课件36张PPT。1-3-2进位制
一、选择题
1．333(4)是( )
A．十进制数 B．四进制数
C．三进制数 D．二进制数
[答案] B
2．k进制数32501(k)，则k不可能是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
[答案] A
[解析] k进制数中各个数字均小于k，则k≠5.
3．下列写法正确的是( )
A．751(16) B．751(7) C．095(12) D．901(2)
[答案] A
4．101(9)化为十进制数为( )
A．9 B．11 C．82 D．101
[答案] C
[解析] 101(9)＝1×92＋0×91＋1×90＝82.
5．把189化为三进制数，则末位数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] A
[解析]
则末位数是0.[来源
6．已知一个k进制数132与十进制数30相等，那么k等于( )
A．7或4 B．－7 C．4 D．都不对
[答案] C
[解析] ∵132(k)＝1×k2＋3×k1＋2×k0＝k2＋3k＋2，
∴k2＋3k＋2＝30，
即k2＋3k－28＝0.
解得k＝4或k＝－7(舍去)．
7．下列各数转化成十进制后最小的数是( )
A．111 111(2) B．210(6)
C．1 000(4) D．81(9)
[答案] A
[解析] 将它们都化为十进制数为：A表示63，B表示78，C表示64，D表示73.
8．三位七进制的数表示的最大的十进制的数是( )
A．322 B．332 C．342 D．352
[答案] C
[解析] 三位七进制数中最大的为666(7)＝6×72＋6×7＋6＝342.
9．类似于十进制中逢10进1，十二进制的进位原则是逢12进1，采用数字0,1,2，…，9和字母M，N共12个计数符号，这些符号与十进制的对应关系如下表：
十二进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
M
N
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
例如，由于563＝3×122＋10×12＋11，所以十进制中563在十二进制中就被表示为3MN，那么十进制中的2010在十二进制中被表示为( )
A．11N6 B．6N11 C．12N4 D．1N24
[答案] A
[解析] 2010＝1×123＋1×122＋11×12＋6＝(11N6)(12)．
10如图是将二进制数11 111(2)化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是( )
A．i≤5 B．i≤4
C．i>5 D．i>4
[答案] D
二、填空题
11．(1)十进制数化为k进制数是采取________，即用k连续去除十进制数或所得的商，最后将余数________写出．
(2)k进制数化为十进制数是把k进制数写成________________的形式，再计算出结果即可．[来源:。K]
[答案] (1)除k取余法 倒排
(2)各位上的数字与k的幂的乘积之和
12．103(5)化为十进制数为________．
[答案] 28
[解析] 103(5)＝1×52＋0×51＋3×50＝28.
13．若k进制数132(k)与二进制数11 110(2)相等．则k＝________.
[答案] 4
[解析] 将这两个数都转化为十进制数，132(k)＝k2＋3k＋2,11 110(2)＝24＋23＋22＋21＝30，
∴k2＋3k＋2＝30，解之得k＝4或k＝－7(舍去)．
[点评] 在k进制中，共有k个数字符号．它们是0,1,2,3，…，(k－1)．如十进制有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字符号．五进制中有0,1,2,3,4五个数字符号．
14．古时候，当边境有敌人来侵时，守边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告．如图，烽火台上点火表示二进制数1，不点火表示数字0，约定二进制数对应十进制的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示有________名敌人入侵．
[答案] 27 000
[解析] 由题图可知这组烽火台表示二进制数为11 011，它表示的十进制数为11 011(2)＝27，由于十进制的单位是1 000，所以入侵敌人的人数为27 000.
三、解答题
15．已知175(8)＝120＋r，求正整数r.
[解析] ∵175(8)＝1×82＋7×81＋5×80＝125，
∴125＝120＋r.
∴r＝5，即所求正整数r为5.
16．已知44(k)＝36，把67(k)转化为十进制数．[来源:学。
[解析] 由题意得36＝4×k1＋4×k0，则k＝8.
故67(k)＝67(8)＝6×81＋7×80＝55.
17．把八进制数2011(8)化为五进制数．
[分析] →→[来源:Z§xx§k.Com]
[解析] 2011(8)＝2×83＋0×82＋1×81＋1×80
＝1 024＋0＋8＋1＝1 033.
∴2011(8)＝13113(5)．
[点评] 把一个非十进制数转化为另一个非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后把十进制数再转化为另一个非十进制数．
18．若10y1(2)＝x02(3)，求数字x，y的值及与此两数等值的十进制数．
[分析] 由二进制及三进制可知，y∈{0,1}，x∈{1,2}，将二进制数和三进制数都转化为十进制数，再由两数相等及x、y的取值范围可得出x、y的值．
[解析] ∵10y1(2)＝x02(3)，
∴1×23＋0×22＋y×2＋1＝x×32＋0×3＋2，
将上式整理得9x－2y＝7，
由进位制的性质知，
x∈{1,2}，y∈{0,1}，
当y＝0时，x＝(舍)，
当y＝1时，x＝1.
∴x＝y＝1，已知数为102(3)＝1011(2)，
与它们相等的十进制数为[来
1×32＋0×3＋2＝11.
1.3.1进位制
教学要求：了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换；学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律.
教学重点：各种进位制之间的互化.
教学难点：除k取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图及其程序的设计.
教学过程：
知识探究(一):进位制的概念
思考1:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七进制；每十二个月为一年，就是十二进制，每六十秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进制；等等.一般地，“满k进一”就是k进制，其中k称为k进制的基数.那么k是一个什么范围内的数？
思考2:十进制使用0～9十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？
思考3:在十进制中10表示十，在二进制中
10表示2.一般地，若k是一个大于1的整数，则以k为基数的k进制数可以表示为一串数
字连写在一起的形式：anan-1…a1a0(k).其中各个数位上的数字an，an-1，…，a1，a0的取值范围如何？
思考4:十进制数4528表示的数可以写成4×103+5×102+2×101+8×100，依此类
比，二进制数110011(2),八进制数7342(8)分别可以写成什么式子？
110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20
7342(8)=7×83+3×82+4×81+2×80.
思考5:一般地，如何将k进制数anan-1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式？
思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少？
知识探究(二):k进制化十进制的算法
思考1:二进制数110011(2)化为十进制数是什么数？
110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 =32+16+2+1=51.
思考2:二进制数右数第i位数字ai化为十进制数是什么数？
例1 将下列各进制数化为十进制数.
(1)10303(4) ； (2)1234(5).
10303(4)=1×44+3×42+3×40=307.
1234(5)=1×53+2×52+3×51+4×50=194.
知识探究(三):除k取余法
思考1:二进制数101101(2)化为十进制数是什么数？十进制数89化为二进制数是什么数？
思考2:上述化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法，转化过程有些复杂，观察下面的算式你有什么发现吗？
思考3:上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法，那么十进制数191化为五进制数是什么数？
191=1231(5)
例2 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.
458=13022(4)=2042(6)
例3 将五进制数30241(5)转化为七进制数.
30241(5)=3×54+2×52+4×5+1=1946.
30241(5)=5450(7)
例4 已知10b1(2)=a02(3),求数字a，b的值.
10b1(2)=1×23+b×2+1=2b+9.
a02(3)=a×32+2=9a+2.
所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7.
故a=1，b=1.
小结作业
1.利用除k取余法，可以把任何一个十进制数化为k进制数，并且操作简单、实用.
2.通过k进制数与十进制数的转化，我们也可以将一个k进制数转化为另一个不同基数的k进制数.
作业：习案、学案 十
1. 3算法案例
【教学目标】：
1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
【教学重难点】：
重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
【教学过程】：
情境导入：
1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？
2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。
新知探究：
1.辗转相除法
例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）
解：8251＝6105×1＋2146
显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
6105＝2146×2＋1813
2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148
333＝148×2＋37
148＝37×4＋0
则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；
第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；
第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；
……
依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn-1即为所求的最大公约数。
练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）
2.更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译出来为：
第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98与63的最大公约数是7。
练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。（答案：12）
比较辗转相除法与更相减损术的区别：
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到
3. 秦九韶算法
秦九韶计算多项式的方法
令，则有，
其中.这样，我们便可由依次求出；
显然，用秦九韶算法求n次多项式的值时只需要做n次乘法和n次加法运算
4.进位制
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制.现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数.
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示.比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的.
表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.
（1）.k进制转换为十进制的方法：
，
（2）.十进制转化为k进制数b的步骤为：
第一步，将给定的十进制整数除以基数k，余数便是等值的k进制的最低位；
第二步，将上一步的商再除以基数k，余数便是等值的k进制数的次低位；
第三步，重复第二步，直到最后所得的商等于0为止，各次所得的余数，便是k进制各位的数，最后一次余数是最高位，即除k取余法.
要点诠释：
1、在k进制中，具有k个数字符号.如二进制有0，1两个数字.
2、在k进制中，由低位向高位是按“逢k进一”的规则进行计数.
3、非k进制数之间的转化一般应先转化成十进制，再将这个十进制数转化为另一种进制的数，有的也可以相互转化.
【反馈测评】：
1．求324、243、135这三个数的最大公约数。
求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。
2．用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减
98－63＝35
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝21
14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
3．已知一个五次多项式为用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。
解：将多项式变形：按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：
，，，
，所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
4．将二进制数110011(2)化成十进制数
解：根据进位制的定义可知
所以，110011（2）=51。
【板书设计】：
1.3算法案例
课前预习学案
一、预习目标
1、理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
2、理解秦九韶算法的思想。
二、预习内容
什么是进位制？最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明．
三、提出疑惑
思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？
课内探究学案
学习目标
1. 会用辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
2. 会利用秦九韶算法求多项式的值。
3．各进位制之间能灵活转化。
二、学习重难点：
重点：辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法和秦九韶算法求多项式的值。
难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
学习过程
辗转相除法思路：可以利用除法将大数化小,找两数的最大公约数.(适于两数较大时)
(1)用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数；
(2)若＝0,则n为m,n的最大公约数；若≠0,则用除数n除以余数得到一个
和一个余数；(3)若＝0,则为m,n的最大公约数;若≠0,则用除数除以余数得到一个商和一个余数；……依次计算直至＝0，此时所得到的即为所求的最大公约数.
例题1：求两个正数1424和801的最大公约数.
①以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法.
②由上述步骤可以看出，辗转相除法中的除法是一个反复执行的步骤，且执行次数由余数 是否等于0来决定,所以可把它看成一循环体,写出辗转相除法完整的程序框图和程序语言.
教学更相减损术：我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 在《九章算 术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置 分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.
翻译为：(1) 任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执 行第二步.
(2) 以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小
数. 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最
大公约数.
例题2. 用更相减损术求91和49的最大公约数.
秦九韶算法：
（1）设计求多项式当x=5时的值的算法，并写出程序。
（2）有没有更高效的算法？能否探求更好的算法，来解决任意多项式的求解问题？
引导学生把多项式变形为：
并提问：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x的系数依次是什么？
用秦九韶算法求多项式的值，与多项式组成有直接关系吗？用秦九韶算法计算上述多项式的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算？秦九韶算法适用于一般的多项式的求值问题吗？
怎样用程序框图表示秦九韶算法？观察秦九韶算法的数学模型，计算时要用到的值，若令，我们可以得到下面的递推公式：
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。请画出程序框图。
例题3．已知一个五次多项式为用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。
进位制：
我们了解十进制吗？所谓的十进制，它是如何构成的？其它进位制的数又是如何的呢？
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。
例题4．将二进制数110011(2)化成十进制数
精讲点拨：
1．求两个正数8251和2146;228和1995;5280和12155的最大公约数.
2． 求两个正数8251和2146的最大公约数.
3.用秦九韶算法计算多项式
在x=-4时的值时,V3的值为 ：
反思总结：
比较辗转相除法与更相减损术的区别
(1)都是求 的方法，计算上辗转相除法以 法为主，更相减损术以 法为主，计算次数上 法计算次数相对较少，特别当两个数字 时计算次数的区别较明显．
(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以 则得到，而更相减损术
则以 而得到．
(3)通过对秦九韶算法的学习，你对算法本身有哪些进一步认识？
(4)秦九韶算法在计算一个n次多项式的值时，只要做____次乘法运算和____次加法运算。
课后练习与提高
1、用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是：
A．3 B．9 C．17 D．51
2、将数转化为十进制数为：
A. 524 B. 774 C. 256 D. 260
3、用秦九韶算法计算多项式
当时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是：
A. 6 , 6 B. 5 , 6
C. 5 , 5 D. 6 ，5
参考答案:1D 2B 3A
课件19张PPT。1.3 算法案例 第三课时 问题提出1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正
整数的最大公约数的算法，秦九韶算法是
求多项式的值的算法，将这些算法转化为
程序，就可以由计算机来完成相关运算.2.人们为了计数和运算方便，约定了各种
进位制，这些进位制是什么概念，它们与
十进制之间是怎样转化的？对此，我们从
理论上作些了解和研究.k进制化十进制知识探究(一):进位制的概念 思考1:进位制是为了计数和运算方便而
约定的记数系统，如逢十进一，就是十
进制；每七天为一周，就是七进制；每
十二个月为一年，就是十二进制，每六
十秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，
就是六十进制；等等.一般地，“满k进
一”就是k进制，其中k称为k进制的基数.
那么k是一个什么范围内的数？ 知识探究(一):进位制的概念 思考2:十进制使用0～9十个数字，那么
二进制、五进制、七进制分别使用哪些
数字？ 知识探究(一):进位制的概念 思考3:在十进制中10表示十，在二进制
中10表示2.一般地，若k是一个大于1的
整数，则以k为基数的k进制数可以表示
为一串数字连写在一起的形式：
anan-1…a1a0(k).
其中各个数位上的数字an，an-1，…，
a1，a0的取值范围如何？知识探究(一):进位制的概念 思考4:十进制数4528表示的数可以写成
4×103+5×102+2×101+8×100，依此类
比，二进制数110011(2),八进制数 7342(8)
分别可以写成什么式子？110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×207342(8)=7×83+3×82+4×81+2×80.知识探究(一):进位制的概念 思考5:一般地，如何将k进制数anan-1…
a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂
的乘积之和的形式？知识探究(一):进位制的概念 思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0，
1+1的值分别是多少？知识探究(二):k进制化十进制的算法 思考1:二进制数110011(2)化为十进制数
是什么数？110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1
×21+1×20 =32+16+2+1=51. 知识探究(二):k进制化十进制的算法 思考2:二进制数右数第i位数字ai化为十
进制数是什么数？ai×2i－1知识探究(二):k进制化十进制的算法 思考3:利用运用循环结构，把二进制数
化为十进制数b的算法步骤如何设计？第二步，令b=0，i=1.第四步，判断i>n是否成立.若是，则输
出b的值；否则，返回第三步.第一步，输入a和n的值.第三步， ，i=i+1.知识探究(二):k进制化十进制的算法 思考4:按照上述思路，把k进制数
化为十进制数b的算法
步骤如何设计？第四步，判断i>n 是否成立.若是，则 输出b的值；否则，返回第三步.第一步，输入a，k和n的值.第二步，令b=0，i=1.第三步， ，i=i+1.思考5:上述把k
进制数
化为十进制数b
的算法的程序框
图如何表示？ 思考6:该程序框图对应的程序如何表述？INPUT a，k，nb=0i=1t=a MOD10DOb=b+t*k∧(i-1)a=a/10t=a MOD10i=i+1LOOP UNTIL i>nPRINT bEND理论迁移例1 将下列各进制数化为十进制数.
(1)10303(4) ； (2)1234(5).10303(4)=1×44+3×42+3×40=307.1234(5)=1×53+2×52+3×51+4×50=194. 理论迁移例2 已知10b1(2)=a02 (3),求数字a，b的值.所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7. 10b1(2)=1×23+b×2+1=2b+9.a02(3)=a×32+2=9a+2.故a=1，b=1. 2.用 表示k进制数，其中
k称为基数，十进制数一般不标注基数.小结作业1. k进制数使用0～（k-1）共k个数
字，但左侧第一个数位上的数字（首
位数字）不为0.3.把k进制数化为十进制数的一般算式
是：作业：<<习案>>作业十课件62张PPT。1.3 算法案例 第四课时 问题提出1.“满几进一”就是几进制，k进制使用哪
几个数字，k进制数化为十进制数的一般算
式是什么？问题提出1.“满几进一”就是几进制，k进制使用哪
几个数字，k进制数化为十进制数的一般算
式是什么？问题提出2.利用k进制数化十进制数的一般算式，
可以构造算法，设计程序，通过计算机
就能把任何一个k进制数化为十进制数.
在实际应用中，我们还需要把任意一个
十进制数化为k进制数的算法，对此，
我们作些理论上的探讨.十进制化k进制知识探究(一):除k取余法思考1:二进制数101101(2)化为十进制数是什
么数？十进制数89化为二进制数是什么数？知识探究(一):除k取余法思考1:二进制数101101(2)化为十进制数是什
么数？十进制数89化为二进制数是什么数？101101(2)=25+23+22+1=45. 知识探究(一):除k取余法思考1:二进制数101101(2)化为十进制数是什
么数？十进制数89化为二进制数是什么数？101101(2)=25+23+22+1=45. 89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1知识探究(一):除k取余法思考1:二进制数101101(2)化为十进制数是什
么数？十进制数89化为二进制数是什么数？101101(2)=25+23+22+1=45. 89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1
=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21
+1×20=1011001(2).思考2:上述化十进制数为二进制数的算
法叫做除2取余法，转化过程有些复杂，
观察下面的算式你有什么发现吗？ 思考2:上述化十进制数为二进制数的算
法叫做除2取余法，转化过程有些复杂，
观察下面的算式你有什么发现吗？ 思考3:上述方法也可以推广为把十进
制数化为k进制数的算法，称为除k取
余法，那么十进制数191化为五进制数
是什么数？思考3:上述方法也可以推广为把十进
制数化为k进制数的算法，称为除k取
余法，那么十进制数191化为五进制数
是什么数？思考3:上述方法也可以推广为把十进
制数化为k进制数的算法，称为除k取
余法，那么十进制数191化为五进制数
是什么数？191=1231(5)思考4:若十进制数
a除以2所得的商是q0，余数是r0，
即a=2·q0+ r0；
q0除以2所得的商是q1，余数是r1，
即q0=2·q1+ r1；
……
qn-1除以2所得的商是0，余数是rn，
即qn-1= rn，
那么十进制数a化为二进制数是什么数？a=rnrn-1…r1r0(2)思考4:若十进制数
a除以2所得的商是q0，余数是r0，
即a=2·q0+ r0；
q0除以2所得的商是q1，余数是r1，
即q0=2·q1+ r1；
……
qn-1除以2所得的商是0，余数是rn，
即qn-1= rn，
那么十进制数a化为二进制数是什么数？知识探究(二):十进制化k进制的算法 知识探究(二):十进制化k进制的算法 思考1:根据上面的分析，将十进制数a化
为二进制数的算法步骤如何设计？知识探究(二):十进制化k进制的算法 思考1:根据上面的分析，将十进制数a化
为二进制数的算法步骤如何设计？第一步，输入十进制数a的值.知识探究(二):十进制化k进制的算法 思考1:根据上面的分析，将十进制数a化
为二进制数的算法步骤如何设计？第一步，输入十进制数a的值.第二步，求出a除以2所得的商q，余数r.知识探究(二):十进制化k进制的算法 思考1:根据上面的分析，将十进制数a化
为二进制数的算法步骤如何设计？第一步，输入十进制数a的值.第二步，求出a除以2所得的商q，余数r.第三步，把所得的余数依次从右到左排列.知识探究(二):十进制化k进制的算法 思考1:根据上面的分析，将十进制数a化
为二进制数的算法步骤如何设计？第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步；否
则，输出全部余数r排列得到的二进制数.第一步，输入十进制数a的值.第二步，求出a除以2所得的商q，余数r.第三步，把所得的余数依次从右到左排列.思考2:利用除k取余法，将十进制数a化为
k进制数的算法步骤如何设计？思考2:利用除k取余法，将十进制数a化为
k进制数的算法步骤如何设计？第一步，输入十进制数a和基数k的值.思考2:利用除k取余法，将十进制数a化为
k进制数的算法步骤如何设计？第一步，输入十进制数a和基数k的值.第二步，求出a除以k所得的商q，余数r.思考2:利用除k取余法，将十进制数a化为
k进制数的算法步骤如何设计？第一步，输入十进制数a和基数k的值.第二步，求出a除以k所得的商q，余数r.第三步，把所得的余数依次从右到左排列.思考2:利用除k取余法，将十进制数a化为
k进制数的算法步骤如何设计？第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步； 否则，输出全部余数r排列得到的k进制数.第一步，输入十进制数a和基数k的值.第二步，求出a除以k所得的商q，余数r.第三步，把所得的余数依次从右到左排列.思考3:将除k取余法的算法步骤用程序框图
如何表示？思考3:将除k取余法的算法步骤用程序框图
如何表示？思考3:将除k取余法的算法步骤用程序框图
如何表示？思考3:将除k取余法的算法步骤用程序框图
如何表示？思考3:将除k取余法的算法步骤用程序框图
如何表示？思考3:将除k取余法的算法步骤用程序框图
如何表示？思考3:将除k取余法的算法步骤用程序框图
如何表示？思考3:将除k取余法的算法步骤用程序框图
如何表示？思考3:将除k取余法的算法步骤用程序框图
如何表示？思考3:将除k取余法的算法步骤用程序框图
如何表示？思考3:将除k取余法的算法步骤用程序框图
如何表示？思考4:该程序框图对应的程序如何表述？开始思考4:该程序框图对应的程序如何表述？开始INPUT a，k思考4:该程序框图对应的程序如何表述？开始INPUT a，kb=0思考4:该程序框图对应的程序如何表述？开始INPUT a，ki=0b=0思考4:该程序框图对应的程序如何表述？开始INPUT a，ki=0DOb=0思考4:该程序框图对应的程序如何表述？开始INPUT a，ki=0DOq=akb=0思考4:该程序框图对应的程序如何表述？开始INPUT a，ki=0DOq=akr=a MOD kb=0思考4:该程序框图对应的程序如何表述？开始INPUT a，kb=0i=0DOq=akr=a MOD kb=b+r*10∧i思考4:该程序框图对应的程序如何表述？开始INPUT a，ki=0DOq=akr=a MOD kb=b+r*10∧ii=i+1b=0思考4:该程序框图对应的程序如何表述？开始INPUT a，ki=0DOq=akr=a MOD kb=b+r*10∧ii=i+1a=qb=0思考4:该程序框图对应的程序如何表述？开始INPUT a，ki=0DOq=akr=a MOD kb=b+r*10∧ii=i+1LOOP UNTIL q=0a=qb=0思考4:该程序框图对应的程序如何表述？开始INPUT a，ki=0DOq=akr=a MOD kb=b+r*10∧ii=i+1PRINT bLOOP UNTIL q=0a=qb=0思考4:该程序框图对应的程序如何表述？开始INPUT a，ki=0DOq=akr=a MOD kb=b+r*10∧ii=i+1PRINT bENDLOOP UNTIL q=0a=qb=0理论迁移例1 将十进制数458分别转化为四进制
数和六进制数.理论迁移例1 将十进制数458分别转化为四进制
数和六进制数.理论迁移例1 将十进制数458分别转化为四进制
数和六进制数.理论迁移例1 将十进制数458分别转化为四进制
数和六进制数.458=13022(4)=2042(6)理论迁移例2 将五进制数3241(5)转化为七进制数. 理论迁移例2 将五进制数3241(5)转化为七进制数. 30241(5)=3×54+2×52+4×5+1
=1946. 理论迁移例2 将五进制数3241(5)转化为七进制数. 30241(5)=3×54+2×52+4×5+1
=1946. 理论迁移例2 将五进制数3241(5)转化为七进制数. 30241(5)=3×54+2×52+4×5+1
=1946. 30241(5)=5450(7) 小结作业1.利用除k取余法，可以把任何一个十
进制数化为k进制数，并且操作简单、
实用.小结作业1.利用除k取余法，可以把任何一个十
进制数化为k进制数，并且操作简单、
实用.2.通过k进制数与十进制数的转化，我
们也可以将一个k进制数转化为另一个
不同基数的k进制数.作业：《习案》作业十练习： P.45练习第3题.§1.3 算法案例
课时目标 通过三种算法案例：辗转相除法与更相减损术，秦九韶算法，进位制，进一步体会算法的思想，提高算法设计水平，体会中国古代数学对世界的贡献．
1．辗转相除法
(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．
(2)辗转相除法的算法步骤
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，计算m除以n所得的余数r.
第三步，m＝n，n＝r.
第四步，若r＝0，则m、n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．
2．更相减损术
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
3．秦九韶算法
把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：
(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2＝v1x＋an－2，
v3＝v2x＋an－3，
…
vn＝vn－1x＋a0
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．
4．进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.
把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法．
一、选择题
1．下列说法中正确的个数为( )
(1)辗转相除法也叫欧几里得算法；
(2)辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；
(3)求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；
(4)编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 (1)、(2)、(4)正确，(3)错误．
2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 由于294和84都是偶数，
所以用2约简：
294÷2＝147，
84÷2＝42，
又由于147不是偶数，
所以147－42＝105，
105－42＝63，
63－42＝21，
42－21＝21，
故需做4次减法，故选C.
3．1 037和425的最大公约数是( )
A．51 B．17 C．9 D．3
答案 B
解析 ∵1 037＝425×2＋187，
425＝187×2＋51，
187＝51×3＋34，
51＝34×1＋17，
34＝17×2，
即1 037和425的最大公约数是17.
4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为( )
A．10 B．9 C．12 D．8
答案 C
解析 f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7
∴加法6次，乘法6次，
∴6＋6＝12(次)，故选C.
5．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为( )
A．27 B．11 C．109 D．36
答案 D
解析 将函数式化成如下形式．
f(x)＝(((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1
由内向外依次计算：
v0＝1，
v1＝1×3＋0＝3，
v2＝3×3＋2＝11，
v3＝11×3＋3＝36，
v4＝36×3＋1＝109，
v5＝109×3＋1＝328.
6．下列有可能是4进制数的是( )
A．5 123 B．6 542 C．3 103 D．4 312
答案 C
解析 4进制数每位上的数字一定小于4，故选C.
二、填空题
7．辗转相除法程序中有一空请填上．
答案 a MOD b
解析 MOD用来表示a除以b的余数．
8．更相减损术程序中有两空请填上．
答案 a＝b b＝r
9．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________．
答案 33(4)<12(16)<25(7)
解析 将三个数都化为十进制数．
12(16)＝1×16＋2＝18，
25(7)＝2×7＋5＝19，
33(4)＝3×4＋3＝15，
∴33(4)<12(16)<25(7)．
三、解答题
10．用两种方法求210与98的最大公约数．
解 用辗转相除法：
210＝98×2＋14，
98＝14×7.
∴210与98的最大公约数为14.
用更相减损术：
∵210与98都是偶数，用2约简得
105和49，
105－49＝56,56－49＝7，
49－7＝42,42－7＝35，
35－7＝28,28－7＝21，
21－7＝14,14－7＝7.
∴210与98的最大公约数为2×7＝14.
11．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．
解 将f(x)改写为
f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64
由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值
v0＝1，
v1＝1×2－12＝－10，
v2＝－10×2＋60＝40，
v3＝40×2－160＝－80，
v4＝－80×2＋240＝80，
v5＝80×2－192＝－32，
v6＝－32×2＋64＝0.
∴f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
能力提升
12．把111化为五进制数．
解
∴111化为五进制数为421(5)．
13．把10 231(5)化为四进制数．
解 先化成十进制数．
10 231(5)＝1×54＋0×53＋2×52＋3×51＋1
＝625＋50＋15＋1
＝691
再化为四进制数
∴10 231(5)＝22 303(4).
1．辗转相除法与更相减损术的区别和联系
(1)都是求最大公约数的方法．
(2)二者的实质都是递归的过程．
(3)二者都要用循环结构来实现．
2．秦九韶算法的特点
秦九韶算法的特点在于把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，即把求f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值转化为求递推公式：
这样可以最多计算n次乘法和n次加法即可得多项式的值，和直接代入多项式相比减少了乘法的运算次数，提高了运算效率．
3．十进制与其他进制的转化
(1)将k进制转化为十进制的方法：先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积的形
式，再按十进制的运算规则计算．
(2)将十进制化成k进制的方法：用除k取余法，用k连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后将各步所得的余数倒序写出，即为相应的k进制数．
