１４６ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§ ２０．２ 条件概率及相互独立事件、ｎ 次独立重复试验的模型
及二项分布
对应学生用书起始页码 Ｐ４０３
考点一 条件概率及相互独立事件的概率
１．条件概率及其性质
（１）对于任何两个事件 Ａ 和 Ｂ，在已知事件 Ａ 发生的条件
下，事件 Ｂ 发生的概率叫做条件概率，用符号 Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）来表示，其
公式为 Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）＝
Ｐ（ＡＢ）
Ｐ（Ａ）
．
（２）条件概率具有的性质
①０≤Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）≤１；
②如果 Ｂ 和 Ｃ 是两个互斥事件，则 Ｐ（Ｂ∪Ｃ ｜ Ａ）＝ Ｐ（Ｂ ｜ Ａ） ＋
Ｐ（Ｃ ｜ Ａ） ．
２．相互独立事件
（１）对于事件 Ａ、Ｂ，若 Ａ 的发生与 Ｂ 的发生互不影响，则称
Ａ、Ｂ 是相互独立事件．
（２）若 Ａ 与 Ｂ 相互独立，则 Ｐ （Ｂ ｜ Ａ） ＝ Ｐ （Ｂ），Ｐ （ ＡＢ） ＝
Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）·Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ） ．
（３）若 Ａ 与 Ｂ 相互独立，则 Ａ 与 Ｂ，Ａ 与 Ｂ，Ａ 与 Ｂ 也都相互
独立．
（４）若 Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ），则 Ａ 与 Ｂ 相互独立．
考点二 ｎ次独立重复试验的模型及二项分布
１．独立重复试验
如果在一次试验中，某事件发生的概率为 ｐ，那么在 ｎ 次独
立重复试验中，这个事件恰好发生 ｋ 次的概率为 Ｐｎ （ ｋ） ＝
Ｃｋｎｐｋ（１－ｐ） ｎ
－ｋ ．
２．二项分布
如果在一次试验中，某事件发生的概率是 ｐ，那么在 ｎ 次独
立重复试验中，这个事件恰好发生 ｋ 次的概率是Ｐ（ξ ＝ ｋ）＝ Ｃｋｎ·
ｐｋ·ｑｎ－ｋ，其中 ｋ＝ ０，１，２，３，…，ｎ，ｑ＝ １－ｐ．于是得到随机变量 ξ 的
概率分布列如下：
ξ ０ １ … ｋ … ｎ
Ｐ Ｃ０ｎｐ
０ｑｎ Ｃ１ｎ·ｐ
１·ｑｎ－１ … Ｃｋｎｐ
ｋｑｎ－ｋ … Ｃｎｎｐ
ｎｑ０
由于 Ｃｋｎｐｋｑｎ
－ｋ恰好是二项展开式（ ｑ＋ｐ） ｎ ＝ Ｃ０ｎｐ０ｑｎ ＋Ｃ１ｎｐ１ｑｎ
－１ ＋
…＋Ｃｋｎ·ｐｋ·ｑｎ
－ｋ ＋…＋Ｃｎｎｐｎｑ０ 中的第（ ｋ＋１）项的值，故称随机变
量 ξ 服从二项分布，记作ξ～Ｂ（ｎ，ｐ） ．
１．解决概率问题的步骤
第一步，确定事件的性质
等可能事件，
互斥事件，
相互独立事件，
ｎ 次独立重复试验，
ì
?
í
?
?
??
即将所给
的问题归结为四类事件中的某一类．
第二步，判断事件概率的运算
和事件，
积事件，{ 即判断至少有一
个发生，还是同时发生，确定运用加法或乘法原理．
第三步，运用公式求得概率．
等可能事件：Ｐ（Ａ）＝
ｍ
ｎ
，
互斥事件：Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ），Ｐ（ＡＢ）＝ ０，
相互独立事件：Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ），
ｎ 次独立重复试验：Ｐ（Ｘ＝ ｋ）＝ Ｃｋｎｐｋ（１－ｐ） ｎ
－ｋ，
条件概率：Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）＝
Ｐ（ＡＢ）
Ｐ（Ａ）
．
ì
?
í
?
?
?
?
?
?
??
２．方程思想在概率运算中的应用
在概率运算过程中，会经常遇到求两个或三个事件的概
率或确定某参数的值的问题，此时可考虑方程（组）的方法，
借助题中条件列出含有该未知量的方程（组），进而求解．
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对应学生用书起始页码 Ｐ４０３
二项分布的解法
１．ｎ 次独立重复试验中事件 Ａ 恰好发生 ｋ 次的概率求法：
ｎ 次独立重复试验中事件 Ａ 恰好发生 ｋ 次可看作 Ｃｋｎ 个互斥
事件的和，其中每一个事件都可看作 ｋ 个 Ａ 事件与（ｎ－ｋ）个 Ａ 事
件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是 ｐｋ（１－
ｐ） ｎ－ｋ（其中 ｐ 为在一次试验中事件 Ａ 发生的概率） ．因此，ｎ 次独
立重复试验中事件 Ａ 恰好发生 ｋ 次的概率为 Ｃｋｎｐｋ（１－ｐ） ｎ
－ｋ ．
２．写二项分布时，首先确定随机变量 Ｘ 的取值，然后用公式
Ｐ（Ｘ＝ ｋ）＝ Ｃｋｎｐｋ（１－ｐ） ｎ
－ｋ计算概率即可．
３．若 Ｘ～Ｂ（ｎ，ｐ），则 Ｅ（Ｘ）＝ ｎｐ．
（２０１９ 如皋期末，２２）有甲、乙两位同学进入新华书店
购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们对 Ａ，Ｂ，Ｃ 三种书籍有
购买意向．已知甲同学购买 Ａ，Ｂ，Ｃ 三种书籍的概率分别为
３
４
，
１
２
，
１
３
，乙同学购买 Ａ，Ｂ，Ｃ 三种书籍的概率分别为
２
３
，
１
２
，
１
２
，
设甲、乙是否购买 Ａ，Ｂ，Ｃ 三种书籍相互独立．
（１）求甲同学至少购买 ２ 种书籍的概率；
（２）设甲、乙同学购买 ２ 种书籍的人数为 Ｘ，求 Ｘ 的概率分
布和数学期望．
解析 （１）记“甲同学至少购买 ２ 种书籍”为事件 Ａ，
则 Ｐ（Ａ）＝
３
４
× １
２
× ２
３
＋ １
４
× １
２
× １
３
＋ ３
４
× １
２
× １
３
＋ ３
４
× １
２
× １
３
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第二十章 概率统计 １４７
＝ １３
２４
．
所以甲同学至少购买 ２ 种书籍的概率为
１３
２４
． （４ 分）
（２）设甲、乙同学购买 ２ 种书籍的概率分别为 ｐ１，ｐ２ ．
则 ｐ１ ＝
３
４
× １
２
× ２
３
＋ ３
４
× １
２
× １
３
＋ １
４
× １
２
× １
３
＝ ５
１２
，
ｐ２ ＝
２
３
× １
２
× １
２
＋ ２
３
× １
２
× １
２
＋ １
３
× １
２
× １
２
＝ ５
１２
，
所以 ｐ１ ＝ ｐ２ ． （６ 分）
所以 Ｘ～Ｂ ２，
５
１２( ) ．
Ｐ（Ｘ＝ ０）＝ Ｃ０２·
５
１２( )
０
·
７
１２( )
２
＝ ４９
１４４
，
Ｐ（Ｘ＝ １）＝ Ｃ１２·
５
１２( )
１
·
７
１２( )
１
＝ ７０
１４４
，
Ｐ（Ｘ＝ ２）＝ Ｃ２２·
５
１２( )
２
·
７
１２( )
０
＝ ２５
１４４
．
所以 Ｘ 的概率分布列为
Ｘ ０ １ ２
Ｐ
４９
１４４
７０
１４４
２５
１４４
Ｅ（Ｘ）＝ ０×
４９
１４４
＋１×
７０
１４４
＋２×
２５
１４４
＝ ５
６
．
所以随机变量 Ｘ 的数学期望为
５
６
． （１０ 分）
１－１ （２０１８ 无锡期末，２３）某公司有 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 四辆汽车，
其中 Ａ 车的车牌尾号为 ０，Ｂ，Ｃ 两车的车牌尾号都为 ６，Ｄ 车的车
牌尾号为 ５，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已
知 Ａ，Ｄ 两辆汽车每天出车的概率为
３
４
，Ｂ，Ｃ 两辆汽车每天出车
的概率为
１
２
，且四辆汽车是否出车是相互独立的．
该公司所在地区汽车限行规定如下：
汽车车牌尾号 车辆限行日
０ 和 ５ 星期一
１ 和 ６ 星期二
２ 和 ７ 星期三
３ 和 ８ 星期四
４ 和 ９ 星期五
（１）求该公司在星期四至少有 ２ 辆汽车出车的概率；
（２）设 ξ 表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数
之和，求 ξ 的分布列和数学期望．
１－１ 解析 （１）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事
件 Ａ，则Ａ为该公司在星期四最多有一辆汽车出车，
Ｐ（Ａ）＝
１
４( )
２ １
２( )
２
＋Ｃ１２
３
４( ) １４( ) １２( )
２
＋Ｃ１２
１
２( ) １２( )
１
４( )
２
＝ ９
６４
，
∴ Ｐ（Ａ）＝ １－Ｐ（Ａ）＝
５５
６４
．
答：该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为
５５
６４
．
（２）由题意知 ξ 的可能取值为 ０，１，２，３，４，
Ｐ（ξ＝ ０）＝
１
２( )
２ １
４( )
２
＝ １
６４
；
Ｐ（ξ＝ １）＝ Ｃ１２
１
２( ) １２( ) １４( )
２
＋Ｃ１２
３
４( ) １４( ) １２( )
２
＝ １
８
；
Ｐ（ξ＝２）＝
１
２( )
２ １
４( )
２
＋ ３
４( )
２ １
２( )
２
＋Ｃ１２
１
２( )
２
Ｃ１２· ( ３４ )
( １４ ) ＝ １１３２；
Ｐ（ξ＝ ３）＝
１
２( )
２
Ｃ１２
３
４( ) １４( ) ＋ ３４( )
２
Ｃ１２
１
２( )
２
＝ ３
８
；
Ｐ（ξ＝ ４）＝
３
４( )
２ １
２( )
２
＝ ９
６４
．
故 ξ 的分布列为
ξ ０ １ ２ ３ ４
Ｐ
１
６４
１
８
１１
３２
３
８
９
６４
故 Ｅξ＝ ０×
１
６４
＋１×
１
８
＋２×
１１
３２
＋３×
３
８
＋４×
９
６４
＝ ５
２
．
１－２ （２０１９ 溧水中学调研，２２）盒子中装有四张大小、形状
均相同的卡片，卡片上分别标有数－ｉ，ｉ，－２，２ 其中 ｉ 是虚数单位．
称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试
验（设每次试验的结果互不影响） ．
（１）求事件 Ａ“在一次试验中，得到的数为虚数” 的概率
Ｐ（Ａ）与事件 Ｂ“在四次试验中，至少有两次得到虚数”的概率
Ｐ（Ｂ）；
（２）在两次试验中，记两次得到的数分别为 ａ，ｂ，求随机变
量 ξ＝ ｜ ａ·ｂ ｜的分布列与数学期望 Ｅξ．
１－２ 解析 （１）Ｐ（Ａ）＝
１
２
． （２ 分）
Ｐ（Ｂ）＝ １－Ｐ（Ｂ）＝ １－ [ Ｃ０４ １２( )
０ １
２( )
４
＋Ｃ１４
１
２( ) × １２( )
３ ]
＝ １－
５
１６
＝ １１
１６
． （５ 分）
（２）ξ 的可能取值为 １，２，４． （６ 分）
Ｐ（ξ＝ １）＝
４
１６
＝ １
４
，
Ｐ（ξ＝ ２）＝
８
１６
＝ １
２
，
Ｐ（ξ＝ ４）＝
４
１６
＝ １
４
． （８ 分）
故 ξ 的分布列为
ξ １ ２ ４
Ｐ
１
４
１
２
１
４
Ｅξ＝ １×
１
４
＋２×
１
２
＋４×
１
４
＝ ９
４
． （１０ 分）
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(共79张PPT)
统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 条件概率及相互独立事件的概率
五年高考
1.(2019课标全国Ⅰ理,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜
利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.
设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1
获胜的概率是 ????.
答案 0.18
解析????本题主要考查独立事件概率的求解;考查学生的数据处理能力、推理论证能力;考查的
核心素养是逻辑推理与数学建模.
由题意可知七场四胜制且甲队以4∶1获胜,则共比赛了5场,且第5场甲胜,前4场中甲胜3场.第
一类:第1场、第2场中甲胜1场,第3场、第4场甲胜,则P1=?×0.6×0.4×0.52=2×?×?×?=?;第二
类:第1场、第2场甲胜,第3场、第4场中甲胜1场,则P2=0.62×?×0.5×0.5=?×2×?=?,所以甲
队以4∶1获胜的概率为P=?×0.6=0.18.
疑难突破 采用七场四胜制,由题意分析得若甲队以4∶1获胜,则甲队在第5场比赛中必胜,且
前4场比赛中胜3场.
2.(2015课标全国Ⅰ改编,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学
每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 ????
????.
答案 0.648
解析 该同学通过测试的概率P=?×0.62×0.4+0.63=0.432+0.216=0.648.
3.(2019天津理,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为?.假定
甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的
天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
解析 本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率
计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,重点考查数学建模、数学
运算的核心素养.满分13分.
(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为?,故X~
B?,从而P(X=k)=???,k=0,1,2,3.
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P ? ? ? ?
随机变量X的数学期望E(X)=3×?=2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B?,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,
Y=0}.
由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互
独立,
从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=
2)P(Y=0)=?×?+?×?=?.
思路分析 (1)观察关键词“均”“互不影响”“相互独立”,判断X~B(n,p),从而利用二项分
布求出分布列与期望.(2)先将“天数恰好多2”用数学语言表示,即?或?从而利用
互斥与相互独立事件的概率计算公式求解.
解后反思 本题关键是将实际问题转化为数学问题.
4.(2019课标全国Ⅱ理,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每
球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发
球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶1
0平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
解析????本题主要考查独立事件概率的求解.考查学生的逻辑推理及数据处理能力;考查的核心
素养是数据分析和逻辑推理.
(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得
分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:
前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.
因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
思路分析 (1)X=2,即要么甲得2分,要么乙得2分,分类求出独立事件的概率,求和即可.
(2)X=4且甲获胜,即又打了4个球,且后两球甲得分,前两个球甲、乙各得1分,由独立事件的概
率公式可求解.
解题关键 某局打成10∶10平后,每球交换发球权,甲先发球,求出甲得分的概率分别为0.5,0.4,
0.5,0.4是解决本题的关键.
5.(2016课标全国Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续
保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
解析 (1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一
年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.?(3分)
(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年
内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.
又P(AB)=P(B),故P(B|A)=?=?=?=?.
因此所求概率为?.?(7分)
(3)记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为
X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.?(12分)
思路分析 (1)将本年度保费高于基本保费a对应的所有事件的概率相加即可;
(2)利用条件概率公式求解;
(3)求出续保人本年度保费的期望与基本保费的比值即可.
考点二????n次独立重复试验的模型及二项分布
1.(2018课标全国Ⅲ理改编,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支
付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)
p= ????.
答案 0.6
解析 本题考查相互独立事件及二项分布.
由题知X~B(10,p),则DX=10×p×(1-p)=2.4,解得p=0.4或0.6.又∵P(X=4)?p6(1-p)4?(1-p)20.5,∴p=0.6.
2.(2017课标全国Ⅱ理,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放
回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX= ????.
答案 1.96
解析 本题主要考查二项分布.
由题意可知X~B(100,0.02),由二项分布可得DX=100×0.02×(1-0.02)=1.96.
3.(2016四川理,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这
次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是 ????.
答案?????
解析 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,至少有一枚硬币正面向上的概率为1-?=?,且X~B
?,
∴均值是2×?=?.
评析 判断X服从二项分布是解题的关键.
4.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= ????.
答案?????
解析 因为X~B(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得n=90,p=?.
5.(2018课标全国Ⅰ理,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用
户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20
件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率
都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产
品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿
费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
解析 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=?p2(1-p)18.
因此f '(p)=?[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2?p(1-p)17(1-10p).
令f '(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时, f '(p)>0;
当p∈(0.1,1)时, f '(p)<0.
所以f(p)的最大值点为p0=0.1.
(2)由(1)知,p=0.1,
(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+
25Y,
所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.
6.(2017天津理,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且
在各路口遇到红灯的概率分别为?,?,?.
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
解析 本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概
率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=?×?×?=?,
P(X=1)=?×?1-??×?1-??+?1-??×?×?1-??+?×?×?=?,
P(X=2)=?×?×?+?×?×?+?×?×?=?,
P(X=3)=?×?×?=?.
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P ? ? ? ?
随机变量X的数学期望E(X)=0×?+1×?+2×?+3×?=?.
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为
P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)
=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)
=?×?+?×?
=?.
所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为?.
技巧点拨 解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个
值时对应的概率,只有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题,理解随机变量取值的
意义是解决这类问题的必要前提.
7.(2016山东理,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一
个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1
分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是?,乙每轮猜对的概率是?;
每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.
解析 (1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜
对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意,E=ABCD+?BCD+A?CD+AB?D+ABC?,
由事件的独立性与互斥性,得
P(E)=P(ABCD)+P(?BCD)+P(A?CD)+P(AB?D)+P(ABC?)
=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(?)P(B)P(C)P(D)+P(A)·P(?)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(?)P(D)+P(A)P(B)P
(C)·P(?)
=?×?×?×?+2×?
=?.
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为?.
(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性,得
P(X=0)=?×?×?×?=?,
P(X=1)=2×?=?=?,
P(X=2)=?×?×?×?+?×?×?×?+?×?×?×?+?×?×?×?=?,
P(X=3)=?×?×?×?+?×?×?×?=?=?,
P(X=4)=2×?=?=?,
P(X=6)=?×?×?×?=?=?.
可得随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4 6
P ? ? ? ? ? ?
所以数学期望EX=0×?+1×?+2×?+3×?+4×?+6×?=?.
评析 本题考查了随机事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望,确定随机变
量可能的取值是解题的关键.属于中档题.
8.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽
奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个
球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获
奖.
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;
(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学
期望.
解析 (1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},
A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},
B1={顾客抽奖1次获一等奖},
B2={顾客抽奖1次获二等奖},
C={顾客抽奖1次能获奖}.
由题意,得A1与A2相互独立,A1?与?A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1?+?A2,C=B1+B2.
因为P(A1)=?=?,P(A2)=?=?,
所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=?×?=?,
P(B2)=P(A1?+?A2)=P(A1?)+P(?A2)
=P(A1)P(?)+P(?)P(A2)
=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)
=?×?+?×?=?.
故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=?+?=?.
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为?,所以X~B
?.
于是P(X=0)=???=?,
P(X=1)=???=?,
P(X=2)=???=?,
P(X=3)=???=?.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P ? ? ? ?
X的数学期望为E(X)=3×?=?.
教师专用题组
考点一 条件概率及相互独立事件的概率
1.(2014课标全国Ⅱ改编,5,5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率
是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优
良的概率是 ????.
答案 0.8
解析 由条件概率可得所求概率为?=0.8.
2.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.
6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.
解析 记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,
B表示事件:甲需使用设备,
C表示事件:丁需使用设备,
D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.
(1)D=A1·B·C+A2·B+A2·?·C,
P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=?×0.52,i=0,1,2,?(3分)
所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·?·C)
=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·?·C)
=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(?)P(C)
=0.31.?(6分)
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则
P(X=0)=P(?·A0·?)
=P(?)P(A0)P(?)
=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)
=0.06,
P(X=1)=P(B·A0·?+?·A0·C+?·A1·?)
=P(B)P(A0)P(?)+P(?)P(A0)P(C)+P(?)P(A1)P(?)
=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,
P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,
P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)
=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,?(10分)
数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.
06=2.?(12分)
3.(2014山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域
A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回
球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小
明回球的落点在C上的概率为?,在D上的概率为?;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C
上的概率为?,在D上的概率为?.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不
影响.求:
(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;
(2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.
?
解析 (1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),
则P(A3)=?,P(A1)=?,P(A0)=1-?-?=?;
记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),
则P(B3)=?,P(B1)=?,P(B0)=1-?-?=?.
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.
由题意得,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,
由事件的独立性和互斥性,得
P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)
=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)
=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)
=?×?+?×?+?×?+?×?=?,
所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为?.
(2)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,
由事件的独立性和互斥性,得
P(ξ=0)=P(A0B0)=?×?=?,
P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=?×?+?×?=?,
P(ξ=2)=P(A1B1)=?×?=?,
P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=?×?+?×?=?,
P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=?×?+?×?=?,
P(ξ=6)=P(A3B3)=?×?=?.
可得随机变量ξ的分布列为:
ξ 0 1 2 3 4 6
P ? ? ? ? ? ?
所以数学期望Eξ=0×?+1×?+2×?+3×?+4×?+6×?=?.
4.(2014安徽,17,12分)甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局
仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为?,乙获胜的概率为?,
各局比赛结果相互独立.
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).
解析 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙
获胜”,
则P(Ak)=?,P(Bk)=?,k=1,2,3,4,5.
(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)
=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)
=?+?×?+?×?×?=?.
(2)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)
=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=?,
P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)
=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=?,
P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)
=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=?,
P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=?.
故X的分布列为
EX=2×?+3×?+4×?+5×?=?.
X 2 3 4 5
P ? ? ? ?
评析 本题考查了独立事件同时发生、互斥事件至少有一个发生、分布列、均值等知识,考
查应用意识、运算求解能力,准确理解题意是解题的关键.
5.(2014北京,16,13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):
(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;
(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超
过0.6的概率;
(3)记?为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中
的命中次数.比较EX与?的大小.(只需写出结论)
场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数
主场1 22 12 客场1 18 8
主场2 15 12 客场2 13 12
主场3 12 8 客场3 21 7
主场4 23 8 客场4 18 15
主场5 24 20 客场5 25 12
解析 (1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场
2,主场3,主场5,客场2,客场4.
所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.
(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B为“在随
机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C为“在随机选择的一个主场和
一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”.
则C=A?∪?B,A,B独立.
根据投篮统计数据,可知P(A)=?,P(B)=?.
P(C)=P(A?)+P(?B)
=?×?+?×?
=?.
所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的
概率为?.
(3)EX=?.
6.(2014陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格
和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量(kg) 300 500
概 率 0.5 0.5
作物市场价格(元/kg) 6 10
概 率 0.4 0.6
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率.
解析 (1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设
知P(A)=0.5,P(B)=0.4,
∵利润=产量×市场价格-成本,
∴X所有可能的取值为
500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000,
300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800.
P(X=4 000)=P(?)P(?)=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,
P(X=2 000)=P(?)P(B)+P(A)P(?)=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,
P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,
所以X的分布列为
X 4 000 2 000 800
P 0.3 0.5 0.2
(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3),
由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,
P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),
3季的利润均不少于2 000元的概率为
P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;
3季中有2季利润不少于2 000元的概率为
P(?C2C3)+P(C1?C3)+P(C1C2?)=3×0.82×0.2=0.384,
所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为
0.512+0.384=0.896.
评析 本题考查了离散型随机变量的分布列,相互独立事件,二项分布等知识;考查应用意识,
分类讨论的意识、运算求解的能力.
7.(2013课标全国Ⅰ理,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取
4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为
优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产
品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为?,且各件产品是不
是优质品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验
所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.
解析 (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质
品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事
件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,
所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)
=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)
=?×?+?×?=?.
(2)X可能的取值为400,500,800,并且
P(X=400)=1-?-?=?,
P(X=500)=?,P(X=800)=?.
所以X的分布列为
X 400 500 800
P ? ? ?
EX=400×?+500×?+800×?=506.25.
8.(2011江苏,22,10分)某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%;
乙产品的一等品率为90%,二等品率为10%.生产1件甲产品,若是一等品则获得利润4万元,若是
二等品则亏损1万元;生产1件乙产品,若是一等品则获得利润6万元,若是二等品则亏损2万元.
设生产各种产品相互独立.
(1)记X(单位:万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润,求X的分布列;
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.
解析 (1)由题设知,X的可能取值为10,5,2,-3,且
P(X=10)=0.8×0.9=0.72,P(X=5)=0.2×0.9=0.18,
P(X=2)=0.8×0.1=0.08,P(X=-3)=0.2×0.1=0.02.
由此得X的分布列为
X 10 5 2 -3
P 0.72 0.18 0.08 0.02
(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件,则二等品有(4-n)件.
由题设知4n-(4-n)≥10,解得n≥?,
又n∈N,(4-n)∈N,所以n=3或n=4.
所求概率为P=?×0.83×0.2+0.84=0.819 2.
答:生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.819 2.
考点二????n次独立重复试验的模型及二项分布
1.(2014辽宁,18,12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布
直方图,如图所示.
?
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的
概率;
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方
差D(X).
解析 (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,
A2表示事件“日销售量低于50个”,
B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.
因此
P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,
P(A2)=0.003×50=0.15,
P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为
P(X=0)=?·(1-0.6)3=0.064,
P(X=1)=?·0.6×(1-0.6)2=0.288,
P(X=2)=?·0.62×(1-0.6)=0.432,
P(X=3)=?·0.63=0.216.
分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X~B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.
2.(2014四川,17,12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现
一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得2
0分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐
的概率为?,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少
了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
解析 (1)X可能的取值为10,20,100,-200.
根据题意,有P(X=10)=?×?×?=?,
P(X=20)=?×?×?=?,
P(X=100)=?×?×?=?,
P(X=-200)=?×?×?=?.
所以X的分布列为
X 10 20 100 -200
P ? ? ? ?
(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),
则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=?.
所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
1-P(A1A2A3)=1-?=1-?=?.
因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是?.
(3)X的数学期望为EX=10×?+20×?+100×?-200×?=-?.
这表明,获得的分数X的均值为负.
因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.
评析 本题主要考查随机事件的概率、古典概型、独立重复试验、随机变量的分布列、数
学期望等基础知识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力,考查运算
求解能力、应用意识和创新意识.
3.(2013辽宁理,19,12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是?,答对
每道乙类题的概率都是?,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布
列和数学期望.
解析 (1)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,
则有?=“张同学所取的3道题都是甲类题”.
因为P(?)=?=?,所以P(A)=1-P(?)=?.?(6分)
(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=?·?·?·?=?;
P(X=1)=?·?·?·?+??·?·?=?;
P(X=2)=?·?·?·?+??·?·?=?;
P(X=3)=?·?·?·?=?.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P ? ? ? ?
(10分)
所以E(X)=0×?+1×?+2×?+3×?=2.?(12分)
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
1.(2019南师大附中期中,22)甲、乙两人做某种游戏共两局,每局胜者得3分,打平各得1分,输者
得0分.已知甲每局获胜的概率为?,乙每局获胜的概率为?,随机变量X表示甲在两局游戏后的
得分.
(1)求概率P(X=2);
(2)求X的分布列,并求其数学期望E(X).
解析 (1)设“甲打平的事件”为A,
则P(A)=1-?-?=?.
所以P(X=2)=?×?=?.?(2分)
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,6.
P(X=0)=?×?=?,
P(X=1)=?×?+?×?=?,
P(X=2)=?×?=?,
P(X=3)=?×?+?×?=?,
P(X=4)=?×?+?×?=?,
P(X=6)=?×?=?.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 6
P ? ? ? ? ? ?
(8分)
(说明:一个概率1分)
故E(X)=0×?+1×?+2×?+3×?+4×?+6×?=?.?(10分)
2.(2019南京期初调研,23)本着健康、低碳的生活理念,租用公共自行车骑行的人越来越多.某
种公共自行车的租用收费标准为:每次租车不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费2
元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人相互独立来租车,每人各租1辆且只租用1次.设
甲、乙不超过1小时还车的概率分别为?和?;1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为?
和?;两人租车时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)记甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X).
解析 (1)由于两人租车时间都不会超过3小时,
所以每人所付费用可能为0元,2元,4元.
因此,两人都付0元的概率P1=?×?=?,
都付2元的概率P2=?×?=?,
都付4元的概率P3=?× ?=?.
所以,两人所付费用相同的概率P=P1+P2+P3=?.?(4分)
(2)根据题意,X的所有可能取值为0,2,4,6,8.
P(X=0)=?×?=?,
P(X=2)=?×?+?×?=?,
P(X=4)=?×?+?×?+?×?=?,
P(X=6)=?×?+?×?=?,
P(X=8)=?×?=?.
因此,随机变量X的分布列为
(8分)
故随机变量X的数学期望E(X)=?+?+?+?=?.?(10分)
X 0 2 4 6 8
P ? ? ? ? ?
3.(2019扬州期中,22)假定某人在规定区域投篮命中的概率为?,现他在某个投篮游戏中,共投
篮3次.
(1)求连续命中2次的概率;
(2)设命中的次数为X,求X的分布列和数学期望E(X).
解析 (1)设Ai(i=1,2,3)表示第i次投篮命中,?表示第i次投篮不中.设投篮连续命中2次为事
件A,
则P(A)=P(A1A2?+?A2A3)=?×?×?+?×?×?=?.?(4分)
(2)命中的次数X可能的取值为0,1,2,3.
P(X=0)=?=?,P(X=1)=???=?,P(X=2)=???=?,P(X=3)=?=?.
从而X的分布列为
X 0 1 2 3
P ? ? ? ?
(8分)
所以E(X)=0×?+1×?+2×?+3×?=2.?(10分)
4.(2019南通、扬州、泰州、苏北四市七市一模,22)“回文数”是指从左到右与从右到左读都
一样的正整数,如22,121,3553等.显然2位“回文数”共9个:11,22,33,…,99.现从9个不同2位
“回文数”中任取1个乘4,其结果记为X;从9个不同2位“回文数”中任取2个相加,其结果记
为Y.
(1)求X为“回文数”的概率;
(2)设随机变量ξ表示X,Y两数中“回文数”的个数,求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).
解析 (1)记“X是‘回文数’”为事件A.
9个不同2位“回文数”乘4的值依次为44,88,132,176,220,264,308,352,396.其中“回文数”有4
4,88.
所以,事件A的概率P(A)=?.?(3分)
(2)根据条件知,随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2.
由(1)得P(A)=?.?(5分)
设“Y是‘回文数’”为事件B,则事件A,B相互独立.
根据已知条件得P(B)=?=?.
P(ξ=0)=P(?)P(?)=?×?=?,
P(ξ=1)=P(?)P(B)+P(A)P(?)=?×?+?×?=?,
P(ξ=2)=P(A)P(B)=?×?=?.?(8分)
所以随机变量ξ的概率分布为
ξ 0 1 2
P ? ? ?
所以,随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×?+1×?+2×?=?.?(10分)
名师点睛 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤:
第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;
第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式等,求出随机变量取每个值时的
概率;
第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列
或某事件的概率是否正确;
第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.
5.(2019南通期末三县联考,22)甲,乙两人玩摸球游戏,每两局为一轮,每局游戏的规则如下:甲,
乙两人均从装有4只红球、1只黑球的袋中轮流不放回摸取1只球,摸到黑球的人获胜,并结束
该局.
(1)若在一局中甲先摸,求甲在该局获胜的概率;
(2)若在一轮游戏中约定:第一局甲先摸,第二局乙先摸,每一局先摸并获胜的人得1分,后摸并获
胜的人得2分,未获胜的人得0分,求此轮游戏中甲得分X的概率分布及数学期望.
解析 (1)记“一局中甲先摸,甲在该局获胜”为事件A,共有三种情况:黑球在1号、3号或5号
位置.?(2分)
所以P(A)=?.
答:甲在该局获胜的概率为?.?(4分)
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,?(5分)
则P(X=0)=?×?=?,
P(X=1)=?×?=?,
P(X=2)=?×?=?,
P(X=3)=?×?=?,?(9分)
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P ? ? ? ?
故E(X)=?×0+?×1+?×2+?×3=?.?(10分)
6.(2018南京、盐城二模,22)甲,乙两人站在P点处分别向A,B,C三个目标进行射击,每人向三个
目标各射击一次.每人每次射击每个目标均相互独立,且两人各自击中A,B,C的概率分别为?,
?,?.
(1)设X表示甲击中目标的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)求甲、乙两人共击中目标数为2的概率.
解析 (1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=?×?×?=?,
P(X=1)=?×?×?+?×?×?+?×?×?=?,
P(X=2)=?×?×?+?×?×?+?×?×?=?,
P(X=3)=?×?×?=?.
所以,随机变量X的分布列为
0 1 2 3
P ? ? ? ?
X的数学期望E(X)=0×?+1×?+2×?+3×?=?.
(2)设Y表示乙击中目标的个数,
由(1)可知,P(Y=0)=?,P(Y=1)=?,P(Y=2)=?.
则P(X=0,Y=2)=?×?=?,
P(X=1,Y=1)=?×?=?,
P(X=2,Y=0)=?×?=?,
所以P(X+Y=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=0)=?.
所以,甲、乙两人共击中目标数为2的概率为?.
解答题(共50分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：35分钟 分值：50分)
1.(2019苏中、苏北七大市三模,22)现有一款智能学习APP,学习内容包含文章学习和视频学习
两类,且这两类学习互不影响.已知该APP积分规则如下:每阅读一篇文章积1分,每日上限积5
分;观看视频累计3分钟积2分,每日上限积6分.经过抽样统计发现,文章学习积分的概率分布表
如表1所示,视频学习积分的概率分布表如表2所示.
表1
文章学习积分 1 2 3 4 5
概率 ? ? ? ? ?
表2
视频学习积分 2 4 6
概率 ? ? ?
(1)现随机抽取1人了解学习情况,求其每日学习积分不低于9分的概率;
(2)现随机抽取3人了解学习情况,设积分不低于9分的人数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望.
解析 (1)由题意可知,获得的积分不低于9分的情形有:
表2
因为两类学习互不影响,
所以概率P=?×?+?×?+?×?+?×?=?,
所以每日学习积分不低于9分的概率为?.?(4分)
(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
由(1)知每个人积分不低于9分的概率为?.
P(ξ=0)=?=?,P(ξ=1)=???=?,
P(ξ=2)=???=?,P(ξ=3)=?=?.
所以,随机变量ξ的概率分布列为
文章学习积分 3 4 5 5
视频学习积分 6 6 4 6
ξ 0 1 2 3
P ? ? ? ?
(8分)
所以E(ξ)=0×?+1×?+2×?+3×?=?.
所以随机变量ξ的数学期望为?.?(10分)
评分标准 1.第(1)问中若只写式子“P=?×?+?×?+?×?+?×?=?”,没有必要的文字说明,
则扣两分;
2.第(2)问中只要ξ的每一个取值的概率正确,不列表格,不扣分.
2.(2019苏锡常镇四市教学情况调查一,22)从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检
测,若这批产品的不合格率为0.05,随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数.
(1)问这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X=2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X=
3)”哪个大?请说明理由;
(2)求随机变量X的数学期望E(X).
解析 由于批量较大,可以认为随机变量X~B(10,0.05).?(2分)
(1)恰好有2件不合格的概率大.
恰好有2件不合格的概率P(X=2)=?×0.052×0.958,
恰好有3件不合格的概率P(X=3)=?×0.053×0.957.(4分)
∵?=?=?>1,
∴P(X=2)>P(X=3),即恰好有2件不合格的概率大.?(6分)
(2)∵P(X=k)=Pk=?pk(1-p)10-k,k=0,1,2,…,10.
∴随机变量X的概率分布列为
X 0 1 2 … 10
Pk ?p0(1-p)10 ?p1(1-p)9 ?p2(1-p)8 … ?p10(1-p)0
故E(X)=?kPk=0.5.?(9分)
答:随机变量X的数学期望E(X)为0.5.?(10分)
3.(2019南京、盐城二模,22)如图是一旅游景区供游客行走的路线图,假设从进口A开始到出口
B,每遇到一个岔路口,每位游客选择其中一条道路行进是等可能的.现有甲、乙、丙、丁共4
名游客结伴到旅游景区游玩,他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩,并按箭头所指
路线行走,最后到出口B集合,设点C是其中的一个交叉路口点.
?
(1)求甲经过点C的概率;
(2)设这4名游客中恰有X名游客经过点C,求随机变量X的概率分布和数学期望.
解析 (1)设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M.
甲选中间的路的概率为?,继续前进到岔路,到达点C的概率为?,这两个事件相互独立,所以选
择从中间一条路走到点C的概率 P1=?×?=?.?(2分)
同理,选择从最右边的道路走到点C的概率P2=?×?=?.
因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥,
所以P(M)=P1+P2=?+?=?.
答:甲从进口A开始到出口B经过点C的概率为?.?(4分)
(2)随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4.?(5分)
则P(X=0)=?×?×?=?,
P(X=1)=?×?×?=?,
P(X=2)=?×?×?=?,
P(X=3)=?×?×?=?,
P(X=4)=?×?×?=?,?(8分)
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P ? ? ? ? ?
故数学期望E(X)=0×?+1×?+2×?+3×?+4×?=?.?(10分)
4.(2019江都中学、华罗庚中学等13校联考,22)在某次活动中,有5名幸运之星.这5名幸运之星
可获得A、B两种奖品中的一种,并规定:每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获
得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点),抛掷点数小
于3的获得A奖品,抛掷点数不小于3的获得B奖品.
(1)求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率;
(2)设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数,并记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列及数学期望.
解析 这5名幸运之星中,每人获得A奖品的概率为?=?,获得B奖品的概率为?=?.
(1)要使获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数,则获得A奖品的人数可能为3,4,5,则所求概率
为P=???+???+??=?.?(4分)
(2)ξ的可能取值为1,3,5,则
P(ξ=1)=???+???=?,
P(ξ=3)=???+???=?,
P(ξ=5)=??+??=?,所以ξ的分布列为
ξ 1 3 5
P ? ? ?
故E(ξ)=1×?+3×?+5×?=?.?(10分)
思路分析 首先求出5名幸运之星中,每人获得A奖品的概率和获得B奖品的概率.
(1)由获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数得到获得A奖品的人数可能为3,4,5,进而求得概
率;(2)由ξ=|X-Y|,可得ξ的可能取值为1,3,5,同样求得概率,然后写出ξ的分布列,代入期望公式求
期望.
１４４ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
第二十章 概率统计
§ ２０．１ 离散型随机变量及其分布列、均值和方差
对应学生用书起始页码 Ｐ３９７
考点一 随机变量及其分布列、超几何分布
１．离散型随机变量的分布列
若离散型随机变量 Ｘ 可能取的不同值为 ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，Ｘ 取
每一个值 ｘｉ（ ｉ＝ １，２，…，ｎ）的概率 Ｐ（Ｘ＝ ｘｉ）＝ ｐｉ，则称表
Ｘ ｘ１ ｘ２ … ｘｉ … ｘｎ
Ｐ ｐ１ ｐ２ … ｐｉ … ｐｎ
为离散型随机变量 Ｘ 的概率分布列，简称 Ｘ 的分布列，具有
性质：
①ｐｉ≥０，ｉ＝ １，２，…，ｎ；
②ｐ１＋ｐ２＋…＋ｐｉ＋…＋ｐｎ ＝ １．
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范
围内各个值的概率之和．
２．两点分布
如果随机变量 Ｘ 的分布列为
Ｘ １ ０
Ｐ ｐ ｑ
其中 ０＜ｐ＜１，ｑ ＝ １－ｐ，则称离散型随机变量 Ｘ 服从参数为 ｐ
的两点分布．
３．超几何分布列
在含有 Ｍ 件次品的 Ｎ 件产品中，任取 ｎ 件，其中含有 Ｘ 件
次品， 则 事 件 ｛ Ｘ ＝ ｋ ｝ 发 生 的 概 率 为 Ｐ （ Ｘ ＝ ｋ ） ＝
ＣｋＭ·Ｃｎ
－ｋ
Ｎ－Ｍ
ＣｎＮ
（ｋ＝ ０，１，２，…，ｍ），其中 ｍ＝ｍｉｎ｛Ｍ，ｎ｝，且 ｎ≤Ｎ，Ｍ≤
Ｎ，ｎ、Ｍ、Ｎ∈Ｎ?，称分布列
Ｘ ０ １ … ｍ
Ｐ
Ｃ０ＭＣ
ｎ－０
Ｎ－Ｍ
ＣｎＮ
Ｃ１ＭＣ
ｎ－１
Ｎ－Ｍ
ＣｎＮ
…
ＣｍＭＣ
ｎ－ｍ
Ｎ－Ｍ
ＣｎＮ
为超几何分布列．
考点二 离散型随机变量的均值与方差
１．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量 Ｘ 的分布列为
Ｘ ｘ１ ｘ２ … ｘｉ … ｘｎ
Ｐ ｐ１ ｐ２ … ｐｉ … ｐｎ
（ ｉ＝ １，２，…，ｎ）
（１）均值
称 ＥＸ＝ ｘ１ｐ１＋ｘ２ｐ２＋…＋ｘｉｐｉ＋…＋ｘｎｐｎ 为随机变量 Ｘ 的均值或
数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（２）方差
称 ＤＸ＝∑
ｎ
ｉ ＝ １
（ｘｉ－ＥＸ） ２ｐｉ为随机变量 Ｘ 的方差，它刻画了随
机变量 Ｘ 与其均值 ＥＸ 的平均偏离程度，其算术平方根 ＤＸ为
随机变量 Ｘ 的标准差，记作 σＸ．
注：Ｄ（ξ）＝ Ｅξ２－（Ｅξ） ２，由 ξ 的分布列唯一确定．
２．均值与方差的性质
（１）Ｅ（ａＸ＋ｂ）＝ ａＥＸ＋ｂ（ａ，ｂ 为实数） ．
（２）Ｄ（ａＸ＋ｂ）＝ ａ２ＤＸ（ａ，ｂ 为实数） ．
３．两点分布与二项分布的均值、方差
（１）若 Ｘ 服从两点分布，则 ＥＸ＝ ｐ，ＤＸ＝ ｐ（１－ｐ） ．
（２）若 Ｘ～Ｂ（ｎ，ｐ），则 ＥＸ＝ｎｐ，ＤＸ＝ｎｐ（１－ｐ） ．
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对应学生用书起始页码 Ｐ３９７
求离散型随机变量的分布列和均值
求离散型随机变量 ξ 的分布列与均值的方法：
（１）理解离散型随机变量 ξ 的意义，写出 ξ 的所有可能
取值；
（２）求 ξ 取每个值的概率；
（３）写出 ξ 的分布列；
（４）根据均值的定义求 Ｅξ．
注意：如果 ξ～Ｂ（ｎ，ｐ），可用公式 Ｅξ＝ｎｐ 求解均值．
（２０１８ 南菁高级中学最后一卷，２２）一种抛硬币游戏的
规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得 １ 分，反面向上得 ２ 分．
（１）设抛掷 ５ 次的得分为 ξ，求 ξ 的分布列和数学期望 Ｅξ；
（２）求恰好得到 ｎ（ｎ∈Ｎ?）分的概率．
解析 （１）易知，ξ 的所有可能取值为 ５，６，７，８，９，１０，且
Ｐ（ξ＝ ｉ）＝ Ｃｉ－５５
１
２( )
５
（ ｉ＝ ５，６，７，８，９，１０），
所以 ξ 的分布列为
????
????
????
????
????
????
????
????
第二十章 概率统计 １４５
ξ ５ ６ ７ ８ ９ １０
Ｐ
１
３２
５
３２
５
１６
５
１６
５
３２
１
３２
Ｅξ＝ ∑
１０
ｉ ＝ ５
ｉ·Ｃｉ－５５
１
２( )
５
＝ １５
２
（分） ．
（２）令 ｐｎ 表示恰好得到 ｎ 分的概率．显然 ｐ１ ＝
１
２
，当 ｎ≥２
时，不出现 ｎ 分的唯一情况是得到（ｎ－１）分以后再掷出一次反
面．因为“不出现 ｎ 分”的概率是 １－ｐｎ，“恰好得到（ｎ－１）分”的概
率是 ｐｎ－１，“掷一次出现反面”的概率是
１
２
，所以有 １－ｐｎ ＝
１
２
ｐｎ－１，
即 ｐｎ－
２
３
＝ － １
２
ｐｎ－１－
２
３( ) （ｎ≥２） ．
于是 ｐｎ－
２
３{ } 是以 ｐ１ － ２３ ＝ １２ － ２３ ＝ － １６ 为首项，－ １２ 为公
比的等比数列．
所以 ｐｎ－
２
３
＝ － １
６
－ １
２( )
ｎ－１
，即 ｐｎ ＝
１
３
２＋ －
１
２( )
ｎ[ ] ．
答：恰好得到 ｎ 分的概率是
１
３
２＋ －
１
２( )
ｎ[ ] ．
１－１ （２０１９ 扬州中学阶段检测，２３）某商场举办“迎新年摸
球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，
乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中
只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金
ｍ 元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金 ｎ 元．活动规定：①参与
者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也
可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二
个箱子中摸球，否则活动终止．
（１） 如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金 ｎ 元
的概率；
（２）若要使得该参与者获奖金额的期望较大，请你帮他设计
摸箱子的顺序，并说明理由．
１－１ 解析 （１）设“参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金
ｎ 元”为事件 Ｍ，则 Ｐ（Ｍ）＝
１
３
× ３
４
＝ １
４
．
故参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金 ｎ 元的概率
为
１
４
．
（２）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：
①先在甲箱中摸球，参与者获奖金额 ξ（单位：元）的所有可
能取值为 ０，ｍ，ｍ＋ｎ，
则 Ｐ（ξ＝ ０）＝
３
４
，Ｐ（ξ＝ｍ）＝
１
４
× ２
３
＝ １
６
，
Ｐ（ξ＝ｍ＋ｎ）＝
１
４
× １
３
＝ １
１２
，
∴ Ｅξ＝ ０×
３
４
＋ｍ·
１
６
＋（ｍ＋ｎ）·
１
１２
＝ ｍ
４
＋ ｎ
１２
．
②先在乙箱中摸球，参与者获奖金额 η（单位：元）的所有可
能取值为 ０，ｎ，ｍ＋ｎ，
则 Ｐ（η＝ ０）＝
２
３
，Ｐ（η＝ｎ）＝
１
３
× ３
４
＝ １
４
，
Ｐ（η＝ｍ＋ｎ）＝
１
３
× １
４
＝ １
１２
，
∴ Ｅη＝ ０×
２
３
＋ｎ·
１
４
＋（ｍ＋ｎ）·
１
１２
＝ ｍ
１２
＋ ｎ
３
，
∴ Ｅξ－Ｅη＝
２ｍ－３ｎ
１２
．
当
ｍ
ｎ
＞
３
２
时，Ｅξ＞Ｅη，故先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，
参与者获奖金额的期望较大；
当
ｍ
ｎ
＝ ３
２
时，Ｅξ＝Ｅη，故按两种顺序摸球，参与者获奖金额
的期望相等；
当
ｍ
ｎ
＜
３
２
时，Ｅξ＜Ｅη，故先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，
参与者获奖金额的期望较大．
１－２ （２０１８ 扬州考前调研测试，２２）在正四棱柱 ＡＢＣＤ－
Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，ＡＢ＝ ２，ＡＡ１ ＝ ２ ２ ，从正四棱柱的 ８ 个顶点中任取 ３
个点构成三角形，记三角形的面积为 Ｘ．
（１）求 Ｐ（Ｘ＝ ４）的值；
（２）求 Ｘ 的分布列和数学期望．
１－２ 解析 （１）共有 Ｃ３８ 种等可能基本事件，其中满足 Ｘ ＝ ４ 的
有 ２Ｃ３４ ＝ ８ 种，
记“Ｘ＝ ４”为事件 Ａ，则 Ｐ（Ａ）＝
２Ｃ３４
Ｃ３８
＝ １
７
．
（２）Ｘ 的可能取值为 ２，２ ２ ，２ ３ ，４，２ ５ ，
Ｐ（Ｘ＝ ２）＝
２Ｃ３４
Ｃ３８
＝ １
７
，
Ｐ（Ｘ＝ ２ ２ ）＝
４Ｃ３４
Ｃ３８
＝ ２
７
，
Ｐ（Ｘ＝ ２ ３ ）＝
４Ｃ３４
Ｃ３８
＝ ２
７
，
Ｐ（Ｘ＝ ４）＝
２Ｃ３４
Ｃ３８
＝ １
７
，
Ｐ（Ｘ＝ ２ ５ ）＝
２Ｃ３４
Ｃ３８
＝ １
７
，
则 Ｘ 的分布列为
Ｘ ２ ２ ２ ２ ３ ４ ２ ５
Ｐ
１
７
２
７
２
７
１
７
１
７
所以 Ｅ（Ｘ）＝
１×２＋２×２ ２ ＋２×２ ３ ＋４×１＋１×２ ５
７
＝ ６
＋４ ２ ＋４ ３ ＋２ ５
７
．
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(共81张PPT)
五年高考
A组????自主命题·江苏卷题组
1.(2019江苏,23,10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},Bn={(0,1),
(n,1)},Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)},n∈N*.令Mn=An∪Bn∪Cn.从集合Mn中任取两个不同的点,用
随机变量X表示它们之间的距离.
(1)当n=1时,求X的概率分布;
(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).
解析 本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思
维能力和推理论证能力.满分10分.
(1)当n=1时,X的所有可能取值是1,?,2,?.
X的概率分布为
P(X=1)=?=?,P(X=?)=?=?,
P(X=2)=?=?,P(X=?)=?=?.
(2)设A(a,b)和B(c,d)是从Mn中取出的两个点.
因为P(X≤n)=1-P(X>n),所以仅需考虑X>n的情况.
①若b=d,则AB≤n,不存在X>n的取法;
②若b=0,d=1,则AB=?≤?,所以X>n当且仅当AB=?,此时a=0,c=n或a=n,c=0,
有2种取法;
③若b=0,d=2,则AB=?≤?.因为当n≥3时,?≤n,所以X>n当且仅当AB=
?,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法;
④若b=1,d=2,则AB=?≤?,所以X>n当且仅当AB=?,此时a=0,c=n或a=n,c=0,
有2种取法.
综上,当X>n时,X的所有可能取值是?和?,且
P(X=?)=?,P(X=?)=?.
因此,P(X≤n)=1-P(X=?)-P(X=?)=1-?.
2.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外完
全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其
中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).
1 2 3 … m+n
(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;
(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)<
?.
解析 本题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识,考查组合数及其
性质,考查运算求解能力和推理论证能力.
(1)解法一:若只考虑球的黑白差异(即同色球之间是不加区别的),编号为2的抽屉内放的是黑
球的概率P=?=?.
解法二:若将所有的球都看作不同的,则P=?=?.
解法三:若只考虑第二次放球,则P=?.
(2)随机变量X的概率分布为:
X ? ? ? … ? … ?
P ? ? ? … ? … ?
随机变量X的期望为:
E(X)=??·?=???·?.
所以E(X)=???
=?(1+?+?+…+?)
=?(?+?+?+…+?)
=?(?+?+…+?)
=…=?(?+?)
=?=?,
即E(X)B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 随机变量及其分布列、超几何分布
1.(2018天津理,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分
层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检
查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概
率.
解析 本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加
法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽
取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=k)=?(k=0,1,2,3).
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P ? ? ? ?
随机变量X的数学期望E(X)=0×?+1×?+2×?+3×?=?.
(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取
的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.
由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=?.
所以,事件A发生的概率为?.
名师点睛 超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分
布的特点:
(1)考察对象分两类;
(2)已知各类对象的个体数;
(3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.
超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.
2.(2017课标全国Ⅲ理,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶
4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经
验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最
高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月
份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:
瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
解析 本题考查随机变量的分布列,数学期望.
(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知
P(X=200)=?=0.2,P(X=300)=?=0.4,P(X=500)=?=0.4.
因此X的分布列为
X 200 300 500
P 0.2 0.4 0.4
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时,
若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.
因此EY=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.
当200≤n<300时,
若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.
所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.
3.(2017山东理,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影
响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙
种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有
6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另
5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.
解析 本题考查离散型随机变量的分布列,期望.
(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,
则P(M)=?=?.
(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则
P(X=0)=?=?,
P(X=1)=?=?,
P(X=2)=?=?,
P(X=3)=?=?,
P(X=4)=?=?.
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P ? ? ? ? ?
X的数学期望是
EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×?+2×?+3×?+4×?=2.
解后反思 (1)求离散型随机变量X的分布列的步骤:
①理解X的含义,写出X所有可能的取值.
②求X取每个值时的概率;
③写出X的分布列.
(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意
应用计数原理,古典概型概率公式等知识.
考点二 离散型随机变量的均值与方差
1.(2019浙江改编,7,4分)设0则当a在(0,1)内增大时, ????.
①D(X)增大;②D(X)减小;
③D(X)先增大后减小;④D(X)先减小后增大.
X 0 a 1
P ? ? ?
答案 ④
解析 本题主要考查了离散型随机变量的分布列、期望与方差,考查了学生的运算求解能力
及逻辑推理能力,考查了数学运算的核心素养.
随机变量X的期望E(X)=0×?+a×?+1×?=?,
D(X)=?×?
=?(a2-a+1)=??+?,
当a∈?时,D(X)单调递减,当x∈?时,D(X)单调递增.
易错警示 本题易出错的地方有两个:①方差公式记忆错误致错;
②计算方差时,运算过程出错.
2.(2018浙江改编,7,4分)设0则当p在(0,1)内增大时,下列说法正确的是 ????.
①D(ξ)减小 ②D(ξ)增大
③D(ξ)先减小后增大 ④D(ξ)先增大后减小
ξ 0 1 2
P ? ? ?
答案 ④
解析 本题考查随机变量的分布列,期望、方差的计算及函数的单调性.
由题意得E(ξ)=0×?+1×?+2×?=?+p,
D(ξ)=?·?+?·?+?·?
=?[(1+2p)2(1-p)+(1-2p)2+(3-2p)2·p]
=-p2+p+?=-?+?.
由?得0∴D(ξ)在?上单调递增,在?上单调递减.
3.(2017浙江改编,8,4分)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0结论正确的是 ????.
①E(ξ1)②E(ξ1)D(ξ2);
③E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)④E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2).
答案 ①
解析 本题考查随机变量的概念及其分布列,随机变量的期望、方差的计算,考查推理运算能
力,利用作差比较法比较两式的大小,构造函数,利用函数的单调性比较两式的大小.
解法一:∵E(ξ1)=0×(1-p1)+1×p1=p1,
同理,E(ξ2)=p2,又0D(ξ1)=(0-p1)2(1-p1)+(1-p1)2p1=p1-?,
同理,D(ξ2)=p2-?.
D(ξ1)-D(ξ2)=p1-p2-(?-?)=(p1-p2)(1-p1-p2).
∵00,∴(p1-p2)(1-p1-p2)<0.
∴D(ξ1)解法二:同解法一知E(ξ1)令f(x)=x-x2,则f(x)在?上为增函数,∵04.(2017北京理,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一
组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中
“*”表示服药者,“+”表示未服药者.
?
(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;
(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分
布列和数学期望E(ξ);
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需
写出结论)
解析 本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识.
(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机
选出一人,此人指标y的值小于60的概率为?=0.3.
(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.
所以ξ的所有可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)=?=?,P(ξ=1)=?=?,P(ξ=2)=?=?.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P ? ? ?
故ξ的期望E(ξ)=0×?+1×?+2×?=1.
(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.
方法总结 ①在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,先确定随机变量的取值及各个
取值对应的概率,利用期望的公式求其数学期望;②在比较数据的方差时,可以根据两组数据的
集中或分散程度进行比较.
5.(2015安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机
检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所
需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).
解析 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,
P(A)=?=?.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X=200)=?=?,
P(X=300)=?=?,
P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-?-?=?.
故X的分布列为
X 200 300 400
P ? ? ?
EX=200×?+300×?+400×?=350.
C组 教师专用题组
考点一 随机变量及其分布、超几何分布
1.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽
奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个
球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获
奖.
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;
(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学
期望.
解析 (1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},
A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},
B1={顾客抽奖1次获一等奖},
B2={顾客抽奖1次获二等奖},
C={顾客抽奖1次能获奖}.
由题意,得A1与A2相互独立,A1?与?A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1?+?A2,C=B1+B2.
因为P(A1)=?=?,P(A2)=?=?,
所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=?×?=?,
P(B2)=P(A1?+?A2)=P(A1?)+P(?A2)
=P(A1)P(?)+P(?)P(A2)
=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)
=?×?+?×?=?.
故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=?+?=?.
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为?,所以X~B
?.
于是P(X=0)=???=?,
P(X=1)=???=?,
P(X=2)=???=?,
P(X=3)=???=?.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P ? ? ? ?
X的数学期望为E(X)=3×?=?.
2.(2015四川,17,12分)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女
生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相
当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布
列和数学期望.
解析 (1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为?=?.
因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-?=?.
(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.
P(X=1)=?=?,
P(X=2)=?=?,
P(X=3)=?=?.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P ? ? ?
因此,X的数学期望为
E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)
=1×?+2×?+3×?=2.
评析 本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知
识,考查运算求解能力、应用意识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的
能力.
3.(2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,
对其容量为100的样本进行统计,结果如下:
(1)求T的分布列与数学期望ET;
(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘
教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.
T(分钟) 25 30 35 40
频数(次) 20 30 40 10
解析 (1)由统计结果可得T的频率分布为
以频率估计概率得T的分布列为
T(分钟) 25 30 35 40
频率 0.2 0.3 0.4 0.1
T 25 30 35 40
P 0.2 0.3 0.4 0.1
从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).
(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.
设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于
“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.
解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)
=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.
解法二:P(?)=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)
=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09.
故P(A)=1-P(?)=0.91.
4.(2014重庆,18,13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡
片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.
(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数)
解析 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为
P=?=?.
(2)X的所有可能值为1,2,3,且
P(X=1)=?=?,P(X=2)=?=?,
P(X=3)=?=?,
故X的分布列为
X 1 2 3
P ? ? ?
从而E(X)=1×?+2×?+3×?=?.
评析 本题考查概率的计算,随机变量的分布列及数学期望.其中概率的计算要求较高,不过整
体难度不大,属中等偏易题.
5.(2014江苏,22,10分)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完
全相同.
(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;
(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x
1,x2,x3中的最大数.求X的概率分布和数学期望E(X).
解析 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,
所以P=?=?=?.
(2)随机变量X的所有可能取值为2,3,4.
{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P(X=4)=?=?;
{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他
颜色的球”,故P(X=3)=?=?=?;
于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-?-?=?.
所以随机变量X的概率分布如下表:
X 2 3 4
P ? ? ?
因此随机变量X的数学期望
E(X)=2×?+3×?+4×?=?.
思路分析 (1)取出两个颜色相同的球:取出两个绿球,有?种情况,取出两个黄球,有?种情况,
取出两个红球,有?种情况,任取两个球有?种情况,根据概率公式求概率即可.(2)先确定X的
所有可能取值,然后分别求出每个取值情况下的概率,然后可得分布列,进而求得数学期望.
6.(2012江苏,22,10分)设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交
时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1.
(1)求概率P(ξ=0);
(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E(ξ).
解析 (1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以
共有8?对相交棱,因此P(ξ=0)=?=?=?.
(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或?,其中距离为?的共有6对,
故P(ξ=?)=?=?,
于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=?)=1-?-?=?,
所以随机变量ξ的分布列是
ξ 0 1 ?
P(ξ) ? ? ?
因此E(ξ)=1×?+?×?=?.
评析 本题主要考查概率分布、数学期望等基础知识,考查运算求解能力.
考点二 离散型随机变量的均值与方差
1.(2014浙江,12,5分)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=?,E(ξ)=1,则D(ξ)= ????.
答案?????
解析 设P(ξ=1)=p,则P(ξ=2)=?-p,从而由E(ξ)=0×?+1×p+2×?=1,得p=?.故D(ξ)=(0-1)2×?
+(1-1)2×?+(2-1)2×?=?.
2.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将
被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码
是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝
试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.
解析 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,
则P(A)=?×?×?=?.
(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.
又P(X=1)=?,P(X=2)=?×?=?,P(X=3)=?×?×1=?,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P ? ? ?
所以E(X)=1×?+2×?+3×?=?.
评析 本题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基
础知识,考查运算求解能力、应用意识.
3.(2015北京,16,13分)A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如
下:
A组:10,11,12,13,14,15,16;
B组:12,13,15,16,17,14,a.
假设所有病人的康复时间互相独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的
人记为乙.
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;
(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;
(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)
解析 设事件Ai为“甲是A组的第i个人”,
事件Bj为“乙是B组的第j个人”,i,j=1,2,…,7.
由题意可知P(Ai)=P(Bj)=?,i,j=1,2,…,7.
(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,或者第
7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=?.
(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.
由题意知,C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.
因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)
=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=?.
(3)a=11或a=18.
4.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2
个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.
解析 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=
?=?.
(2)X的所有可能值为0,1,2,且
P(X=0)=?=?,P(X=1)=?=?,
P(X=2)=?=?.
综上知,X的分布列为
X 0 1 2
P ? ? ?
故E(X)=0×?+1×?+2×?=?(个).
5.(2014天津,16,13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来
自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随
机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
解析 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则
P(A)=?=?.
所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为?.
(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.
P(X=k)=?(k=0,1,2,3).
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P ? ? ? ?
随机变量X的数学期望E(X)=0×?+1×?+2×?+3×?=?.
评析 本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数
学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
6.(2013重庆理,18,13分)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先
从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出
1个球.根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:
奖 级 摸出红、蓝球个数 获奖金额
一等奖 3红1蓝 200元
二等奖 3红0蓝 50元
三等奖 2红1蓝 10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X).
解析 设Ai表示摸到i个红球,Bj表示摸到j个蓝球,则Ai(i=0,1,2,3)与Bj(j=0,1)独立.
(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)=?=?.
(2)X的所有可能的值为0,10,50,200,且
P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)=?·?=?,
P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)=?·?=?,
P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)=?·?=?=?,
P(X=0)=1-?-?-?=?.
综上知X的分布列为
X 0 10 50 200
P ? ? ? ?
从而有E(X)=0×?+10×?+50×?+200×?=4(元).
7.(2013天津理,16,13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色
卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;
(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
解析 (1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)=?=?.
所以取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为?.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X=1)=?=?,P(X=2)=?=?,
P(X=3)=?=?,P(X=4)=?=?.
所以随机变量X的分布列是
X 1 2 3 4
P ? ? ? ?
随机变量X的数学期望EX=1×?+2×?+3×?+4×?=?.
评析 本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学
期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
1.(2019扬州中学3月检测,22)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活
动,并在培训结束后对学生进行了考核.记X表示学生的考核成绩,并规定X≥85为考核优秀.为
了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如
下茎叶图:
?
(1)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率;
(2)从图中考核成绩满足X∈[70,79]的学生中任取3人,设Y表示这3人中成绩满足|X-85|≤10的
人数,求Y的分布列和数学期望.
解析 (1)设“该名学生考核成绩优秀”为事件A.
由茎叶图中的数据可以知道,30名学生中,有7名学生考核优秀,所以所求概率约为?.
(2)因为成绩X∈[70,79]的学生共有8人,其中满足|X-85|≤10的学生有5人,所以Y的所有可能取
值为0,1,2,3.
所以P(Y=0)=?=?,P(Y=1)=?=?,
P(Y=2)=?=?,P(Y=3)=?=?.
则随机变量Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P ? ? ? ?
故E(Y)=0×?+1×?+2×?+3×?=?.
2.(2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,22)某物理老师准备从3道经典题和5道
原创题中随机选择4道题组成一份物理竞赛试卷.
(1)求该试卷至少有1道经典题的概率;
(2)根据以往对试卷的评价分析,经典题评价指数一般为a(a为常数),原创题评价指数一般为2a.
试卷的评价指数为每道题的评价指数之和,求这份物理竞赛试卷评价指数的概率分布及数学
期望.
解析 (1)设“至少有1道经典题”为事件A,?(1分)
则事件A的对立事件?为“没有经典题”.
所以P(A)=1-P(?)=1-?=?.?(2分)
答:该试卷至少有1道经典题的概率为?.?(3分)
(2)设ξ表示选用经典题的道数,则ξ的所有可能取值为0,1,2,3.设X为试卷的评价指数,依题意,得
X=aξ+2a(4-ξ),
故X的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a.?(4分)
则P(X=8a)=P(ξ=0)=?=?,
P(X=7a)=P(ξ=1)=?=?,
P(X=6a)=P(ξ=2)=?=?,
P(X=5a)=P(ξ=3)=?=?.?(8分)
(每算对一个得1分)
从而X的概率分布为
所以E(X)=8a·?+7a·?+6a·?+5a·?=?a.?(10分)
X 8a 7a 6a 5a
P ? ? ? ?
3.(2019海安期末,22)从集合P={x|1≤x≤9,x∈N*}中等可能地取出m个不同元素,记所取元素之
和为ξ.
(1)若m=2,求ξ为偶数的概率;
(2)若m=3,η表示ξ被3整除的余数,求η的概率分布及数学期望E(η).
解析 (1)当m=2时,ξ为偶数的概率P=?=?.?(2分)
(2)当m=3时,因为η表示ξ被3整除的余数,所以η的所有可能取值为0,1,2.
记集合A={1,4,7},B={2,5,8},C={3,6,9}.
则“η=0”表示从A,B,C中各取1个或从A中取3个或从B中取3个或从C中取3个,所以P(η=0)=
?=?;?(4分)
“η=1”表示从A中取1个、C中取2个或从A中取2个、B中取1个或从B中取2个、C中取1个,所
以P(η=1)=?=?;?(6分)
“η=2”表示从A中取2个,C中取1个或从B中取1个,C中取2个或从A中取1个,B中取2个,所以P
(η=2)=?=?.?(8分)
所以η的概率分布为
η 0 1 2
P ? ? ?
所以E(η)=0×?+1×?+2×?=?.?(10分)
4.(2019苏州期末,22)已知正四棱锥S-ABCD的底面边长和高均为2,从其五个顶点中任取三个,
记这三个顶点围成的三角形的面积为ξ.
(1)求概率P(ξ=2);
(2)求ξ的分布列和数学期望.
解析 (1)ξ=2时,所取三点是底面ABCD的四个顶点中的任三个,
所以P(ξ=2)=?=?=?.?(2分)
(直接列举同样给2分,不做任何说明直接给结果的扣1分)
(2)ξ的可能取值为2,?,2?,
则P(ξ=2)=?;
P(ξ=?)=?=?;
P(ξ=2?)=?=?.?(6分)
所以ξ的分布列为
ξ 2 ? 2?
P ? ? ?
(8分)
故ξ的数学期望为E(ξ)=2×?+?×?+2?×?=?.?(10分)
(ξ的取值有错误的该条不给分,后续期望也不给分;概率分布列正确,没有列表的不扣分)
5.(2018常州期末,22)已知正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱
中任取两条,按下列方式定义随机变量ξ的值:
若这两条棱所在的直线相交,则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制);
若这两条棱所在的直线平行,则ξ=0;
若这两条棱所在的直线异面,则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制).
(1)求ξ=0的概率;
(2)求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ).
解析 根据题意知四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,容易得到△PAC,△PBD
为等腰直角三角形.ξ的可能取值为0,?,?,共?=28种情况,其中:
ξ=0时,有2种;ξ=?时,有3×4+2×4=20种;ξ=?时,有2+4=6种.
(1)P(ξ=0)=?=?.
(2)P?=?=?,P?=?=?.
随机变量ξ的分布列如下表:
ξ 0 ? ?
P ? ? ?
故E(ξ)=0×?+?×?+?×?=?π.
评析 理解随机变量ξ的含义,按照变量的取值分类,求出分布列,进而求得期望,难度适中.
6.(2017苏州高三调研测试)口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数
字2,两张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二次再任意抽取一张,记第
一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.
(1)ξ为何值时,其发生的概率最大?说明理由;
(2)求随机变量ξ的数学期望E(ξ).
解析 (1)依题意,随机变量ξ的取值是2,3,4,5,6.
因为P(ξ=2)=?=?;
P(ξ=3)=?=?;
P(ξ=4)=?=?;
P(ξ=5)=?=?;
P(ξ=6)=?=?.
所以,当ξ=4时,其发生的概率最大,最大值为P(ξ=4)=?.
(2)E(ξ)=2×?+3×?+4×?+5×?+6×?=?,
所以,随机变量ξ的数学期望E(ξ)=?.
解答题(共40分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：30分钟 分值：40分)
1.(2019如东中学、栟茶中学期末,23)为了丰富学生的课余生活,某校决定在每周的同一时间
开设舞蹈、美术、声乐、棋类四门校本活动课程,甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本活
动课程中随机选一门进行学习,假设三人选择课程时互不影响,且每人选择每一门课程都是等
可能的.
(1)求甲、乙、丙三人均不选择舞蹈课程的概率;
(2)设X为甲、乙、丙三人中选择舞蹈课程的人数,求X的概率分布和数学期望E(X).
解析 (1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门,共有43=64种不同的选法,记“甲、乙、
丙三人均不选择舞蹈课程”为事件A,事件A共包含33=27个基本事件,则P(A)=?.
所以甲、乙、丙三人均不选择舞蹈课程的概率为?.
(2)解法一:X可能的取值为0,1,2,3.
P(X=0)=?=?,P(X=1)=?=?,P(X=2)=?=?,P(X=3)=?=?.
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P ? ? ? ?
所以E(X)=0×?+1×?+2×?+3×?=?.
解法二:甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门,可以看成三次独立重复试验,X为甲、乙、丙
三人中选舞蹈课程的人数,则X~B?,
所以P(X=k)=???,k=0,1,2,3,
所以X的概率分布列为
X 0 1 2 3
P ? ? ? ?
所以X的数学期望E(X)=3×?=?.
2.(2019金陵中学调研,22)某小组共10人,利用暑期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,
3的人数分别为3,3,4,现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
解析 (1)从10人中选出2人共有?=45种选法.
事件A:选出的2人参加次数的和为4,
则有以下两种情况:
①1人参加1次,1人参加3次,共??=12种;
②2人都参加2次,共?=3种.
所以事件A发生的基本事件总数为15种,
所以事件A发生的概率P(A)=?=?.
(2)由(1)知从10人中选出2人共有?=45种选法,
故基本事件总数为45.
设选出2人参加义工活动次数之差的绝对值为X.
故X可能的取值是0,1,2.
当X=0,即2人参加义工活动的次数相同时,
有三种情况:2人均参加1次,2人均参加2次,2人均参加3次,
共?+?+?=12种,故P(X=0)=?=?.
当X=1,即2人参加义工活动的次数相差1时,
有两种情况:1人参加1次,1人参加2次;1人参加2次,1人参加3次,
共??+??=21种,故P(X=1)=?=?.
当X=2,即2人参加义工活动的次数相差2时,
有一种情况:1人参加1次,1人参加3次,
共??=12种,故P(X=2)=?=?.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P ? ? ?
从而随机变量X的数学期望E(X)=0×?+1×?+2×?=1.
3.(2019南京六校联合体联考,22)将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实习.
(1)求4名大学生恰好在四个不同公司的概率;
(2)随机变量X表示分到B公司的大学生的人数,求X的分布列和数学期望E(X).
解析 (1)将4人安排到四个公司中,共有44=256种不同方法.
记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A,
事件A共包含?=24个基本事件,
所以P(A)=?=?,
所以4名大学生恰好在四个不同公司的概率为?.?(3分)
(2)解法一:X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=?=?,P(X=1)=?=?,P(X=2)=?=?,P(X=3)=?=?,P(X=4)=?=?.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P ? ? ? ? ?
(8分)
所以E(X)=0×?+1×?+2×?+3×?+4×?=1.?(10分)
解法二:记“每个大学生分到B公司”为事件B,则P(B)=?,P(?)=1-?=?.?(5分)
根据题意得X~B?,
所以P(X=k)=???,k=0,1,2,3,4,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P ? ? ? ? ?
(8分)
所以E(X)=4×?=1.?(10分)
评析 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用,考查古
典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
4.(2018南通调研,22)在某公司举行的年终庆典活动中,主持人利用随机抽奖软件进行抽奖,由
电脑随机生成一张3×3表格,其中1格设奖300元,4格各设奖200元,其余4格各设奖100元,点击某
一格即显示相应金额.某人在表中随机不重复点击3格,记中奖的总金额为X元.
(1)求概率P(X=600);
(2)求X的概率分布列及数学期望E(X).
解析 (1)从3×3表格中随机不重复地点击3格,共有?种不同情形.
则事件:“X=600”包含两类情形:
第一类是3格各为200元;
第二类是1格为300元,1格为200元,1格为100元,
其中第一类包含?种情形,第二类包含?·?·?种情形.
所以P(X=600)=?=?.
(2)X的所有可能值为300,400,500,600,700.
则P(X=300)=?=?=?,
P(X=400)=?=?=?,
P(X=500)=?=?=?,
P(X=600)=?,
P(X=700)=?=?=?.
所以X的概率分布列为
所以E(X)=300×?+400×?+500×?+600×?+700×?=500(元).
X 300 400 500 600 700
P ? ? ? ? ?
C组 2017—2019年高考模拟·应用创新题组
(2019 5·3原创题)某商场举行大型促销活动,规定消费金额满500元可进行抽奖.抽奖时,顾客从
装有除颜色外完全相同的10个小球(只有黑、白两种颜色)中任意摸取两个,摸到两球颜色相
同可享受9折优惠,颜色不同可享受8折优惠.
(1)为了解抽奖时10个小球中黑球的数量,某顾客对大量抽奖结果进行统计,发现享受9折优惠
的顾客人数与享受8折优惠的顾客人数之比大约为4∶5.求袋中黑球的个数(以事件的频率作
为该事件的概率);
(2)为了吸引更多消费者,活动第二天起,商场对抽奖规则进行以下两方面调整:
①抽奖规则变更为:黑白两色小球数量不变,顾客只任意摸取一个小球,摸到黑球、白球分别享
受9折、8折优惠;
②增设高级抽奖,顾客消费金额满1 000元即可参加,高级抽奖是:顾客从除颜色外完全相同的1
0个小球(3个红球、4个黄球、3个绿球)中任意摸取一个,摸到红球、黄球、绿球分别可享受9
折、8折、7折优惠.
某顾客计划在该商场购买1 000元的商品,现有两个结算方案.
方案一:分两次结算,每次购买500元的商品,最终参加两次普通抽奖,共支付X元;
方案二:一次性结算,进行一次高级抽奖,最终支付Y元.
以概率作为决策依据,指出你认为相对更划算的方案.
解析 (1)设黑球数量为n,则白球数量为10-n,
由题意可知,一次摸取两球异色的概率约为?=?,
由古典概型可知?=?,
即?=?,整理得n2-10n+25=0,
故n=5,即黑球有5个.
(2)根据题意,可知随机变量X的可能取值为800,850,900,则X的分布列如下:
X 800 850 900
P ? ? ?
随机变量Y的可能取值为700,800,900,则Y的分布列如下:
故P(X>Y)=P(Y=700)+P(X=850,Y=800)+P(X=900,Y=800)=?+?×?+?×?=?,
即采用方案二比方案一更划算的概率为?,超过了一半的机会,因此方案二比方案一更划算.
注:若学生通过计算期望得到EX=850>800=EY,故选择方案二,虽然给出了正确的选择,但决策
依据并不是概率,而是随机变量的数字特征,与题目要求有一定出入,可在满分基础上扣2分.
Y 700 800 900
P ? ? ?
