C.(-3,2) ?? ???D.(-3,-2)
解:由题意可得f(-3,2)=(-3,-2),从而g[f(-3,2)]=g(-3,-2)=(3,2),故选A.
点拨：本题定义了两种变换,只要正确理解给出的定义,其中f(m,n)表示将一个点的横坐标不变,纵坐标变为原来的相反数,g(m,n)表示将一个点的横坐标与纵坐标均变为原来的相反数,从而模仿套写即可.
题型11：在坐标系中利用轴对称解决问题
【例11】已知点A(a,b)和点B(c,d)关于y轴对称,试求3a+3c+的值.
解:∵ 点A(a,b)和点B(c,d)关于y轴对称,
∴ a+c=0,b=d.
∴ 3a+3c+=3+=0+2=2.
点拨:两点关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标相等.
题型12：在等腰三角形中求边的长度
【例12】已知等腰三角形的底边长为10,周长不大于40,求腰长的取值范围.
解:设腰长为x.
∵ 等腰三角形两腰相等,∴ 2x+10≤40.
∴ x≤15.
又 底边长为10,两边之和要大于第三边,
∴ x+x>10.∴ x>5.
∴ 腰长的取值范围是5点拨:由等腰三角形的周长不大于40和三角形的两边之和大于第三边可确定两个不等式,腰长的取值范围就是这两个不等式的公共解.
题型13：利用等腰三角形的性质求角的度数
【例13】?如图,△ABC中,AC=AD=BD,∠DAC=80°.则∠B的度数是( )
A.40° B.35° C.25° D.20°
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答案:C
点拨：法一:∵AC=AD,∠DAC=80°,∴∠ADC=∠ACD=50°.∵AD=BD,∴∠DAB=∠ABD,而∠ADC=∠DAB+∠ABD,∴∠ABD=25°,故选C.法二:设∠ABD=x°,∵AD=BD,∴∠DAB=∠ABD=x°,∴∠ADC=∠DAB+∠ABD=2x°.∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC=2x°.∵∠DAC=80°,∴2x+2x+80=180.解之得x=25,故选C.欲求三角形中的某个内角,可从已知条件出发,逐步求解,即由因得果;也可利用方程思想,设所求的角的度数为x°,再执果索因.
题型14：利用三角形的性质解决实际问题
? ??【例14】如图是一钢架,∠AOB=10°,为使钢架更加坚固,需要在内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等,则最多可以添加这样的钢管 根.?
答案:8
点拨:因为OE=EF,所以∠EOF=∠EFO=10°,∠FEG=∠EOF+∠EFO=20°.又因为EF=FG,所以∠EGF=20°.由三角形外角的性质,所得等腰三角形的底角每次增加10°,依次类推.当添加到8根时,此等腰三角形的两底角为80°,底角不能再增加,因此不能再添加同样长度的钢管组成等腰三角形.
题型15：等腰三角形的判定
【例15】如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证:
(1)BC=AD;
(2)△OAB是等腰三角形.
??????????????
解:(1)?∵ AC⊥BC,BD⊥AD,
∴ ∠D=∠C=90°.
在Rt△ACB和Rt△BDA中,AB=BA,AC=BD,
∴ △ACB≌Rt△BDA(HL) .
∴ BC=AD.
(2)由 △ACB≌Rt△BDA得∠CAB=∠DBA,
∴ △OAB是等腰三角形.
点拨:(1)证△ACB≌Rt△BDA ,根据全等三角形的对应边相等可得;(2)证∠OAB=∠OBA,根据等角对等边可得.
题型16：等边三角形的边角计算
【例16】如图,过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为( )
A.?????????? B.?????????? C.??????? D.不能确定
答案:B
点拨：如图所示,作PF∥BC交AC于F,
∵△ABC是等边三角形,∴∠APF=∠ABC=60°,
∠AFP=∠ACB=60°,∴△APF是等边三角形,
∴AP=PF,∵PA=CQ,∴PF=CQ.
在△DPF和△DQC中
,
?∴△DPF≌△DQC,
∴DF=DC,
∵PE⊥AC,
∴E是AF中点,从而ED=AC=,故选B.
因为本题中DE与等边三角形ABC的边长之间无直接联系,所以通过分割,将其分成两部分后,分别证DF=DC和EF=EA,从而求之.
题型17：利用等边三角形证线段和差
【例17】如图,在△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上的一点,∠ADB=60°,E是AD上的一点,且DE=DB.求证:AE=BE+BC.
????????????????????
(1)??????????????? (2)???????????????? (3)
证明：证法一:如图 (1),延长DC到F,使CF=BD,连接AF,
∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等边三角形,∴BE=DB.∴BE=CF.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABD=∠ACF.∵BD=CF,
∴△ABD≌△ACF.∴∠F=∠D=60°,∴△ADF是等边三角形,∴AD=DF,
∴AD-DE=DF-DB,即AE=BF,∴AE=BC+CF=BC+BE.
证法二:如图 (2),延长EB到P,使BP=BC,连接AP,CP.
∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等边三角形,
∴∠CBP=∠DBE=60°,∴△BPC为等边三角形,∴BP=PC.
∵AB=AC,AP=AP,∴△BAP≌△CAP,∴∠BPA=∠CPA,
∵∠PCB=∠D=60°,∴PC∥AD,
∴∠CPA=∠EAP,∴∠EAP=∠BPA,∴AE=EP=BE+BC.
证法三:如图 (3),过C作CM∥BE,交AD于M.
∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等边三角形,
∴∠DBE=60°.∵CM∥BE,∴∠MCD=∠DBE=60°,∠DMC=∠DEB=60°,
∴△DCM为等边三角形,∴CD=MD,∴CD-DB=DM-DE,即BC=EM.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠D+∠DAB=∠DCM+∠MCA.
∵∠D=∠MCD=60°,∴∠DAB=∠MCA.∵MC∥BE,∴∠CMA=∠AEB,
∴△ABE≌△CAM.∴AM=BE,∴AE=AM+EM=BE+BC.
点拨：欲证一线段等于另两线段之和,可利用“截长补短”之法.本题条件蕴含着等边三角形,所以有相等的边与角,从而有全等的三角形,由此得证.
题型18：含30°角的直角三角形的边角关系
【例18】如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1.
(1)求证:AD=BE.
(2)求AD的长.
解：(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,
AB=AC.又AE=CD,∴△ABE≌△CAD(SAS),∴BE=AD.
(2)解:∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.
∵∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠PAE
=∠BAC=60°,又∵BQ⊥AD,∴∠PBQ=30°,
∴PB=2PQ=6,∴BE=PB+PE=7,∴AD=BE=7.
点拨：因为等边三角形的三条边都相等,三个角都等于60°,所以在等边三角形中容易找到全等三角形,本题第(1)题就是通过全等三角形证两线段相等;在第(1)题的基础上,可求得∠BPQ的度数,从而联想直角三角形中含30°角的性质求得PB之长,再求AD的长.
题型19：特殊直角三角形性质的实际应用
【例19】如图,一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发,小岛P在轮船的北偏西15°方向,轮船每小时航行15海里,11时轮船到达点B处,小岛P此时在轮船的北偏西30°方向.
(1)求PB的距离;
(2)在小岛P的周围20海里范围内有暗礁,如果轮船不改变方向继续向前航行,是否会有触礁危险?请说明理由.
解:(1)过点P作PE⊥AB,垂足为E,由题意,得∠PAB=15°,∠PBC=30°.
∴ ∠BPA=∠PBC-∠A=15°.∴ BP=BA.
又AB=3×15=45海里,∴ BP=45海里.
(2)∵ PE⊥AB,∠PBC=30°,∴ PE=BP=22.5海里,
∵ 22.5海里>20海里,
∴ 如果轮船不改变方向继续向前航行,不会有触礁危险.
点拨:过点P作PE垂直于AB的延长线,垂足为E,根据三角形的外角可知∠BPA=∠A,使得BP=AB,所以可以求出BP的距离;在(2)中,只要求出PE的长即可,可以根据直角三角形中30°角的性质解决.
题型20：解决实际生活中的最短路径问题
【例20】如图,在河岸l的同侧有亚运村A和奥运村B,现计划在河边修建一座小型休闲中心P,使P到两村的距离之和最短;另在河两岸架起一座桥Q,使Q与A、B两村的距离相等,试画出P、Q所在的位置.
解:如图.
(1)作点B关于直线l的对称点B';
(2)连接AB',交直线l于点P,则点P就是所求的小型休闲中心的位置;
(3)连接AB;
(4)作线段AB的垂直平分线,交直线l于点Q,则点Q就是所求的桥的位置.
点拨:要使点P到两村的距离最短,可知点P一定是点B关于河岸l的对称点B'和点A的连线与河岸l的交点;点Q与A、B两村的距离相等,则表明点Q在线段AB的垂直平分线上.
