4.1.1 成比例线段学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第四章　图形的相似
1　成比例线段
第1课时　成比例线段
要 点 讲 解
要点一　线段的比
1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n或写成＝.其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k，那么＝k或AB＝k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比.
2. 在理解两条线段的比的定义时需抓住两点：①两条线段的比是指两条线段长度的比；②求两条线段长度的比时一定要选用同一个单位长度.
3. 两条线段的比值是一个运算结果，是没有单位的正实数.?
4. 两条线段的比是有先后顺序的.若写线段AB与线段CD的比，就必须把表示线段AB长度的数写在前面或分数线上面?前项?，把表示线段CD长度的数写在后面或分数线下面?后项?.
经典例题1　已知线段AB＝2.5m，线段CD＝400cm，求线段AB与线段CD的比.
解析：欲求线段AB与线段CD的比，只需根据线段的比的定义，将线段AB和线段CD的单位统一即可.
解：(方法1)∵AB＝2.5m＝250cm，
∴＝＝.
(方法2)∵CD＝400cm＝4m，∴＝＝.
要点二　成比例线段
1. 定义：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.若＝，则b叫做a，c的比例中项.
2. 成比例线段是有顺序的，即若a，b，c，d是成比例线段，则a∶b＝c∶d，而不能写成a∶b＝d∶c.?
3. 判断四条线段是否成比例，只要把这四条线段按大小顺序排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可.
4. 拓展：比例尺＝.注意图上距离与实际距离的单位必须统一.
经典例题2　判断下列各组线段是否成比例.
(1)a＝3cm，b＝5cm，c＝7cm，d＝4cm；
(2)a＝3cm，b＝20m，c＝6cm，d＝10m.
解析：当四条线段的长度单位不相同时，先统一单位，再把它们按从小到大(或从大到小)的顺序排列，然后依次计算前两个数的比与后两个数的比，看这两个比值是否相等即可.
解：(1)∵四条线段的数值按从小到大的顺序排列为3，4，5，7，∴＝，＝.∵≠，∴≠.∴这四条线段不成比例.
(2)a＝3cm，b＝20m＝2000cm，c＝6cm，d＝10m＝1000cm.∵四条线段的数值按从小到大的顺序排列为3，6，1000，2000，∴＝＝，＝＝，∴＝，∴这四条线段成比例.
要点三　比例的基本性质
如果＝，那么ad＝bc.
如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
经典例题3　若＝，则的值是(　　　)
A. －5　　 B. 5　　 C. －4　　 D. 4
解析：运用比例的基本性质得a＝2b.所以＝＝5.
答案：B
易错易混警示　解决比例线段中的开放题
经典例题4　已知三条线段的长分别为1cm，4cm，9cm，请你再添加一条线段，使这四条线段为成比例线段，求所添加线段的长.
解析：由于题目中对添加线段所在的位置没有明确要求，而其所在的位置不同，长度也可能不同，因此应按添加线段所在的不同位置分类讨论.
解：设所添加线段的长为xcm，当1∶4＝9∶x时，解得x＝36；当1∶4＝x∶9时，解得x＝；当x∶1＝4∶9时，解得x＝.
答：所添加线段的长为36cm或cm或cm.
当 堂 检 测
1. 一把矩形米尺长1m，宽3cm，则这把米尺的长与宽的比为(　　)
A. 100∶3 B. 1∶3 C. 10∶3 D. 1000∶3
2. 已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB之比为(　　)
A. 3∶4 B. 2∶3 C. 3∶5 D. 1∶2
3. 如果＝，那么下列式子中一定成立的是(　　)
A. 2x＝3y B. 3x＝2y C. x＝2y D. xy＝6
4. 下列四条线段成比例的是(　　)
A. 1cm，2cm，4cm，6cm B. 3cm，4cm，7cm，8cm
C. 2cm，4cm，8cm，16cm D. 1cm，3cm，5cm，7cm
5. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，则AC∶AB＝　 　，OA∶OD＝ .
6. 在比例尺为1∶40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是 km.
7. 已知线段a，b，c满足＝＝≠0，且a＋2b＋c＝26.
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x.
当堂检测参考答案
1. A 2. A 3. B 4. C
5. ∶1 1∶1
6. 2.8
7. 解：(1)设＝＝＝k(k≠0)，∴a＝3k，b＝2k，c＝6k.∵a＋2b＋c＝26，∴3k＋4k＋6k＝26，即k＝2.∴a＝6，b＝4，c＝12.　
(2)∵线段x是线段a，b的比例中项，∴x2＝ab.又∵a＝6，b＝4，∴x＝2(负值舍去).