人教版数学初中七年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题9.1 不等式（含答案）

第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
知识
1．不等式的概念
像3>2，2x<3这样用符号“<”或“>”表示__________的式子，叫做不等式．像a+2≠a-2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
用不等号（“<”，“>”,“≥”，“≤”，“≠”）连接的式子，叫做不等式．
常见的不等号
符号
名称
实际意义
读法
举例
<
小于号
小于、不足
小于
1+2<4
>
大于号
大于、高出
大于
2+1>1
≤
小于等于号
不大于、不超过、至多
小于或等于
x≤3
≥
大于等于号
不小于、不低于、至少
大于或等于
x≥5
≠
不等于号
不相等
不等于
2≠3
判断一个式子是不是不等式，主要看它是否含有常用的五种不等号中的一种或几种，若有，则是；否则不是．
2．不等式的解及不等式的解集
1．不等式的解：使不等式成立的__________叫做不等式的解．
2．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的__________．求__________的过程叫做解不等式．
3．用数轴表示不等式的解集：不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来．一般来说，一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况（设a<0）．
不等式的解集
x>a
xx≥a
x≤a
数轴表示
不等式的解集必须符合两个条件：（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立；（2）能够使不等式成立的所有的数值都在该解集中．
3．不等式的性质
1．不等式的性质
不等式的性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向__________．
不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向__________．
不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向__________．
2．不等式的性质与等式的性质的不同点和相同点
类别
不同点
相同点
不等式
两边乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向
（1）两边加（或减）同一个数（或式子），不等式和等式仍然成立；
（2）两边乘（或除以）同一个正数（或正的式子），不等式和等式仍然成立
等式
两边乘（或除以）同一个负数，等式仍然成立
知识参考答案：
1．大小关系
2．未知数的值，解集，不等式的解集
3．不变，不变，改变
重点
重点
了解不等式及相关概念
难点
掌握不等式的性质，能利用不等式的性质解简单的不等式，并会用数轴表示不等式的解集，体会数形结合的数学思想
易错
对表述不等关系的语言理解不透；不能正确运用不等式的性质3而导致错误
一、不等式的定义
要注意方程与不等式的区别：方程表示相等关系，不等式表示不等关系．
【例1】下列各式中，不是不等式的是
A．2x≠1 B．3x2–2x+1
C．–3<0 D．3x–2≥1
【答案】B
【解析】A、2x≠1是不等式，故A不符合题意；
B、3x2–2x+1是代数式，不是不等式，故B符合题意；
C、–3<0是不等式，故C不符合题意；
D、3x–2≥1是不等式，故D不符合题意；
故选B．
二、不等式的解
我们把能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一个不等式的解可以有多个，它是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立．
【例2】x=–1不是下列哪一个不等式的解
A．2x+1≤–3 B．2x–1≥–3
C．–2x+1≥3 D．–2x–1≤3
【答案】A
【解析】A、把x=–1代入2x+1＝–１>–3，显然不成立．
B、把x=–1代入2x–1＝–3，显然成立．
C、把x=–1代入–2x+1=3，显然成立．
D、把x=–1代入–2x–1=1<3显然成立．
故选A．
三、不等式的解集在数轴上的表示
步骤：第一步，画数轴；第二步，定界点；第三步，定方向．
规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画.
【例3】不等式__________的解集在数轴上的表示如图所示．
A．x–3<0 B．x–3≤0
C．x–3>0 D．x–3≥0
【答案】C
【解析】如图所示：
A、x–3<0，解得：x<3，不合题意；B、x–3≤0，解得：x≤3，不合题意；C、x–3>0，解得：x>3，符合题意；D、x–3≥0，解得：x≥3，不合题意；故选C．
四、不等式的性质
不等式的三个性质是不等式变形的重要依据．不等式的性质和等式的性质基本类似，其中性质3是不等式特有的性质，容易出错.当不等式两边同乘或除以一个负数时，不等号的方向要改变.反过来，若一个不等式在乘（或除以）一个数之后，不等号的方向改变了，则这个数是负数；若不等号的方向未改变，则这个数是正数．
【例4】已知3a>–6b，则下列不等式一定成立的是
A．a+1>–2b–1 B．–aC．3a+6b<0 D．>–2
【答案】A
【解析】∵3a>–6b，∴a>–2b，∴a+1>–2b+1，
又–2b+1>–2b–1，∴a+1>–2b–1，故选A．
基础训练
1．不等式x≥–1的解在数轴上表示为
A． B．
C． D．
2．“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是
A． B．
C． D．
3．下列不等式中是一元一次不等式的是
①2x–1＞1；②3+x<0；③x≤2.4；④<5；⑤1＞–2；⑥–1<0.
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
4．用不等式表示“x的2倍与3的和大于10”是___________．
5．若，则x___________.
6．一个长方形的长为x米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x应满足的不等式为____________．
7．用适当的不等式表示下列不等关系：
（1）x减去6大于12；
（2）x的2倍与5的差是负数；
（3）x的3倍与4的和是非负数；
（4）y的5倍与9的差不大于；
8．用“>”或“<”填空：
（1）如果a–b（2）如果3a>3b，那么a________b；
（3）如果–a<–b，那么a________b；
（4）如果2a＋1<2b＋1，那么a________b.
9．把下列不等式化为“x＞a”或“x（1）x＋6＞5；（2）3x＞2x＋2；（3）–2x＋1能力测试
10．下列说法中，正确的是
A．x=2是不等式3x>5的一个解
B．x=2是不等式3x>5的唯一解
C．x=2是不等式3x>5的解集
D．x=2不是不等式3x>5的解
11．用不等式表示图中的解集，其中正确的是
A．x＞–3 B．x<–3
C．x≥–3 D．x≤–3
12．已知ax<2a(a≠0)是关于x的不等式，那么它的解集是
A．x<2 B．x＞–2
C．当a＞0时，x<2 D．当a＞0时，x<2；当a<0时，x＞2
13．不等式y+3>4变形为y>1，这是根据不等式的性质__________，不等式两边同时加上__________．
14．若a15．如果不等式(a–3)x16．阅读下面解题过程，再解题．
已知a＞b，试比较–2019a＋1与–2019b＋1的大小．
解：因为a＞b，①
所以–2019a＞–2019b，②
故–2019a＋1＞–2019b＋1.③
问：（1）上述解题过程中，从第______步开始出现错误；
（2）错误的原因是什么？
（3）请写出正确的解题过程．
17．不等式的解集中是否一定有无限多个数？
不等式|x|≤0、x2<0的解集是什么？
不等式x2＞0和x2+4＞0的解集分别又是什么？
真题练习
18．（2019·广西）若m＞n，则下列不等式正确的是
A．m–219．（2019·宿迁）若aA．a–1参考答案
1．【答案】A
【解析】不等式x≥–1的解在数轴上表示为，故选A．
2．【答案】A
【解析】根据题意，得2x–3≤8．故选A．
3．【答案】C
【解析】①符合一元一次不等式的定义，故①正确；
②符合一元一次不等式的定义，故②正确；
③符合一元一次不等式的定义，故③正确；
④是分式，故此不等式不是一元一次不等式，故④错误；
⑤此不等式不含未知数，不是一元一次不等式，故⑤错误；
⑥符合一元一次不等式的定义，故⑥正确；故选C.
4．【答案】2x+3＞10
【解析】∵x的2倍为2x，∴x的2倍与3的和大于10可表示为：2x+3＞10．故答案为：2x+3＞10．
5．【答案】
【解析】x>两边都乘以?2得：x<.故答案为：<.
6．【答案】2(x＋50)≥280
【解析】∵一个长方形的长为x米，宽为50米，
∴周长为2(x＋50)米，
∴周长不小于280米可表示为2(x＋50)≥280，
故答案为2(x＋50)≥280.
7．【解析】（1）由题意可得：x–6＞12；
（2）由题意可得：2x–5<0；
（3）由题意可得：3x+4≥0；
（4）由题意可得：5y–9≤–1．
8．【解析】（1）由a–b（2）由3a＞3b，得a＞b；
（3）由–a<–b，得a＞b；
（4）由2a＋1<2b＋1，得2a<2b，∴a故答案为：（1）<；（2）＞；（3）＞；（4）<.
9．【解析】（1）不等式两边同时减去6，得x＋6–6＞5–6，解得x＞–1.
（2）不等式两边同时减去2x，得3x–2x＞2x＋2–2x，解得x＞2.
（3）不等式两边同时减去(x＋1)，得–2x＋1–(x＋1)–3x<6，不等式两边同时除以–3，得x＞–2.
（4）不等式两边同时乘4，得–2(x–2)不等式两边同时减去(x＋4)，得–2x＋4–(x＋4)不等式两边同时除以–3，得x＞1.
10．【答案】A
【解析】A.x=2是不等式3x＞5的一个解，正确；B.不等式3x＞5的解有无数个，则B错误；C.x=2是不等式3x＞5的解，则C错误；D.x=2是不等式3x＞5的解，则D错误，故选A.
11．【答案】C
【解析】由数轴知不等式的解集为x≥–3，故选C.
12．【答案】D
【解析】因为a的符号不确定，所以要分类讨论，当a＞0时，x<2；当a<0时，x＞2，故选D.
13．【答案】1；–3
【解析】不等式y+3＞4变形为y＞1，这是根据不等式的性质1，不等式两边同时减去3，即加上–3，不等号的方向不变．故答案是：1；–3.
14．【答案】<；＞；＞
【解析】（1）若a（2）若mx＞my，且x＞y成立，则m＞0；
（3）若5m–7b＞5n–7b，则m＞n．
故答案是：<；>；>.
15．【答案】a＞3
【解析】因为不等号没有改变方向，所以a–3＞0，则a＞3，故答案为a＞3.
16．【解析】（2）②；
（2）错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
（3）因为a＞b，所以–2019a<–2019b，
故–2019a＋1<–2019b＋1.
17．【解析】不等式的解集中不一定有无数多个数.
|x|≤0的解集是x=0，x2<0无解.
x2＞0的解集为x＞0或x<0，
x2+4＞0的解集为一切实数.
18．【答案】B
【解析】A、将m＞n两边都减2得：m–2＞n–2，此选项错误；
B、将m＞n两边都除以4得：＞，此选项正确；
C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；
D、将m＞n两边都乘以–8，得：–8m<–8n，此选项错误；
故选B．
19．【答案】D
【解析】A、在不等式aB、在不等式aC、在不等式aD、当a=–5，b=1时，不等式a2故选D．