人教版数学初中七年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题9.2 一元一次不等式（含答案）

第九章 不等式与不等式组
9.2 一元一次不等式
知识
1．一元一次不等式的概念
含有__________未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.
判定一元一次不等式的方法：
（1）看式子是不是由不等号连接而成；
（2）看化简（去括号、移项、合并同类项）后的不等式两边是否为整式（分母中是否含有未知数）；（3）看是否只含有一个未知数；
（4）看未知数的次数是否为1．
一元一次不等式与一元一次方程的区别：一元一次不等式表示大小关系，由不等号连接；一元一次方程表示相等关系，由等号连接，等号没有方向．
2．一元一次不等式的解法
解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x>a（x≥a）或x一般步骤：
步骤
根据
去分母
不等式的性质2或3
去括号
去括号法则
移项
不等式的性质1
合并同类项
合并同类项法则
系数化为1
不等式的性质2或3
在去分母时__________不含分母的项，移项要变号，注意不等号方向是否改变．
3．列不等式解决实际问题
列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等的含义；
（4）列：根据题中的不等关系列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
知识参考答案：
1．一个
2．不要漏乘
重点
重点
了解一元一次不等式的概念，会解一元一次不等式，并能将其解集在数轴上表示出来，在实际问题中建立不等关系，并根据不等关系列出不等式
难点
一元一次不等式的解法；在实际问题中如何建立不等关系，并根据不等关系列出不等式
易错
在解一元一次不等式的过程中，因为去分母、去括号、移项等出现错误；利用不等式解决实际问题时，忽略问题的实际意义，在取特殊值时易出现问题
一、一元一次不等式的概念
确定一个不等式是否为一元一次不等式必须满足两个条件：①经化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1，系数不为0；②不等式两边都是整式.
【例1】下列式子中，是一元一次不等式的是
A．x2<1 B．y–3＞0
C．a+b=1 D．3x=2
【答案】B
【解析】A、未知数次数是2，属于一元二次不等式，故本选项错误；
B、符合一元一次不等式的定义，故本选项正确；
C、含有2个未知数，属于二元一次方程，故本选项错误；
D、含有1个未知数，是一元一次方程，故本选项错误；
故选B．
二、一元一次不等式的解法
一元一次不等式是不等式的一种类型，我们可以利用不等式的性质来求解不等式，求不等式的解集的过程叫做解不等式.
解一元一次不等式可按下列步骤进行：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（特别要注意不等号方向的改变问题）．
【例2】解不等式：3（2x–1）+1≥x+3．
【解析】3（2x–1）+1≥x+3，
去括号，得6x–3+1≥x+3，
移项及合并同类项，得5x≥5，
系数化为1，得x≥1，
∴原不等式组的解集为x≥1．
三、列一元一次不等式解决实际问题
列一元一次不等式解决实际问题，应根据问题中的不等关系列出不等式，把实际问题转化为数学问题，再通过解不等式得到问题的答案．
【例3】在某校园超市中买1支英雄牌钢笔和3本硬皮笔记本需要18元钱；买同样的钢笔2支和笔记本5本要31元.
（1）求每支英雄牌钢笔和每本硬皮笔记本的价格；
（2）九年一班准备用班费购买48件上述价格的钢笔和笔记本，作为毕业联欢会的奖品，已知班费不少于200元，求最少可以买多少本笔记本.
【解析】（1）设每支钢笔x元，每本笔记本y元．
依题意得：，解得.
答：每支英雄牌钢笔为3元，每本硬皮笔记本为5元；
（2）设可以购买a本笔记本，由题意可得：3（48–a）+5a≥200，
解得a≥28.
答：最少可以买28本笔记本．
基础训练
1．下列不等式中是一元一次不等式的是
A．2x2–5>0 B．+x<5
C．–5y+8>0 D．2x+2=2(1+x)
2．不等式的解集为，则的值为
A．4 B．2
C． D．
3．不等式3x≤2(x–1)的解集为
A．x≤–1 B．x≥–1
C．x≤–2 D．x≥2
4．不等式2x–3<1的解集在数轴上表示为
A． B．
C． D．
5．下列式子是一元一次不等式的有__________(填序号).
①x2–2x+1>0；②2–3x<5；③5>–5；④3x+3y>7；⑤<2；⑥．
6．请你写出一个满足不等式2x–1<6的正整数x的值：________．
7．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜的得分要超过90分，设她答对了x道题，则根据题意，可列不等式为________．
8．解不等式：＞1–．
9．解下列不等式：2x–5≤2.
10．解不等式2x–3<，并把解集在数轴上表示出来．
11．今年3月12日植树节期间，学校预购进A，B两种树苗．若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元；若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元．
（1）求购进A，B两种树苗的单价；
（2）若该学校准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵．
能力测试
12．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%.假设不计超市其他费用，如果超市要想获得至少20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高
A． B． C． D．
13．已知2(a–3)<，那么不等式A．x< B．x<
C．x> D．x<
14．如果关于x的方程3x–m+1=2x–1的解是负数，那么m的取值范围是
A．m>0 B．m<0
C．m>2 D．m<2
15．(x–m)>3–m的解集为x>3，则m的值为________.
16．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全区域．甲工人在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为0.01米/秒，甲工人步行的速度为1米/秒，骑车的速度为4米/秒．为了确保甲工人的安全，则导火线的长要大于__________米.
17．若关于x的方程2x–3m=2m–4x+4的解不小于–，求m的最小值．
18．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购买商品超出300元，超出部分按原价的8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元，超出部分按原价的8.5折优惠.设顾客预计累计购物x元(x>300).
（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠?说明你的理由.
真题练习
18．（2019·山西）2019年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为__________cm．
19．（2019·河池）某冷饮店用200元购进A，B两种水果共20kg，进价分别为7元/kg和12元/kg．
（1）这两种水果各购进多少千克？
（2）该冷饮店将所购进的水果全部混合制成50杯果汁，要使售完后所获利润不低于进货款的50%，则每杯果汁的售价至少为多少元？
20．（2019?无锡）A商场从某厂以75元/件的价格采购一种商品，售价是100元/件，厂家与商场约定：若商场一次性采购达到或超过400件，厂家按每件5元返利给A商场，商场没有售完的，可以以65元/件退还给厂家．设A商场售出该商品x件，问：A商场对这种商品的销量至少要多少时，他们的获利能达到9600元？
21．（2019?辽阳）青年志愿者爱心小分队赴山村送温暖，准备为困难村民购买一些米面．已知购买1袋大米、4袋面粉，共需240元；购买2袋大米、1袋面粉，共需165元．
（1）求每袋大米和面粉各多少元；
（2）如果爱心小分队计划购买这些米面共40袋，总费用不超过2140元，那么至少购买多少袋面粉？
参考答案
1．【答案】C
【解析】A是一元二次不等式；B分母中含有未知数，所以不是一元一次不等式；C是一元一次不等式，D不是不等式，所以只有C正确，故选C．
2．【答案】B
【解析】不等式的两边同时乘以3得，x–m＞6–3m，
移项，合并同类项得，x＞6–2m，
∵不等式的解集是x＞2，∴6–2m=2，解得m=2．故选B．
3．【答案】C
【解析】去括号得，3x≤2x–2，
移项、合并同类项得，x≤–2，
故选C．
4．【答案】D
【解析】因为2x<1+3，所以x<2，在数轴上表示为；故选D.
5．【答案】②⑥
【解析】①x2–2x+1>0，是一元二次不等式；
②2–3x<5，是一元一次不等式；
③5>–5，含有不等号，是不等式，不是一元一次不等式；
④3x+3y>7，是二元一次不等式；
⑤<2，分母含有未知数，不是一元一次不等式；
⑥，是一元一次不等式.
所以是一元一次不等式的是②⑥；
故答案为：②⑥．
6．【答案】答案不唯一：1，2，3都可以．
【解析】解不等式得：x＜，∵x是正整数，∴x可取1、2、3.
7．【答案】10x–5（20–x）＞90
【解析】根据题意，得：10x–5（20–x）＞90．
故答案为：10x–5（20–x）＞90．
8．【解析】，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得.
9．【解析】去括号得2x–5≤x–6，
移项得，2x–x≤–6+5，
合并同类项，系数化为1得x≤–1．
10．【解析】3（2x–3）6x–95x<10，
x<2，
∴原不等式的解集为x<2，
在数轴上表示为：
11．【解析】（1）设A种树苗的单价为x元，则B种树苗的单价为y元，
可得：，解得：．
答：A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元.
（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30–a）棵，
可得：200a+300（30–a）≤8000，
解得：a≥10.
答：A种树苗至少需购进10棵．
12．【答案】B
【解析】设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，
由题意得：≥20%，解得：x≥．
则这种水果的售价在进价的基础上应至少提高．
故选B．
13．【答案】C
【解析】解不等式2（a–3）<得a<，
不等式∵a<，∴a–5<0，
∴不等式两边除以a–5可得，x＞；
故选C．
14．【答案】D
【解析】∵3x–m+1=2x–1，∴x=m–2，
∵关于x的方程3x–m+1=2x–1的解是负数，
∴m–2<0，解得m<2．故选D．
15．【答案】
【解析】去括号得：x?m＞3?m，
移项得：x＞3?m+m，
合并同类项得x＞3?m，
系数化为1得x＞6–2m，
∵不等式的解集为x＞3，∴6–2m=3，
解得：m=，
故答案为：．
16．【答案】1.3
【解析】设导火线的长度为x，
工人转移需要的时间为：=130秒，
由题意得，x≥130×0.01=1.3(米).
17．【解析】关于x的方程2x–3m=2m–4x+4的解为：x=，
根据题意，得≥，
去分母，得4（5m+4）≥21–8（1–m），
去括号，得20m+16≥21–8+8m，
移项，合并同类项得12m≥–3，
系数化为1，得m≥–．
所以当m≥–时，方程的解不小于，m的最小值为–．
18．【解析】（1）在甲超市购物所付的费用是：300+0.8(x–300)=(0.8x+60)元；
在乙超市购物所付的费用是：200+0.85(x–200)=(0.85x+30)元；
（2）当0.8x+60>0.85x+30时，解得x<600，
又因为x>300，所以300即顾客累计购物超过300元而不满600元时，到乙超市更优惠；
当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600，
所以当顾客累计购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；
当0.8x+60<0.85x+30时，解得x>600，
即顾客累计购物超过600元时，到甲超市更优惠.
18．【答案】55
【解析】设长为8x，高为11x，
由题意，得：19x+20≤115，
解得：x≤5，
故行李箱的高的最大值为：11x=55，
答：行李箱的高的最大值为55厘米．
故答案为：55．
19．【解析】（1）设A种水果购进了x千克，则B种水果购进了（20–x）千克，
根据题意得：7x+12（20–x）=200，
解得：x=8，
则20–x=12．
答：购进A种水果8千克，B种水果12千克；
（2）设每杯果汁的售价至少为y元，
根据题意得，50y–200≥200×50%，
解得y≥6．
答：每杯果汁的售价至少为6元．
20．【解析】设A商场售出该商品x件．
①当A商城的采购量小于400件时，有（100–75）x≥9600，
解得：x≥384，
∴商城对这种商品的销量至少要384件；
②当A商城的采购量等于400件时，有100x–400×75+65（400–x）+400×5≥9600，
解得：x≥331，
∵x为正整数，∴x≥332，
∴商城对这种商品的销量至少要332件；
③当A商城的采购量大于400件时，销售量必须大于332件，才能保证获利达到9600元．
答：当A商场对这种商品的销量至少要332件时，他们的获利能达到9600元．
21．【解析】（1）设每袋大米x元，每袋面粉y元，
根据题意，得：，解得．
答：每袋大米60元，每袋面粉45元；
（2）设购买面粉a袋，则购买米（40–a）袋，
根据题意，得：60（40–a）+45a≤2140，
解得：a≥17，
∵a为整数，∴最少购买18袋面粉．