4.4.1 相似三角形的定义及其判定定理1学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第四章　图形的相似
4　探索三角形相似的条件
第1课时　相似三角形的定义及其判定定理1
要 点 讲 解
要点一　相似三角形的定义
1. 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
用图形表示为：如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝，那么△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.
2. 相似三角形的定义既表述了相似三角形“对应角相等，对应边成比例”的特征，又表述了相似三角形的一种识别方法.?
3. 在记两个三角形相似时，应把表示对应角的顶点的字母写在对应的位置上，以便为有关相似三角形的计算或说理提供方便.
4. 拓展：三角形的相似具有传递性，即若△ABC∽△A1B1C1，△A2B2C2∽△A1B1C1，则△ABC∽△A2B2C2.
经典例题1　下列说法中错误的是(　　　)
A. 两个全等的三角形一定相似
B. 两个直角三角形一定相似
C. 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D. 相似的两个三角形不一定全等
解析：全等三角形的对应角相等，对应边的比为1∶1，全等三角形是特殊的相似三角形，A正确；两个直角三角形不一定相似，如含30°角的直角三角形与含45°角的直角三角形对应角不相等，所以也就不相似，B错误；相似多边形的对应角相等，对应边成比例，那么相似三角形也是如此，C正确；对应角相等，对应边的比为1∶2的两个三角形相似，但不全等，D正确.
答案：B
要点二　相似三角形的判定定理1
1. 定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
当给出的已知条件以角为主时，常考虑使用“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法判定两个三角形相似.
如图所示，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
2. 使用这个条件时，“两角对应相等”中的“对应”二字是可以去掉的，只要一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形就一定相似.
3. 拓展：(1)在两个直角三角形中，如果有一组锐角相等，那么这两个直角三角形相似；(2)在两个等腰三角形中，如果顶角相等，那么这两个等腰三角形相似.
经典例题2　如图，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，CE，BD相交于点O，找出与△AEC相似的三角形，并说明理由.
解析：根据题意，△AEC是直角三角形，要找与△AEC相似的三角形，则找图中的直角三角形，然后运用判定定理证明.
解：△AEC∽△ODC，△AEC∽△ADB，△AEC∽△OEB.理由：∵CE，BD分别是AB，AC边上的高，∴∠AEC＝∠CDO＝90°.又∵∠DCO＝∠ECA，∴△AEC∽△ODC.∵∠AEC＝∠ADB＝90°，∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB.∵∠BEO＝∠AEC＝90°，∠ACE＋∠A＝90°，∠ABD＋∠A＝90°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△AEC∽△OEB.
易错易混警示　确定三角形相似时出现漏解情况
经典例题3　如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点M在AB上，且AM＝3，点N在AC上，连接MN，若△AMN与原三角形相似，求AN的长.
解：(1)当△AMN∽△ABC时，由图(1)可得＝，∴AN＝＝＝2.
(2)当△AMN∽△ACB时，由图(2)可得＝，∴AN＝＝＝.
综上所述，AN的长为2或.
当 堂 检 测
1. 如图，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE＝∠C，则AD∶AC等于(　　)
A. AE∶AC B. DE∶BC C. AE∶BC D. DE∶AB

第1题 第2题
2. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(　　)
A. 1对　　 B. 2对 C. 3对 　 D. 4对
3. 如图，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD∶DC＝5∶3，则DE的长等于(　　)
A.  B.  C.  D. 

第3题 第4题
4. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD平分∠ABC，∠ACE＝∠ABD，与△BEF一定相似的三角形是(　　)
A. △BFC B. △BDC C. △BDA D. △CEA
5. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为 .
6. 如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D.
求证：△ABC∽△AED.

7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝14，AC＝7，D是BC上一点，BD＝8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长.

当堂检测参考答案
1. B 2. C 3. B 4. B
5. 5
6. 证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠EAD.又∵∠C＝∠D，∴△ABC∽△AED.
7. 解：∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°.∵∠C＝90°，∴∠BED＝∠C.又∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA，∴＝，∴DE＝＝＝4.