4.3 相似多边形学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第四章　图形的相似
3　相似多边形
要 点 讲 解
要点一　相似多边形
1. 相似多边形：各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似可以用符号“∽”表示，读作“相似于”.在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
2. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.
3. 相似多边形的相似比具有方向性.例如：若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的相似比为k，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比为.?
4. 全等多边形是相似比为1的相似多边形的特殊情况.
经典例题1　两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，则这两个多边形的相似比可能是(　　　)
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 
解析：两个多边形的相似比是＝或＝，则相似比可能是或.
答案：D
要点二　相似多边形的性质
1. 如果两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.
2. 常用来求相似多边形中未知数的长度和角的度数.
经典例题2　如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.
解析：(1)矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，就可以得到AD的长；(2)相似比即是对应边的比.
解：(1)由已知得MN＝AB，MD＝AD＝BC，
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴＝，
∵MN＝AB，DM＝AD，BC＝AD，∴AD2＝AB2，由AB＝4，得AD＝4.
(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为＝＝.
易错易混警示　忽略相似多边形的对应关系的多种可能性
经典例题3　已知两个矩形相似，其中一个两邻边长分别为3和2，另一个两邻边长分别为1.5和x，则x＝________.
答案：1或2.25
点拨：本题易误认为只存在一种情况：3与1.5是对应边.因为对应边没有明确，所以要分类讨论：①当3与1.5是对应边时，＝，解得x＝1；②当3与x是对应边时，＝，解得x＝2.25.综上所述，x的值为1或2.25.
当 堂 检 测
1. 下列说法正确的是(　　)
A. 任意两个等腰三角形都相似 B. 任意两个菱形都相似
C. 任意两个正五边形都相似 D. 对应角相等的两个多边形相似
2. 矩形甲、乙、丙的长和宽如图所示(单位：cm)，则其中是相似图形的是(　　)
A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 甲、乙和丙
3. 如果六边形ABCDEF∽六边形A′B′C′D′E′F′，∠B＝62°，那么∠B′的度数为(　　)
A. 28° B. 118° C. 62° D. 54°
4. 若四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且AB∶A′B′＝1∶2.已知BC＝8，则B′C′的长为(　　)
A. 4 B. 16 C. 24 D. 64
5. 六边形ABCDEF相似于六边形A′B′C′D′E′F′，若对应边AB与A′B′的长分别为50cm和40cm，则六边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比是(　　)
A. 5∶4 B. 4∶5 C. 5∶2 D. 2∶
6. 若△ABC∽△A′B′C′，相似比为，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，则A′C′＝ ，B′C′＝　 　，A′B′＝　 　，∠C′＝ 度.
7. 如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由.
8. 为了铺满一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，为了使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：
(1)每块地砖的长与宽分别为多少？
(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试说明你的理由.
当堂检测参考答案
1. C 2. C 3. C 4. B 5. B
6. 5   90
7. 解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似.理由：由已知条件得，∠DAB＝∠D′A′B′，∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，＝＝＝＝，所以它们相似.
8. 解：(1)设每块地砖的长为acm，宽为bcm，由题图可知4b＝60.即b＝15.因为a＋b＝60，所以a＝60－b＝45，所以每块地砖的长为45cm，宽为15cm.　
(2)不相似.理由：因为所铺成的矩形地面的长为2×45＝90(cm)，宽为60cm，所以＝＝，而＝＝，≠，即所铺成的矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例，所以它们不相似.