第二章 函数
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
２０１９ 江苏，４ ５ 分 填空题 易 函数的概念及表示
①求函数定义域
②解一元二次不等式
直接法 数学运算
２０１９ 江苏，１４ ５ 分 填空题 难 函数的零点及方程的根
①已知零点个数求参数范围
②函数的奇偶性、周期性
数形结合
直接法、推理分析法
直观想象
数学运算
２０１８ 江苏，５ ５ 分 填空题 易
①函数的概念及其表示
②对数函数
①已知函数解
析式求定义域
②对数函数的单调性
直接法 数学运算
２０１８ 江苏，９ ５ 分 填空题 易
①分段函数及其应用
②函数的周期性
①分段函数求值
②周期函数的应用
直接法 数学运算
２０１８ 江苏，１９ １６ 分 解答题 难 函数与方程 函数的零点
求导法
转化与化归
数学运算
数学抽象
２０１７ 江苏，１１ ５ 分 填空题 中
①函数的单调性
②函数的奇偶性
①函数奇偶性的判断
②利用单调性求参数范围
求导法
数形结合
数学运算
数学抽象
２０１７ 江苏，１４ ５ 分 填空题 难
①分段函数
②函数的周期性
③函数的零点与方程的根
①分段函数求值
②周期函数的应用
③函数零点个数
直接法
数形结合
数学运算
数学抽象
２０１６ 江苏，５ ５ 分 填空题 易 函数的概念及其表示 已知函数解析式求定义域 直接法 数学运算
２０１６ 江苏，１１ ５ 分 填空题 中
①分段函数及其应用
②函数的周期性
①已知分段函数
值相等求参数值
②周期函数的应用
直接法 数学运算
２０１６ 江苏，１９ １６ 分 解答题 难
①指数函数
②函数与方程
①指数函数的性质及应用
②基本不等式的应用
③利用零点求参数值
求导法
数学运算
数学抽象
２０１５ 江苏，７ ５ 分 填空题 易 指数与指数函数 指数函数的单调性 直接法 数学运算
２０１５ 江苏，１３ ５ 分 填空题 中
①函数的零点与方程的根
②对数与对数函数
①函数零点个数
②对数函数图象及应用
直接法
数形结合
数学运算
直观想象
２０１５ 江苏，１７ １４ 分 解答题 中 函数的实际应用
用待定系数法
求函数解析式
待定系数法
数学运算
数学建模
命题规律与趋势
０１ 考查内容
１．从近几年高考考题分析，本章考查内容
丰富，主要考查函数的有关概念，函数性
质，指数函数与对数函数，函数的图象及
其应用，函数零点．
２．函数与方程思想，数形结合思想是高考
的热点．
０２ 考频赋分
１．函数每年必考，分值一般不少于 １０ 分．
２．试题难度不定，高、中、低档难度的题都
有．题型多为填空题．
０３ 命题特点
１．函数性质每年必考，有时单考一个性质，
有时涉及两个或两个以上性质，其中奇
偶性考频最高，分段函数、函数的图象识
辨、利用函数性质比较大小也很常见．函
数单调性常作为工具使用．
２．试题命题角度变化多样，设问新颖，但注
重基础，不偏不怪．
０４ 解题方法
１．本章涉及的方法很多．如：直接法、消元
法、配方法、构造法等都很常见，分离常
数法、换元法、特殊值法也偶有使用．
２．通性通法依然是解决本章试题的第一选择．
０５ 核心素养
数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模．
０６ 命题趋势
１．高考对本章的考查依然是基础与能力
并存．
２．以函数性质为主，常以指数函数、对数函
数为载体，考查实际应用问题．
３．考查形式既有单独考查，又有与其他内
容结合命题，形式多样，以中等难度试题
为主．
８ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§ ２．１ 函数的概念及其表示
对应学生用书起始页码 Ｐ１１
考点一 函数的概念及其表示 高频考点
１．函数与映射的概念
函数 映射
两集合
Ａ、Ｂ
设 Ａ、Ｂ 是两个非空数集 设 Ａ、Ｂ 是两个非空集合
对应关系
ｆ：Ａ→Ｂ
如果按照某种确定的对应关
系 ｆ，使对于集合 Ａ 中的任意
一个数 ｘ，在集合 Ｂ 中都有
唯一确定的数ｆ（ｘ）和它对应
如果按照某一个确定的对
应关系 ｆ，使对于集合 Ａ 中
的 任意一个元素 ｘ， 在 集
合 Ｂ 中都有唯一确定的元
素 ｙ 与之对应
名称
称 ｆ：Ａ→Ｂ 为从集合 Ａ 到集
合 Ｂ 的一个函数
称对应 ｆ：Ａ→Ｂ 为从集合
Ａ 到集合 Ｂ 的一个映射
记法 ｙ＝ ｆ（ｘ），ｘ∈Ａ 对应 ｆ：Ａ→Ｂ
２．函数的定义域、值域
在函数 ｙ＝ ｆ（ｘ），ｘ∈Ａ中，ｘ 叫做自变量，ｘ 的取值范围 Ａ 叫做函
数的定义域，与 ｘ 的值相对应的 ｙ 的值叫做函数值，函数值的集合
｛ｆ（ｘ） ｜ｘ∈Ａ｝叫做函数的值域．
３．相等函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这
两个函数相等．
４．函数的表示法主要有：解析法，图象法，列表法．
考点二 分段函数及其应用 高频考点
１．如果函数在其定义域的不同子集上，对应关系不同或分
别用几个不同的式子来表示，那么这种表示形式的函数叫做分
段函数．
２．分段函数是指不能用一个统一的解析式表示的函数，它
是一个函数，而不是几个函数，分段函数的连续与间断完全由对
应关系来确定．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
对应学生用书起始页码 Ｐ１２
一、函数定义域问题的求解方法
１．求具体函数 ｙ＝ ｆ（ｘ）的定义域
ｙ ＝ ｆ（ｘ）
用图象法给出
图象在 ｘ 轴上的投影所
覆盖的实数 ｘ 的集合
用列表法给出 表格中实数 ｘ 的集合
用解析式给出
使解析式有意义
的实数 ｘ 的集合
由实际问题给出 由实际问题的意义确定
具体求解步骤：
（１）列出使函数有意义的不等式（组）；
（２）解该不等式（组）；
（３）写出函数的定义域（用集合或区间表示） ．
２．求复合函数的定义域
（１） 若已知函数 ｆ （ ｘ） 的定义域为 ［ ａ， ｂ］，则复合函数
ｆ（ｇ（ｘ））的定义域由 ａ≤ｇ（ｘ）≤ｂ 求出．
（２）若已知函数 ｆ（ｇ（ｘ））的定义域为［ａ，ｂ］，则 ｆ（ｘ）的定义
域为 ｇ（ｘ）在 ｘ∈［ａ，ｂ］上的值域．
求下列函数的定义域：
（１） ｆ（ｘ）＝ ４－ ｜ ｘ ｜ ＋ｌｇ
ｘ２－５ｘ＋６
ｘ－３
；
（２） ｆ（ｘ）＝
ｌｎ（ｘ＋１）
－ｘ２－３ｘ＋４
；
（３） ｆ（ｘ）＝
（ｘ＋１） ０
｜ ｘ ｜ －ｘ
．
解析 （１）要使函数 ｆ（ｘ）有意义，则有
４－ ｜ ｘ ｜≥０，
ｘ２－５ｘ＋６
ｘ－３
＞０，{ 解之
得
－４≤ｘ≤４，
ｘ＞２ 且 ｘ≠３，{ 故函数 ｆ（ｘ）的定义域为（２，３）∪（３，４］ ．
（２ ） 要 使 函 数 ｆ （ ｘ ） 有 意 义， 则
ｘ＋１＞０，
－ｘ２－３ｘ＋４＞０，{ 即
ｘ＞－１，
ｘ２＋３ｘ－４＜０，{ 解得－１＜ｘ＜１．
故函数 ｆ（ｘ）的定义域为（－１，１） ．
（３）要使函数 ｆ（ ｘ）有意义，则
ｘ＋１≠０，
｜ ｘ ｜ －ｘ≠０，{ 解得 ｘ＜０ 且 ｘ≠
－１，
故函数 ｆ（ｘ）的定义域为｛ｘ ｜ ｘ＜０ 且 ｘ≠－１｝ ．
１－１ 求下列函数的定义域．
（１） ｆ（ｘ）＝
｜ ｘ－２ ｜ －１
ｌｏｇ２（ｘ－１）
；
（２） ｆ（ｘ）＝
１
１－ｘ
＋ｌｏｇ２（２ｘ－１） ．
１－１ 解析 （１）要使函数 ｆ（ｘ）有意义，则
｜ ｘ－２ ｜ －１≥０，
ｘ－１＞０，
ｌｏｇ２（ｘ－１）≠０，
{ 解得
ｘ≥３，因此函数 ｆ（ｘ）的定义域为［３，＋∞ ） ．
（２）要使函数 ｆ（ｘ）有意义，则
１－ｘ＞０，
２ｘ－１＞０，{ 解得 １２ ＜ｘ＜１，所以
函数 ｆ（ｘ）的定义域为
１
２
，１( ) ．
１－２ （ １） 已知 ｆ （ ｘ） 的定义域为 －
１
２
，
１
２[ ] ，求函数
ｆ ｘ２－ｘ－
１
２( ) 的定义域；
（２）已知函数 ｆ（３－ ２ｘ）的定义域为［ － １，２］，求 ｆ（ ｘ）的定
义域．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
第二章 函数 ９
１－２ 解析 （１）令 ｔ＝ ｘ２－ｘ－
１
２
，
∵ ｆ（ ｔ）的定义域为 ｔ －
１
２
≤ｔ≤
１
２{ } ，
∴ －
１
２
≤ｘ２－ｘ－
１
２
≤
１
２
，
∴
ｘ２－ｘ≥０，
ｘ２－ｘ－１≤０{ ?
ｘ≤０ 或 ｘ≥１，
１－ ５
２
≤ｘ≤
１＋ ５
２
，{
∴ 所求函数的定义域为 １－ ５
２
，０é
?
êê
ù
?
úú ∪ １，
１＋ ５
２
é
?
êê
ù
?
úú ．
（２）∵ －１≤ｘ≤２，∴ －１≤３－２ｘ≤５．
故 ｆ（ｘ）的定义域为［－１，５］ ．
????
????
????
????
????
????
????
????
二、函数解析式问题的求解方法
１．配凑法：由已知条件 ｆ（ｇ（ｘ））＝ Ｆ（ｘ），可将 Ｆ（ｘ）改写成关
于 ｇ（ｘ）的表达式，然后以 ｘ 替代 ｇ（ｘ），便得 ｆ（ｘ）的表达式；
２．待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函
数），则可用待定系数法；
３．换元法：已知复合函数 ｆ（ｇ（ｘ））的解析式，可用换元法，此
时要注意新元的取值范围；
４．解方程（组）法：已知关于 ｆ（ ｘ）与 ｆ
１
ｘ( ) 或 ｆ（ ｘ）与ｆ（－ｘ）
的表达式，可根据已知条件再构造出另一个等式，组成方程组，
通过解方程组求出 ｆ（ｘ） ．
５．赋值消元法：遇到抽象函数的恒等式时，一般可用赋值消
元法，其思维过程就是从一般到特殊．在使用赋值消元法时，要注
意题中自变量的取值范围，在赋值时不能超出自变量的取值
范围．
（１）已知 ｆ（ｘ）是一次函数，且 ｆ（ ｆ（ｘ））＝ ４ｘ＋３，则 ｆ（ ｘ）
的解析式为 ；
（２）已知 ｆ（ ｘ ＋１）＝ ｘ＋２ ｘ ，则 ｆ（ｘ）的解析式为 ；
（３）已知函数 ｆ（ｘ）满足 ｆ（ｘ）＝ ２ｆ
１
ｘ( ) ＋ｘ，则 ｆ（ｘ）的解析式
为 ；
（４）已知 ｆ（０）＝ １，对任意的实数 ｘ，ｙ 都有 ｆ（ ｘ－ｙ）＝ ｆ（ ｘ） －
ｙ（２ｘ－ｙ＋１），则 ｆ（ｘ）的解析式为 ．
解析 （１）由题意设 ｆ（ｘ）＝ ａｘ＋ｂ（ａ≠０），
则 ｆ（ ｆ（ｘ））＝ ｆ（ａｘ＋ｂ）＝ ａ（ａｘ＋ｂ）＋ｂ＝ａ２ｘ＋ａｂ＋ｂ＝ ４ｘ＋３，
∴
ａ２ ＝ ４，
ａｂ＋ｂ＝ ３，{ 解得 ａ
＝－２，
ｂ＝－３{ 或 ａ
＝ ２，
ｂ＝ １．{
故所求解析式为 ｆ（ｘ）＝ －２ｘ－３ 或 ｆ（ｘ）＝ ２ｘ＋１．
（２）解法一：设 ｔ＝ ｘ ＋１（ ｔ≥１），则 ｘ ＝ （ ｔ－１） ２，∴ ｆ（ ｔ）＝ （ ｔ－
１） ２＋２（ ｔ－１）＝ ｔ２－２ｔ＋１＋２ｔ－２＝ ｔ２－１，∴ ｆ（ｘ）＝ ｘ２－１（ｘ≥１） ．
解法二：∵ ｘ＋２ ｘ ＝（ ｘ ） ２＋２ ｘ ＋１－１＝（ ｘ ＋１） ２－１，
∴ ｆ（ ｘ ＋１）＝ （ ｘ ＋１） ２－１，又∵ ｘ＋１≥１，
∴ ｆ（ｘ）＝ ｘ２－１（ｘ≥１） ．
（３）由 ｆ（ｘ）＝ ２ｆ
１
ｘ( ) ＋ｘ①，得 ｆ １ｘ( ) ＝ ２ｆ（ｘ）＋ １ｘ ②，
①＋②×２ 得 ｆ（ｘ）＝ ｘ＋４ｆ（ｘ）＋
２
ｘ
，则 ｆ（ｘ）＝ －
２
３ｘ
－ １
３
ｘ．
（４）令 ｘ＝ ０，得 ｆ（－ｙ）＝ ｆ（０）－ｙ（－ｙ＋１）＝ １＋ｙ２－ｙ，
∴ ｆ（ｙ）＝ ｙ２＋ｙ＋１，即 ｆ（ｘ）＝ ｘ２＋ｘ＋１．
答案 （１） ｆ（ｘ）＝ －２ｘ－３ 或 ｆ（ｘ）＝ ２ｘ＋１
（２） ｆ（ｘ）＝ ｘ２－１（ｘ≥１） （３） ｆ（ｘ）＝ －
２
３ｘ
－ １
３
ｘ
（４） ｆ（ｘ）＝ ｘ２＋ｘ＋１
２－１ （１）已知 ｆ（ｘ）是二次函数，若 ｆ（０）＝ ０，且 ｆ（ ｘ＋１）＝
ｆ（ｘ）＋ｘ＋１，试求函数 ｆ（ｘ）的解析式；
（２）已知 ｆ ｘ＋
１
ｘ( ) ＝ ｘ３＋ １ｘ３ ，求 ｆ（ｘ）；
（３）已知 ｆ
２
ｘ
＋１( ) ＝ ｌｇ ｘ，求 ｆ（ｘ）的解析式；
（４）已知函数 ｆ（ｘ）满足 ｆ（ ｘ） ＋２ｆ（－ｘ）＝ ｘ－
１
ｘ
，求 ｆ（ ｘ）的解
析式；
（５）已知定义域为 Ｒ 的函数 ｆ（ｘ）满足 ｆ（ ｆ（ ｘ） －ｘ２ ＋ｘ）＝ ｆ（ｘ）
－ｘ２＋ｘ．若有且仅有一个实数 ｘ０，使得 ｆ（ ｘ０）＝ ｘ０，求函数ｆ（ｘ）的解
析式．
２－１ 解析 （１）设 ｆ（ｘ）＝ ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），
由 ｆ（０）＝ ０ 知 ｃ＝ ０，所以 ｆ（ｘ）＝ ａｘ２＋ｂｘ．
由 ｆ（ｘ＋１）＝ ｆ（ｘ）＋ｘ＋１，
得 ａ（ｘ＋１） ２＋ｂ（ｘ＋１）＝ ａｘ２＋ｂｘ＋ｘ＋１，
即 ａｘ２＋（２ａ＋ｂ）ｘ＋ａ＋ｂ＝ａｘ２＋（ｂ＋１）ｘ＋１，
故有
２ａ＋ｂ＝ ｂ＋１，
ａ＋ｂ＝ １{ ?ａ＝ ｂ＝ １２ ．
因此， ｆ（ｘ）＝
１
２
ｘ２＋
１
２
ｘ．
（ ２ ） 解 法 一 （ 配 凑 法 ）： ｘ３ ＋
１
ｘ３
＝
ｘ＋
１
ｘ( ) ｘ２－１＋ １ｘ２?è? ??÷ ＝ ｘ＋
１
ｘ( ) ｘ＋ １ｘ( )
２
－３[ ] ，
所以 ｆ（ｘ）＝ ｘ３－３ｘ（ｘ≥２ 或 ｘ≤－２） ．
解法二（换元法）：令 ｔ＝ ｘ＋
１
ｘ
（ ｔ≥２ 或 ｔ≤－２），则 ｔ２ －２ ＝ ｘ２ ＋
１
ｘ２
，ｘ３＋
１
ｘ３
＝ ｘ＋
１
ｘ( ) ｘ２－１＋ １ｘ２?è? ??÷ ＝ ｔ（ ｔ２－３），所以 ｆ（ ｔ）＝ ｔ（ ｔ２ －３），
所以 ｆ（ｘ）＝ ｘ３－３ｘ（ｘ≥２ 或 ｘ≤－２） ．
（３）令 ｔ＝
２
ｘ
＋１（ｘ＞０），则 ｘ＝
２
ｔ－１
（ ｔ＞１），
∴ ｆ（ ｔ）＝ ｌｇ
２
ｔ－１
，∴ ｆ（ｘ）＝ ｌｇ
２
ｘ－１
（ｘ＞１） ．
（４）由 ｆ（ｘ）＋２ｆ（－ｘ）＝ ｘ－
１
ｘ
得 ｆ（－ｘ）＋２ｆ（ｘ）＝ －ｘ＋
１
ｘ
，
则 ｆ（ｘ）＝ －ｘ＋
１
ｘ
．
（５）因为对任意 ｘ∈Ｒ，有 ｆ（ ｆ（ｘ）－ｘ２＋ｘ）＝ ｆ（ｘ）－ｘ２＋ｘ，
有且只有一个实数 ｘ０，使得 ｆ（ｘ０）＝ ｘ０，
所以对任意 ｘ∈Ｒ，有 ｆ（ｘ）－ｘ２＋ｘ＝ ｘ０ ．
在上式中令 ｘ＝ ｘ０，有 ｆ（ｘ０）－ｘ２０＋ｘ０ ＝ ｘ０，
又因为 ｆ（ｘ０）＝ ｘ０，所以 ｘ０－ｘ２０ ＝ ０，
故 ｘ０ ＝ ０ 或 ｘ０ ＝ １．
若 ｘ０ ＝ ０，则 ｆ（ｘ）－ｘ２＋ｘ＝ ０，即 ｆ（ｘ）＝ ｘ２－ｘ，
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
１０ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
但方程 ｘ２ －ｘ ＝ ｘ 有两个不同实根，与题设条件矛盾，故 ｘ０
≠０；
若 ｘ０ ＝ １，则有 ｆ（ｘ）－ｘ２＋ｘ＝ １，即 ｆ（ｘ）＝ ｘ２ －ｘ＋１，易验证该函
数满足题设条件．
综上，所求函数解析式为 ｆ（ｘ）＝ ｘ２－ｘ＋１．
????
????
????
三、分段函数问题的求解方法
１．求函数值，弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析
式，从最内层逐层向外计算，求“层层套”的函数值．
２．求最值，分别求出每段上的最值，然后比较大小得出最值．
３．解不等式，根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入
相应解析式求解．
４．求参数，“分段处理”，利用代入法列出各区间上的方程
求解．
（１）已知函数 ｆ（ｘ）的定义域为 Ｒ．当 ｘ＜０ 时， ｆ（ｘ）＝ ｘ３－
１；当－１≤ ｘ≤１ 时， ｆ（ － ｘ） ＝ － ｆ （ ｘ）；当 ｘ ＞
１
２
时， ｆ ｘ＋
１
２( ) ＝
ｆ ｘ－
１
２( ) ，则 ｆ（６）＝ ．
（２） 设 函 数 ｇ （ ｘ ） ＝ ｘ２ － ２ （ ｘ ∈ Ｒ ）， ｆ （ ｘ ） ＝
ｇ（ｘ）＋ｘ＋４，ｘ＜ｇ（ｘ），
ｇ（ｘ）－ｘ，ｘ≥ｇ（ｘ），{ 则 ｆ（ｘ）的值域是 ．
解析 （１）∵ ｘ＞
１
２
时， ｆ ｘ＋
１
２( ) ＝ ｆ ｘ－ １２( ) ，
∴ ｆ（６）＝ ｆ
１１
２
＋ １
２( ) ＝ ｆ １１２ － １２( )
＝ ｆ（５）＝ ｆ
９
２
＋ １
２( ) ＝ ｆ ９２ － １２( )
＝ ｆ（４）＝ ｆ
７
２
＋ １
２( ) ＝ ｆ ７２ － １２( )
＝ ｆ（３）＝ ｆ
５
２
＋ １
２( ) ＝ ｆ ５２ － １２( )
＝ ｆ（２）＝ ｆ
３
２
＋ １
２( ) ＝ ｆ ３２ － １２( )
＝ ｆ（１） ．
∵ －１≤ｘ≤１ 时， ｆ（－ｘ）＝ －ｆ（ｘ），
∴ ｆ（１）＝ ｆ［－（－１）］ ＝ －ｆ（－１），
∵ ｘ＜０ 时， ｆ（ｘ）＝ ｘ３－１，∴ ｆ（－１）＝ （－１） ３－１＝－２，
∴ ｆ（１）＝ ２，从而 ｆ（６）＝ ２．
（２）ｇ（ｘ）－ｘ＝ ｘ２－ｘ－２＝（ｘ－２）（ｘ＋１） ．
当 ｘ∈（－∞ ，－１）∪（２，＋∞ ）时， ｆ（ ｘ）＝ ｘ２ ＋ｘ＋２ ＝ ｘ＋
１
２( )
２
＋
７
４
，结合二次函数的性质可知 ｆ（ｘ）＞２．当 ｘ∈［－１，２］时， ｆ（ ｘ）＝
ｘ２－ ｘ － ２ ＝ ｘ－
１
２( )
２
－ ９
４
， 由二次函数的性质可得 ｆ （ ｘ） ∈
－ ９
４
，０[ ] ，所以函数的值域是 － ９４ ，０[ ] ∪（２，＋∞ ） ．
答案 （１）２ （２） －
９
４
，０[ ] ∪（２，＋∞ ）
３－１ 已知 ｆ （ ｘ） ＝
ｘ２， ｘ＞０，
ｆ（ｘ＋１），ｘ≤０，{ 则 ｆ （ ２） ＋ ｆ （ － ２） 的值
为 ．
３－１ 答案 ５
解析 因为 ２＞０，－２＜０，所以 ｆ（２）＝ ２２ ＝ ４， ｆ（－２）＝ ｆ（－２＋
１）＝ ｆ（－１）＝ ｆ（０）＝ ｆ（１）＝ １，所以 ｆ（２）＋ｆ（－２）＝ ５．
３－２ 已知函数 ｆ（ ｘ）＝
２ｘ， ｘ＞０，
ｘ＋１，ｘ≤０，{ 若 ｆ（ａ） ＋ ｆ（１）＝ ０，则实
数 ａ＝ ．
３－２ 答案 －３
解析 解法一：当 ａ＞０ 时，由 ｆ（ａ） ＋ｆ（１）＝ ０ 得 ２ａ ＋２ ＝ ０，
不存在实数 ａ 满足条件；当 ａ≤０ 时，由 ｆ（ａ）＋ｆ（１）＝ ０ 得 ａ＋１＋２
＝ ０，解得 ａ＝－３．
解法二：由指数函数的性质可知 ２ｘ＞０，又因为 ｆ（１）＝ ２，所以
ａ＜０，所以 ｆ（ａ）＝ ａ＋１，所以 ａ＋１＋２＝ ０，解得 ａ＝－３．
３－３ 设函数 ｆ（ｘ）＝
２ｘ＋ａ，ｘ＞２，
ｘ＋ａ２，ｘ≤２，{ 若 ｆ（ ｘ）的值域为 Ｒ，则实
数 ａ 的取值范围是 ．
３－３ 答案 （－∞ ，－１］∪［２，＋∞ ）
解析 当 ｘ＞２ 时， ｆ（ｘ）＝ ２ｘ＋ａ 为增函数，所以 ｆ（ ｘ）在（２，
＋∞ ）上的值域为（４＋ａ，＋∞ ） ．
当 ｘ≤２ 时， ｆ（ｘ）＝ ｘ＋ａ２ 为增函数，所以 ｆ（ ｘ）在（ －∞ ，２］上
的值域为（－∞ ，２＋ａ２］，
若 ｆ（ｘ）的值域为 Ｒ，则（４＋ａ，＋∞ ）∪（－∞ ，２＋ａ２］ ＝Ｒ，
所以 ２＋ａ２≥４＋ａ，即 ａ２－ａ－２≥０，解得 ａ≤－１ 或 ａ≥２，
所以实数 ａ 的取值范围是（－∞ ，－１］∪［２，＋∞ ） ．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
(共44张PPT)
五年高考
A组????自主命题·江苏卷题组
考点一 函数的概念及其表示
1.(2019江苏,4,5分)函数y=?的定义域是 ????.
答案 [-1,7]
解析????本题考查了函数的定义域及一元二次不等式的解法,考查了运算求解能力,考查的核心
素养是数学运算.
要使原函数有意义,需满足7+6x-x2≥0,解得-1≤x≤7,故所求定义域为[-1,7].
2.(2018江苏,5,5分)函数f(x)=?的定义域为 ????.
答案 [2,+∞)
解析 本题考查函数定义域的求法及对数函数.
由题意可得log2x-1≥0,即log2x≥1,∴x≥2.
∴函数的定义域为[2,+∞).
易错警示 函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合,函数的定义
域要写成集合或区间的形式.
评析 求给定函数的定义域往往需转化为解不等式(组)的问题.
3.(2016江苏,5,5分)函数y=?的定义域是 ????.
答案 [-3,1]
解析 若函数有意义,则3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.∴该函数的定义域为[-3,1].
考点二 分段函数及其应用
1.(2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上, f(x)=? 则f(f
(15))的值为 ????.
答案?????
解析 本题考查分段函数及函数的周期性.
∵f(x+4)=f(x),∴函数f(x)的周期为4,∴f(15)=f(-1)=?,
f?=cos?=?,∴f(f(15))=f?=?.
名师点睛 (1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段,然后代入该段的解
析式求值,当出现 f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)求某条件下自变量的值,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变
量的值,切记代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
2.(2016江苏,11,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上, f(x)=?
其中a∈R.若f?=f?,则f(5a)的值是 ????.
答案 -?
解析 ∵f(x)是周期为2的函数,∴f?=f?=f?,f?=f?=f?,又∵f?=f
?,所以f?=f?,即-?+a=?,解得a=?,则f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+?=-?.
解后反思 分段函数必须要明确不同的自变量所对应的函数解析式,函数的周期性可以将未
知区间上的自变量转化到已知区间上,解决此类问题时,要注意区间端点是否可以取到及其所
对应的函数值,尤其是分段函数分界点处的函数值.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 函数的概念及其表示
1.(2017山东理改编,1,5分)设函数y=?的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=
????.
答案 [-2,1)
解析 由4-x2≥0,解得-2≤x≤2,由1-x>0,解得x<1,∴A∩B={x|-2≤x<1}.
2.(2016课标全国Ⅱ改编,10,5分)函数y=10lg x的定义域和值域分别是 ????.
答案 (0,+∞),(0,+∞)
解析 函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+∞).
考点二 分段函数及其应用
1.(2018课标全国Ⅰ文改编,12,5分)设函数f(x)=?则满足f(x+1)
????.
答案 (-∞,0)
解析 本题主要考查分段函数及不等式的解法.
函数f(x)=?的图象如图所示:
?
由f(x+1)∴x<0.
解题关键 解本题的关键是利用数形结合思想,准确画出图象,利用图象的直观性来求解,这样
可避免分类讨论.
2.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)=?当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是 ????
????.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 ????.
答案 (1,4);(1,3]∪(4,+∞)
解析 本题考查分段函数,解不等式组,函数的零点,分类讨论思想和数形结合思想.
当λ=2时,不等式f(x)<0等价于
?或?
即2≤x<4或1故不等式f(x)<0的解集为(1,4).
易知函数y=x-4(x∈R)有一个零点x1=4,函数y=x2-4x+3(x∈R)有两个零点x2=1,x3=3.
在同一坐标系中作出这两个函数的图象(图略),要使函数f(x)恰有2个零点,则只能有以下两种
情形:①两个零点为1,3,由图可知,此时λ>4.②两个零点为1,4,由图可知,此时1<λ≤3.
综上,λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).
思路分析 (1)f(x)<0??或?此时要特别注意分段函数在每一段上的解析
式是不同的,要把各段上的不等式的解集取并集.
(2)函数零点个数的判断一般要作出函数图象,此时要特别注意两段的分界点是否能取到.
3.(2017课标全国Ⅲ,15,5分)设函数f(x)=?则满足f(x)+f ?>1的x的取值范围是 ????
????.
答案?????
解析 本题考查分段函数.
当x>?时, f(x)+f ?=2x+?>2x>?>1;
当02x>1;当x≤0时, f(x)+f ?=x+1+?+1
=2x+?,∴f(x)+f ?>1?2x+?>1?x>-?,即-?综上,x∈?.
方法总结 分段函数常常需要分段讨论.
4.(2017山东文改编,9,5分)设f(x)=?若f(a)=f(a+1),则f?= ????.
答案 6
解析 本题考查分段函数与函数值的计算.
解法一:当01,
∴f(a)=?, f(a+1)=2(a+1-1)=2a.
由f(a)=f(a+1)得 ?=2a,∴a=?.
此时f?=f(4)=2×(4-1)=6.
当a≥1时,a+1>1,
∴f(a)=2(a-1), f(a+1)=2(a+1-1)=2a.
由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2a,无解.
综上, f?=6.
解法二:∵当0当x≥1时, f(x)=2(x-1),为增函数,
又f(a)=f(a+1),
∴?=2(a+1-1),
∴a=?.
∴f?=f(4)=6.
方法小结 求分段函数的函数值的基本思路:
1.结合函数定义域确定自变量的范围.
2.代入相应表达式求函数值.
5.(2015浙江,10,6分)已知函数f(x)=?则f(f(-3))= ????, f(x)的最小值是 ????
????.
答案 0;2?-3
解析 ∵-3<1,∴f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,
∴f(f(-3))=f(1)=1+?-3=0.
当x≥1时, f(x)=x+?-3≥2?-3(当且仅当x=?时,取“=”);当x<1时,x2+1≥1,∴f(x)=lg(x2+1)≥
0.又∵2?-3<0,∴f(x)min=2?-3.
C组 教师专用题组
考点一 函数的概念及其表示
1.(2014山东改编,3,5分)函数f(x)=?的定义域为 ????.
答案?????∪(2,+∞)
解析 要使函数f(x)有意义,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,
∴log2x>1或log2x<-1.解得x>2或02.(2013江西理改编,2,5分)函数y=?ln(1-x)的定义域为 ????.
答案 [0,1)
解析 由?解得0≤x<1.
考点二 分段函数及其应用
1.(2014浙江,15,4分)设函数f(x)=?若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是 ????.
答案 (-∞,?]
解析 当a≥0时, f(a)=-a2≤0,又f(0)=0,故由f(f(a))=f(-a2)=a4-a2≤2,得a2≤2,∴0≤a≤?.当-10时, f(a)=a2+a=a(a+1)<0,则由f(f(a))=f(a2+a)=(a2+a)2+(a2+a)≤2,得a2+a-1≤0,得-?≤a≤
?,则有-1a≤-1.
综上,a的取值范围为(-∞,?].
2.(2014四川,12,5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时, f(x)=
?则f?= ????.
答案 1
解析????f?=f?=f?=-4×?+2=1.
3.(2011江苏,11,5分)已知实数a≠0,函数f(x)=?若f(1-a)=f(1+a),则a的值为 ????
????.
答案 -?
解析 分类讨论:
(1)当a>0时,1-a<1,1+a>1,
这时f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,
f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a.
由f(1-a)=f(1+a)得2-a=-1-3a,解得a=-?,不符合题意,舍去.
(2)当a<0时,1-a>1,1+a<1,
这时f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,
f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a,
由f(1-a)=f(1+a)得-1-a=2+3a,解得a=-?.
综合(1)(2)知,a的值为-?.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点一 函数的概念及其表示
1.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,2)函数f(x)=lg(x2-2x-3)的定义域为 ????
????.
答案 (-∞,-1)∪(3,+∞)
解析 因为x2-2x-3>0,所以x>3或x<-1,故定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞)
评析 本题考查对数函数的定义域以及二次不等式的解法.属容易题.
2.(2019徐州检测,3)函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数f(lo?x)的定义域为 ????.
答案?????
解析 因为f(x)的定义域是[-1,1],所以-1≤lo?x≤1,所以?≤x≤2,故所求定义域为?.
考点二 分段函数及其应用
1.(2019南京三模,7)若函数f(x)=?则f(log23)= ????.
答案?????
解析????f(log23)=f(log23-2)=?=?=?.
2.(2019苏锡常镇四市教学情况调查一,7)已知函数f(x)=?若f(a-1)=?,则实数a=
????.
答案????log23
解析 ①a-1>0,即a>1时,2a-1-1=?,∴2a-1=?,
∴a-1=log2?=log23-1,
∴a=log23,满足a>1.
②a-1≤0,即a≤1时,log2[3-(a-1)]=?,
∴4-a=?,∴a=4-?>1,舍去.
综上,a=log23.
评析 已知分段函数的函数值求自变量,需要分段讨论,研究各段上的函数取值,进而得到a的
大小.
3.(2019金陵中学调研,11)已知f(x)是R上周期为2的周期函数,且f?=f?,当-1≤x<1时, f(x)=
?则a的值是 ????.
答案?????
解析 ∵函数的周期为2, f?=f?,∴f?=f?,∴f?=f?,∴2(-1+a)=?+a,∴a
=?.
4.(2019南通期末三县联考,8)已知函数f(x)的周期为4,且当x∈(0,4]时, f(x)=
?则f?的值为 ????.
答案 0
解析 由题意得f?=f?=f?=log2?=log2 2=1,
∴f?=f(1)=cos?=0.
思路分析 本题考查分段函数、周期函数的概念,求f?的值,一般由内向外求,先求f
?,根据周期性得到f?=f?,再代入求解即可.
5.(2019扬州中学检测,7)设函数f(x)满足f(x+π)=f(x)+sin x,当0≤x≤π时, f(x)=0,则f?= ????
????.
答案?????
解析 ∵函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x,
当0≤x≤π时, f(x)=0,
∴f?=f?+sin?=f?+sin?+sin?=f?+sin?+sin?+sin?
=0+?-?+?=?.
6.(2018无锡期中,4)若函数f(x)=?则f(5)= ????.
答案 2
解析????f(5)=f(5-3)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=1-(-1)=2.
7.(2018南通如皋教学质量调研(一)改编,19)已知二次函数f(x)为偶函数且图象经过原点,其导
函数f '(x)的图象过点(1,2).求函数f(x)的解析式.
解析 由二次函数f(x)的图象经过原点,
可设f(x)=ax2+bx(a≠0),
又因为f(x)为偶函数,
所以对任意实数x∈R,都有f(-x)=f(x),即a(-x)2+b(-x)=ax2+bx,
所以2bx=0对任意实数x∈R都成立,故b=0.
所以f(x)=ax2, f '(x)=2ax,
又因为导函数f '(x)的图象过点(1,2),
所以2a×1=2,解得a=1.
所以f(x)=x2.
一、填空题(每小题5分,共30分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：30分钟 分值：45分)
1.(2018苏锡常镇四市教学情况调研一,11)已知函数f(x)=?(e是自然对数的底数).若
函数y=f(x)的最小值是4,则实数a的取值范围为 ????.
答案 [e+4,+∞)
解析 当x≥1时, f(x)=x+?≥2?=4,
当且仅当x=?,即x=2时取“=”.
记g(x)=a-ex(x<1),
则g(x)在(-∞,1)上单调递减,
∴g(x)>g(1)=a-e,
又∵f(x)min=4,
∴a-e≥4,即a≥e+4.
2.(2019如皋期中,12)若函数f(x)=?则不等式f[f(x)]<-?的解集为 ????.
答案 (-∞,-1)
解析????f(x)=?
作出f(x)的图象如图所示.
?
由图象知f[f(x)]<-?转化为0?.
0f(x)>?,无解.
综上所述, f[f(x)]<-?的解集为(-∞,-1).
思路分析 分段函数问题先画出函数图象,然后将复合函数分解成y=f(t),t=f(x),首先解不等式f
(t)<-?,容易发现0?,再结合图象发现:t>?时,x不存在,0来解可以简化解题过程.
3.(2019苏州中学期初,14)设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),对任意x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]
=6,若x0是方程f(x)-f '(x)=4的一个解,且x0∈(a,a+1)(a∈N*),则实数a= ????.
答案 1
解析 由题意设f(x)=log2x+C?f(C)=log2C+C=6,得C=4,故f(x)=log2x+4.
f(x)-f '(x)=4?log2x-?=0,令g(x)=log2x-?,显然g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为g(1)<0,g(2)>
0,由零点存在性定理知x0∈(1,2),所以a=1.
解题关键 单调函数f(x)的函数值为常数6,说明x必须是常数,根据这一结论知道:当f[f(x)-log2x]
=6时, f(x)-log2x为常数,所以设f(x)=log2x+C,这是解本题的关键.
4.(2019徐州检测,13)已知函数f(x)=?如果存在实数m,n,其中m则n-m的取值范围是 ????.
答案 [3-2ln 2,2)
解析 画出分段函数图象如图,
?
若存在实数m,n,其中m则由图象可知-3且?=ln(n+2),即m=2ln(n+2)-3,
令f(n)=n-m,
所以f(n)=n-2ln(n+2)+3,
f '(n)=1-?,令f '(n)=0,得n=0,列表如下:
n (-1,0) 0 (0,e-2]
f '(n) - 0 +
f(n) ↘ 极小值 ↗
所以f(n)有最小值,为3-2ln 2,
又f(-1)=2, f(e-2)=e-2-2+3=e-1<2,
所以, f(n)=n-m的值域为[3-2ln 2,2).
故n-m的取值范围是[3-2ln 2,2).
5.(2019宿迁期末,14)已知函数f(x)=?如果函数g(x)=f(x)-k(x-3)恰好有2个不同的零
点,那么实数k的取值范围是 ????.
答案 (-1,0)∪?
解析 函数g(x)=f(x)-k(x-3)恰有2个不同的零点等价于函数f(x)与y=k(x-3)的图象有2个交点.
当1≤x<2时, f(x)=x-1;
当2≤x<4时,1≤?x<2, f(x)=2f?=2?=x-2;
当4≤x<8时,2≤?x<4, f(x)=2f?=2?=x-4;
当8≤x<16时,4≤?x<8, f(x)=2f?=2?=x-8;
当16≤x<32时,8≤?x<16, f(x)=2f?=2?=x-16.
(1)当k>0时,如图,y=k(x-3)与y=x-4,y=x-8的图象各有1个交点,但与y=x-16不能有交点,
所以?
解得?≤k?
(2)当k<0时,如图,y=k(x-3)与y=x-1,y=x-2的图象各有1个交点,所以2-1>k(2-3),解得-1?
故实数k的取值范围是(-1,0)∪?.
评析 分段函数的零点问题,仍然需要作出图象,采用数形结合方法.本题理解x≥2时, f(x)=2f
?的函数性质是解题的难点,要把范围与条件联系起来,必须将自变量的范围分成[2,4),[4,
8)等,这样就可以利用这一函数性质求解.
6.(2019海安高级中学期中,13)设函数f(x)=?若存在实数b,使得函数y=f(x)-bx恰有2个零
点,则实数a的取值范围是 ????.
答案 (-∞,0)∪(0,1)
解析 显然x=0必为y=f(x)-bx的一个零点,
当x≠0时,令f(x)-bx=0,得b=?,
令g(x)=?=?则b=g(x)存在唯一一个非零解.
当a<0时,作出g(x)的函数图象,如图所示:
?
显然当a当a>0时,作出g(x)的函数图象,如图所示:
?
若要使b=g(x)存在唯一一个非零解,则有a>a2,解得0当a=0时,显然不符合题意.
综上,a的取值范围是(-∞,0)∪(0,1).
二、解答题(共15分)
7.(2018常州武进期中,17)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=x3+x2.
(1)求f(x)在R上的解析式;
(2)当x∈[m,n](0解析 (1)当x<0时,-x>0,
则f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2.
∵f(-x)=-f(x),∴f(x)=x3-x2.
又f(0)=0,
故当x∈R时, f(x)=?
(2)∵当x>0时, f(x)=x3+x2,
∴f '(x)=3x2+2x>0,
∴f(x)在[m,n]上单调递增,
∴?
∴?
∴m,n为x3-2x2-2x+1=0的两个正实数根,
∵x3-2x2-2x+1=(x+1)(x2-3x+1)=0,
∴m,n为x2-3x+1=0的两个正实数根,
又0∴m=?,n=?.
第二章 函数 １１
§ ２．２ 函数的基本性质
对应学生用书起始页码 Ｐ１６
考点一 函数的单调性 高频考点
１．单调函数的定义
设函数 ｆ（ｘ）的定义域为 Ｉ，如果对于定义域 Ｉ 内某个区间 Ｄ
上的任意两个自变量的值 ｘ１，ｘ２，当 ｘ１＜ｘ２ 时，
（１）若 ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２），则 ｆ（ｘ）在区间 Ｄ 上是增函数；
（２）若 ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２），则 ｆ（ｘ）在区间 Ｄ 上是减函数．
２．单调区间的定义
若函数 ｆ（ｘ）在区间 Ｄ 上是增函数或减函数，则称函数 ｆ（ｘ）
在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 Ｄ 叫做 ｆ（ｘ）的单调
区间．
注意：当函数有多个单调递增（减）区间时，区间之间用“，”
或“和”隔开，不能用“∪” ．
３．判断单调性的方法
（１）利用定义判断．
（２）利用函数的性质判断．
若 ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）为增函数，则在公共定义域内：
①ｙ＝ ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）为增函数；
②ｙ＝
１
ｆ（ｘ）
为减函数（ ｆ（ｘ）＞０）；
③ｙ＝ ｆ（ｘ） 为增函数（ ｆ（ｘ）≥０）；
④ｙ＝ ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）为增函数（ ｆ（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）＞０）；
⑤ｙ＝－ｆ（ｘ）为减函数．
（３）利用复合函数的关系判断．
法则是“同增异减”，即若两个简单函数的单调性相同，则这
两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，
则这两个函数的复合函数为减函数．
４．函数的最值
前提 设函数 ｙ＝ ｆ（ｘ）的定义域为 Ｉ，如果存在实数 Ｍ 满足
条件
（１） 对于任意的 ｘ∈ Ｉ，都
有ｆ（ｘ）≤Ｍ；
（２）存在 ｘ０∈Ｉ，使得
ｆ（ｘ０）＝ Ｍ
（１）对于任意的 ｘ∈Ｉ，都有
ｆ（ｘ）≥Ｍ；
（２）存在 ｘ０∈Ｉ，使得
ｆ（ｘ０）＝ Ｍ
结论 Ｍ 为最大值 Ｍ 为最小值
考点二 函数的奇偶性与周期性
１．奇函数、偶函数的概念
一般地，如果对于函数 ｆ（ ｘ）的定义域内任意一个 ｘ，都有
ｆ（－ｘ）＝ ｆ（ｘ），那么函数 ｆ（ｘ）就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数 ｆ（ ｘ）的定义域内任意一个 ｘ，都有
ｆ（－ｘ）＝ －ｆ（ｘ），那么函数 ｆ（ｘ）就叫做奇函数．
２．奇、偶函数的性质
（１）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数
在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（２）在公共定义域内，
（ｉ）两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；
（ｉｉ）两个偶函数的和、积都是偶函数；
（ｉｉｉ）一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数．
（３）若 ｆ（ｘ）为偶函数，则 ｆ（ｘ）＝ ｆ（ ｜ ｘ ｜ ） ．
３．函数的周期性
（１）定义：如果存在一个非零常数 Ｔ，使得对于函数 ｆ（ ｘ）定
义域内的任意 ｘ，都有 ｆ（Ｔ＋ｘ）＝ ｆ（ｘ），则称 ｆ（ｘ）为周期函数．不为
零的常数 Ｔ 叫做这个函数的周期．如果在周期函数 ｆ（ ｘ）的所有
的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数就叫做ｆ（ｘ）
的最小正周期．
（２）由周期函数的定义得：
①若函数 ｆ（ｘ）满足 ｆ（ｘ＋ａ）＝ ｆ（ｘ－ａ）（ａ≠０），则 ｆ（ｘ）为周期
函数，Ｔ＝ ２ ｜ ａ ｜ ；
②若函数 ｆ（ｘ）满足 ｆ（ｘ＋ａ）＝ ｆ（ａ－ｘ）（ａ≠０）且 ｆ（ ｘ）为奇函
数，则 ｆ（ｘ）为周期函数，Ｔ＝ ４ ｜ ａ ｜ ；
③若函数 ｆ（ｘ）满足 ｆ（ｘ＋ａ）＝ －ｆ（ ｘ）（ａ≠０），则 ｆ（ ｘ）为周期
函数，Ｔ＝ ２ ｜ ａ ｜ ；
④若函数 ｆ（ｘ）满足 ｆ（ｘ＋ａ）＝ ±
１
ｆ（ｘ）
（ａ≠０），则 ｆ（ ｘ）为周期
函数，Ｔ＝ ２ ｜ ａ ｜ ．
（３）①若函数 ｆ（ｘ）的图象关于直线 ｘ ＝ ａ 和直线 ｘ ＝ ｂ 对称，
则函数 ｆ（ｘ）为周期函数，２ ｜ ａ－ｂ ｜是它的一个周期；
②若函数 ｆ（ｘ）的图象关于点（ａ，０）和点（ ｂ，０）对称，则函数
ｆ（ｘ）为周期函数，２ ｜ ａ－ｂ ｜是它的一个周期．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
对应学生用书起始页码 Ｐ１７
一、函数单调性的判定与应用
１．求函数的单调性或单调区间的方法：
（１）利用已知函数的单调性求解．
（２）先求定义域，再利用单调性的定义求解．
（３）如果 ｆ（ｘ）是以图象形式给出的，或者 ｆ（ ｘ）的图象易作
出，则可由图象判断函数 ｆ（ｘ）的单调性．
（４）复合函数 ｙ＝ ｆ［ｇ（ｘ）］的单调性根据“同增异减”判断．
（５）利用导数判断单调性．
２．函数的单调性有如下几个方面的基本应用：
（１）确定函数的单调区间；
（２）利用函数的单调性解不等式；
（３）在已知函数单调性的条件下，求参数的取值范围；
（４）求值域（最值） ．
已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｘ２＋１ －ａｘ，其中 ａ＞０．
（１）若 ２ｆ（１）＝ ｆ（－１），求 ａ 的值；
（２）证明：当 ａ≥１ 时，函数 ｆ（ｘ）在区间［０，＋∞ ）上为单调减
函数；
（３）若函数 ｆ（ ｘ）在区间［１，＋∞ ）上是增函数，求 ａ 的取值
范围．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
１２ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
解析 （１）由 ２ｆ（１）＝ ｆ（－１），可得 ２ ２ －２ａ＝ ２ ＋ａ，即 ３ａ＝
２ ，∴ ａ＝
２
３
．
（２）证明：当 ａ≥１ 时，任取 ｘ１，ｘ２∈［０，＋∞ ），且 ０≤ｘ１＜ｘ２，
则 ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＝ ｘ２１＋１ －ａｘ１－ ｘ２２＋１ ＋ａｘ２
＝ ｘ２１＋１ － ｘ２２＋１ －ａ（ｘ１－ｘ２）
＝
ｘ２１－ｘ２２
ｘ２１＋１ ＋ ｘ２２＋１
－ａ（ｘ１－ｘ２）
＝ （ｘ１－ｘ２）
ｘ１＋ｘ２
ｘ２１＋１ ＋ ｘ２２＋１
－ａ?
è
?
?
?
÷ ，
因为 ０≤ｘ１＜ ｘ２１＋１，０＜ｘ２＜ ｘ２２＋１，
所以 ０＜
ｘ１＋ｘ２
ｘ２１＋１＋ ｘ２２＋１
＜１．
因为 ａ≥１，ｘ１－ｘ２＜０，所以 ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＞０，
故 ｆ（ｘ）在［０，＋∞ ）上单调递减．
（３）任取 ｘ１，ｘ２∈［１，＋∞ ），且 １≤ｘ１＜ｘ２，
由（２）知 ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＝ （ｘ１－ｘ２）
ｘ１＋ｘ２
ｘ２１＋１ ＋ ｘ２２＋１
－ａ?
è
?
?
?
÷ ，
因为 ｆ（ｘ）在［１，＋∞ ）上单调递增，
所以 ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＜０，又 ｘ１－ｘ２＜０，
所以
ｘ１＋ｘ２
ｘ２１＋１ ＋ ｘ２２＋１
－ａ＞０ 恒成立，
因为 １≤ｘ１＜ｘ２?２ｘ２１≥ｘ２１＋１，２ｘ２２＞ｘ２２＋１，
所以 ２ ｘ１≥ ｘ２１＋１ ， ２ ｘ２＞ ｘ２２＋１ ，
两式相加得 ２ （ｘ１＋ｘ２）＞ ｘ２２＋１ ＋ ｘ２１＋１ ，
则
２
２
＜
ｘ１＋ｘ２
ｘ２１＋１ ＋ ｘ２２＋１
＜１，所以 ０＜ａ≤
２
２
．
（１）（２０１９ 姜堰中学、淮阴中学期中，８）若奇函数 ｆ（ ｘ）
是 Ｒ 上的增函数， ｆ（１） ＝ ２，则不等式－２≤ ｆ（ ｘ－１）≤０ 的解集
为 ．
（２）（２０１９ 无锡期中）已知函数 ｆ（ ｘ）＝
ｌｏｇ２ｘ，ｘ≥２，
ａｘ－１，ｘ＜２{ 在 Ｒ 上
单调递增，则实数 ａ 的取值范围为 ．
解析 （１）根据题意， ｆ（ｘ）为 Ｒ 上的奇函数，且 ｆ（１）＝ ２，
则 ｆ（－１）＝ －２，则 ｆ（０）＝ ０，又 ｆ（ｘ）是 Ｒ 上的增函数，－２≤ｆ（ｘ－１）
≤０，则有 ｆ（－１）≤ｆ（ｘ－１）≤ｆ（０），则有－１≤ｘ－１≤０，
解得 ０≤ｘ≤１，即不等式的解集为［０，１］ ．
（２）画出函数图象如图所示．
当 ｘ＝ ２ 时，ｌｏｇ２ｘ＝ １，ａｘ－１＝ ２ａ－１，
因为函数 ｆ（ｘ）在 Ｒ 上单调递增，所以
ａ＞０，
２ａ－１≤１，{ 解得 ０＜ａ
≤１．故 ａ 的取值范围为（０，１］ ．
答案 （１）［０，１］ （２）（０，１］
１－１ 已知函数 ｆ（ｘ） ＝
（ａ２－１）ｌｏｇ２（ｘ＋２），－２＜ｘ≤０，
ａｘ２＋１，ｘ＞０{ 在
（－２，＋∞ ）上是单调函数，则实数 ａ 的取值范围是 ．
１－１ 答案 １＜ａ≤ ２
解析 当函数 ｆ （ ｘ） 在 （ － ２， ＋ ∞ ） 上是增函数时，有
ａ２－１＞０，
ａ＞０，
ａ２－１≤１，
{ 解得 １＜ａ≤ ２ ．当函数 ｆ（ ｘ）在（ －２，＋∞ ）上是减函数
时，有
ａ２－１＜０，
ａ＜０，
ａ２－１≥１，
{ 无解．综上可得，１＜ａ≤ ２ ．
１－２ 已知函数 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ３ ＋ｌｎ ｘ＋２，则不等式 ｆ［ ｘ（ ｘ－１）］ ＜
ｆ（２）的解集是 ．
１－２ 答案 ｛ｘ ｜ １＜ｘ＜２｝
解析 函数 ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞ ），因为 ｙ ＝ ｘ３ 与 ｙ ＝
ｌｎ ｘ在（０，＋∞ ）上均为增函数，所以 ｆ（ｘ）是增函数，所以 ０＜ｘ（ ｘ－
１）＜２，解得 １＜ｘ＜２．故所求解集为｛ｘ ｜ １＜ｘ＜２｝ ．
解题关键 抽象函数的定义域、奇偶性、单调性等性质一
般都会在条件中给出，对于给出具体解析式的函数，需要通过计
算来确定函数的单调性、奇偶性等．
１－３ 已知函数 ｆ（ ｘ）＝ ｘ＋ａｌｎ ｘ（ａ＞０），对于
１
２
，１( ) 内的任
意两个相异实数 ｘ１，ｘ２，恒有 ｜ ｆ（ ｘ１） － ｆ（ ｘ２） ｜ ＞
１
ｘ１
－ １
ｘ２
，则 ａ 的
取值范围是 ．
１－３ 答案
３
２
，＋∞[ )
解析 因为 ｙ＝ ｘ 与 ｙ＝ａｌｎ ｘ（ａ＞０）在（０，＋∞ ）上均为增函
数，所以函数 ｆ（ ｘ）在（０，＋∞ ）上单调递增，设 ｘ１ ＜ｘ２，则 ｆ（ｘ１） ＜
ｆ（ｘ２），所以 ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＞
１
ｘ１
－ １
ｘ２
，可得 ｆ（ ｘ２） ＋
１
ｘ２
＞ｆ（ ｘ１） ＋
１
ｘ１
．令
ｈ（ｘ） ＝ ｆ （ ｘ） ＋
１
ｘ
，则问题转化为函数 ｈ （ ｘ） ＝ ｆ （ ｘ） ＋
１
ｘ
在
１
２
，１( ) 上单调递增，即 ｈ′（ ｘ）＝ ｘ２＋ａｘ－１ｘ２ ≥０，即 ｘ２ ＋ａｘ－１≥０ 在
１
２
，１( ) 上恒成立，则 ａ≥ １－ｘ２ｘ( ) ｍａｘ ＝
３
２
， 故 ａ 的取值范围
是
３
２
，＋∞[ ) ．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
第二章 函数 １３
二、函数奇偶性的判定与应用
１．函数奇偶性的判断方法
（１）根据定义判断：首先确定函数的定义域，看它是否关于
原点对称，若不对称，则其既不是奇函数也不是偶函数；若对称，
则由 ｆ（－ｘ）与 ｆ（ｘ）的关系来确定函数的奇偶性．
（２）利用函数的图象特征判断：函数 ｆ（ｘ）是奇函数?ｆ（ｘ）的
图象关于原点对称；函数 ｆ（ ｘ）是偶函数?ｆ（ ｘ）的图象关于 ｙ 轴
对称．
（３）根据性质判断（在公共定义域内）：奇±奇 ＝奇，偶±偶 ＝
偶；奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
（４）两点需要注意的地方：
①对于解析式比较复杂的函数，有时需要将函数进行化简
后再判断它的奇偶性，但一定要先考虑它的定义域；
②当 ｆ（ｘ）≠０ 时，奇偶函数定义中的判断式 ｆ（－ｘ）＝ ± ｆ（ ｘ）
常被
ｆ（－ｘ）
ｆ（ｘ）
＝ ±１ 所替代．
２．函数奇偶性的应用
（１）求函数的值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的
函数值求解；
（２）求解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，
再利用奇偶性求解；
（３）求解析式中的参数，利用待定系数法求解；
（４）画函数图象，利用奇偶性可以画出对称区间上函数的
图象．
判断下列函数的奇偶性：
（１） ｆ（ｘ）＝ ｘｌｇ（ｘ＋ ｘ２＋１ ）；
（２） ｆ（ｘ）＝ （１－ｘ）
１＋ｘ
１－ｘ
；
（３） ｆ（ｘ）＝
－ｘ２＋２ｘ＋１ （ｘ＞０），
ｘ２＋２ｘ－１ （ｘ＜０）；{
（４） ｆ（ｘ）＝
４－ｘ２
｜ ｘ＋３ ｜ －３
．
解析 （１）∵ ｘ２＋１ ＞ ｜ ｘ ｜≥０，
∴ 函数 ｆ（ｘ）的定义域为 Ｒ，关于原点对称，
又 ｆ（－ｘ）＝ （－ｘ）ｌｇ［－ｘ＋ （－ｘ） ２＋１ ］ ＝ －ｘｌｇ（ ｘ２＋１ －ｘ）
＝ ｘｌｇ（ ｘ２＋１ ＋ｘ）＝ ｆ（ｘ），即 ｆ（－ｘ）＝ ｆ（ｘ），∴ ｆ（ｘ）是偶函数．
（２）当且仅当
１＋ｘ
１－ｘ
≥０ 时函数有意义，∴ －１≤ｘ＜１，
由于定义域关于原点不对称，∴ 函数 ｆ（ｘ）是非奇非偶函数．
（３）函数的定义域为｛ｘ ｜ ｘ≠０｝，关于原点对称，
当 ｘ＞０ 时，－ｘ＜０， ｆ（－ｘ）＝ ｘ２－２ｘ－１＝－ｆ（ｘ），
当 ｘ＜０ 时，－ｘ＞０， ｆ（－ｘ）＝ －ｘ２－２ｘ＋１＝－ｆ（ｘ），
∴ ｆ（－ｘ）＝ －ｆ（ｘ），∴ 函数 ｆ（ｘ）是奇函数．
（４）∵
４－ｘ２≥０，
｜ ｘ＋３ ｜≠３{ ?－２≤ｘ≤２ 且 ｘ≠０，
∴ 函数的定义域关于原点对称．
ｆ（ｘ）＝
４－ｘ２
ｘ＋３－３
＝ ４
－ｘ２
ｘ
，
∵ ｆ（－ｘ）＝
４－（－ｘ） ２
－ｘ
＝－ ４
－ｘ２
ｘ
，
∴ ｆ（－ｘ）＝ －ｆ（ｘ），∴ 函数 ｆ（ｘ）是奇函数．
（１）已知 ｆ（ ｘ）是奇函数，ｇ（ ｘ）是偶函数，且 ｆ（ － １） ＋
ｇ（１）＝ ２， ｆ（１）＋ｇ（－１）＝ ４，则 ｇ（１）＝ ．
（２）若函数 ｆ（ｘ）＝
２ｘ＋１
２ｘ－ａ
是奇函数，则使 ｆ（ ｘ） ＞３ 成立的 ｘ 的
取值范围为 ．
解析 （１）∵ ｆ（ｘ）是奇函数，∴ ｆ（－１）＝ －ｆ（１） ．
∵ ｇ（ｘ）是偶函数，∴ ｇ（－１）＝ ｇ（１） ．
∵ ｆ（－１）＋ｇ（１）＝ ２，∴ ｇ（１）－ｆ（１）＝ ２．①
∵ ｆ（１）＋ｇ（－１）＝ ４，∴ ｆ（１）＋ｇ（１）＝ ４．②
由①②得 ｇ（１）＝ ３．
（２）因为 ｆ（ ｘ）＝
２ｘ＋１
２ｘ－ａ
是奇函数，所以对定义域内的任意 ｘ，
ｆ（－ｘ）＝ －ｆ（ｘ）恒成立，即
２－ｘ＋１
２－ｘ－ａ
＝－２
ｘ＋１
２ｘ－ａ
，即
１＋２ｘ
１－ａ·２ｘ
＝ ２
ｘ＋１
ａ－２ｘ
，所以 １
－ａ·２ｘ ＝ａ－２ｘ，即（ａ－１）（２ｘ ＋１）＝ ０ 对任意 ｘ 恒成立，所以 ａ ＝ １．
所以 ｆ（ｘ）＝
２ｘ＋１
２ｘ－１
＝ １＋
２
２ｘ－１
，其定义域为（－∞ ，０）∪（０，＋∞ ），在
（０，＋∞ ）上为减函数，在 （－∞ ，０）上也为减函数，因为 ｆ（１） ＝ ３，
ｆ（ｘ）＞３，所以 ｆ（ｘ）＞ｆ（１），所以 ０＜ｘ＜１．
答案 （１）３ （２）０＜ｘ＜１
２－１ 已知 ｆ（ｘ）是定义在 Ｒ 上的奇函数．当 ｘ＞０ 时， ｆ（ ｘ）＝
ｘ２－４ｘ，则不等式 ｆ（ｘ）＞ｘ 的解集用区间表示为 ．
２－１ 答案 （－５，０）∪（５，＋∞ ）
解析 ∵ ｆ（ｘ）是定义在 Ｒ 上的奇函数，
∴ ｆ（０）＝ ０，
又当 ｘ＜０ 时，－ｘ＞０，
∴ ｆ（－ｘ）＝ ｘ２＋４ｘ．
又 ｆ（ｘ）为奇函数，∴ ｆ（－ｘ）＝ －ｆ（ｘ），
∴ ｆ（ｘ）＝ －ｘ２－４ｘ（ｘ＜０），
∴ ｆ（ｘ）＝
ｘ２－４ｘ， ｘ＞０，
０， ｘ＝ ０，
－ｘ２－４ｘ， ｘ＜０．
{
①当 ｘ＞０ 时，由 ｆ（ｘ）＞ｘ 得 ｘ２－４ｘ＞ｘ，解得 ｘ＞５；
②当 ｘ＝ ０ 时， ｆ（ｘ）＞ｘ 无解；
③当 ｘ＜０ 时，由 ｆ（ｘ）＞ｘ 得－ｘ２－４ｘ＞ｘ，解得－５＜ｘ＜０．
综上得不等式 ｆ （ ｘ） ＞ ｘ 的解集用区间表示为 （ － ５，０） ∪
（５，＋∞ ） ．
２－２ （２０１７ 无锡期末）已知 ｆ（ ｘ）＝
２ｘ－３，ｘ＞０，
ｇ（ｘ），ｘ＜０{ 是奇函数，
则 ｆ（ｇ（－２））＝ ．
２－２ 答案 １
解析 由题意得 ｆ（－２）＝ －ｆ（２）＝ －（２２－３）＝ －１＝ｇ（－２），
ｆ（－１）＝ －ｆ（１）＝ －（２－３）＝ １，
故 ｆ（ｇ（－２））＝ １．
２－３ 判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
（１） ｆ（ｘ）＝ ｘ２－ ｜ ｘ ｜ ＋１，ｘ∈［－１，４］；
（２） ｆ（ｘ）＝ ３－ｘ２ ＋ ｘ２－３ ；
（３） ｆ（ｘ）＝
１
ａｘ－１
＋ １
２
（ａ＞０，且 ａ≠１） ．
２－３ 解析 （１）由于 ｆ（ｘ）＝ ｘ２－ ｜ ｘ ｜ ＋１，ｘ∈［－１，４］的定义域不
关于原点对称，因此 ｆ（ｘ）是非奇非偶函数．
（２） ｆ（ｘ）＝ ０（ｘ＝± ３ ），函数 ｆ（ｘ）既是奇函数又是偶函数．
（３） ｆ（ｘ）的定义域为｛ ｘ ｜ ｘ≠０｝，故函数 ｆ（ ｘ）的定义域关于
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
１４ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
原点对称，
∵ ｆ（－ｘ）＝
１
ａ－ｘ－１
＋ １
２
＝ １
１
ａｘ
－１
＋ １
２
＝ ａ
ｘ
１－ａｘ
＋ １
２
＝ －（１
－ａｘ）－１
１－ａｘ
＋ １
２
＝ －１＋
１
１－ａｘ
＋ １
２
＝ － １
ａｘ－１
＋ １
２
?
è
?
?
?
÷ ＝－ｆ（ｘ），
∴ ｆ（ｘ）为奇函数．
????
????
????
????
????
三、函数性质的综合应用
１．函数单调性与奇偶性的综合．注意奇、偶函数图象的对称
性，以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上单调性的关系．
２．周期性与奇偶性的综合．此类问题多为求值问题，常利用
奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知
解析式的定义域内求解．
３．单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利
用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性
求解．
（１）已知函数ｆ（ｘ）是定义在［２－ａ，３］上的偶函数，且在
［０，３］上单调递减，若ｆ －ｍ２－
ａ
５( ) ＞ｆ（－ｍ２ ＋２ｍ－２），则 ｍ 的取值
范围是 ．
（２）已知函数 ｆ（ ｘ）＝
－ｘ２＋２ｘ，ｘ＞０，
０，ｘ＝ ０，
ｘ２＋ｍｘ，ｘ＜０
{ 是奇函数，且函数 ｆ（ ｘ）
在区间［－１，ａ－２］上单调递增，则实数 ａ 的取值范围为 ．
解析 （１）由题意可得 ２－ａ＋３ ＝ ０，则 ａ ＝ ５．因为 ｍ２＋１＞０，
ｍ２－２ｍ＋２＝（ｍ－１） ２＋１＞０，且 ｆ（－ｍ２－１）＝ ｆ（ｍ２＋１）， ｆ（－ｍ２＋２ｍ－
２）＝ ｆ（ｍ２－２ｍ＋２），所以 ｍ２＋１＜ｍ２－２ｍ＋２≤３，解之得 １－ ２≤ｍ＜
１
２
．故 ｍ 的取值范围为 １－ ２≤ｍ＜
１
２
．
（２）当 ｘ＜０ 时，－ｘ＞０， ｆ（ｘ）＝ －ｆ（－ｘ）＝ －［－（－ｘ） ２＋２×（－ｘ）］
＝ ｘ２＋２ｘ，ｘ＜０，所以 ｆ（ｘ）的单调增区间为［－１，１］，因此［－１，ａ－２］
?［－１，１］?－１＜ａ－２≤１?１＜ａ≤３．
答案 （１）１－ ２≤ｍ＜
１
２
（２）（１，３］
（１）设 ｆ（ｘ）是 Ｒ 上的奇函数，且 ｆ（ ｘ＋２）＝ － ｆ（ ｘ），当 ０
≤ｘ≤１ 时， ｆ（ｘ）＝ ２ｘ，则 ｆ（２ ０１８）＝ ．
（２）定义在 Ｒ 上的函数 ｆ（ｘ）满足 ｆ（－ｘ）＝ －ｆ（ｘ）， ｆ（ ｘ）＝ ｆ（ ｘ
＋４），且当 ｘ∈（－１，０）时， ｆ（ｘ）＝ ２ｘ＋
１
５
，则 ｆ（ｌｏｇ２２０）＝ ．
解析 （ １） ∵ ｆ（ ｘ＋ ２） ＝ － ｆ（ ｘ），∴ ｆ（ ｘ＋ ４） ＝ － ｆ（ ｘ＋ ２） ＝
ｆ（ｘ），故 ｆ（ ｘ）的周期为 ４，∴ ｆ（２ ０１８） ＝ ｆ（５０４× ４＋ ２） ＝ ｆ（２） ＝
－ｆ（０）＝ ０．
（２）由于 ｘ∈Ｒ，且 ｆ（－ｘ）＝ －ｆ（ｘ），所以函数 ｆ（ｘ）为奇函数，
由于 ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ＋４），所以函数 ｆ（ｘ）的周期为 ４．
由于 ｌｏｇ２１６＜ｌｏｇ２２０＜ｌｏｇ２３２，即 ４＜ｌｏｇ２２０＜５，
∴ ０＜ｌｏｇ２２０－４＜１，∴ ０＜ｌｏｇ２
５
４
＜１，
∴ ｆ（ｌｏｇ２２０）＝ ｆ（ｌｏｇ２２０－４）＝ ｆ ｌｏｇ２
５
４( )
＝－ｆ －ｌｏｇ２
５
４( ) ＝－ｆ ｌｏｇ２ ４５( ) ＝－ ２ｌｏｇ２
４
５ ＋ １
５( )
＝－ ４
５
＋ １
５( ) ＝－１．
答案 （１）０ （２）－１
３－１ 已知函数 ｙ ＝ ｆ（ ｘ）是定义在 Ｒ 上的奇函数，对任意 ｘ
∈Ｒ， ｆ（ｘ－１）＝ ｆ （ ｘ ＋ １） 成立，当 ｘ∈（０， １） 且 ｘ１ ≠ ｘ２ 时，有
ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）
ｘ２－ｘ１
＜０，给出下列命题：
①ｆ（１）＝ ０；
②ｆ（ｘ）在区间［－２，２］上有 ５ 个零点；
③点（２ ０１８，０）是函数 ｙ＝ ｆ（ｘ）图象的一个对称中心；
④直线 ｘ＝ ２ ０１８ 是函数 ｙ＝ ｆ（ｘ）图象的一条对称轴．
则正确的命题的序号为 ．
３－１ 答案 ①②③
解析 在 ｆ（ｘ－１）＝ ｆ（ｘ＋１）中，令 ｘ＝ ０，得 ｆ（－１）＝ ｆ（１），又
ｆ（－１）＝ －ｆ（１），∴ ２ｆ（１）＝ ０，∴ ｆ（１）＝ ０，故①正确；由 ｆ（ ｘ－１）＝
ｆ（ｘ＋１），得ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ＋２），∴ ｆ（ｘ）是周期为 ２ 的周期函数，∴ ｆ（２）
＝ ｆ（０）＝ ０，又当 ｘ∈（０，１）且 ｘ１≠ｘ２ 时，有
ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）
ｘ２－ｘ１
＜０，∴ 函
数 ｆ（ｘ）在区间（０，１）上单调递减，可作出函数的图象如图：
由图知②③正确，④不正确，所以正确命题的序号为①②③．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
四、函数值域的常见求法
（１）分离常数法
形如 ｙ＝
ｃｘ＋ｄ
ａｘ＋ｂ
（ａｃ≠０）的函数的值域经常使用“分离常数法”
求解．
（２）配方法
配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如Ｆ（ｘ）
＝ ａ［ ｆ （ｘ）］ ２＋ｂｆ（ ｘ） ＋ ｃ（ ａ≠０）的函数的值域问题，均可使用配
方法．
（３）换元法
①代数换元．形如 ｙ＝ａｘ＋ｂ± ｃｘ＋ｄ （ａ，ｂ，ｃ，ｄ 为常数，ａｃ≠０）
的函数，可设 ｃｘ＋ｄ ＝ ｔ（ ｔ≥０），转化为二次函数求值域．
②三角换元：如 ｙ＝ ｘ＋ １－ｘ２ ，可令 ｘ＝ｃｏｓ θ，θ∈［０，π］ ．
对于换元法求值域，一定要注意新元的范围对值域的影响．
（４）判别式法
把函数转化成关于 ｘ 的二次方程，通过方程有实根，知判别
式 Δ≥０，从而求得原函数的值域，形如 ｙ ＝
ａ１ｘ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１
ａ２ｘ２＋ｂ２ｘ＋ｃ２
（ａ１，ａ２ 不
同时为零）的函数的值域常用此法求解．
用判别式法求值域的注意事项：①函数的定义域应为 Ｒ；
②分式的分子、分母没有公因式．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
第二章 函数 １５
（５）有界性法
形如 ｓｉｎ α＝ ｆ（ｙ），ｘ２ ＝ｇ（ｙ），ａｘ ＝ｈ（ｙ）等，由 ｜ ｓｉｎ α ｜ ≤１，ｘ２≥
０，ａｘ＞０ 可解出 ｙ 的范围，从而求出其值域．
（６）数形结合法
若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用
数形结合的方法．
（７）基本不等式法
利用基本不等式：ａ＋ｂ≥２ ａｂ （ａ＞０，ｂ＞０） ．
用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等” ．
（８）利用函数的单调性
①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调
函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即
若 ｙ＝ ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上单调递增，则 ｙｍｉｎ ＝ ｆ（ａ），ｙｍａｘ ＝ ｆ（ｂ）；
若 ｙ＝ ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上单调递减，则 ｙｍｉｎ ＝ ｆ（ｂ），ｙｍａｘ ＝ ｆ（ａ） ．
②形如 ｙ＝ ａｘ＋ｂ＋ ｄｘ＋ｃ的函数，若 ａｄ＞０，则用单调性求值
域；若 ａｄ＜０，则用换元法．
③形如 ｙ＝ ｘ＋
ｋ
ｘ
（ｋ＞０）的函数，若不能用基本不等式，则可
考虑用函数的单调性，当 ｘ＞０ 时，函数 ｙ ＝ ｘ＋
ｋ
ｘ
（ ｋ＞０）的单调减
区间为（０， ｋ ］，单调增区间为［ ｋ ，＋∞ ） ．一般地，把函数 ｙ ＝ ｘ＋
ｋ
ｘ
（ｋ＞０，ｘ＞０）叫做对勾函数，其图象的转折点为（ ｋ ，２ ｋ ），至
于 ｘ＜０ 的情况，可根据函数的奇偶性解决．
（９）导数法
利用导函数求出最值，从而确定值域．
求下列函数的值域：
（１）ｙ＝
５ｘ－１
４ｘ＋２
，ｘ∈［－３，－１］；
（２）ｙ＝ ２ｘ＋ １－２ｘ ；
（３）ｙ＝ ｘ＋４＋ ９－ｘ２ ；
（４）ｙ＝
２ｘ２＋４ｘ－７
ｘ２＋２ｘ＋３
；
（５）ｙ＝ ｌｏｇ３ｘ＋ｌｏｇｘ３－１．
解题导引 （１）
分离
常数法
→ ｙ＝
５
４
－ ７
４（２ｘ＋１） →
得值域
（ ２ ） 代数换元法 → 令 ｔ＝ １－２ｘ → ｙ＝－ｔ２＋ｔ＋１（ ｔ≥０）
→ 得值域
（３） 三角换元法 →
令 ｘ＝ ３ｃｏｓ θ，
θ∈［０，π］
→
ｙ＝ ３ｃｏｓ θ＋４＋３ｓｉｎ θ＝
３ ２ ｓｉｎ θ＋
π
４( ) ＋４
→ 得值域
（４）
判别
式法
→
将函数式变形为（ｙ－２）ｘ２＋
２（ｙ－２）ｘ＋３ｙ＋７＝ ０
→ 判断出 ｙ≠２ →
Δ＝［２（ｙ－２）］ ２－４（ｙ－２）（３ｙ＋７）≥０ → 得值域
（ ５ ）
基本不
等式法
→ 利用换底公式变形得 ｙ＝ ｌｏｇ３ｘ＋
１
ｌｏｇ３ｘ
－１
→ 得值域
解析 （ １） （ 分离常数法） 由 ｙ ＝
５ｘ－１
４ｘ＋２
可 得 ｙ ＝
５
４
－ ７
４（２ｘ＋１）
．
∵ －３≤ｘ≤－１，∴
７
２０
≤－
７
４（２ｘ＋１）
≤
７
４
，
∴
８
５
≤ｙ≤３，即 ｙ∈
８
５
，３[ ] ．
（２）（代数换元法）令 ｔ＝ １－２ｘ （ ｔ≥０），
则 ｘ＝
１－ｔ２
２
．
∴ ｙ＝－ｔ２＋ｔ＋１＝－ ｔ－
１
２( )
２
＋ ５
４
（ ｔ≥０） ．
∴ 当 ｔ＝
１
２
，即 ｘ＝
３
８
时，ｙ 取最大值，ｙｍａｘ ＝
５
４
，且 ｙ 无最小值，
∴ 函数的值域为 －∞ ，
５
４( ] ．
（３）（三角换元法）令 ｘ＝ ３ｃｏｓ θ，θ∈［０，π］，则
ｙ＝ ３ｃｏｓ θ＋４＋３ｓｉｎ θ＝ ３ ２ ｓｉｎ θ＋
π
４( ) ＋４．
∵ ０≤θ≤π，
∴
π
４
≤θ＋
π
４
≤
５π
４
，
∴ －
２
２
≤ｓｉｎ θ＋
π
４( ) ≤１．
∴ １≤ｙ≤３ ２ ＋４，
∴ 函数的值域为［１，３ ２ ＋４］ ．
（４）（判别式法）观察函数式，将已知的函数式变形为 ｙｘ２ ＋
２ｙｘ＋３ｙ＝ ２ｘ２＋４ｘ－７，
整理得（ｙ－２）ｘ２＋２（ｙ－２）ｘ＋３ｙ＋７＝ ０．
显然 ｙ≠２（运用判别式法之前，应先讨论 ｘ２ 的系数） ．
将上式看作关于 ｘ 的一元二次方程．
易知原函数的定义域为 Ｒ，则上述关于 ｘ 的一元二次方程
有实根，所以 Δ＝［２（ｙ－２）］ ２－４（ｙ－２）（３ｙ＋７）≥０．
解得－
９
２
≤ｙ≤２．
又 ｙ≠２，∴ 原函数的值域为 －
９
２
，２[ ) ．
（５）ｙ＝ ｌｏｇ３ｘ＋ｌｏｇｘ３－１ 变形得 ｙ＝ ｌｏｇ３ｘ＋
１
ｌｏｇ３ｘ
－１．
定义域为｛ｘ ｜ ｘ＞０ 且 ｘ≠１｝ ．
①当 ｌｏｇ３ｘ＞０，即 ｘ＞１ 时，ｙ＝ ｌｏｇ３ｘ＋
１
ｌｏｇ３ｘ
－１≥２－１＝ １，
当且仅当 ｌｏｇ３ｘ＝ １，即 ｘ＝ ３ 时取“ ＝” ．
②当 ｌｏｇ３ｘ＜０，即 ０＜ｘ＜１ 时，ｙ≤－２－１＝－３．
当且仅当 ｌｏｇ３ｘ＝－１，即 ｘ＝
１
３
时取“ ＝” ．
综上所述，原函数的值域为（－∞ ，－３］∪［１，＋∞ ） ．
４－１ 已知函数 ｆ（ｘ）＝
（２－ａ）ｘ＋３ａ，ｘ＜１，
ｌｏｇ２ｘ，ｘ≥１{ 的值域为 Ｒ，则实
数 ａ 的取值范围是 ．
４－１ 答案 ［－１，２）
解析 函数 ｆ（ｘ）＝
（２－ａ）ｘ＋３ａ，ｘ＜１，
ｌｏｇ２ｘ，ｘ≥１{ 的值域为 Ｒ，
∵ ｙ＝ ｌｏｇ２ｘ 是增函数，
∴ ｙ＝（２－ａ）ｘ＋３ａ 也是增函数，且（２－ａ）×１＋３ａ≥ｌｏｇ２１，
∴ ２－ａ＞０，２ａ＋２≥０，解得－１≤ａ＜２．
∴ 实数 ａ 的取值范围是［－１，２） ．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
(共56张PPT)
考点一 函数的单调性
五年高考
统一命题、省(区、市)卷题组
1.(2019北京文改编,3,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 ????.
①y=?;②y=2-x;③y=lo?x;④y=?.
答案 ①
解析 本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性,考查数形结合的思想.考查的核
心素养是直观想象.
①?>0,所以幂函数y=?在(0,+∞)上单调递增.
②,指数函数y=2-x=?在(0,+∞)上单调递减.
③,因为0④,反比例函数y=?在(0,+∞)上单调递减.
解题关键 熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决本题的关键.
2.(2019课标全国Ⅲ理改编,11,5分)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则 ????
????.
①f ?>f(?)>f(?);
②f ?>f(?)>f(?);
③f(?)>f(?)>f ?;
④f(?)>f(?)>f ?.
答案 ③
解析 本题主要考查函数的奇偶性、单调性,对数与对数函数、指数与指数函数等知识,考查
学生的运算能力,考查了转化与化归的思想以及数形结合思想,体现了数学运算的核心素养.
∵f(x)是定义域为R的偶函数,∴f(-x)=f(x).
∴f?=f(-log34)=f(log34).
∵log34>log33=1,且1>?>?>0,
∴log34>?>?>0.
∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴f(?)>f(?)>f(log34)=f?.
难点突破????同底指数幂比较大小,通常借助相应指数函数的单调性比较大小;指数幂与对数比
较大小,可考虑引入中间值,如0,1等.
3.(2019北京理,13,5分)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a= ????;若f(x)是R上
的增函数,则a的取值范围是 ????.
答案 -1;(-∞,0]
解析 本题主要考查与指数函数有关的函数的奇偶性,利用导数研究函数单调性等有关知识;
考查学生根据定义、法则进行正确运算、变形的能力;考查的核心素养为数学运算.
∵f(x)=ex+ae-x为奇函数,
∴f(-x)+f(x)=0,
即e-x+aex+ex+ae-x=0,
∴(a+1)(ex+e-x)=0,∴a=-1.
∵f(x)是R上的增函数,
∴f '(x)≥0恒成立,
∴ex-ae-x≥0,即e2x-a≥0,
∴a≤e2x,
又∵e2x>0,∴a≤0.
当a=0时, f(x)=ex是增函数,满足题意,故a≤0.
易错警示 当f '(x)>0时, f(x)为增函数,而当f(x)为增函数时, f '(x)≥0恒成立,不能漏掉等于0,但
要检验f '(x)=0时得到的参数a是否满足题意.
4.(2017课标全国Ⅰ理改编,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1
≤f(x-2)≤1的x的取值范围是 ????.
答案 [1,3]
解析 本题考查抽象函数的单调性、奇偶性以及利用函数性质求解不等式,考查学生的逻辑
思维能力和运算求解能力.
解法一(特值法):取f(x)=-x,其满足在(-∞,+∞)单调递减,为奇函数,且f(1)=-1,即满足题设的所有
条件,因为f(x-2)=2-x,所以有-1≤2-x≤1,解得1≤x≤3.
解法二(性质法):因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1.
于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x
≤3.所以x的取值范围是[1,3].
5.(2017课标全国Ⅱ文改编,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是 ????.
答案 (4,+∞)
解析 本题主要考查复合函数的单调性.
由x2-2x-8>0可得x>4或x<-2,
所以x∈(-∞,-2)∪(4,+∞),
令u=x2-2x-8,
则其在x∈(-∞,-2)上单调递减,
在x∈(4,+∞)上单调递增.
又因为y=ln u在u∈(0,+∞)上单调递增,
所以y=ln(x2-2x-8)在x∈(4,+∞)上单调递增.
方法总结 复合函数的单调性符合同增异减的原则.
6.(2017天津文改编,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f?,b=f(log24.1),c=f(20.8),
则a,b,c的大小关系为 ????.(用“<”连接)
答案????c解析 本题考查函数的奇偶性、单调性及对数函数的性质.
∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴a=-f(-log25)=f(log25),
而log25>log24.1>2>20.8,又∵y=f(x)在R上为增函数,
∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),即a>b>c.
方法总结 比较函数值的大小,往往利用函数的奇偶性将自变量转化到同一单调区间上来进
行比较.
考点二 函数的奇偶性与周期性
1.(2019课标全国Ⅱ文改编,6,5分)设f(x)为奇函数,且当x≥0时, f(x)=ex-1,则当x<0时, f(x)= ????
????.
答案 -e-x+1
解析 本题主要考查函数奇偶性的应用,通过奇函数性质求函数解析式来考查学生的推理论
证及运算求解能力,渗透了逻辑推理的核心素养.
当x<0时,-x>0,则f(-x)=e-x-1,又∵f(x)为奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1.
2.(2018课标全国Ⅲ文,16,5分)已知函数f(x)=ln(?-x)+1, f(a)=4,则f(-a)= ????.
答案 -2
解析 本题考查函数的奇偶性.
易知f(x)的定义域为R,
令g(x)=ln(?-x),
则g(x)+g(-x)=0,
∴g(x)为奇函数,
∴f(a)+f(-a)=2,又f(a)=4,∴f(-a)=-2.
解题关键 观察出函数g(x)=ln(?-x)为奇函数.
3.(2018课标全国Ⅱ理改编,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f
(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ????.
答案 2
解析 本题主要考查函数的奇偶性和周期性.
∵f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,∴f(0)=0,
f(-x)=-f(x),①
又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(-x)=f(2+x),②
由①②得f(2+x)=-f(x),③
用2+x代替x得f(4+x)=-f(2+x).④
由③④得f(x)=f(x+4),
∴f(x)的最小正周期为4.
由于f(1-x)=f(1+x), f(1)=2,
故令x=1,得f(0)=f(2)=0,
令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,
令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0,
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2.
方法总结 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有
(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.
(2)f(x+a)=?(a≠0, f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.
(3)f(x+a)=-?(a≠0, f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.
4.(2017课标全国Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,
则f(2)= ????.
答案 12
解析 本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.
由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.
5.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0+ f(1)=????.
答案 -2
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),
又∵f(x)的周期为2,∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),
即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.
又∵f?=f?=-f?=-?=-2.
∴f?+f(1)=-2.
评析 本题考查了函数的奇偶性及周期性.正确利用周期将函数值进行转化是解题的关键.
6.(2015课标全国Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+?)为偶函数,则a= ????.
答案 1
解析 由已知得f(-x)=f(x),即-xln(?-x)=xln(x+?),则ln(x+?)+ln(?-x)=0,
∴ln[(?)2-x2]=0,得ln a=0,∴a=1.
1.(2015天津改编,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f
(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为 ????.
教师专用题组
答案????b>a>c
解析 ∵f(x)=2|x-m|-1为偶函数,∴m=0.∵a=f(lo?3)=f(log23),b=f(log25),c=f(0),log25>log23>0,而函
数f(x)=2|x|-1在(0,+∞)上为增函数,∴f(log25)>f(log23)>f(0),即b>a>c.
2.(2014湖北改编,10,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=?(|x-a2|+|x-2a2|-3a
2).若?x∈R, f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为 ????.
答案?????
解析 当x≥0时, f(x)=?画出图象,再根据f(x)是奇函数补全图象.
?
∵满足?x∈R, f(x-1)≤f(x),
∴6a2≤1,即-?≤a≤?.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点一 函数的单调性
1.(2019徐州一中检测,4)函数y=-(x-5)|x|的递增区间是 ????.
答案?????
解析 当x≥0时,y=-(x-5)x=-x2+5x,图象开口向下,对称轴为直线x=?,所以递增区间是?;当x
<0时,y=(x-5)x=x2-5x,图象开口向上,对称轴是直线x=?,所以在定义域内无递增区间.
综上所述,递增区间是?.
2.(2019苏北三市(徐州、连云港、淮安)期末,9)已知a,b∈R,函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且
在(0,+∞)上是减函数,则关于x的不等式f(2-x)>0的解集为 ????.
答案 (0,4)
解析 ∵函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,
∴f(-x)=f(x),
又∵f(x)为二次函数,∴其图象对称轴是直线x=0.
又f(x)=ax2+(b-2a)x-2b(a≠0),∴?=0,∴b=2a,
∴f(x)=ax2-4a,
又∵f(x)在(0,+∞)上为减函数,∴二次函数y=ax2-4a图象开口向下,因此a<0,
令f(x)>0,可得ax2-4a>0,又a<0,∴x2-4<0,∴-2若f(2-x)>0,则-2<2-x<2,∴0∴不等式f(2-x)>0的解集为(0,4).
方法总结 具有奇偶性的函数的单调性结论:奇函数在对称区间内具有相同的单调性,偶函数
在对称区间内的单调性相反.
3.(2019徐州期中,9)已知奇函数y=f(x)是R上的单调函数,若函数g(x)=f(x)+f(a-x2)只有一个零点,
则实数a的值为 ????.
答案 -?
解析 ∵函数g(x)=f(x)+f(a-x2)只有一个零点,∴只有一个x的值,使f(x)+f(a-x2)=0,即f(a-x2)=-f(x)
成立.∵函数f(x)是奇函数,∴只有一个x的值,使f(a-x2)=f(-x)成立,
又函数f(x)是R上的单调函数,
∴只有一个x的值,使a-x2=-x,即方程x2-x-a=0有且只有一个解,
∴Δ=1+4a=0,解得a=-?.
考点二 函数的奇偶性与周期性
1.(2019无锡期中,4)设函数f(x)=asin x+bx+x2,若f(1)=0,则f(-1)= ????.
答案 2
解析????f(1)=asin 1+b+1=0,所以asin 1+b=-1,
f(-1)=-asin 1-b+1=-(asin 1+b)+1=1+1=2.
2.(2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,10)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f
(x), f(x)=f(x+4),且当x∈(-1,0)时, f(x)=2x+?,则f(log2 20)= ????.
答案 -1
解析????f(log2 20)=f(log2 20-4)=f?,∵1∴0∴f(log2 20)=-f?=-f?=-?=-1.
评析 本题考查函数的奇偶性、周期性,利用周期性将自变量不在已知范围内的求值问题,转
化到已知范围内求解,这是此类问题的常见思路.
3.(2019连云港期中,5)已知函数f(x)=?是奇函数,则f(x)<0的解集为 ????
????.
答案 {x|x>1或-1解析 因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)+f(x)=0,∴?+?=0,
整理得a-x+ax-x2=a+x-ax-x2,即(1-a)x=0,所以a=1.
则f(x)=?<0,即?>0,
等价于?或?解得x>1或-1故f(x)<0的解集为{x|x>1或-1一题多解 观察发现1是函数f(x)的零点,因为函数为奇函数,所以-1是零点,从而得到a=1,解不
等式?<0,可以采用数轴标根法.?<0?(x-1)x(x+1)>0,如图,得到x>1或-1故f(x)<0的解集为{x|x>1或-1?
4.(2019南京六校联合体联考,10)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时, f(x)=x2-x.若f
(a)<4+f(-a),则实数a的取值范围是 ????.
答案 (-∞,2)
解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴f(a)<4+f(-a)可转化为f(a)<2,
作出f(x)的图象,如图:
?
由图象知a<2.
5.(2019苏州3月检测,8)若函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=xln x,则不等式f(x)<-e
的解集为 ????.
答案 (-∞,-e)
解析 ∵函数f(x)为定义在R上的奇函数,
∴当x=0时, f(0)=0,不满足不等式f(x)<-e.
当x≠0时,设x<0,则-x>0,
∵当x>0时, f(x)=xln x,∴f(-x)=-xln(-x),
∵函数f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=xln(-x),
则f(x)=?
当x>0时, f '(x)=ln x+x·?=ln x+1,
令f '(x)=0,得x=?,
当0?时, f '(x)>0,
∴函数f(x)在?上递减,在?上递增,
再由函数f(x)是奇函数,画出函数f(x)的图象,如图:
?
当x=?时取到极小值, f?=?ln?=-?>-e,
∴不等式f(x)<-e在(0,+∞)上无解.
∵f(-e)=(-e)ln[-(-e)]=-e,
∴不等式f(x)<-e的解集是(-∞,-e).
6.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,16)已知函数f(x)=ex-?-2x是定义在[-1,1]
上的奇函数(其中e是自然对数的底数).
(1)求实数m的值;
(2)若f(a-1)+f(2a2)≤0,求实数a的取值范围.
解析 (1)因为f(x)=ex-?-2x是定义在[-1,1]上的奇函数,所以f(0)=0,所以m=1.?(4分)
当m=1时, f(x)=ex-?-2x, f(-x)=?-ex+2x=-f(x),符合题意.?(6分)
(2)f '(x)=ex+?-2,
因为ex+?≥2,所以f '(x)≥0,当且仅当x=0时, f '(x)=0,
所以f(x)在[-1,1]上单调递增,?(10分)
所以?所以0≤a≤?.?(14分)
(忘记定义域扣2分)
7.(2018泰州中学期中,17)已知函数f(x)=x2+(x-1)·|x-a|.
(1)若a=-1,求满足f(x)=1的x的取值集合;
(2)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)若a<1且不等式f(x)≥2x-3对一切实数x∈R恒成立,求a的取值范围.
解析 (1)当a=-1时,有f(x)=?
当x≥-1时,2x2-1=1,解得x=1或x=-1,
当x<-1时, f(x)=1恒成立,
∴x的取值集合为{x|x≤-1或x=1}.
(2)f(x)=?
若f(x)在R上单调递增,且f(x)是连续的,则有?
解得a≥?,即实数a的取值范围是?.
(3)设g(x)=f(x)-(2x-3),
则g(x)=?
若不等式g(x)≥0对一切实数x∈R恒成立,
则当x∵a2-2a+3=(a-1)2+2≥2,∴g(x)≥0恒成立.
当x≥a时,∵a<1,∴a综上,a的取值范围是[-3,1).
填空题(每小题5分,共40分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：30分钟 分值：40分)
1.(2019南通、扬州、泰州、苏北四市七市一模,11)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+
2)=f(x).当0答案 2
解析 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-1)=-f(1),又因为f(x+2)=f(x),所以f(-1)=f(1),则-
f(1)=f(1),则f(1)=0,所以f(1)=13-a+1=0,解得a=2.
2.(2019南京、盐城二模,10)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时, f(x)=x2-5x,则不等
式f(x-1)>f(x)的解集为 ????.
答案 (-2,3)
解析 当x<0时,-x>0,则f(-x)=x2+5x,因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-x2-5x,
所以f(x)=?
(1)当x-1≥0,即x≥1时,由f(x-1)>f(x)得(x-1)2-5(x-1)>x2-5x,解得x<3,所以1≤x<3;
(2)当x-1<0,即x<1时,
①0≤x<1时,由f(x-1)>f(x)得-(x-1)2-5(x-1)>x2-5x,解得-1②x<0时,由f(x-1)>f(x)得-(x-1)2-5(x-1)>-x2-5x,解得x>-2,所以-2综上, f(x-1)>f(x)的解集为(-2,3).
3.(2019苏锡常镇四市教学情况调查(二),14)已知e为自然对数的底数,函数f(x)=ex-ax2的图象恒
在直线y=?ax上方,则实数a的取值范围为 ????.
答案?????
解析 由题意得ex-ax2>?ax,ex>a?,当x<0时,?过?作y=?的图象的切线,设切点坐标为?,y'=?,k=?,
所以切线方程为y-?=?(x-x0),
由切线过?,解得x0=?(舍去)或x0=-1,故k=e-1(-2)=-?,∴a>-?,
图象的一条渐近线为x轴,所以a≤0,此时-?当x>0时,?>a?在a∈?上恒成立.
综上,-?4.(2019南京三模,14)已知函数f(x)=?x2-aln x+x-?,对任意x∈[1,+∞),当f(x)≥mx恒成立时实数m
的最大值为1,则实数a的取值范围是 ????.
答案 (-∞,1]
解析 先将m看成变量,则f(x)≥(mx)max=x,
故条件等价于f(x)≥x,即?x2-aln x-?≥0对任意x≥1恒成立.
设g(x)=?x2-aln x-?(x≥1),
g'(x)=x-?=?,
若a≤1,则g'(x)≥0,g(x)在[1,+∞)上单调递增,
g(x)min=g(1)=0,符合题意;
若a>1,则x∈[1,?)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
x∈(?,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
g(x)min=g(?)=?-?aln a.
令h(a)=?-?aln a,a>1,
则h'(a)=?-?(1+ln a)=-?ln a,
则h'(a)<0,故h(a)在(1,+∞)上单调递减,
从而h(a)综上,a的取值范围是(-∞,1].
5.(2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,13)已知函数f(x)=?的
图象上存在点关于y轴对称,则实数a的取值范围是 ????.
答案????a<0或a≥?
解析 设(x,y)(x>0)为函数y=f(x)的图象上任一点,则(-x,y)也在y=f(x)的图象上,则有?=aln x,
∴?=(2e-x)ln x.
设g(x)=(2e-x)ln x(x>0),
则g'(x)=-ln x+?=-ln x+?-1,
g″(x)=-?-?,则g″(x)<0且g'(e)=0,
∴当x∈(0,e)时,g'(x)>0,当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,
∴g(x)≤g(e)=e,
∴?≤e,∴a<0或a≥?.
6.(2019前黄中学期初,14)已知函数f(x)=?设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥?在R
上恒成立,则a的取值范围是 ????.
答案 [-2,2]
解析 当x<1时,|x|+2≥?恒成立,所以-|x|-?-2≤a≤|x|-?+2恒成立,
因为y1=-|x|-?-2=?在x=0处取得最大值-2,
y2=|x|-?+2=?在x=0处取得最小值2,
所以-2≤a≤2.
当x≥1时,x+?≥?恒成立,所以-?≤a≤?+?恒成立,
因为y3=?+?在x=2处取得最小值2,
y4=-?在x=?处取得最大值-2?,
所以-2?≤a≤2.
综上所述,a的取值范围是[-2,2].
名师点睛 恒成立问题一般转化为最值问题,其中将参变量分离开来是最常用的思路,本题也
不例外, f(x)≥??-f(x)≤?+a≤f(x)?-f(x)-?≤a≤f(x)-?,求最值即可.
7.(2018南通高三第二次调研,14)已知a为常数,函数f(x)=?的最小值为-?,则a的所
有值为 ????.
答案 4,?
解析????解法一:∵f(x)=?=?,
∴f(-x)=?=-f(x),∴f(x)为奇函数,
∵f(x)min=-?,∴f(x)max=?,即|f(x)|≤?,
令m=(x,?),n=(?,x),
则m·n=x?+x?,
又∵|m·n|≤|m|·|n|,
∴|x?+x?|≤?,
则?≤?,
即|f(x)|≤?,
∴?=?,∴a=?或4.
解法二:(构造三角形)由题意易知a>0,
如图,构造三角形ABC,BC边上的高为AD,
?
令AB=?,AD=x,AC=1,则BD=?,DC=?,
因为S△ABC=S△ABD+S△ADC,
所以?·1·sin∠BAC=x?+x?,
由解法一知f(x)=?为奇函数,
且|f(x)|max=?,
所以f(x)=?,|f(x)|max=?=?,
则a=?或a=4.
评析 解法一注意到函数是奇函数,将分母有理化后根据乘积之和构造向量来解决;解法二构
造三角形,利用三角形的面积和的最值求解,构思巧妙.
8.(2019南通、扬州、泰州、苏北四市七市一模,14)已知函数f(x)=(2x+a)(|x-a|+|x+2a|)(a<0).若f
(1)+f(2)+f(3)+…+f(672)=0,则满足f(x)=2 019的x的值为 ????.
答案 337
解析 注意到f?=0,?=-?,
又因为f?=2x?(a<0),
f?=-2x?(a<0),
因此f?+f?=0,
所以函数f(x)的图象关于点?对称,
所以?=-?,
解得a=-673,
所以f(x)=(2x-673)(|x+673|+|x-2×673|)=2 019,
显然有0<2x-673<2 019,
即?所以f(x)=(2x-673)(x+673+2×673-x)=2 019,
即2x-673=1,解得x=337.
1.(2019 5·3原创冲刺卷一文改编,11)设函数f(x)=2|x-1|+log3(x-1)2,不等式f(ax)≤f(x+3)在x∈(1,2]
上恒成立,则实数a的取值范围是 ????.
C组 2017—2019年高考模拟·应用创新题组
答案?????
解析 因为f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图象关于x=1对称,f(x)=2(x-1)+2log3|x-1|,易知f(x)在(1,+∞)
上单调递增,又f(ax)≤f(x+3),则|ax-1|≤|(x+3)-1|,即|ax-1|≤|x+2|,因为x∈(1,2],所以|ax-1|≤x+2,即
-1-?≤a≤1+?在x∈(1,2]上恒成立,则?≤a≤?,所以-1-?≤a≤1+?,得-?≤a≤
?.
2.(2019 5·3原创题)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足如下条件:
(1)对任意的x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),有 ?>0;
(2)对一切x>0,有f(x)+?>0;
(3)对任意的x∈(0,+∞),有f(x)·f?=1.
则f(1)的值是 ????.
答案?????
解析 设m=f(1),由题意,令x=1,得mf(m+1)=1,
所以f(m+1)=?①,
令x=m+1,得f(m+1)f?=1②,
由①②得f?=m,从而f?=f(1).
由?>0知,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以?+?=1,解得m=?.
若m=?,则由单调性知1因此f(1)=m=?.
3.(2019江都中学、华罗庚中学等13校联考,14)已知函数y=f(x),若给定非零实数a,对于任意实
数x∈M,总存在非零常数T,使得af(x)=f(x+T)恒成立,则称函数y=f(x)是M上的a级T类周期函数.
若函数y=f(x)是[0,+∞)上的2级2类周期函数,且当x∈[0,2)时,f(x)=?又函数g(x)=-
2ln x+?x2+x+m.若?x1∈[6,8),?x2∈(0,+∞),使g(x2)-f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是 ????
????.
答案?????
解析 当x∈[0,2)时,f(x)=?
可得:当0≤x≤1时, f(x)=1-x2,有最大值f(0)=1,最小值f(1)=0,
当1又由函数y=f(x)是定义在区间[0,+∞)内的2级2类周期函数,知T=2,
则在x∈[6,8)上, f(x)=23·f(x-6),
则f(6)=23f(0)=8,
则函数f(x)在区间[6,8)上的最大值为8,最小值为0.
?
对于函数g(x)=-2ln x+?x2+x+m,有g'(x)=-?+x+1=?=?,
在(0,1)上,g'(x)<0,函数g(x)为减函数,
在(1,+∞)上,g'(x)>0,函数g(x)为增函数,
则函数g(x)在(0,+∞)上有最小值g(1)=?+m.
若?x1∈[6,8),?x2∈(0,+∞),使g(x2)-f(x1)≤0成立,
必有g(x)min≤f(x)max,即?+m≤8,解得m≤?.
故m的取值范围为?.
１６ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§ ２．３ 二次函数与幂函数
对应学生用书起始页码 Ｐ２３
考点一 二次函数
１．二次函数解析式的三种表示形式
（１）一般式：ｆ（ｘ）＝ ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）；
（２）顶点式：ｆ（ｘ）＝ ａ（ｘ－ｈ） ２＋ｋ（ａ≠０）；
（３）两根式：ｆ（ｘ）＝ ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）（ａ≠０） ．
２．二次函数的图象和性质
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０） ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＜０）
图象
定义域 （－∞ ，＋∞ ） （－∞ ，＋∞ ）
值域
４ａｃ－ｂ２
４ａ
，＋∞[ ) －∞ ，４ａｃ－ｂ２４ａ( ]
单调性
在 ｘ∈ －
ｂ
２ａ
，＋∞[ ) 上单调递增，
在 ｘ∈ －∞，－
ｂ
２ａ( ] 上单调递减
在 ｘ∈ －∞，－
ｂ
２ａ( ] 上单调递增，
在 ｘ∈ －
ｂ
２ａ
，＋∞[ ) 上单调递减
奇偶性 当 ｂ＝ ０ 时为偶函数，当 ｂ≠０ 时为非奇非偶函数
顶点
坐标
－ ｂ
２ａ
，
４ａｃ－ｂ２
４ａ( )
对称性 图象关于直线 ｘ＝－
ｂ
２ａ
对称
３．若二次函数 ｙ＝ ｆ（ｘ）恒满足 ｆ（ ｘ＋ｍ）＝ ｆ（－ｘ＋ｎ），则其对称
轴方程为 ｘ＝
ｍ＋ｎ
２
．
考点二 幂函数
１．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系下，五个常见的幂函数：ｙ ＝ ｘ，ｙ ＝ ｘ２，
ｙ＝ ｘ３，ｙ＝ ｘ
１
２ ，ｙ＝ ｘ－１的图象如图所示．
２．幂函数的性质
解析式 ｙ＝ ｘ ｙ＝ ｘ２ ｙ＝ ｘ３ ｙ＝ ｘ
１
２ ｙ＝ ｘ－１
定义域 Ｒ Ｒ Ｒ ［０，＋∞ ） ｛ｘ ｜ ｘ∈Ｒ 且 ｘ≠０｝
值域 Ｒ ［０，＋∞ ） Ｒ ［０，＋∞ ） ｛ｙ ｜ ｙ∈Ｒ 且 ｙ≠０｝
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增
ｘ∈［０，＋∞ ）时，增
ｘ∈（－∞ ，０］时，减
增 增
ｘ∈（０，＋∞ ）时，减
ｘ∈（－∞ ，０）时，减
过定点 （０，０），（１，１） （１，１）
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
对应学生用书起始页码 Ｐ２３
一、二次函数在闭区间上最值问题的求解方法
二次函数在闭区间上的最值问题一般有以下两类题型
（１）定轴动区间，此时讨论对称轴与区间端点的位置关系．
（２）定区间动轴，此时讨论对称轴与区间的位置关系．
注意：对于闭区间上含参数的二次函数的最值问题，应对系
数进行讨论，要遵守分类讨论中的三原则：一是分类的标准要一
致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分
类，决不无原则地分类讨论．
（３）对于 ｆ（ｘ）≥０ 在区间［ａ，ｂ］上恒成立的问题，一般等价
转化为 ｆ（ｘ） ｍｉｎ≥０，ｘ∈［ａ，ｂ］ ．
对于 ｆ（ｘ）≤０ 在区间［ａ，ｂ］上恒成立的问题，一般等价转化
为 ｆ（ｘ） ｍａｘ≤０，ｘ∈［ａ，ｂ］ ．
若 ｆ（ｘ）中含有参数，则要对参数进行讨论或分离参变量．
已知ｆ（ｘ）＝ ｘ２－３ａ２，ｇ（ｘ）＝ （２ａ＋１）ｘ．
（１）若 ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）的解集中有且仅有一个整数，求 ａ 的取值
范围；
（２）若 ｜ ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ） ｜≤４ａ 在 ｘ∈［１，４ａ］上恒成立，试确定 ａ
的取值范围．
解 题 导 引 （ １ ） 构造函数 Ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ） →
由 Ｆ（０）＝ －３ａ２≤０，讨论
实数 ａ 是不是 ０
→
ａ＝ ０ 时，求出不等式解集
并进行检验（舍去）
→
ａ≠０ 时，仅需
Ｆ（１）≥０，
Ｆ（－１）≥０{ → 解不等式组得结论
（ ２ ）
利用特殊值 １ 和区间的
定义，得实数 ａ 的范围
→
讨论函数 Ｆ（ｘ）在区间
内的最大值和最小值
→ 得结论
解析 （１）令 Ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝ ｘ２－（２ａ＋１）ｘ－３ａ２，
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
第二章 函数 １７
若 ａ＝ ０，则 ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）的解集为（０，１），不满足条件；
若 ａ≠０，则 Ｆ（０）＝ －３ａ２＜０，
所以
Ｆ（１）≥０，
Ｆ（－１）≥０，{ 解得１－ ７３ ≤ａ＜０．
综上可知，ａ 的取值范围为 １－ ７
３
，０é
?
êê
?
?
÷ ．
（２）根据题意知，ａ＞
１
４
，且 ｜ ｆ（１）－ｇ（１） ｜≤４ａ，
可得
１
４
＜ａ≤
２
３
，
所以 Ｆ（ｘ）＝ ｘ２－（２ａ＋１）ｘ－３ａ２ 的图象的对称轴为直线 ｘ ＝ ａ
＋ １
２
，且 ａ＋
１
２
∈
３
４
，
７
６( ] ．
若
１
４
＜ａ≤
１
２
，则
｜Ｆ（１） ｜≤４ａ，
｜Ｆ（４ａ） ｜≤４ａ，{ 即
｜ －２ａ－３ａ２ ｜≤４ａ，
｜ ５ａ２－４ａ ｜≤４ａ，{
解得 ０≤ａ≤
２
３
，所以
１
４
＜ａ≤
１
２
；
若
１
２
＜ａ≤
２
３
，则
｜Ｆ（１） ｜≤４ａ，
｜Ｆ（４ａ） ｜≤４ａ，
Ｆ ａ＋
１
２( ) ≤４ａ，
ì
?
í
?
?
??
即
｜ －２ａ－３ａ２ ｜≤４ａ，
｜ ５ａ２－４ａ ｜≤４ａ，
１６ａ２＋４ａ＋１
４
≤４ａ，
ì
?
í
?
?
??
解得
３－ ５
８
≤ａ≤
３＋ ５
８
，
所以
１
２
＜ａ≤
３＋ ５
８
．
综上，ａ 的取值范围是
１
４
＜ａ≤
３＋ ５
８
．
１－１ 已知在（－∞ ，１］上递减的函数 ｆ（ ｘ）＝ ｘ２ －２ｔｘ＋１，且对
任意的 ｘ１，ｘ２∈［０，ｔ＋１］，总有 ｜ ｆ（ ｘ１） － ｆ（ ｘ２） ｜ ≤２，则实数 ｔ 的取
值范围为 ．
１－１ 答案 ［１， ２ ］
解析 对任意的 ｘ１，ｘ２∈［０，ｔ＋１］，总有 ｜ ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２） ｜≤２
转化为 ｆ （ｘ） ｍａｘ－ｆ （ｘ） ｍｉｎ≤２．由 ｆ（ｘ）在（－∞ ，１）上是减函数，得－
－２ｔ
２
≥１，即 ｔ≥１，从而有 ｔ－０≥ｔ＋１－ｔ，即 ｘ ＝ ０ 比 ｘ ＝ ｔ＋１ 更偏离对
称轴 ｘ＝ ｔ，故 ｆ（ｘ）在［０，１＋ｔ］上的最大值为 １，最小值为 １－ｔ２，故
有 １－（１－ｔ２）≤２，解得－ ２≤ｔ≤ ２，又 ｔ≥１，所以 １≤ｔ≤ ２ ．
１－２ 若函数 ｆ（ ｘ）＝ ｘ２ －３ｘ－４ 的定义域为［０，ｍ］，值域为
－２５
４
，－４[ ] ，则 ｍ 的取值范围是 ．
１－２ 答案
３
２
，３[ ]
解析 ∵ ｆ（ｘ）＝ ｘ２－３ｘ－４ ＝ ｘ－
３
２( )
２
－ ２５
４
，∴ ｆ
３
２( ) ＝ － ２５４ ，
又 ｆ（０）＝ ｆ（３）＝ －４，故由二次函数图象（如图）可知：ｍ 的值最小
为
３
２
，最大为 ３．∴ ｍ 的取值范围是
３
２
，３[ ] ．
１－３ 已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｘ２－４ｘ＋３，ｇ（ ｘ）＝ ｍ（ ｘ－１）＋２（ｍ＞０），
若存在 ｘ１∈［０，３］，使得对任意的 ｘ２ ∈［０，３］，都有 ｆ（ ｘ１ ） ＝
ｇ（ｘ２），则实数 ｍ 的取值范围是 ．
１－３ 答案 ０，
１
２( ]
解析 存在 ｘ１∈［０，３］，使得对任意的 ｘ２∈［０，３］，都有
ｆ（ｘ１）＝ ｇ（ｘ２）?｛ｇ（ｘ） ｜ ｘ∈［０，３］｝?｛ ｆ（ｘ） ｜ ｘ∈［０，３］｝ ．
∵ ｆ（ｘ）＝ ｘ２－４ｘ＋３＝（ｘ－２） ２－１，ｘ∈［０，３］，
∴ 当 ｘ＝ ２ 时，函数 ｆ（ｘ）取得最小值 ｆ（２）＝ －１，
又 ｆ（０）＝ ３， ｆ（３）＝ ０．
∴ 函数 ｆ（ｘ）的值域为［－１，３］ ．
∴
ｇ（０）＝ ２－ｍ≥－１，
ｇ（３）＝ ２ｍ＋２≤３，
ｍ＞０，
{ 解得 ０＜ｍ≤ １２ ．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
二、一元二次方程根的分布
零点的分布
（ｍ，ｎ，ｐ 为常数）
图象 满足条件
ｘ１＜ｘ２＜ｍ
Δ＞０
－ ｂ
２ａ
＜ｍ
ｆ（ｍ）＞０
ì
?
í
??
??
ｍ＜ｘ１＜ｘ２
Δ＞０
－ ｂ
２ａ
＞ｍ
ｆ（ｍ）＞０
ì
?
í
??
??
ｘ１＜ｍ＜ｘ２ ｆ（ｍ）＜０
续表
零点的分布
（ｍ，ｎ，ｐ 为常数）
图象 满足条件
ｍ＜ｘ１＜ｘ２＜ｎ
Δ＞０
ｍ＜－
ｂ
２ａ
＜ｎ
ｆ（ｍ）＞０
ｆ（ｎ）＞０
ì
?
í
?
?
?
?
ｍ＜ｘ１＜ｎ＜ｘ２＜ｐ
ｆ（ｍ）＞０
ｆ（ｎ）＜０
ｆ（ｐ）＞０
{
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
１８ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
续表
零点的分布
（ｍ，ｎ，ｐ 为常数）
图象 满足条件
只有一个零点
在（ｍ，ｎ）之间
Δ＝ ０
ｍ＜－
ｂ
２ａ
＜ｎ{
或 ｆ（ｍ）·ｆ（ｎ）＜０
或
ｆ（ｍ）＝ ０
ｍ＜－
ｂ
２ａ
＜
ｍ＋ｎ
２
{
或
ｆ（ｎ）＝ ０
ｍ＋ｎ
２
＜－
ｂ
２ａ
＜ｎ{
已知方程 ｘ２＋２（ａ＋２）ｘ＋ａ２－１＝ ０．
（１）当该方程有两个负根时，求实数 ａ 的取值范围；
（２）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数 ａ 的取值
范围．
解析 由题意知，Δ＝ ４（ａ＋２） ２－４（ａ２－１）＝ １６ａ＋２０．
（１）∵ 方程 ｘ２＋２（ａ＋２）ｘ＋ａ２－１＝ ０ 有两个负根，
∴
Δ＝ １６ａ＋２０≥０，
ｘ１＋ｘ２ ＝－２（ａ＋２）＜０，
ｘ１ｘ２ ＝ａ２－１＞０，
{ 解得 ａ≥－
５
４
，
ａ＞－２，
ａ＞１ 或 ａ＜－１，
ì
?
í
?
?
??
即 ａ＞１ 或－
５
４
≤ａ＜－１．
∴ 实数 ａ 的取值范围是 －
５
４
，－１[ ) ∪（１，＋∞ ） ．
（２）∵ 方程 ｘ２＋２（ａ＋２）ｘ＋ａ２－１＝ ０ 有一个正根和一个负根，
∴ ｆ（０）＝ ａ２－１＜０，解得－１＜ａ＜１，
∴ 实数 ａ 的取值范围是（－１，１） ．
２－１ 已知一元二次方程 ｘ２ ＋ｍｘ＋３ ＝ ０（ｍ∈Ｚ）有两个实数
根 ｘ１，ｘ２，且 ０＜ｘ１＜２＜ｘ２＜４，则 ｍ 的值为 ．
２－１ 答案 －４
解析 令 ｆ（ｘ）＝ ｘ２＋ｍｘ＋３，
由题意得
ｆ（２）＝ ２ｍ＋７＜０，
ｆ（０）＝ ３＞０，
ｆ（４）＝ ４ｍ＋１９＞０，
{ 解得－１９４ ＜ｍ＜－ ７２ ．
结合 ｍ∈Ｚ，可得 ｍ＝－４．
２－２ 若函数 ｆ（ｘ）＝ ｘ２＋ａｘ＋２ｂ 在区间（０，１）和（１，２）内各有
一个零点，则
ａ＋ｂ－３
ａ－１
的取值范围是 ．
２－２ 答案
５
４
，２( )
解析 ∵ 函数 ｆ（ ｘ）＝ ｘ２ ＋ａｘ＋２ｂ 在区间（０，１）和（１，２）内
各有一个零点，
∴
ｆ（０）＝ ２ｂ＞０，
ｆ（１）＝ １＋ａ＋２ｂ＜０，
ｆ（２）＝ ４＋２ａ＋２ｂ＞０，
{ 即 ｂ＞０，ａ＋２ｂ＋１＜０，
ａ＋ｂ＋２＞０，
{
它所表示的区域为图中△ＡＢＣ 内的部分，其中，Ａ（ －１，０），
Ｂ（－２，０），Ｃ（－３，１） ．
而
ａ＋ｂ－３
ａ－１
＝ ａ
－１＋ｂ－２
ａ－１
＝ １＋
ｂ－２
ａ－１
，
其表示可行域内的点（ａ，ｂ）与点 Ｎ（１，２）连线的斜率加上 １，
由于直线 ＮＡ 的斜率为
２－０
１＋１
＝ １，
直线 ＮＣ 的斜率为
２－１
１＋３
＝ １
４
，
故
ａ＋ｂ＋３
ａ－１
的取值范围是
５
４
，２( ) ．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
(共52张PPT)
考点一 二次函数
五年高考
统一命题、省(区、市)卷题组
1.(2019浙江,16,4分)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤?,则实数a的最大
值是 ????.
答案?????
解析 本题考查绝对值不等式的解法及二次函数的最值等相关知识;以三次函数为背景,对不
等式化简变形,考查学生运算求解能力,将不等式有解问题转化为函数值域(最值)问题,考查学
生的化归与转化思想、数形结合思想;突出考查了数学运算的核心素养.
|f(t+2)-f(t)|≤??|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|≤??|6at2+12at+8a-2|≤??|3at2+6at+4a-1|≤??-?≤3at
2+6at+4a-1≤???≤a(3t2+6t+4)≤?,
∵3t2+6t+4=3(t+1)2+1≥1,
∴若存在t∈R,使不等式成立,则需a>0,
故a(3t2+6t+4)∈[a,+∞),
∴只需[a,+∞)∩?≠?即可,∴0故a的最大值为?.
疑难突破 能够将原绝对值不等式化繁为简,将问题简化为一元二次不等式有解问题,再进一
步转化为值域交集非空是求解本题的关键.
2.(2017浙江改编,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m????
????.
(1)与a有关,且与b有关 ????
(2)与a有关,但与b无关
(3)与a无关,且与b无关 ????
(4)与a无关,但与b有关
答案 (2)
解析 本题考查二次函数在闭区间上的最值,二次函数的图象,考查数形结合思想和分类讨论
思想.
解法一:令g(x)=x2+ax,则M-m=g(x)max-g(x)min.
故M-m与b无关.
又a=1时,g(x)max-g(x)min=2,
a=2时,g(x)max-g(x)min=3,
故M-m与a有关.故填(2).
解法二:(1)当-?≥1,即a≤-2时, f(x)在[0,1]上为减函数,∴M-m=f(0)-f(1)=-a-1.
(2)当?≤-?<1,即-2(3)当0<-?(4)当-?≤0,即a≥0时, f(x)在[0,1]上为增函数,
∴M-m=f(1)-f(0)=a+1.
即有M-m=?
∴M-m与a有关,与b无关.故填(2).
3.(2017北京文改编,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是 ????.
答案?????
解析 由题意知,y=1-x,
∵y≥0,x≥0,∴0≤x≤1,
则x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2?+?.
当x=?时,x2+y2取最小值?,
当x=0或x=1时,x2+y2取最大值1,
∴x2+y2∈?.
4.(2015浙江文,20,15分)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).
(1)当b=?+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;
(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.
解析 (1)当b=?+1时, f(x)=?+1,
故f(x)图象的对称轴为直线x=-?.
当a≤-2时,g(a)=f(1)=?+a+2.
当-2当a>2时,g(a)=f(-1)=?-a+2.
综上,g(a)=?
(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则?
由于0≤b-2a≤1,因此?≤s≤?(-1≤t≤1).
当0≤t≤1时,?≤st≤?,
由于-?≤?≤0和-?≤?≤9-4?,
所以-?≤b≤9-4?.
当-1≤t<0时,?≤st≤?,
由于-2≤?<0和-3≤?<0,
所以-3≤b<0.
故b的取值范围是[-3,9-4?].
考点二 幂函数
(2018上海,7,5分)已知α∈?.若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α
= ????.
答案 -1
解析 本题主要考查幂函数的性质.∵幂函数f(x)=xα为奇函数,∴α可取-1,1,3,又f(x)=xα在(0,+
∞)上递减,∴α<0,故α=-1.
规律方法 幂函数y=xα(α∈R)的性质及图象特征:
①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1);
②如果α>0,则幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)上为增函数;
③如果α<0,则幂函数的图象在区间(0,+∞)上为减函数;
④当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函数为偶函数.
教师专用题组
考点一 二次函数
1.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=?+m的图象有且只有
一个交点,则正实数m的取值范围是 ????.
答案 (0,1]∪[3,+∞)
解析 ①当0?
易知此时两函数图象在x∈[0,1]上有且只有一个交点;
②当m>1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y=?+m的图象,如图.
?
要满足题意,则(m-1)2≥1+m,解得m≥3或m≤0(舍去),
∴m≥3.
综上,正实数m的取值范围为(0,1]∪[3,+∞).
方法总结 已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法:
①直接法:直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式,再通过解方程或不等式确定参数
的值或取值范围.
②分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决.
③数形结合法:在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.
2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)=?(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间?上单调递减,
那么mn的最大值为 ????.
答案 18
解析 当m=2时, f(x)=(n-8)x+1在区间?上单调递减,则n-8<0?n<8,于是mn<16,则mn无最大
值.当m∈[0,2)时, f(x)的图象开口向下且过点(0,1),要使f(x)在区间?上单调递减,需-?≤
?,即2n+m≤18,又n≥0,则mn≤m?=-?m2+9m.而g(m)=-?m2+9m在[0,2)上为增函数,∴m∈
[0,2)时,g(m)当m>2时, f(x)的图象开口向上且过点(0,1),要使f(x)在区间?上单调递减,需-?≥2,即2m
+n≤12,而2m+n≥2?,所以mn≤18,当且仅当?即?时,取“=”,此时满足m>
2.故(mn)max=18.
综上可得,(mn)max=18.
评析 本题考查了二次函数的图象与性质、基本不等式.考查学生分析问题与解决问题的能
力.考查转化与化归的数学思想.
3.(2015陕西改编,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零?),四位同学分别给出下列结论,
其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是 ????.
(1)-1是f(x)的零点 (2)1是f(x)的极值点
(3)3是f(x)的极值 (4)点(2,8)在曲线y=f(x)上
答案 (1)
解析 (1)由已知得, f '(x)=2ax+b,则f(x)只有一个极值点,若(1)、(2)正确,则有?解得b
=-2a,c=-3a,
则f(x)=ax2-2ax-3a.
由于a为非零整数,所以f(1)=-4a≠3,则C错.
而f(2)=-3a≠8,则D也错,与题意不符,故A、B中有一个错误,C、D都正确.
若A、C、D正确,则有?
由①②得?
代入③中并整理得9a2-4a+?=0,
又a为非零整数,则9a2-4a为整数,故方程9a2-4a+?=0无整数解,故(1)错.
若(2)(3)(4)正确,则有?
解得a=5,b=-10,c=8,则f(x)=5x2-10x+8,
此时f(-1)=23≠0,符合题意.
4.(2014大纲全国,16,5分)若函数f(x)=cos 2x+asin x在区间?是减函数,则a的取值范围是????
????.
答案 (-∞,2]
解析????f(x)=cos 2x+asin x=1-2sin2x+asin x,
令t=sin x,x∈?,则t∈?,则函数y=-2t2+at+1在?上是减函数,则?≤?,所以a≤2.
解题关键 本题的解题关键在于通过换元,将原函数转化为二次函数,再结合复合函数单调性
即可求解.考查转化能力、数形结合思想.
5.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,?-?+?的
最小值为 ????.
答案 -2
解析 设2a+b=t,则2a=t-b,由已知得关于b的方程(t-b)2-b(t-b)+4b2-c=0有解,即6b2-3tb+t2-c=0有
解.
故Δ=9t2-24(t2-c)≥0,
所以t2≤?c,
所以|t|max=?,此时c=?t2,b=?t,2a=t-b=?,
所以a=?.
故?-?+?=?-?+?
=8?=8?-2≥-2.
6.(2013课标全国Ⅱ,16,5分)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大
值为 ????.
答案 16
解析 由f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,有?
即?
解得a=8,b=15,
∴f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=(1-x2)[(x+4)2-1],
令x+2=t,则x=t-2,t∈R.
∴y=g(t)=[1-(t-2)2][(t-2)2+8(t-2)+15]=(4t-t2-3)·(4t+t2+3)=16t2-(t2+3)2=16t2-t4-6t2-9=16-(t2-5)2,
∴当t2=5时,ymax=16.
考点二 幂函数
(2014上海,9,4分)若f(x)=?-?,则满足f(x)<0的x的取值范围是 ????.
答案 (0,1)
解析 令y1=?,y2=?,则f(x)<0即为y1时,y1三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点一 二次函数
1.(2018苏锡常镇四市教学情况调研(一),14)若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[1,2]上有两
个不同的零点,则 ?的取值范围为 ????.
答案 [0,1)
解析 设f(x)在区间[1,2]上的两个不同零点分别为x1,x2,
则f(x)=a(x-x1)(x-x2),a>0,x1,x2∈[1,2],
∴?=?=(1-x1)(1-x2)∈[0,1).
评析 本题主要考查二次函数的不同表示形式,巧设f(x)=a(x-x1)(x-x2)(其中x1,x2是函数f(x)的零
点)是求解本题的关键,解题时要注意这种设法的应用.
2.(2019扬州检测,11)若函数f(x)在定义域D内某区间H上是增函数,且?在H上是减函数,则称
y=f(x)在H上是“弱增函数”.已知函数g(x)=x2+(4-m)x+m在(0,2]上是“弱增函数”,则实数m的
值为 ????.
答案 4
解析 由题意可知g(x)=x2+(4-m)x+m在(0,2]上是增函数,∴?≤0,即m≤4.
令h(x)=?=x+?+4-m,则h(x)在(0,2]上是减函数.
(1)当m≤0时,h(x)在(0,2]上为增函数,不符合题意;
(2)当m>0时,由对勾函数性质可知h(x)在(0,?)上单调递减,∴?≥2,即m≥4,又m≤4,故m=4.
评析 理解题目中弱增函数的概念,然后将具体问题用题目中的定义表达,就能解决问题.
3.(2019苏北三市(徐州、连云港、淮安)期末,14)已知x>0,y>0,z>0,且x+?y+z=6,则x3+y2+3z的
最小值为 ????.
答案?????
解析????x3+y2+3z=x3+y2+3(6-x-?y)=x3-3x+?+?,
令f(x)=x3-3x,g(y)=?+?,
f '(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x>0,
易知f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,
所以f(x)min=f(1)=-2.
当y=?时,g(y)有最小值,g(y)min=?,
所以x3+y2+3z的最小值为-2+?=?.
评析 本题考查函数的导数及其应用,二次函数的性质.根据变量间的关系,减少变量,转化为
三次函数与二次函数的最小值,其中三次函数最值利用求导法求解,二次函数最值利用配方法
求解.
4.(2018泰州中学二模,10)设函数f(x)=x2-2ax+15-2a的两个零点分别为x1,x2(x1上恰好有两个正整数,则实数a的取值范围是 ????.
答案?????
解析 令f(x)=0,可得x2+15=2a(x+1),即?=2a,
由题意可得?=2a有两个解x1,x2(x1故函数y=?的图象和直线y=2a有两个交点,且这两个交点的横坐标分别为x1,x2,
令x+1=t,则y=?=t+?-2,
令m(t)=t+?,则m(t)的图象和直线y=2a+2有两个交点,且这两个交点的横坐标分别为t1,t2,在区
间(t1,t2)上恰有两个正整数,而这两个正整数应为4和5.
令t=5,则m(t)=?,令t=3,则m(t)=?,
∴?<2a+2≤?,故?故实数a的取值范围为?.
5.(2019扬州中学检测,12)已知a>0,函数f(x)=|x2+|x-a|-3|在[-1,1]上的最大值为2,则a= ????
????.
答案 3或?
解析 (1)当a≥1时, f(x)=|x2-x+a-3|,
函数y=x2-x+a-3(-1≤x≤1),对称轴为直线x=?,观察函数f(x)=|x2-x+a-3|的图象(图略)可知函数的
最大值是f(-1), f(1)或f?.
令f(-1)=|1+1+a-3|=2,∴a=3或a=-1,经检验,a=3满足题意;
令f(1)=|1-1+a-3|=2,∴a=5或a=1,经检验,a=5和a=1都不满足题意.
令f?=?=2,∴a=?或a=?,经检验,a=?不满足题意.
(2)当?时, f(x)=|x2+x-a-3|.
函数y=x2+x-a-3(-1≤x≤1),对称轴为直线x=-?.
观察函数f(x)=|x2+x-a-3|的图象(图略)得函数的最大值是
f?=?=2,∴a=-?(舍)或a=-?(舍).
(3)当?时, f(x)=|x2-x+a-3|.
函数y=x2-x+a-3(-1≤x≤1),对称轴为直线x=?,观察函数f(x)=|x2-x+a-3|的图象(图略)可知函数的
最大值是f(-1)或f?.结合(1)知均不符合题意.
所以a=3或?.
解题关键 根据二次函数的特点,得函数的最大值只能在端点或顶点处取得,是解题的关键,由
此做好必要的检验就能够解决问题.
6.(2019连云港期中,16)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集;
(2)若a>0,且0解析 (1)F(x)=f(x)-x=ax2+bx+c-x=ax2+(b-1)x+c,
因为函数F(x)的两个零点为-1,2,
所以?解得?
所以F(x)=ax2-ax-2a=a(x-2)(x+1).
当a>0时,F(x)=a(x-2)(x+1)>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞);
当a<0时,F(x)=a(x-2)(x+1)>0的解集为(-1,2).
综上所述,当a>0时,F(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞);当a<0时,F(x)>0的解集为(-1,2).
(2)函数F(x)=ax2+(b-1)x+c的两个零点为m,n(m所以?解得?
所以F(x)=ax2-(m+n)ax+mna=a(x-m)(x-n),
f(x)-m=F(x)+x-m=a(x-m)(x-n)+x-m
=a(x-m)?,
因为a>0,且0所以x-m<0,x+?-n=x+?>0,
所以f(x)-m<0,即f(x)7.(2019如皋期中,19)已知函数f(x)=x2+bx+c(b、c∈R).
(1)当c=b时,解关于x的不等式f(x)>1;
(2)若f(x)的值域为[1,+∞),关于x的不等式f(x)(3)若?x∈?∪?, f?≥0恒成立,函数g(x)=-?,且f(g(x))的最大值为1,求b2+c2
的取值范围.
解析 (1)当c=b时,由f(x)>1得x2+bx+b-1>0,
即(x+b-1)(x+1)>0,
当1-b>-1,即b<2时,原不等式的解集为(-∞,-1)∪(1-b,+∞);
当b=2时,原不等式的解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞);
当b>2时,原不等式的解集为(-∞,1-b)∪(-1,+∞).
(2)由f(x)的值域为[1,+∞),得?=1,因为关于x的不等式f(x)是方程f(x)=a的两个根,即x2+bx+c-a=0的两根之差为4,
所以4=?,则?解得a=5.
(3)x∈?∪?时,?∈(-∞,-2]∪[2,+∞),
则x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)时, f(x)≥0恒成立.
又g(x)=-?=-2-?∈[-3,-2),
因为f(g(x))的最大值为1,所以f(x)在x∈[-3,-2)上的最大值为1,
由f(x)图象开口向上,得?即?
则c=3b-8,且b≤5.
此时由x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)时, f(x)≥0恒成立,
得x2+bx+3b-8≥0恒成立,且f(-2)≥0,
得b≥4,所以4≤b≤5,
要满足x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)时, f(x)≥0恒成立,则Δ≤0,b2-4(3b-8)≤0,解得4≤b≤8,所以4≤b≤
5.
此时b2+c2=b2+(3b-8)2=10b2-48b+64∈[32,74].
考点二 幂函数
1.(2017南通、徐州联考)已知幂函数f(x)=kxα的图象经过点(4,2),则k+α= ????.
答案?????
解析 由题意得k=1,4α=2?α=?,∴k+α=?.
2.(2018苏州期中)已知幂函数y=?(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是 ????.
答案 1
解析 因为幂函数y=?(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,所以2m-m2>0,解得0以m=1.
3.(2019金陵中学检测,10)已知函数f(x)=xα的图象过点(4,2),令an=?,n∈N*,记数列
{an}的前n项和为Sn,则S2 018的值为 ????.
答案?????-1
解析 ∵f(x)=xα的图象过点(4,2),
∴2=4α?α=?.
∴f(x)=?=?,x≥0,
∴an=?=?-?.
则S2 018=a1+a2+a3+…+a2 017+a2 018
=?-1+?-?+…+?-?+?-?
=?-1.
评析 本题考查幂函数的应用及裂项相消法求和,难度适中.
一、填空题(每小题5分,共30分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：25分钟 分值：45分)
1.(2018泰州中学期中,14)设反比例函数f(x)=?与二次函数g(x)=ax2+bx(a>0)的图象有且仅有两
个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2,则?= ????.
答案 -2
解析????f(x)=?与二次函数g(x)=ax2+bx的图象有且仅有2个不同公共点等价于方程?=ax2+bx有
两个不同实根,
即ax3+bx2-2=0有两个不同实根x1,x2,且x1x2≠0,
设ax3+bx2-2=a(x-x1)2(x-x2),①
或ax3+bx2-2=a(x-x1)(x-x2)2,②
对于①,等式两边展开可得
b=a(-2x1-x2),?+2x1x2=0,-a?x2=-2.
故x1+2x2=0,又x1>x2,所以x2<0又a?x2=2>0且a>0,所以x2>0,矛盾.
对于②,等式两边展开可得
b=a(-x1-2x2),?+2x1x2=0,-ax1?=-2.
∴2x1+x2=0,x2=-2x1,
∴?=?=-2.
2.(2019淮安五校联考,14)定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)的单调增区间为(-1,1),若方
程3a[f(x)]2+2bf(x)+c=0恰有6个不同的实根,则实数a的取值范围是 ????.
答案?????
解析 对f(x)求导得f '(x)=3ax2+2bx+c,因为f(x)的单调增区间为(-1,1),所以-1,1为f '(x)=0的两根,
所以?3a[f(x)]2+2bf(x)+c=0恰有6个不同实根等价于f(x)=1和f(x)=-1各有3个不同实根,所
以?即?所以a<-?.
思路点拨 令t=f(x),得到3at2+2bt+c=0,原方程有6个不同的实数根,说明y=t与y=f(x)的图象有6
个不同的交点,根据函数f(x)的单调区间为(-1,1)解出?容易得到3at2+2bt+c=0有两个根
为-1,和1,从而得到对于y=1或y=-1,与y=f(x)的图象都必须有三个交点,从而得到解决.
3.(2019七大市三模,13)已知函数f(x)=x2-2x+3a,g(x)=?.若对任意x1∈[0,3],总存在x2∈[2,3],使
得|f(x1)|≤g(x2)成立,则实数a的值为 ????.
答案 -?
解析 对任意x1∈[0,3],存在x2∈[2,3],使得|f(x1)|≤g(x2),则|f(x1)|≤g(x)max,
易知g(x)在[2,3]上单调递减,g(x)max=2.
对任意的x1∈[0,3],|f(x1)|≤2,
即|x2-2x+3a|≤2在[0,3]上恒成立.
即-2≤x2-2x+3a≤2,
即f(x)min≥-2, f(x)max≤2,
则?解得a=-?.
4.(2019无锡期中,14)已知函数g(x)=kx+1在(2,+∞)上的零点为x1,函数f(x)=kx2+4x-4在(0,2]上的
零点为x2则?+?的取值范围为 ????.
答案?????
解析 由题意得kx1+1=0?k+?=0??=-k∈?,
所以-?k?+4x2-4=0?-?+?+k=0??=?(负值舍去),
∴?+?=-k+?=?.
令t=?,因为-?g(t)=?+?=?=?=-?+?,
所以g(t)在?上是减函数,
又g(1)=1,g?=?,
所以?+?的取值范围为?.
5.(2019扬州中学检测,14)已知函数f(x)=?记A={x|f(x)=0},若A∩(-∞,2)≠?,则
实数a的取值范围为 ????.
答案?????
解析 由题意得函数f(x)=x2-|x+a|+2a在(-∞,2)上存在零点,所以方程x2=|x+a|-2a在(-∞,2)上有
根,所以函数g(x)=x2与h(x)=|x+a|-2a的图象的交点的横坐标在(-∞,2)上,
函数h(x)=|x+a|-2a的图象为顶点(-a,-2a)在直线y=2x上移动的折线,
如图所示,可得2a≤?,即a≤?,
所以实数a的取值范围是?.
?
6.(2019南京六校联考,14)已知函数f(x)=x2-2ax+2a-1.若对任意的a∈(0,3),存在x0∈[0,4],使得t≤|
f(x0)|成立,则实数t的取值范围是 ????.
答案????t≤3
解析 ∵f(x)=x2-2ax+2a-1的对称轴为直线x=a,且a∈(0,3),
∴函数f(x)=x2-2ax+2a-1在[0,a]上是减函数,在[a,3]上是增函数,
∴函数f(x)=x2-2ax+2a-1在[0,4]上的最小值为f(a)=-(a-1)2∈(-4,0].
①当2≤a<3时,函数f(x)=x2-2ax+2a-1(x∈[0,4])在x=0处取得最大值,且最大值为2a-1,由于此时2
≤a<3,所以3≤2a-1<5,
|f(x)|max=max{|f(a)|,|f(0)|}=|f(0)|=2a-1∈[3,5).
∴t≤3.
②当0a,由于此时0|f(x)|max=max{|f(a)|,|f(4)|}=|f(4)|=15-6a∈(3,15),
∴t≤3.
综上,t的取值范围是t≤3.
一题多解 记|f(x)|max=M,则M≥|f(0)|=|2a-1|,M≥|f(4)|=|15-6a|,则4M≥3|f(0)|+|f(4)|=|6a-3|+|15-6a|
≥15-3=12,解得M≥3,当且仅当2a-1=15-6a,即a=2时,上述等号成立,此时, f(x)max=f(0)=f(4)=3, f
(x)min=f(2)=3-2a=-1,所以|f(x)|max=3,所以t≤3.
二、解答题(共15分)
7.(2019扬州中学检测,19)设f(x)=x2+bx+c(b、c∈R).
(1)若f(x)在[-2,2]上不单调,求b的取值范围;
(2)若f(x)≥|x|对一切x∈R恒成立,求证:b2+1≤4c;
(3)若对一切x∈R,有f?≥0,且f?的最大值为1,求b、c满足的条件.
解析 (1)由题意得-2<-?<2,∴-4(2)证明:由题意得x2+bx+c≥x与x2+bx+c≥-x同时成立,即?∴b2+1≤4c.
(3)易知?≥2,依题意,对一切满足|x|≥2的实数x,有f(x)≥0.
①当f(x)=0有实根时, f(x)=0的实根在区间[-2,2]内,
所以?即?
又?=2+?∈(2,3],
于是, f?的最大值为f(3)=1,即9+3b+c=1,从而c=-3b-8.
故?即?解得b=-4,c=4.
②当f(x)=0无实根时,Δ=b2-4c<0,由二次函数性质知, f(x)=x2+bx+c在(2,3]上的最大值只能在区
间的端点处取得,所以,当f(2)>f(3)时, f?无最大值.于是, f?存在最大值的充要条
件是f(2)≤f(3),即4+2b+c≤9+3b+c,所以b≥-5.又f?的最大值为f(3)=1,即9+3b+c=1,从而c
=-3b-8.由Δ=b2-4c<0,得b2+12b+32<0,即-8综上,b,c满足的条件为3b+c+8=0且-5≤b≤-4.
