第二章 函数 １９
§ ２．４ 指数函数与对数函数
对应学生用书起始页码 Ｐ２７
考点一 指数与指数函数 高频考点
１．指数有关的公式与性质
根式的性质
ｎ
ａｎ ＝
ａ，ｎ 为奇数，
｜ ａ ｜ ＝
ａ（ａ≥０），
－ａ（ａ＜０）{ ｎ 为偶数；{
（ ｎ ａ ） ｎ ＝ａ（注意 ａ 必须使 ｎ ａ有意义）
有理数指数幂
（１）正数的正分数指数幂：
ａ
ｍ
ｎ ＝ ｎ ａｍ （ａ＞０，ｍ，ｎ∈Ｎ?，ｎ＞１） ．
（２）正数的负分数指数幂：
ａ－
ｍ
ｎ ＝ １
ａ
ｍ
ｎ
＝ １
ｎ
ａｍ
（ａ＞０，ｍ，ｎ∈Ｎ?，ｎ＞１） ．
（３）０ 的正分数指数幂是 ０，０ 的负分数指数幂无
意义
有理数指数
幂的运算性质
（１）ａｒａｓ ＝ａｒ＋ｓ（ａ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ） ．
（２）（ａｒ） ｓ ＝ａｒｓ（ａ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ） ．
（３）（ａｂ） ｒ ＝ａｒｂｒ（ａ＞０，ｂ＞０，ｒ∈Ｑ）
２．指数函数的图象与性质
ａ＞１ ０＜ａ＜１
图象
定义域 Ｒ
值域 （０，＋∞ ）
性质
过定点（０，１）
当 ｘ＞０ 时，ｙ＞１；
当 ｘ＜０ 时，０＜ｙ＜１
当 ｘ＞０ 时，０＜ｙ＜１；
当 ｘ＜０ 时，ｙ＞１
在（－∞ ，＋∞ ）上是单调
增函数
在（ －∞ ，＋∞ ） 上是单调
减函数
考点二 对数与对数函数 高频考点
１．对数重要公式与运算性质
对数的概念
一般地，如果 ａｘ ＝Ｎ（ａ＞０ 且 ａ≠１），那么数 ｘ 叫做
以 ａ 为底 Ｎ 的对数，记作 ｘ ＝ ｌｏｇａＮ，其中 ａ 叫做对
数的底数，Ｎ 叫做真数
积、商、幂的对数
（１）ｌｏｇａ（Ｍ·Ｎ）＝ ｌｏｇａＭ＋ｌｏｇａＮ；
（２）ｌｏｇａ
Ｍ
Ｎ
＝ ｌｏｇａＭ－ｌｏｇａＮ；
（３）ｌｏｇａＭ
ｎ ＝ｎｌｏｇａＭ（ｎ∈Ｒ） （Ｍ、Ｎ 都是正数，ａ＞０
且 ａ≠１）
对数的换
底公式
ｌｏｇａＮ＝
ｌｏｇｃＮ
ｌｏｇｃａ
（其中 ａ＞０，且 ａ≠１，Ｎ＞０，ｃ＞０ 且 ｃ≠
１）；
ｌｏｇａｎｂ
ｍ ＝ ｍ
ｎ
ｌｏｇａｂ（ａ＞０，且 ａ≠１，ｍ，ｎ∈Ｒ，ｎ≠０）
对数的
重要公式
ａ ｌｏｇａＮ ＝Ｎ；ｌｏｇａａＮ ＝Ｎ（ａ＞０ 且 ａ≠１，Ｎ＞０）
２．对数函数的图象与性质
ａ＞１ ０＜ａ＜１
图
象
性
质
定义域：（０，＋∞ ）
值域：Ｒ
过点（１，０），即 ｘ＝ １ 时，ｙ＝ ０
当 ｘ＞１ 时，ｙ＞０；
当 ０＜ｘ＜１ 时，ｙ＜０
当 ｘ＞１ 时，ｙ＜０；
当 ０＜ｘ＜１ 时，ｙ＞０
在（０，＋∞ ）上是增函数 在（０，＋∞ ）上是减函数
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对应学生用书起始页码 Ｐ２７
指数式、对数式的大小比较
１．指数式的大小比较问题可以归纳为以下三类：
（１）底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．
（２）底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一
平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数 ａ 对指数函
数图象的影响，在 ｙ 轴右侧，从 ｘ 轴开始由下往上观察，底数在逐
渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．
（３）底数不同、指数也不同：采用介值法（中间量法） ．
２．对数式的大小比较问题可归纳为以下三类：
（１）比较同底数的两个对数式的大小，常利用对数函数的单
调性．
（２）比较不同底数的两个对数式的大小，常用以下两种方
法：①先利用对数换底公式化为同底的对数式，再利用对数函数
的单调性比较大小；②在同一平面直角坐标系内利用对数函数
图象的位置关系比较大小．
（３）比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助中
间量（如 １，０，－１ 等） ．
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２０ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
（２０１７ 课标全国Ⅰ理改编，１１，５ 分）设 ｘ，ｙ，ｚ 为正数，
且 ２ｘ ＝ ３ｙ ＝ ５ｚ，则 ２ｘ，３ｙ，５ｚ 的大小关系为 （用“ ＜” 连
接） ．
解析 解法一（特值法）：令 ｘ＝ １，则由已知条件可得 ３ｙ ＝
２，５ｚ ＝ ２，所以 ｙ＝
ｌｎ ２
ｌｎ ３
，ｚ＝
ｌｎ ２
ｌｎ ５
，从而 ３ｙ＝
３ｌｎ ２
ｌｎ ３
＝ ｌｎ ２
３
ｌｎ ３
＜
ｌｎ ９
ｌｎ ３
＝ ２，５ｚ ＝
５ｌｎ ２
ｌｎ ５
＝ ｌｎ ２
５
ｌｎ ５
＞２，则 ３ｙ＜２ｘ＜５ｚ．
解法二（数形结合法）：由 ２ｘ ＝ ３ｙ ＝ ５ｚ，可设（ ２ ） ２ｘ ＝ （ ３ ３ ） ３ｙ ＝
（ ５ ５ ） ５ｚ ＝ ｔ．因为 ｘ，ｙ，ｚ 为正数，所以 ｔ＞１．因为 ２ ＝
６
２３ ＝ ６ ８ ， ３ ３ ＝
６
３２ ＝ ６ ９ ，所以 ２ ＜ ３ ３ ．因为 ２ ＝
１０
２５ ＝ １０ ３２ ， ５ ５ ＝ １０ ２５ ，所以 ２ ＞
５ ５ ，所以５ ５ ＜ ２ ＜ ３ ３ ．分别作出 ｙ ＝ （ ２ ） ｘ，ｙ ＝ （ ３ ３ ） ｘ，ｙ＝ （ ５ ５ ） ｘ 的
图象，如图．
则 ３ｙ＜２ｘ＜５ｚ．
解法三（作商法）：由 ２ｘ ＝ ３ｙ ＝ ５ｚ，同时取自然对数，得 ｘｌｎ ２ ＝
ｙｌｎ ３＝ ｚｌｎ ５．由
２ｘ
３ｙ
＝ ２ｌｎ ３
３ｌｎ ２
＝ ｌｎ ９
ｌｎ ８
＞ １，可得 ２ｘ＞ ３ｙ；由
２ｘ
５ｚ
＝ ２ｌｎ ５
５ｌｎ ２
＝
ｌｎ ２５
ｌｎ ３２
＜１，可得 ２ｘ＜５ｚ，所以 ３ｙ＜２ｘ＜５ｚ．
解法四（构造函数法）：设 ２ｘ ＝ ３ｙ ＝ ５ｚ ＝ ｋ，则 ｘ＝
ｌｎ ｋ
ｌｎ ２
，ｙ ＝
ｌｎ ｋ
ｌｎ ３
，ｚ
＝ ｌｎ ｋ
ｌｎ ５
，从而 ２ｘ＝
２ｌｎ ｋ
ｌｎ ２
，３ｙ＝
３ｌｎ ｋ
ｌｎ ３
，５ｚ＝
５ｌｎ ｋ
ｌｎ ５
．由于 ｘ，ｙ，ｚ 为正数，故
ｋ＞１，从而只需比较
２
ｌｎ ２
，
３
ｌｎ ３
，
５
ｌｎ ５
的大小，构造函数 ｆ（ ｘ）＝
ｘ
ｌｎ ｘ
（ ｘ
＞０ 且 ｘ≠１），则 ｆ ′（ｘ）＝
ｌｎ ｘ－１
（ｌｎ ｘ） ２
，当 ｘ∈（０，１）∪（１，ｅ）时， ｆ ′（ｘ）
＜０；当 ｘ∈（ｅ，＋∞ ）时， ｆ ′（ｘ）＞０，所以 ｆ（ｘ）在（０，１），（１，ｅ）单调
递减，在（ｅ，＋∞ ）单调递增．又 ｅ＜３＜４＜５，所以
３
ｌｎ ３
＜
４
ｌｎ ４
＜
５
ｌｎ ５
．因
为
４
ｌｎ ４
＝ ２
ｌｎ ２
，所以
３
ｌｎ ３
＜
２
ｌｎ ２
＜
５
ｌｎ ５
，则 ３ｙ＜２ｘ＜５ｚ．
答案 ３ｙ＜２ｘ＜５ｚ
方法总结 指数式比较大小．
指数式比较大小一般要先将指数式转化为同底指数式或者
是同次指数式的形式．若化为同底指数式，直接利用指数函数的
单调性比较大小即可；若化为同次指数式，一般要作出不同底的
指数函数图象来比较．
１－１ ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋且 ２ａ ＝ ３ｂ ＝ ６ｃ，记 ｘ ＝ ２ａ，ｙ ＝ ３ｂ，ｚ ＝ ６ｃ，则 ｘ，
ｙ，ｚ 的大小关系为 ．
１－１ 答案 ｙ＜ｘ＜ｚ
解析 设 ２ａ ＝ ３ｂ ＝ ６ｃ ＝ ｋ，
∵ ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，∴ ｋ＞１，则 ａ＝
ｌｇ ｋ
ｌｇ ２
，ｂ＝
ｌｇ ｋ
ｌｇ ３
，ｃ＝
ｌｇ ｋ
ｌｇ ６
．
∴ ｘ＝ ２ａ＝
ｌｇ ｋ
ｌｇ ２
，ｙ＝ ３ｂ＝
ｌｇ ｋ
ｌｇ ３３
，ｚ＝ ６ｃ＝
ｌｇ ｋ
ｌｇ ６６
．
∵ ０＜ｌｇ ６６ ＜ｌｇ ２ ＝ ｌｇ ６８ ＜ｌｇ ６９ ＝ ｌｇ ３３ ，∴ ｙ＜ｘ＜ｚ．
１－２ 函数 ｆ（ｘ）＝ ｘ２－ｂｘ＋ｃ 满足 ｆ（ｘ＋１）＝ ｆ（１－ｘ），且 ｆ（０）＝ ３，
则 ｆ（ｂｘ）与 ｆ（ｃｘ）的大小关系是 ．
１－２ 答案 ｆ（ｂｘ）≤ｆ（ｃｘ）
解析 由 ｆ（ｘ＋１）＝ ｆ（１－ｘ）知：函数 ｆ（ ｘ）的图象关于直线
ｘ＝ １ 对称，∴ ｂ＝ ２；由 ｆ（０）＝ ３ 知：ｃ＝ ３．
∴ ｆ（ｂｘ）＝ ｆ（２ｘ）， ｆ（ｃｘ）＝ ｆ（３ｘ） ．
当 ｘ＞０ 时，３ｘ＞２ｘ＞１，结合函数 ｆ（ｘ）在［１，＋∞ ）上单调递增，
知 ｆ（３ｘ）＞ｆ（２ｘ），即 ｆ（ｂｘ）＜ｆ（ｃｘ）；
当 ｘ＝ ０ 时，３ｘ ＝ ２ｘ ＝ １，
∴ ｆ（３ｘ）＝ ｆ（２ｘ），即 ｆ（ｂｘ）＝ ｆ（ｃｘ）；
当 ｘ＜０ 时，３ｘ＜２ｘ＜１，结合函数 ｆ（ｘ）在（－∞ ，１）上单调递减，
知 ｆ（３ｘ）＞ｆ（２ｘ），即 ｆ（ｂｘ）＜ｆ（ｃｘ） ．
综上知： ｆ（ｂｘ）≤ｆ（ｃｘ） ．
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(共45张PPT)
(2015江苏,7,5分)不等式?<4的解集为 ????.
五年高考
A组????自主命题·江苏卷题组
答案 {x|-1
解析 不等式?<4可转化为?<22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-1求解集为{x|-1B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 指数与指数函数
1.(2019课标全国Ⅰ文改编,3,5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则 ????.
答案????a解析 本题主要考查指数与指数函数、对数与对数函数等知识点;考查运算求解能力,以及数
形结合思想的应用;考查的核心素养是数学运算.
∵a=log20.220=1,c=0.20.3∈(0,0.20),
即c∈(0,1),∴a方法点拨 指数幂、对数之间比较大小,常借助指数函数、对数函数的图象,利用单调性比较
大小,同时,可以利用0、1等中间量进行比较.
2.(2019课标全国Ⅱ理,14,5分)已知f(x)是奇函数,且当x<0时, f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a= ????.
答案 -3
解析 本题考查函数的表示和奇函数的定义;考查推理论证能力和运算求解能力;考查的核心
素养为逻辑推理和数学运算.
由x>0可得-x<0,由f(x)是奇函数可知f(-x)=-f(x),
∴x>0时, f(x)=-f(-x)=-[-ea(-x)]=e-ax,则f(ln 2)=e-aln 2=8,
∴-aln 2=ln 8=3ln 2,∴a=-3.
一题多解 由f(x)是奇函数可知f(-x)=-f(x),∴f(ln 2)=-f?=-(-?)=8,∴aln?=ln 8=3ln 2,∴a
=-3.
3.(2019课标全国Ⅱ理改编,6,5分)若a>b,则 ????.
①ln(a-b)>0;②3a<3b;③a3-b3>0;④|a|>|b|.
答案 ③
解析 本题考查不等式的性质及指数函数和对数函数的单调性;通过特值法和综合法考查了
推理论证能力;考查的核心素养为逻辑推理.
∵a>b,∴a-b>0,取a-b=1,则ln(a-b)=0.故①错误.
由y=3x在R上单调递增可知3a>3b,故②错误.
由y=x3在R上是增函数可知a3>b3,故③正确.
取a=0,b=-1,则|a|<|b|,故④错误.
易错警示 容易由a>b直接得|a|>|b|而致错.
4.(2018上海,11,5分)已知常数a>0,函数f(x)=?的图象经过点P?、Q?.若2p+q=36
pq,则a= ????.
答案 6
解析 本题主要考查指数式的运算.
由已知条件知f(p)=?, f(q)=-?,所以?
①+②,得?=1,整理得2p+q=a2pq,又2p+q=36pq,
∴36pq=a2pq,又pq≠0,
∴a2=36,∴a=6或a=-6,又a>0,∴a=6.
5.(2016课标全国Ⅲ理改编,6,5分)已知a=?,b=?,c=2?,则以下关系正确的是 ????.
①b答案 ①
解析 因为a=?=?,c=2?=?,函数y=?在(0,+∞)上单调递增,所以?又因为函数y=4x在R上单调递增,所以?方法总结 指数比较大小的问题往往利用函数的性质及图象来解决.
评析 本题主要考查指数的大小比较,属中档题.
6.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= ????
????.
答案 -?
解析 ①当a>1时, f(x)在[-1,0]上单调递增,则?无解.②当0调递减,则?解得?∴a+b=-?.
考点二 对数与对数函数
1.(2019上海,6,4分)已知函数f(x)的周期为1,且当 0答案 -1
解析 本题主要考查函数的周期及函数求值问题,以对数函数为依托,考查学生的运算求解能
力.
由已知f(x)的周期为1,当02.(2019天津文改编,5,5分)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为 ????.
答案????c解析 本题考查指数函数与对数函数的图象和性质;通过对对数式的估算或适当“缩放”考
查学生的直观想象与逻辑推理的核心素养.
显然c=0.30.2∈(0,1).
因为log33因为log27>log24=2,所以a>2.故c3.(2019天津理改编,6,5分)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为 ????.
答案????a解析 本题主要通过指数、对数大小比较来考查指数函数与对数函数的图象和性质,考查学
生逻辑推理能力、运算求解能力以及综合运用数学知识灵活解决问题的能力.
因为a=log52log0.50.5=1,c=0.50.2=?>?,0.50.2<1,所以a方法技巧 比较指数、对数的大小,往往借助中间量0,1,注意结合幂函数、指数函数、对数函
数的图象和性质.
4.(2019北京理改编,6,5分)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星
等与亮度满足m2-m1=?lg?,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天
狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 ????.
答案 1010.1
解析 本题考查对数与对数函数;考查学生的数据处理能力和应用意识;考查的核心素养是数
学建模和数学运算.
依题意,m1=-26.7,m2=-1.45,所以?lg?=-1.45-(-26.7)=25.25,所以lg?=25.25×?=10.1,所以?=1
010.1.
审题指导 星等和亮度都可以描述天体的明暗程度,本题需要求的是两个天体的亮度的比值.
题中给出了两个天体的星等及星等与亮度比值的关系,代入数据即可求解.
5.(2018天津理改编,5,5分)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo??,则a,b,c的大小关系为 ????.(用
“>”连接)
答案????c>a>b
解析 本题主要考查对数的大小比较.
由已知得c=log23,∵log23>log2e>1,b=ln 2<1,∴c>a>b.
方法总结 比较对数的大小的常用方法:
①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数
进行分类讨论;②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;③若底
数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
6.(2018课标全国Ⅰ文,13,5分)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a= ????.
答案 -7
解析 本题主要考查函数的解析式及对数的运算.
∵f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1,
∴f(3)=log2(9+a)=1,
∴a+9=2,∴a=-7.
7.(2018课标全国Ⅲ理改编,12,5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则下列正确的是 ????.
①a+b③a+b<0答案 ②
解析 本题考查不等式及对数运算.
易知0∵?+?=log0.30.2+log0.32=log0.30.4<1,即?<1,
∴a+b>ab,
∴ab方法总结 比较代数式大小的常用方法:
(1)作差法:其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论.用作差法比较大小的关键是判断
差的正负.变形常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等方法.
(2)作商法:即通过判断商与1的大小关系,得出结论.要特别注意当商与1的大小确定后,必须对
商式分子、分母的正负进行判断,这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤.
(3)单调性法:利用有关函数的单调性比较大小.
(4)特值验证法:对于一些给出取值范围的题目,可采用特值验证法比较大小.
8.(2017天津理改编,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=
g(3),则a,b,c的大小关系为 ????.(用“<”连接)
答案????b解析 本题考查函数的奇偶性、单调性的应用,对数值大小的比较.
奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0时, f(x)>f(0)=0,当x1>x2>0时, f(x1)>f(x2)>0,∴x1 f(x1)>x2 f(x2),∴g
(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,∴a=g(-log25.1)=g(log25.1).2由g(x)在(0,+∞)上单调递增,得g(20.8)解题关键 本题的解题关键是得出g(x)的奇偶性和单调性.将自变量转化到同一单调区间得
出大小是比较函数值大小的常用方法.
9.(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若logab+logba=?,ab=ba,则a= ????,b= ????.
答案 4;2
解析 令logab=t,∵a>b>1,∴0∴b=?,又ab=ba,∴?=(?)a,即?=?,亦即?=?,解得a=4,∴b=2.
10.(2016课标全国Ⅰ改编,8,5分)若a>b>0,0答案????logca解析 ∵0b>0,∴logca11.(2015福建,14,4分)若函数f(x)=?(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取
值范围是 ????.
答案 (1,2]
解析 当x≤2时, f(x)=-x+6, f(x)在(-∞,2]上为减函数,∴f(x)∈[4,+∞).当x>2时,若a∈(0,1),则f(x)
=3+logax在(2,+∞)上为减函数, f(x)∈(-∞,3+loga2),显然不满足题意,∴a>1,此时f(x)在(2,+∞)上
为增函数, f(x)∈(3+loga2,+∞),由题意可知(3+loga2,+∞)?[4,+∞),则3+loga2≥4,即loga2≥1,∴1
考点一 指数与指数函数
C组 教师专用题组
1.(2013课标全国Ⅱ,12,5分)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是 ????.
答案 (-1,+∞)
解析 由2x(x-a)<1得a>x-?,
令f(x)=x-?,即a>f(x)有解,
则a>f(x)min,又y=f(x)在(0,+∞)上递增,
所以f(x)>f(0)=-1,所以a>-1.
2.(2012课标全国,11,5分)当0答案?????
解析 利用指数函数和对数函数的性质及图象得?解得??
考点二 对数与对数函数
1.(2014重庆,12,5分)函数f(x)=log2?·lo?(2x)的最小值为 ????.
答案 -?
解析 显然x>0,∴f(x)=log2?·lo?(2x)=?log2x·log2(4x2)=?log2x·(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=
?-?≥-?.当且仅当x=?时,有f(x)min=-?.
2.(2013课标全国Ⅱ改编,8,5分)设a=log32,b=log52,c=log23,则a,b,c的大小关系为 ????(用
“>”连接).
答案????c>a>b
解析 ∵?<2<3,1<22,
∴log3?log22,
∴?1,
∴c>a>b.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点一 指数与指数函数
1.(2019七市第二次调研,6)函数y=?的定义域为 ????.
答案 [2,+∞)
解析 由4x-16≥0,得4x≥16=42,所以x≥2.
评析 本题考查指数函数的单调性、函数定义域,注意结果必须是集合的形式.是容易题.
2.(2018泰州中学期中,9)已知函数f(x)=?设a>b≥0,若f(a)=f(b),则b·f(a)的取值范围
是 ????.
答案?????
解析 作出函数f(x)=?的图象如图,
?
因为函数f(x)在[0,1)和[1,+∞)上都是单调递增函数,
所以若满足a>b≥0,f(a)=f(b),
则必有b∈[0,1),a∈[1,+∞).
由图可知,使f(a)=f(b)成立的b的取值范围为b∈?,故f(a)∈?.
所以b·f(a)∈?.
3.(2018南通泰州中学高三期初考试,9)已知函数f(x)=?满足对任意x1≠x2,都有
?<0成立,则a的取值范围是 ????.
答案?????
解析 由对任意x1≠x2都有 ?<0成立,知f(x)是减函数,于是?所以0<
a≤?.
考点二 对数与对数函数
1.(2019海安中学检测,7)方程log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2的解为 ????.
答案 2
解析 ∵log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2,
∴log2(9x-1-5)=log2[4(3x-1-2)],
∴9x-1-5=4(3x-1-2),且3x-1-2>0,
∴32(x-1)-4·3x-1+3=0,
∴3x-1=3或3x-1=1(舍去),
∴x=2.
易错警示 解对数方程、不等式要注意等价变形,防止遗漏对数真数、底数的范围而产生增
根.
2.(2018盐城中学第一次阶段测试,7)已知a=21.2,b=?,c=lo?2,则a,b,c的大小关系为 ????
????.(用“<”连接)
答案????c解析????b=?=20.8,由指数函数的单调性知21.2>20.8>20=1,∴a>b>1.
又c=lo?23.(2018常熟期中,10)若函数f(x)=?(a>0且a≠1)的值域为[6,+∞),则实数a的取值范
围是 ????.
答案 (1,2]
解析 当x≤2时,-x+8≥6恒成立,
要满足函数f(x)的值域为[6,+∞),需有logax+5≥6在(2,+∞)上恒成立,则?解得12.
故实数a的取值范围为1评析 本题考查分段函数的值域,分段函数的值域就是每段函数值域的并集,本题从已知入手
得到x≤2时值域为[6,+∞),这样x>2时的值域就是[6,+∞)的子集,其中端点的取舍要注意.
4.(2018如东第一次阶段检测,15)已知函数f(x)=loga(x+1)+loga(3-x)(a>0且a≠1),且f(1)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)若不等式f(x)≤c恒成立,求实数c的取值范围.
解析 (1)因为f(1)=2,所以2loga2=2,故a=2,
所以f(x)=log2(1+x)+log2(3-x),
要使函数f(x)有意义,需满足?解得-1所以f(x)的定义域为(-1,3).
(2)由(1)知, f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2(1+x)(3-x)
=log2(-x2+2x+3)=log2[-(x-1)2+4],
故当x=1时, f(x)有最大值2,
所以c的取值范围是[2,+∞).
一、填空题(每小题5分,共40分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：40分钟 分值：55分)
1.(2019如皋检测,9)已知f(x)=|log3x|,若a,b满足f(a-1)=f(2b-1),且a≠2b,则a+b的最小值为 ????
????.
答案?????+?
解析 因为f(a-1)=f(2b-1),
所以|log3(a-1)|=|log3(2b-1)|,
由于a≠2b,所以log3(a-1)=-log3(2b-1),即a-1=?.
由题意得?
从而有a+b=?+b+1=?+b-?+?≥?+?,
当且仅当?=b-?,即b=?时取等号.
2.(2019海安第一学期期中,12)已知函数f(x)=log2?(k∈R)为奇函数,则不等式f(x)<1的解集
为 ????.
答案 (-∞,-1)∪(3,+∞)
解析 ∵f(x)=log2?,∴f(-x)=log2?,
∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴log2?=-log2?,即?=?,
∴1-k2x2=1-x2,∴k2=1,则k=±1.
检验:当k=1时, f(x)=log2?,不符合题意,舍去,
∴k=-1,∴f(x)=log2?.
由f(x)<1得log2?<1=log22,∴0①由?>0得x>1或x<-1.
②由?<2得?-2=?<0,解得x>3或x<1,
故不等式f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).
3.(2019扬州中学检测,9)已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,且当x∈(0,+∞)时, f(x)=|
log2x|.若a=f(-3),b=f?,c=f(2),则a,b,c由大到小的顺序是 ????.
答案????b>a>c
解析 ∵函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,
∴y=f(x)的图象关于y轴对称,即y=f(x)是偶函数,
∴f(-3)=f(3),且f?=?=|log24|=f(4),
∵当x>0时, f(x)=|log2x|=?
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴f(2)∴b>a>c.
思路分析 根据f(x)的对称性和对数的运算性质可知f(-3)=f(3), f?=f(4),再根据f(x)在(1,+∞)
上的单调性比较大小.
4.(2018金陵中学测试,10)已知7p=2,7q=5,则lg 2用p,q表示为 ????.
答案?????
解析 ∵7p=2,7q=5,∴p=log72,q=log75,则lg 2=?=?=?.
思路分析 本题考查对数的换底公式和指数式、对数式的互化,根据条件,将7p=2,7q=5化为以
7为底的对数,再将lg 2化为以7为底的对数,即可得解.
5.(2018南京五校联考,13)已知函数f(x)=x2+ex-?(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a),若函数f(x)图象上存在
点P与函数g(x)图象上的点Q关于y轴对称,则a的取值范围是 ????.
答案 (-∞,?)
解析 设点P(x0,y0)(x0<0),则点P关于y轴的对称点P'(-x0,y0)在函数g(x)的图象上,
所以?消去y0,可得?+?-?=(-x0)2+ln(-x0+a),即?-ln(-x0+a)-?=0(x0<0),
所以?-?=ln(-x0+a)(x0<0),
令m(x)=ex-?(x<0),n(x)=ln(a-x)(x<0),问题转化为函数m(x)与函数n(x)的图象在x<0时有交点.在
平面直角坐标系中分别作出函数m(x)与函数n(x)的图象,如图所示.
?
n(x)=ln(a-x)=ln[-(x-a)],当n(x)=ln(a-x)的图象过点?时,a=?.
由图可知,当a故a的取值范围为(-∞,?).
6.(2018镇江期末,14)已知k为常数,函数f(x)=?若关于x的方程f(x)=kx+2有且只有4个
不同的解,则实数k的取值范围为 ????.
答案?????∪(-e,-1)
解析 当x=0时,?=kx+2成立,
故当x≠0时,方程有三个根,
当x<0时,?=kx+2?k=?,
当x>0时,|ln x|=kx+2?k=?-?=?
故k=?
令k=g(x),当0令g'(x)=0,则x=?,g?=-e.
当x≥1时,g'(x)=?=?,
令g'(x)=0,则x=e3,g(e3)=?.
画出图象可得k∈(-e,-1)∪?.
?
7.(2018盐城中学阶段检测,13)若存在x∈R,使得a3x-4≥?(a>0且a≠1)成立,则实数a的取值范
围是????.
答案????a≥2或0解析 对不等式a3x-4≥?两边取以2为底的对数,
则log2a3x-4≥log2?,
∴(3x-4)log2a≥x2-x,
当3x-4=0,即x=?时,0≥?-?=?不成立,故舍去.
当3x-4>0,即x>?时,log2a≥?,令t=3x-4,则t>0,则x=?(t+4),?=?=?
?≥1?,所以log2a≥1,所以a≥2.
当3x-4<0,即x??,所以a≤?.
综上,a≥2或0解题关键 对存在性问题的理解是解题关键,先转化为(3x-4)log2a≥x2-x,分离参变量需要讨论
系数的符号,然后注意到x>?时,log2a≥?,x8.(2017苏北三市三模)如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函
数y1=3logax,y2=2logax和y3=logax(a>1)的图象上,则实数a的值为 ????.
?
答案?????
解析 由题设可得?即?
化简可得xB=2,logaxB=2,所以a2=2,故a=?(负值舍去).
二、解答题(共15分)
9.(2019苏州期中,18)已知f(x)=ex-?是奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)求函数y=e2x+e-2x-2λf(x)在x∈[0,+∞)上的值域;
(3)令g(x)=f(x)-2x,求不等式g(x3+1)+g(1-3x2)<0的解集.
解析 (1)函数的定义域为R,因为f(x)为奇函数,
所以f(0)=0,所以1-a=0,所以a=1.?(3分)
当a=1时, f(-x)=e-x-?=-ex+?=-f(x),
此时f(x)为奇函数.?(4分)
(2)令ex-?=t(t≥0),所以e2x+?=t2+2,
所以h(t)=t2-2λt+2,对称轴为直线t=λ.?(5分)
①当λ≤0时,h(t)∈[h(0),+∞),所求值域为[2,+∞);?(7分)
②当λ>0时,h(t)∈[h(λ),+∞),所求值域为[2-λ2,+∞).?(9分)
(3)g(x)的定义域为R.因为f(x)=ex-?为奇函数,
所以g(-x)=f(-x)-2(-x)=-f(x)+2x=-g(x),
所以g(x)=f(x)-2x为奇函数,
所以g(x3+1)+g(1-3x2)<0等价于g(x3+1)又g'(x)=f '(x)-2=ex+?-2≥2-2=0,当且仅当x=0时,等号成立,
所以g(x)=f(x)-2x在R上单调递增,
所以x3+1<3x2-1,即x3-3x2+2<0,?(13分)
即(x-1)(x2-2x-2)<0,
所以x<1-?或1所以不等式的解集是(-∞,1-?)∪(1,1+?).?(15分)
第二章 函数 ２１
§ ２．５ 函数与方程
对应学生用书起始页码 Ｐ３０
考 点 函数的零点与方程的根 高频考点
１．函数的零点
（１）函数零点的定义
对于函数 ｙ＝ ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｄ），把使 ｆ（ｘ）＝ ０ 的实数 ｘ 叫做函数
ｙ＝ ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｄ）的零点．
（２）几个等价关系
方程 ｆ（ｘ）＝ ０ 有实数根?函数 ｙ＝ ｆ（ｘ）的图象与 ｘ 轴有交点
?函数 ｙ＝ ｆ（ｘ）有零点．
（３）函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数 ｙ＝ ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上的图象是连续不断的一条
曲线，并且有 ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０，那么，函数 ｙ＝ ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）内有
零点，即存在 ｃ∈（ａ，ｂ），使得 ｆ（ｃ）＝ ０，这个 ｃ 也就是方程ｆ（ｘ）＝ ０
的根．
２．二分法
（１）二分法的定义
对于在区间［ａ，ｂ］上图象连续不断且 ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０ 的函数
ｙ＝ ｆ（ｘ），通过不断地把函数 ｆ（ ｘ）的零点所在的区间一分为二，
使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法
叫做二分法．
（２）用二分法求函数 ｆ（ｘ）零点近似值的步骤如下：
①确定区间［ａ，ｂ］，验证 ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０，给定精确度 ε．
②求区间（ａ，ｂ）的中点 ｃ．
③计算 ｆ（ｃ）：
若 ｆ（ｃ）＝ ０，则 ｃ 就是函数的零点；
若 ｆ（ａ）·ｆ（ｃ）＜０，则令 ｂ＝ ｃ（此时零点 ｘ０∈（ａ，ｃ））；
若 ｆ（ｃ）·ｆ（ｂ）＜０，则令 ａ＝ ｃ（此时零点 ｘ０∈（ｃ，ｂ）） ．
④判断是否达到精确度 ε，若 ｜ ａ－ｂ ｜ ＜ε，则得到零点近似值 ａ
（或 ｂ）；否则，重复②③④．
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????
????
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????
????
????
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????
对应学生用书起始页码 Ｐ３０
一、函数零点个数及所在区间的判断方法
１．判断函数零点所在区间的常用方法
（１）利用零点存在性定理，使用该定理的首要条件是函数在
某一闭区间上的图象是连续的．
（２）数形结合法：画出函数的图象，用估算法确定区间．
２．判断函数零点个数的常用方法
（１）解方程法：令 ｆ（ｘ）＝ ０，如果有解，则有几个解就有几个零点．
（２）利用零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在［ａ，
ｂ］上的图象是连续的曲线，且 ｆ（ａ）·ｆ（ ｂ） ＜０，还必须结合函数
的图象和性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函
数有多少个零点．
（３）数形结合法：转化为两个相应函数图象的交点的个数问
题，有几个交点就有几个零点．
（１）（２０１８ 天一中学调研，７）若函数 ｙ＝ ｌｎ ｘ＋２ｘ－６ 的零
点为 ｘ０，则满足 ｋ≤ｘ０ 的最大整数 ｋ＝ ．
（２）已知函数 ｆ（ｘ） ＝ ｘ３ ＋ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ 有两个极值点 ｘ１，ｘ２，若
ｆ（ｘ１）＝ ｘ１＜ｘ２，则关于 ｘ 的方程 ３（ ｆ（ｘ）） ２＋２ａｆ（ｘ）＋ｂ＝ ０ 的不同实
根个数是 ．
解析 （１）令 ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ＋２ｘ－６，则 ｆ（２）＝ ｌｎ ２－２ ＝ ｌｎ
２
ｅ２
＜
ｌｎ １＝ ０， ｆ（３）＝ ｌｎ ３＞０，∴ 由零点存在性定理可知 ｆ（ ｘ）在（２，３）
上至少有一个零点，由 ｆ（ ｘ）在（０，＋∞ ）上单调递增可知零点是
唯一的，∴ ｘ０∈（２，３），∴ 满足不等式 ｋ≤ｘ０ 的最大整数 ｋ＝ ２．
（２）令 ｔ＝ ｆ（ｘ），ｇ（ ｔ）＝ ３ｔ２＋２ａｔ＋ｂ．
由于 ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２＋２ａｘ＋ｂ，且函数 ｆ（ ｘ）有两个极值点 ｘ１，ｘ２，
故 ｘ１，ｘ２ 是方程 ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２＋２ａｘ＋ｂ＝ ０ 的两个根，也是方程 ｇ（ ｔ）
＝ ３ｔ２＋２ａｔ＋ｂ＝ ０ 的两个根．在同一坐标系内分别作出 ｙ ＝ ｆ（ ｘ）、ｙ ＝
ｔ（其中 ｔ＝ ｘ１ 或 ｘ２）的图象，如图所示．由于 ｆ（ ｘ１）＝ ｘ１ ＜ｘ２，观察图
象可知：ｙ＝ ｆ（ｘ）与 ｙ＝ ｘ１ 有 ２ 个交点，而与 ｙ ＝ ｘ２ 只有 １ 个交点，
所以共有 ３ 个交点，即有 ３ 个不同实根．
答案 （１）２ （２）３
１－１ 已知 ｆ（ ｘ）＝
ｘ＋３， ｘ≤１，
－ｘ２＋２ｘ＋３， ｘ＞１，{ 则函数 ｇ（ ｘ）＝ ｆ（ｘ） －
ｅｘ 的零点有 个．
１－１ 答案 ２
解析 函数 ｇ（ ｘ） ＝ ｆ（ ｘ） －ｅｘ 的零点个数，即为函数 ｙ ＝
ｆ（ｘ）与 ｙ＝ｅｘ 的图象交点的个数，如图所示，作出函数 ｙ ＝ ｆ（ ｘ）与
ｙ＝ｅｘ 的图象，由图象可知有两个交点，所以函数 ｇ（ｘ）＝ ｆ（ ｘ） －ｅｘ
有两个零点．
１－２ 已知函数 ｙ ＝ ｆ（ ｘ）和 ｙ ＝ ｇ（ ｘ）的定义域及值域均为
［－ａ，ａ］（ａ＞０），其图象如图所示，则方程 ｆ（ｇ（ ｘ））＝ ０ 的根的个
数为 ．
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２２ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
１－２ 答案 ６
解析 由 ｆ（ｘ）的图象可知方程 ｆ（ｘ）＝ ０ 有三个根，从左到
右依次设为 ｘ１，ｘ２，ｘ３ ．
因为 ｆ（ｇ（ｘ））＝ ０，所以 ｇ（ｘ）＝ ｘ１，ｇ（ｘ）＝ ｘ２ 或 ｇ（ ｘ）＝ ｘ３，因
为－ａ＜ｘ１＜０，所以 ｇ（ｘ）∈（－ａ，０），由 ｇ（ｘ）的图象可知 ｙ ＝ ｘ１ 与 ｙ
＝ｇ（ｘ）的图象有两个交点，即方程 ｇ（ｘ）＝ ｘ１ 有两个根．同理ｇ（ｘ）
＝ ｘ２，ｇ（ｘ）＝ ｘ３ 各有两个根，所以方程 ｆ（ｇ（ｘ））＝ ０ 有 ６ 个根．
１－３ （２０１９ 苏州中学期初，８）已知方程 ｘ３ ＝ ４－ｘ 的解在区
间 ｋ，ｋ＋
１
２( ) 内，ｋ 是 １２ 的整数倍，则实数 ｋ＝ ．
１－３ 答案 １
解析 作出 ｙ＝ ｘ３ 与 ｙ＝ ４－ｘ 的图象．
观察发现：两函数有 １ 个图象交点，且在（１，１）右侧．
设 ｆ（ｘ）＝ ｘ３＋ｘ－４，则 ｆ（１）＝ －２＜０， ｆ
３
２( ) ＝ ７８ ＞０， ｆ（２）＝ ６
＞０，
∴ ｆ（ｘ）的零点在 １，
３
２( ) 内．
∴ ｋ＝ １．
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????
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二、由函数的零点求参数的取值范围
已知函数有零点（方程有根）求参数的值或取值范围的常用
方法：
（１）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再
通过解不等式确定参数范围；
（２）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加
以解决；
（３）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系
中画出函数的图象，然后数形结合求解．
设 ｆ（ｘ）是定义在 Ｒ 上的偶函数，对任意 ｘ∈Ｒ，都有
ｆ（ｘ－２）＝ ｆ（ ｘ＋２），且当 ｘ∈［－２，０］时， ｆ（ｘ）＝
１
２( )
ｘ
－１．若函数
ｇ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）－ｌｏｇａ（ｘ＋２）（ａ＞１）在区间（－２，６］上恰有 ３ 个不同的
零点，则 ａ 的取值范围是 ．
解析 函数 ｇ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）－ｌｏｇａ（ｘ＋２）（ａ＞１）在区间（－２，６］
上恰有 ３ 个不同的零点等价于曲线 ｙ＝ ｆ（ｘ）与曲线 ｙ ＝ ｌｏｇａ（ｘ＋２）
在区间（－２，６］上恰有 ３ 个不同的交点．
因为对任意 ｘ∈Ｒ，都有 ｆ（ ｘ－２）＝ ｆ（ ｘ＋２），所以对任意 ｘ∈
Ｒ，都有 ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ＋４），所以 ｆ（ｘ）的周期为 ４．
ｆ（ｘ）是定义在 Ｒ 上的偶函数，且当 ｘ∈［－２，０］时， ｆ（ ｘ） ＝
１
２( )
ｘ
－１，作出 ｙ＝ ｆ（ｘ）以及 ｙ＝ ｌｏｇａ（ｘ＋２）在区间（－２，６］上的图
象，如图，
从而有
ｌｏｇａ４＜３，
ｌｏｇａ８＞３，
{ 解得 ａ∈（ ３ ４ ，２） ．
答案 （ ３ ４ ，２）
２－１ （２０１９ 苏州 ３ 月检测，１０）若函数 ｆ（ｘ）＝
ｘ＋２ｘ，ｘ≤０，
ａｘ－ｌｎ ｘ，ｘ＞０{ 在
其定义域上恰有两个零点，则正实数 ａ的值为 ．
２－１ 答案
１
ｅ
解析 当 ｘ≤０ 时， ｆ（ｘ）＝ ｘ＋２ｘ， ｆ（ ｘ）在（ －∞ ，０］上单调
递增，
ｆ（－１）＝ －１＋２－１＜０， ｆ（０）＝ １＞０，
由零点存在性定理，可得 ｆ（ ｘ）在（ －１，０）上有且只有一个
零点；
则由题意可得 ｘ＞０ 时， ｆ（ ｘ）＝ ａｘ－ｌｎ ｘ 有且只有一个零点，
即 ａ＝
ｌｎ ｘ
ｘ
在（０，＋∞ ）上有且只有一个实根．
令 ｇ（ｘ）＝
ｌｎ ｘ
ｘ
（ｘ＞０），则 ｇ′（ｘ）＝
１－ｌｎ ｘ
ｘ２
，
当 ｘ＞ｅ 时，ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减；
当 ０＜ｘ＜ｅ 时，ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增．
所以 ｇ（ ｘ） 在 ｘ ＝ ｅ 处取得极大值，也为最大值，且 ｇ（ ｅ）
＝ １
ｅ
，
当直线 ｙ＝ａ（ａ＞０）与 ｇ（ｘ）的图象只有一个交点时，ａ＝
１
ｅ
．
故 ａ＝
１
ｅ
．
２－２ 已知函数 ｙ ＝ ｆ（ ｘ）是定义域为 Ｒ 的偶函数，当 ｘ≥０
时， ｆ（ｘ）＝
－ １
４
ｘ２，０≤ｘ≤２
－ １
２( )
ｘ
－ ３
４
，ｘ＞２，
ì
?
í
?
?
??
若关于 ｘ 的方程［ ｆ（ ｘ）］ ２ ＋ａｆ（ ｘ） ＋
７ａ
１６
＝ ０，ａ∈Ｒ 有且仅有 ８ 个不同的实数根，则实数 ａ 的取值范围
是 ．
２－２ 答案
７
４
，
１６
９( )
解析 当 ０≤ｘ≤２ 时， ｆ（ｘ）∈［－１，０］；
当 ｘ＞２ 时， ｆ（ｘ）∈ －１，－
３
４( ) ．
又函数 ｙ＝ ｆ（ｘ）是定义域为 Ｒ 的偶函数，
所以当－２≤ｘ≤０ 时， ｆ（ ｘ）∈［ －１，０］；当 ｘ＜－２ 时， ｆ（ ｘ）
∈ －１，－
３
４( ) ．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
第二章 函数 ２３
令 ｔ＝ ｆ（ｘ），则 ｔ２ ＋ａｔ＋
７ａ
１６
＝ ０ 在 －１，－
３
４( ) 上有两个不同的
实根，
则
１－ａ＋
７ａ
１６
＞０，
９
１６
－ ３
４
ａ＋
７ａ
１６
＞０，
ａ２－
７ａ
４
＞０，
－１＜－
ａ
２
＜－
３
４
，
ì
?
í
?
?
?
?
?
?
?
?
解之得
７
４
＜ａ＜
１６
９
，
所以实数 ａ 的取值范围为
７
４
，
１６
９( ) ．
２－３ （ ２０１８ 江 苏 百 校 联 考， １１ ） 已 知 函 数 ｆ （ ｘ） ＝
ｘ２＋２ｍｘ－ｍ２－１，０＜ｘ≤１，
ｘ
ｌｎ ｘ
－２ｍ，ｘ＞１{ 在区间（０，＋∞ ）上有且只有三个不同
的零点，则实数 ｍ 的取值范围是 ．
２－３ 答案
ｅ
２
，２( ]
解析 当 ｘ＞１ 时， ｆ（ｘ）＝
ｘ
ｌｎ ｘ
－２ｍ，
ｆ ′（ｘ）＝
ｌｎ ｘ－１
（ｌｎ ｘ） ２
，由 ｆ ′（ｘ）＝ ０，得 ｘ＝ｅ，
当 ｘ∈（１，ｅ）时， ｆ（ｘ）递减，
当 ｘ∈（ｅ，＋∞ ）时， ｆ（ｘ）递增，
当 ０＜ｘ≤１ 时， ｆ（ｘ）＝ （ｘ＋ｍ） ２－２ｍ２－１，
且 ｆ（０）＝ －ｍ２－１＜０，
故当 ０＜ｘ≤１ 时必有一个零点，
所以 ｘ＞１ 时有 ２ 个零点，
从而
ｆ（１）≥０，
ｆ（ｅ）＜０{ ? ｅ２ ＜ｍ≤２．
????
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????
????
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(共78张PPT)
五年高考
A组????自主命题·江苏卷题组
1.(2019江苏,14,5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数, f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f
(x)是奇函数.当x∈(0,2]时, f(x)=?,g(x)=?其中k>0.若在区间(0,9]上,关
于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是 ????.
答案?????
解析 本题考查函数的奇偶性、周期性、直线与圆的位置关系等知识,考查学生的逻辑推理
能力和运算求解能力,考查的核心素养为逻辑推理、直观想象和数学运算.
根据函数f(x)的周期性及奇偶性作图,如图所示.
?
由图知,当x∈(0,2]时,g(x)与f(x)的图象在x轴上方有2个公共点,
当x∈(2,4]时,g(x)与f(x)的图象在x轴下方有1个公共点,
由f(x)与g(x)的周期性知,当x∈(4,8]时,g(x)与f(x)的图象有3个公共点,当x∈(8,9]时,g(x)与f(x)的
图象有2个公共点.
当y=k(x+2)与y=?(0∴?≤k从而在(0,9]上, f(x)=g(x)有8个不同实数根时,k的取值范围是?.
2.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)=?其中集
合D=?,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是 ????.
答案 8
解析 解法一:由于f(x)∈[0,1),则只需考虑1≤x<10的情况,
在此范围内,x∈Q且x?Z时,设x=?,p,q∈N*,p≥2且p,q互质,若lg x∈Q,则由lg x∈[0,1),可设lg x
=?,m,n∈N*,m≥2且m,n互质,因此1?=?,则10n=?,此时等号左边为整数,等号右边为非整
数,矛盾.因此lg x?Q,
因此lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等,
只需考虑lg x与每个周期内x?D对应的部分的交点.
画出函数草图,图中交点除(1,0)外,其他交点的横坐标均为无理数,且x=1处(lg x)'=?=?<
1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8.
?
解法二:先证明结论:1?≠k-?,其中p,q∈N*且p,q互质,k,n∈N*.
假设1?=k-?,则10q=?.
左边是整数,而右边不是整数,矛盾.
则1?≠k-?,
则原方程即f(x)-lg(x+k)=0,其中k∈N*,x∈[0,1),
该方程即k=10f(x)-x.
当x∈D时,该方程有唯一解x=0,此时k=1,
由于函数y=10x-x在(0,1)上单调递增,
因此,当x?D时,k=2,3,4,5,6,7,8均满足该方程有唯一解.
综上所述,方程的解的个数为8.
3.(2015江苏,13,5分)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=?则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为
????.
答案 4
解析 由|f(x)+g(x)|=1可得f(x)+g(x)=±1,即g(x)=-f(x)±1,则原问题等价于函数y=g(x)与y=-f(x)+1
或y=g(x)与y=-f(x)-1的图象的交点个数问题,在同一坐标系中作出y=g(x),y=-f(x)+1及y=-f(x)-1的
图象,如图:
?
由图可知,函数y=g(x)的图象与函数y=-f(x)+1的图象有2个交点,与函数y=-f(x)-1的图象有2个交
点,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为4.
名师点睛 一些对数型方程不能直接求出其零点,常通过平移、对称变换转化为相应的函数
图象问题,利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数,而函数零点个数的判断
通常转化为两函数图象交点的个数.这时函数图象是解题关键,不仅要研究其走势(单调性、
极值点、渐近线等),而且要明确其变化速度快慢.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 集合及其关系
1.(2019天津文改编,8,5分)已知函数f(x)=?若关于x的方程f(x)=-?x+a(a∈R)恰有两
个互异的实数解,则a的取值范围为 ????.
答案?????∪{1}
解析 本题以分段函数和方程的解的个数为背景,考查函数图象的画法及应用.
画出函数y=f(x)的图象,如图.
方程f(x)=-?x+a的解的个数,即为函数y=f(x)的图象与直线l:y=-?x+a的公共点的个数.
当直线l经过点A时,有2=-?×1+a,a=?;
当直线l经过点B时,有1=-?×1+a,a=?.
由图可知,a∈?时,函数y=f(x)的图象与l恰有两个交点.
另外,当直线l与曲线y=?,x>1相切时,恰有两个公共点,此时a>0.
联立?得?=-?x+a,
即?x2-ax+1=0,
由Δ=a2-4×?×1=0,得a=1(舍去负根).
综上,a∈?∪{1}.
一题多解 令g(x)=f(x)+?x=?当0≤x≤1时,g(x)=2?+?为增函数,其值域为
?;当x>1时,g(x)=?+?,对g(x)求导得g'(x)=-?+?,令g '(x)=0,得x=2,当x∈(1,2)时,g'(x)<0,g(x)
单调递减,当x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴当x=2时,g(x)min=g(2)=1,函数g(x)的简图如图
所示:
?
方程f(x)=-?x+a恰有两个互异的实数解,即函数y=g(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点,由
图可知?≤a≤?或a=1满足条件.
易错警示 本题入手时,容易分段研究方程2?=-?x+a(0≤x≤1)与?=-?x+a(x>1)的解,陷入
相对复杂的运算过程.利用数形结合时,容易在区间的端点处出现误判.
2.(2018课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知函数f(x)=?g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则
a的取值范围是 ????.
答案 [-1,+∞)
解析 本题主要考查函数的零点及函数的图象.
g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)=?与h(x)=-x-a的图象存在2个交点,如图,
?
当x=0时,h(0)=-a,由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点,需要-a≤1,即a≥-1.
方法总结 已知函数零点的个数求参数范围的方法
已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数
问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.
3.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)=?若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互
异的实数解,则a的取值范围是 ????.
答案 (4,8)
解析 本题主要考查函数零点的应用.
设g(x)=f(x)-ax=?
方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点,
满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况:
情况一:
?
则?∴4情况二:
?
则?不等式组无解.
综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).
解题策略????解决方程的根的问题时,通常转化为函数的零点问题,进而转化为函数图象的交点
问题;解决函数图象的交点问题时,常用数形结合的方法,以“形”助“数”,直观简捷.
4.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=?(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x
的方程|f(x)|=2-?恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是 ????.
答案?????
解析 ∵函数f(x)在R上单调递减,
∴?解得?≤a≤?.
在同一直角坐标系下作出函数y=|f(x)|与y=2-?的图象,如图所示.
?
方程|f(x)|=2-?恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的图象与y=2-?的图象恰有两个交点,则
需满足3a<2,得a易错警示 (1)f(x)在R上单调递减,需满足?缺少条件是失分的一个原因;
(2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数
的问题是解决这类问题常用的方法.
评析 本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解的个数问
题转化为求两个函数图象交点个数的问题,这是求解这类问题的常用方法.
5.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=?
①若a=1,则f(x)的最小值为 ????;
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 ????.
答案 ①-1 ②?∪[2,+∞)
解析 ①当a=1时, f(x)=?其大致图象如图所示:
?
由图可知f(x)的最小值为-1.
②当a≤0时,显然函数f(x)无零点;
当0个零点,结合图象可知,2a≥1,即a≥?,则?≤a<1;
当a≥1时,2a>1,由二次函数的性质可知,当x≥1时, f(x)有2个零点,
则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2.
综上可知,满足条件的a的取值范围是?∪[2,+∞).
6.(2015天津改编,8,5分)已知函数f(x)=?函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-
g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是 ????.
答案?????
解析 由已知条件可得g(x)=?函数y=f(x),y=g(x)的图象如图所示:
?
要使y=f(x)-g(x)恰有4个零点,只需y=f(x)与y=g(x)的图象恰有4个不同的交点,需满足?
在x<0时有两个不同的解,即x2+x+2-b=0有两个不同的负根,则?解得?同时要满足?在x>2时有两个不同的解,即x2-5x+8-b=0有两个大于2的不同实根,令
h(x)=x2-5x+8-b,需?即?解得?综上所述,满足条件的b的取值范围是?C组 教师专用题组
1.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=?若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的
取值范围是 ????.
答案 (-∞,0)∪(1,+∞)
解析 当a<0时,若x∈(a,+∞),则f(x)=x2,当b∈(0,a2)时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1=-
?,x2=?.
当0≤a≤1时, f(x)的图象如图所示,
?
易知函数y=f(x)-b最多有一个零点.
当a>1时, f(x)的图象如图所示,
?
当b∈(a2,a3]时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1=?,x2=?.综上,a∈(-∞,0)∪(1,+∞).
2.(2015湖北,12,5分)函数f(x)=4cos2?cos?-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为 ????.
答案 2
解析????f(x)=2(1+cos x)sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|,x>-1,函数f(x)的零点个数即为函数y=
sin 2x与y=|ln(x+1)|(x>-1)的图象的交点个数.分别作出两个函数的图象,如图,可知有两个交点,
则f(x)有两个零点.
?
3.(2014江苏,13,5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=?.若函
数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是 ????.
答案?????
解析 当x∈[0,3)时, f(x)=?=?,由f(x)是周期为3的函数,作出f(x)在[-3,4]上的
图象,如图.
?
由题意知方程a=f(x)在[-3,4]上有10个不同的根.
由图可知a∈?.
4.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实
数a的取值范围为 ????.
答案 (0,1)∪(9,+∞)
解析 记g(x)=a|x-1|,则g(x)的图象过定点(1,0).
原方程恰有四个互异的实数根,则f(x)与g(x)的图象恰有四个不同交点,故a>0.分以下三种情况:
i)四个交点的横坐标均小于1.由?得x2+(3-a)x+a=0,由Δ1=(3-a)2-4a>0得a<1(a>9舍去).
故0ii)三个交点的横坐标小于1,一个交点的横坐标大于1,则y=a(1-x)与y=-x2-3x(-3(x-1)与y=x2+3x(x>1)也相切,解得a=1且a=9,此种情形不存在.
iii)两个交点的横坐标小于1,另两个交点的横坐标大于1.由?得x2+(3-a)x+a=0,由Δ2=
(3-a)2-4a>0得a>9(a<1舍去).故a>9时恰有四个交点.
综上,a∈(0,1)∪(9,+∞).
5.(2013天津改编,7,5分)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 ????.
答案 2
解析 易知函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数即为方程|log0.5x|=?=?的根的个数,亦即函数y1=
|log0.5x|与y2=?的图象的交点个数.两个函数的图象如图所示,可知两个函数图象有两个交点.
?
6.(2013重庆改编,6,5分)若a于区间 ????.
①(a,b)和(b,c)内; ②(-∞,a)和(a,b)内;
③(b,c)和(c,+∞)内; ④(-∞,a)和(c,+∞)内.
答案 ①
解析 由题意可得f(a)>0, f(b)<0, f(c)>0,由二次函数图象知f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)
和(b,c)内.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点 函数的零点与方程的根
1.(2018南京、盐城一模,11)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时, f(x)=?若函数y=f(x)-
m有四个不同的零点,则实数m的取值范围是 ????.
答案?????
解析 画出当x≥0时f(x)的图象,根据偶函数的图象关于y轴对称可得x<0时的图象,由图象可得
m∈?.
?
评析 零点个数问题一般采用数形结合法,本题只要能够准确画出分段函数图象,不难得到结
果,需要注意的是,要注意端点处是否取得.
2.(2019七市第二次调研,11)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且在区间[2,4)上, f(x)=
?则函数y=f(x)-log5|x|的零点的个数为 ????.
答案 5
解析 依题意,得f(x)是周期为4的奇函数,
由f(x+4)=f(x),得f(x+2)=f(x-2),
在[0,4)上图象关于(2,0)对称,
f(1)=f(-3)=-f(3)=1,
令y=f(x)-log5|x|=0,得f(x)=log5|x|,分别画出y=f(x)和y=log5|x|的图象,
由图可知,两图象有5个交点,所以零点的个数为5.
?
3.(2018泰州中学期中,10)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时, f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图
象与函数y=|lg x|的图象的交点共有 ????.
答案 10个
解析 在同一直角坐标系中,分别作出y=f(x)和y=|lg x|的图象,如图,结合图象知,共有10个交点.
?
4.(2019金陵中学期中,12)已知函数f(x)=?则关于x的方程f[f(x)]=3的解的个数为 ????
????.
答案 5
解析 由题意得,2f(x)+1=3或|ln f(x)|=3,即f(x)=1(舍去)或f(x)=e3或f(x)=e-3.若f(x)=e3,则2x+1=e3或|
ln x|=e3,故x=?(舍去)或x=?或x=?.若f(x)=e-3,则2x+1=e-3或|ln x|=e-3,故x=?或x=?或x=
?,故方程f[f(x)]=3共有5个解.
一题多解 (数形结合)作出f(x)=?的图象,如图:
?
设t=f(x), f(t)=3,
易知f(x)=3有2个根t1=e3,t2=e-3,
t1=e3时,方程f(x)=e3有2个根,
t2=e-3时,方程f(x)=e-3有3个根,所以共有5个根.
5.(2019南通通州、海门联考,12)已知函数f(x)=?若函数y=|2f(x)-a|-1存在5个零点,则
实数a的取值范围为 ????.
答案 (1,3)
解析 作出y=f(x)的图象,如图.
?
∵y=|2f(x)-a|-1有5个零点,
∴|2f(x)-a|-1=0有5个根,
∴f(x)=?和f(x)=?共有5个零点.
(1)?解得1(2)?无解.
综上,a的取值范围是(1,3).
思路分析 本题采用数形结合法.函数y=|2f(x)-a|-1有5个零点等价于f(x)=?和f(x)=?共有
5个零点,利用图象讨论得到答案.
6.(2019泰州期末,13)已知函数f(x)=?若存在x0<0,使得f(x0)=0,则实数a的取值范
围是 ????.
答案 [-1,0)
解析 (1)当a≥0时,
如果x≥a, f(x)=x3-3x+2a=0,即函数y=x3与y=3x-2a的图象在(-∞,0)上有交点,由图象可知不存在.
?
如果x(2)当a<0时,
如果x≥a, f(x)=x3-3x+2a=0,即函数y=x3与y=3x-2a在(-∞,0)上有交点,如图,两图象相切时,y'=3x2=
3,x=-1,切点为(-1,-1),代入y=3x-2a,得a=-1,
所以,当-1≤a<0时,在x<0且x≥a处有交点,即存在x0<0,使得f(x0)=0.
?
如果x(a+1)(a-1)<0,两图象交点的横坐标是大于a的,如图.
所以在x?
综上可知,-1≤a<0.
一题多解 令f(x)=0,则有x≥a时,x3=3x-2a,x3|x0-a|+a,
也就是研究函数y=x3图象与函数y=3|x-a|+a图象在x<0时有交点.
如图,y=3|x-a|+a就是把y=3|x|图象顶点沿着直线y=x移动,不难发现a=-1时是临界位置,从而-1≤
a<0.
?
7.(2019扬州中学检测,11)已知函数f(x)=?若关于x的方程|f(x)|-ax-5=0恰有三个不同
的实数解,则满足条件的所有实数a的取值集合为 ????.
答案?????
解析 令f(x)=0,得x=-2或x=ln 5,
∵f(x)在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
∴|f(x)|=?
作出y=|f(x)|的函数图象如图所示:
?
∵关于x的方程|f(x)|-ax-5=0恰有三个不同的实数解,
∴直线y=ax+5与y=|f(x)|的图象有3个交点,
∴直线y=ax+5过点(-2,0)或过点(ln 5,0)或直线y=ax+5与y=|f(x)|的图象相切,
(1)若直线y=ax+5过点(-2,0),则a=?;
(2)若直线y=ax+5过点(ln 5,0),则a=-?;
(3)若直线y=ax+5与y=|f(x)|在(-2,0]上的图象相切,设切点为(x0,y0),
则?解得a=2;
(4)若直线y=ax+5与y=|f(x)|在(0,ln 5]上的图象相切,设切点为(x1,y1),
则?解得a=-e.
∴a的取值集合为?.
思路分析 作出函数y=|f(x)|的图象,根据直线y=ax+5与y=|f(x)|的图象有3个交点得出两函数图
象的关系,从而得出a的值.
8.(2019如皋一模,11)已知函数f(x)=?若函数h(x)=f(x)+?x-a恰有3个不同的零点,
则实数a的取值集合为 ????.
答案?????
解析????h(x)=?
h'(x)=?
所以x<-?时,函数h(x)单调递减,-?
ln 2时,函数h(x)单调递增.
由??h?故实数a的取值集合为?.
填空题(每小题5分,共40分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：30分钟 分值：40分)
1.(2019前黄中学期初,12)已知f(x)=|xex|,g(x)=f 2(x)+tf(x)(t∈R).若方程g(x)=-1有四个实数根,则t
的取值范围为 ????.
答案????t<-e-?
解析 设h(x)=xex,则h'(x)=(x+1)ex,
所以h(x)在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增,极小值为h(-1)=-?,
当x→-∞时,h(x)=xex=? →0且h(x)<0;
当x→+∞时,h(x)=xex→+∞.
在坐标系中画出h(x)=xex的图象,将x轴下方的部分沿x轴翻折至上方,得到f(x)=|xex|的图象.
?
当m>?或m=0时, f(x)=m有且仅有1个实数解;
当m=?时, f(x)=m恰有2个实数解;
当0若方程g(x)=-1有四个实数根,
则关于m的方程m2+tm=-1有两个不等实根m1,m2,且m1=0或m1>?,0实根, f(x)=m2有3个实根)
显然m1=0不合题意,所以关于m的方程m2+tm+1=0的两个实根分别位于?和?.
设φ(m)=m2+tm+1,因为φ(0)=1>0,且m→+∞时φ(m)>0,
所以只需φ?=?+t·?+1<0即可,解得t<-e-?.
2.(2019徐州期中,14)已知函数f(x)=x|x2-a|-a,若f(x)有三个零点,则实数a的取值范围是 ????
????.
答案????a>?
解析 ①a=0时, f(x)=x|x2|=x3,只有一个零点,不符合题意.
②a<0时, f(x)=x(x2-a)-a=x3-ax-a, f '(x)=3x2-a, f '(x)>0, f(x)在R上单调递增,
所以f(x)=x3-ax-a不可能有3个零点,不符合题意.
③a>0时, f(x)=x|x2-a|-a=0,则|x2-a|=?(x≠0),
则当x>?或x<-?时,x2-a=?,作出y=x2-a,y=?的图象,如图,两函数图象有一个交点;
方程x2-a=?有唯一实根.
当-?易知φ(x)在?,?上递增,
在?上递减,
又φ(-?)>0,则φ?=??-a?+a<0,
解得a>?.
思路分析 本题考查函数的零点,当a=0和a<0时没有三个零点,a>0时,得到两个方程x2-a=?和x
2-a=-?,
x2-a=?转化为x2=a+?,明显有唯一零点,
x2-a=-?转化为x3-ax+a=0,考察最小值即可.
3.(2019南通基地学校3月联考,12)已知函数f(x)=?有三个不同的零点,则实数m
的取值范围是 ????.
答案?????
解析 对于f(x)=ln x-m,x>0,无论m取何值总有且只有一个零点,所以x≤0时, f(x)=x3-3mx-m必有
两个零点,此时f '(x)=3x2-3m,
显然m≤0时不成立,那么必须满足?即?解得m∈?.
思路分析 根据条件容易发现x>0时有一个零点,这是解题的突破口,这样x≤0时函数必须有
两个零点,从而研究三次函数的图象和性质.
4.(2019南京、盐城二模,13)已知函数f(x)=?设g(x)=kx+1,且函数y=f(x)-g(x)的图
象经过四个象限,则实数k的取值范围为 ????.
答案?????
解析 作出函数f(x)的图象,如图.
?
因为函数y=f(x)-g(x)的图象经过四个象限,所以y=f(x)与y=g(x)在(-∞,0)和(0,+∞)都有交点.
k>0时,在(-∞,0)内,当k∈?时满足题意;
k<0时,在(0,+∞)内,只需求过定点(0,1)且与函数f(x)的函数图象相切的直线斜率即可,经计算可
知此时k∈(-9,0).
显然k=0符合题意.
综上可知,k的取值范围为?.
5.(2019南通、如皋二模,14)定义min{a,b}=?已知函数f(x)=ex-?,g(x)=(x-1)(mx+2m2-m-1),
若h(x)=min{f(x),g(x)}恰好有3个零点,则实数m的取值范围是 ????.
答案?????∪?
解析 当m<0时, f(x)=ex-?的图象在x轴上方,无零点,
g(x)=(x-1)(mx+2m2-m-1)至多有2个零点,与题意不符.
当m>0时, f(x)=ex-?的零点为x=ln?=-ln m,
g(x)=(x-1)(mx+2m2-m-1)的零点为x1=1,x2=1+?-2m.
(1)若1+?-2m>1,则有0?
由图可知,要有3个零点,需满足-ln m<1,即ln??,所以?(2)若1+?-2m<1,则有m>?,画出两函数图象如图.
?
由图可知,要有3个零点,需满足-ln m<1+?-2m,即1+?-2m+ln m>0,
令φ(m)=1+?-2m+ln m,求导得φ'(m)=-?-2+?=?,
对于函数k(m)=-2m2+m-1,Δ=1-8=-7<0,所以k(m)<0恒成立,
即φ'(m)<0恒成立,所以函数φ(m)=1+?-2m+ln m在?上是减函数,
又φ(1)=0,所以当m∈?时,φ(m)>0,
所以?综上可知,实数m的取值范围是?∪?.
6.(2019扬州期末,13)已知函数f(x)=a+3+?-|x+a|有且仅有三个零点,并且这三个零点构成等差
数列,则实数a的值为 ????.
答案?????或-1-?
解析 由f(x)=a+3+?-|x+a|=0,得?+3=|x+a|-a,
原函数有三个零点,即函数y=?+3与y=|x+a|-a=?的图象有且仅有三个交点,设三个
交点的横坐标分别为x1,x2,x3,且x1(1)如图所示:
?
联立?解得x2=-1,x3=4,
又三个零点构成等差数列,则x2=?,得x1=-6,得?+3=-(-6)-2a,解得a=?.
(2)如图所示:
?
联立?解得x3=4,由x2=?,得x1-2x2=-4,
由?消去y,得x2+(2a+3)x+4=0,
由根与系数的关系,得?又x1-2x2=-4,
∴?∴?=4,化为4a2+8a-23=0,
因为-a>0,所以a<0,所以a=?.
综上可得,a的值为?或-1-?.
解题关键 本题考查零点问题,利用数形结合法,函数f(x)=a+3+?-|x+a|的零点个数转化为函数
y=3+?图象与函数y=|x+a|-a图象交点个数.
7.(2018南通调研,12)设函数f(x)=?(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点,
则实数m的取值范围是 ????.
答案 (1,+∞)
解析 画出f(x)的图象如图中实线部分,
?
当x>0时,y=e-x-?的图象与x轴有一个交点,
故当x≤0时,y=x3-3mx-2的图象与x轴有两个交点,
∵f(x)=x3-3mx-2(x≤0)的图象恒过点(0,-2),
∴x≤0时,?f '(x)=3x2-3m(x≤0),
令f '(x)=0,则x=-?,
∴f(x)在(-∞,-?)上单调递增,在(-?,0)上单调递减,
∴f(x)极大值=f(-?)=(-?)3-3m(-?)-2>0.
∴m>1.
一题多解 当x>0时, f(x)=e-x-?,令f(x)=0,得x=ln 2,有一个根.
故当x≤0时,x3-3mx-2=0有两个不等实根,显然x=0不是此方程的实根.
∴x2-?=3m.
令g(x)=x2-?(x<0),g'(x)=2x+?,令g'(x)=0,则x=-1,
则g(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
画出g(x)的图象,如图.
?
由图象可得g(x)∈(3,+∞),则3m∈(3,+∞),
即m∈(1,+∞).
8.(2017苏北四市期末,14)已知函数f(x)=?若函数f(x)的图象与直线y=x有三
个不同的公共点,则实数a的取值范围为 ????.
答案 {-16,-20}
解析 因为y=sin x(x<1)的图象与y=x的图象有一个交点,故只需函数y=x3-9x2+25x+a(x≥1)的图
象与直线y=x有两个不同的公共点即可,即x3-9x2+25x+a=x有两个根.
令g(x)=x3-9x2+24x+a(x≥1),
则g'(x)=3x2-18x+24=3(x2-6x+8)=3(x-2)(x-4),
当x∈[1,2),(4,+∞)时,g(x)单调递增,当x∈(2,4)时,g(x)单调递减,
依题意只需g(x)=x3-9x2+24x+a(x≥1)的图象与x轴有2个交点即可,
∵g(1)=16+a,g(2)=20+a,g(4)=16+a,∴g(1)=g(4)=16+a=0,或g(2)=20+a=0,∴a=-16或a=-20.
故实数a的取值范围为{-16,-20}.
C组 2017—2019年高考模拟·应用创新题组
1.(2019 5·3原创题)已知xf '(x)=1+x,x>0,且f(1)=2,若不等式f(x)≥(a+1)x+1有解,则正实数a的取
值范围是 ????.
答案?????
解析 由xf '(x)=1+x,可得f '(x)=?+1,
易知f(x)=ln x+x+C,
∵f(1)=2,∴1+C=2,∴C=1,∴f(x)=ln x+x+1.
不等式f(x)≥(a+1)x+1有解等价于ln x≥ax有解,
即a≤?.令g(x)=?,x>0,
则g'(x)=?,令g'(x)=0,得x=e,
当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)递增,
当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)递减,所以g(x)max=g(e)=?,又a>0,
所以02.(2019 5·3原创题)已知函数f(x)=x+?,过点(1,0)作曲线f(x)的两条切线,切点为A(x1, f(x1)),B(x2, f
(x2))(0答案?????
解析 ∵f(x)=x+?,∴f '(x)=1-?,
由题意知,方程?=1-?,
即方程2x2+2ax-a=0有两个不相等的实数根x1,x2(0∴x1+x2=-a,x1x2=-?,
∵0令g(x)=2x2+2ax-a,则g(1)=a+2<0,
∴区间(x1,x2)内存在的唯一整数为1,
∴?即?
∴a∈?.
3.(2019 5·3原创题)已知方程ex-1+?x+?-2=0(a>0)存在正实数解,则a= ????.
答案 1
解析 若ex-1+?x+?-2=0(a>0)存在正实数解,只需ex-1-x+?+?=2.ex-1-x≥0(当x=1时等号成
立),且?+?≥2?,两式相加可得ex-1-x+?+?≥2(当且仅当x=1,a=1时
等号成立),由此可知a=1.
２４ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§ ２．６ 函数模型和函数的综合应用
对应学生用书起始页码 Ｐ３４
考点一 函数的实际应用
解函数应用题的步骤（四步八字）
（１）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步
选择数学模型；
（２）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为
符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
（３）求模：求解数学模型，得出数学结论；
（４）还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的
意义．
以上过程用框图表示如下：
考点二 函数的综合应用
指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征
函数
性质
ｙ＝ａｘ
（ａ＞１）
ｙ＝ ｌｏｇａｘ
（ａ＞１）
ｙ＝ ｘα
（α＞０）
在（０，＋∞）
上的增减性
增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢
随 α 值变化
而不同
图象的
变化
随 ｘ 值的增大，图
象与 ｙ 轴接近
平行
随 ｘ 值的增大，图
象与 ｘ 轴接近
平行
随 α 值变
化而不同
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对应学生用书起始页码 Ｐ３４
建立确定性函数模型解决实际问题
１．在现实生活中，有很多问题的两个变量之间的关系是一
次函数关系，对这类问题，可以构建一次函数模型，其增长特点
是直线上升（自变量的系数大于 ０）或直线下降（自变量的系数
小于 ０） ．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、
利润问题、产量问题等．对这些问题，可以构建二次函数模型，利
用二次函数图象与单调性解决．
２．当两变量之间的关系不能用同一个关系式表示，而是由
几个不同的关系式构成时，可以构造分段函数模型，先将其作为
几个不同问题，将各段的变化规律找出来，再将其合在一起，要
注意各段自变量的范围，特别是端点值的取舍．
３．指数函数模型常与人口增长、银行利率、细胞分裂等相结
合进行考查；而对数函数模型常与价格指数、环境承载力等相结
合进行考查．应用指数函数模型或对数函数模型的关键是对模型
的判定，从而建立形如 ｙ＝ａ·ｂｘ＋ｃ＋ｄ 或 ｙ＝ａｌｏｇｂ（ｃｘ＋ｄ）（ａ＞０，ｂ＞０
且 ｂ≠１，ｃ≠０）的函数模型，再利用指数函数或对数函数的性质
及函数图象来处理．
（２０１７ 江苏南京、盐城一模，１８）如图所示，某街道居委
会拟在 ＥＦ 地段的居民楼正南方向的空白地段 ＡＥ 上建一个活动
中心，其中 ＡＥ＝ ３０ 米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向
西看活动中心的截面图的下半部分是长方形 ＡＢＣＤ，上半部分是
以 ＤＣ 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中
心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长 ＧＥ 不
超过 ２．５ 米，其中该太阳光线与水平线的夹角 θ 满足ｔａｎ θ＝
３
４
．
（１）若设计 ＡＢ＝ １８ 米，ＡＤ＝ ６ 米，问能否保证题干中的采光
要求？
（２）在保证题干中的采光要求的前提下，如何设计 ＡＢ 与 ＡＤ
的长度，可使得活动中心的截面面积最大？ （注：计算中 π 取 ３）
解析 如图所示，以点 Ａ 为坐标原点，分别以 ＡＢ、ＡＤ 所在
直线为 ｘ 轴、ｙ 轴，建立平面直角坐标系．
（１）因为 ＡＢ＝１８，ＡＤ＝６，所以半圆的圆心坐标为 Ｈ（９，６），半
径 ｒ＝９．设太阳光线所在直线方程为 ｙ＝－
３
４
ｘ＋ｂ，即 ３ｘ＋４ｙ－４ｂ＝０，
则
｜ ２７＋２４－４ｂ ｜
３２＋４２
＝ ９，
解得 ｂ＝ ２４ 或 ｂ＝
３
２
（舍） ．
故太阳光线所在直线方程为 ｙ＝－
３
４
ｘ＋２４，
令 ｘ＝ ３０，得 ｙ＝
３
２
，即 ＥＧ＝ １．５ 米＜２．５ 米．
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第二章 函数 ２５
所以此时能保证采光要求．
（２）设 ＡＤ＝ ｈ 米，ＡＢ ＝ ２ｒ 米，则半圆的圆心为 Ｈ（ ｒ，ｈ），半径
为 ｒ，设活动中心的截面面积为 Ｓ．
解法一：设太阳光线所在直线方程为 ｙ＝－
３
４
ｘ＋ｂ，
即 ３ｘ＋４ｙ－４ｂ＝ ０，由
｜ ３ｒ＋４ｈ－４ｂ ｜
３２＋４２
＝ ｒ，
解得 ｂ＝ｈ＋２ｒ 或 ｂ＝ｈ－
１
２
ｒ（舍），
故太阳光线所在直线方程为 ｙ＝－
３
４
ｘ＋ｈ＋２ｒ，
令 ｘ＝ ３０，得 ｙ＝ ２ｒ＋ｈ－
４５
２
，
由 ｙ≤
５
２
，得 ｈ≤２５－２ｒ，
所以 Ｓ＝ ２ｒｈ＋
１
２
πｒ２ ＝ ２ｒｈ＋
３
２
ｒ２≤２ｒ（２５－２ｒ）＋
３
２
ｒ２
＝－ ５
２
ｒ２＋５０ｒ＝－
５
２
（ ｒ－１０） ２＋２５０≤２５０，
当且仅当 ｒ＝ １０ 时取等号．
所以当 ＡＢ＝ ２０ 米且 ＡＤ＝ ５ 米时，可使得活动中心的截面面
积最大．
解法二：易知当 ＥＧ 恰为 ２．５ 米时，活动中心的截面面积最
大，此时点 Ｇ 的坐标为（３０，２．５），
设过点 Ｇ 的太阳光线所在直线为 ｌ１，则 ｌ１ 的方程为 ｙ－
５
２
＝
－ ３
４
（ｘ－３０），即 ３ｘ＋４ｙ－１００＝ ０．
由直线 ｌ１ 与半圆 Ｈ 相切，得 ｒ＝
｜ ３ｒ＋４ｈ－１００ ｜
５
．
而点 Ｈ（ ｒ，ｈ）在直线 ｌ１ 的下方，则 ３ｒ＋４ｈ－１００＜０，
即 ｒ＝－
３ｒ＋４ｈ－１００
５
，从而 ｈ＝ ２５－２ｒ．
Ｓ＝ ２ｒｈ＋
１
２
πｒ２ ＝ ２ｒ（２５－２ｒ）＋
３
２
ｒ２
＝－ ５
２
ｒ２＋５０ｒ＝－
５
２
（ ｒ－１０） ２＋２５０≤２５０，
当且仅当 ｒ＝ １０ 时取等号，
所以当 ＡＢ＝ ２０ 米且 ＡＤ＝ ５ 米时，可使得活动中心的截面面
积最大．
１－１ （２０１８ 溧阳上学期阶段测试，１８）已知某食品厂需要
定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料 ２００ 千克，配料的价
格为 １．８ 元 ／千克，每次购买配料需支付运费 ２３６ 元，每次购买的
配料还需支付保管费用，其标准如下：７ 天以内（含 ７ 天），无论
质量多少，均按 １０ 元 ／天支付，超出 ７ 天以外的天数，根据实际
剩余配料的质量，以每天０．０３ 元 ／千克支付．
（１）当 ９ 天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用 Ｐ
是多少元；
（２）设该厂 ｘ 天购买一次配料，求该厂在这 ｘ 天中用于配料
的总费用 ｙ（元）关于 ｘ 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次
配料才能使平均每天支付的费用最少．
１－１ 解析 （１）当 ９ 天购买一次配料时，该厂用于配料的保管
费用 Ｐ＝ ７０＋０．０３×２００×（１＋２）＝ ８８（元） ．
（２）①当 ０＜ｘ≤７（ｘ∈Ｎ?）时，ｙ＝ ３６０ｘ＋１０ｘ＋２３６＝ ３７０ｘ＋２３６，
②当 ｘ＞７（ｘ∈Ｎ?）时，
ｙ＝ ３６０ｘ＋２３６＋７０＋６［（ｘ－７）＋…＋２＋１］ ＝ ３ｘ２＋３２１ｘ＋４３２，
∴ ｙ＝
３７０ｘ＋２３６，ｘ≤７，
３ｘ２＋３２１ｘ＋４３２，ｘ＞７{ （ｘ∈Ｎ?） ．
设平均每天支付的费用为 ｆ（ｘ）元．
则 ｆ（ｘ）＝
３７０ｘ＋２３６
ｘ
，ｘ≤７，
３ｘ２＋３２１ｘ＋４３２
ｘ
，ｘ＞７
ì
?
í
??
??
（ｘ∈Ｎ?） ．
当 ｘ≤７ 时， ｆ（ｘ）＝ ３７０＋
２３６
ｘ
，当且仅当 ｘ ＝ ７ 时 ｆ（ ｘ）有最小
值
２ ８２６
７
≈４０４．
当 ｘ＞７ 时， ｆ（ｘ）＝
３ｘ２＋３２１ｘ＋４３２
ｘ
＝ ３ ｘ＋
１４４
ｘ( ) ＋３２１≥３９３．
当且仅当 ｘ＝ １２ 时取等号．
∵ ３９３＜４０４，
∴ 该厂 １２ 天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最
少，为 ３９３ 元．
１－２ （２０１７ 南通、徐州第一次学情调研，１８）在互联网时
代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题
每日的销售量 ｈ（ｘ）（单位：千套）与销售价格 ｘ（单位：元 ／套）满
足关系式 ｈ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）（３＜ｘ＜７，ｘ 为常数），其中 ｆ（ｘ）与（ｘ－
３）成反比， ｇ （ ｘ） 与 （ ｘ － ７） 的平方成正比，已知销售价格为
５ 元 ／套时，每日可售出套题 ２１ 千套，销售价格为 ３．５ 元 ／套时，
每日可售出套题 ６９ 千套．
（１）求 ｈ（ｘ）的表达式；
（２）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题
３ 元（只考虑售出的套数），试确定销售价格为多少时，才能使网
校每日销售套题所获得的利润最大．（保留 １ 位小数）
１－２ 解析 （１）因为 ｆ（ｘ）与（ｘ－３）成反比，ｇ（ ｘ）与（ ｘ－７）的平
方成正比，
所以可设 ｆ（ｘ）＝
ｋ１
ｘ－３
，ｋ１≠０，ｇ（ｘ）＝ ｋ２（ｘ－７） ２，ｋ２≠０，
则 ｈ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝
ｋ１
ｘ－３
＋ｋ２（ｘ－７） ２，
将（５，２１），（３．５，６９）代入，得
ｋ１
２
＋４ｋ２ ＝ ２１，
２ｋ１＋
４９
４
ｋ２ ＝ ６９，
ì
?
í
?
?
??
解得
ｋ１ ＝ １０，
ｋ２ ＝ ４，{
所以 ｈ（ｘ）＝
１０
ｘ－３
＋４（ｘ－７） ２（３＜ｘ＜７） ．
（２）设每日销售套题所获得的利润为 Ｆ（ｘ）元，
则 Ｆ（ｘ）＝ （ｘ－３）
１０
ｘ－３
＋４（ｘ－７） ２[ ] ＝ １０＋４（ｘ－７） ２（ｘ－３）
＝ ４ｘ３－６８ｘ２＋３６４ｘ－５７８（３＜ｘ＜７） ．
从而 Ｆ′（ｘ）＝ １２ｘ２－１３６ｘ＋３６４＝ ４（３ｘ－１３）（ｘ－７）（３＜ｘ＜７），
当 ｘ∈ ３，
１３
３( ) 时，Ｆ′（ｘ）＞０，所以函数 Ｆ（ ｘ）在 ３，１３３( ) 上单
调递增，
当 ｘ∈
１３
３
，７( ) 时，Ｆ′（ｘ）＜０，所以函数 Ｆ（ ｘ）在 １３３ ，７( ) 上单
调递减，
所以当 ｘ＝
１３
３
≈４．３ 时，函数 Ｆ（ｘ）取得最大值．
答：当销售价格为 ４．３ 元 ／套时，网校每日销售套题所获得的
利润最大．
????
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????
(共59张PPT)
(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,
计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界
曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千
米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面
直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=?(其中a,b为常数)模型.
(1)求a,b的值;
(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;
②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.
五年高考
A组????自主命题·江苏卷题组
解析 (1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).
将其分别代入y=?,得?
解得?
(2)①由(1)知,y=?(5≤x≤20),则点P的坐标为?,
?
设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y'=-?,
则l的方程为y-?=-?(x-t),由此得A?,B?.
故f(t)=?=??,t∈[5,20].
②设g(t)=t2+?,则g'(t)=2t-?.令g'(t)=0,解得t=10?.
当t∈(5,10?)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;
当t∈(10?,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数;
从而,当t=10?时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15?.
答:当t=10?时,公路l的长度最短,最短长度为15?千米.
思路分析 (1)将已知点代入函数关系式可得结果.
(2)①先设在点P处的切线l交x轴,y轴分别于A,B两点,求出l的方程,进而得A,B的坐标,可求得结
果.②构造函数,利用函数的单调性求解.
名师点睛 解决实际应用问题首先要弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学
模型,然后将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应
的数学模型.本题已直接给出模型,只需确定其待定参数即可.求解数学模型,得出数学结论,这
一步骤在应用题中要求不高,难度中等偏下.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 函数的实际应用
1.(2019课标全国Ⅱ理改编,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月
球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技
术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿
着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为
M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满
足方程:
?+?=(R+r)?.
设α=?.由于α的值很小,因此在近似计算中?≈3α3,则r的近似值为 ????.
答案?????R
解析 本题考查数学应用意识、运算求解能力以及方程思想;通过物理背景旨在考查数学建
模、逻辑推理和数学运算的核心素养.体现了试题的创新意识,激发了学生的爱国情怀以及正
确的国家观.
将r=α·R代入方程可得?+?=(1+α)?,
即?+?=(1+α)M1,
∴?=?,即?=?,∴?≈3α3,
∴α≈?,∴r=R·α≈?R.
解后反思 题中内容丰富、字母较多,需要冷静、沉思,抓住题的实质,进而转化成数学运算问
题.平时一定要注重培养良好的解题习惯.
2.(2019北京理,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白
梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种
水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功
后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 ????元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值
为 ????.
答案 ①130 ②15
解析 本题通过生活中常见的网络购物,考查函数的实际应用,利用促销返利考查学生应用数
学知识解决实际问题的能力.让学生通过分析,把实际问题模型化,构建不等式,体现了社会生
活与学习的密切联系.
①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元.
②设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.
根据题意得(m-x)80%≥m×70%,
所以x≤?,而m≥120,
为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤?,而?=15,∴x≤
15.
所以x的最大值为15.
解题关键 正确理解“每笔订单得到的金额”与“促销前总价的七折”是解题关键.
3.(2016四川改编,7,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年
投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投
入的研发资金开始超过200万元的年份是 ????年.
(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
答案 2019
解析 设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.
根据题意得130(1+12%)n-1>200,
则lg[130(1+12%)n-1]>lg 200,
∴lg 130+(n-1)lg 1.12>lg 2+2,
∴2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12>lg 2+2,
∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,
解得n>?,又∵n∈N*,∴n≥5,
∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.
4.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b
(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保
鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 ????小时.
答案 24
解析 依题意有192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,
所以e22k=?=?=?,所以e11k=?或-?(舍去),于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·eb=
?×192=24(小时).
评析 本题考查了函数的应用,考查转化与化归的数学思想.
考点二 函数的综合应用
1.(2019课标全国Ⅱ理改编,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时, f
(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-?,则m的取值范围是 ????.
答案?????
解析 本题考查了函数图象的应用以及不等式恒成立;考查数形结合思想的应用;以函数间的
递推关系为背景考查逻辑推理及数据分析的核心素养.
由题意可知,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x=?时, f(x)min=-?,且当x=?时, f(x)=-?.当x∈(1,
2]时,x-1∈(0,1],则f(x)=2f(x-1).当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],则 f(x)=?f(x+1).
∴若x∈(1,2],则当x=?时, f(x)min=-?,且x=?时, f(x)=-?.
同理,若x∈(2,3],则当x=?时, f(x)min=-1,且x=?时, f(x)=-?.
∴函数f(x)的大致图象如图所示.
?
∵f(x)≥-?对任意x∈(-∞,m]恒成立,∴当x∈(-∞,m]时, f(x)min≥-?,由图可知m≤?.
思路分析 由x∈(-∞,m]时,f(x)≥-?恒成立,可知f(x)min≥-?.由递推关系可作出y=f(x)的大致图
象.由图可得m的范围.
疑难突破 由x∈(0,1], f(x)=x(x-1),结合递推关系f(x+1)=2f(x)得出x∈R时,y=f(x)的图象是本题
的难点.
2.(2017天津改编,8,5分)已知函数f(x)=?设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥?在R
上恒成立,则a的取值范围是 ????.
答案?????
解析 ①当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥?在R上恒成立等价于-x2+x-3≤?+a≤x2-x+3在R
上恒成立,即有-x2+?x-3≤a≤x2-?x+3在R上恒成立.由y=-x2+?x-3图象的对称轴为x=??,
可得在x=?处取得最大值-?;由y=x2-?x+3图象的对称轴为x=??,可得在x=?处取得最小
值?,则-?≤a≤?.
②当x>1时,关于x的不等式f(x)≥?在R上恒成立等价于-?≤?+a≤x+?在R上恒成立,
即有-?≤a≤?+?在R上恒成立,由于x>1,所以-?≤-2?=-2?,当且仅当x=
?时取得最大值-2?;因为x>1,所以?x+?≥2?=2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2?
≤a≤2.
由①②可得-?≤a≤2.
思路分析 讨论当x≤1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数法,可得-x2+?x-3≤a≤x2-?x+
3,再由二次函数的最值求法,可得a的取值范围;讨论当x>1时,同样可得-?≤a≤?+?,再
利用基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.
3.(2017浙江,17,4分)已知a∈R,函数f(x)=?+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围
是 ????.
答案?????
解析 本题考查函数的单调性,函数在闭区间上的最值的求法,考查分类讨论思想.
设g(x)=x+?-a,x∈[1,4],
g'(x)=1-?=?,易知g(x)在[1,2]上为减函数,在[2,4]上为增函数,g(2)=4-a,g(1)=g(4)=5-a.
(1)当a≤4时,|g(x)|max=5-a,∴f(x)max=|g(x)|max+a=5.
∴a≤4符合题意.
(2)当4|g(x)|max=max{a-4,5-a}=?
当?当4(3)当a>5时,|g(x)|max=a-4,
∴f(x)max=a-4+a=5?a=?(舍去).
综上,实数a的取值范围为?.
4.(2017山东理,15,5分)若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递
增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 ????.
①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x3 ④f(x)=x2+2
答案 ①④
解析 对于①, f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex·2-x=?,∵函数y=?在(-∞,+∞)上单调递
增,∴①符合题意.
对于②, f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex·3-x=?,∵函数y=?在(-∞,+∞)上单调递减,∴②
不符合题意.
对于③, f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex·x3,令y=ex·x3,则y'=(ex·x3)'=ex·x2(x+3),当x∈(-∞,-3)时,y'<
0,函数y=ex·f(x)单调递减,故③不符合题意.
对于④, f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex(x2+2),令y=ex(x2+2),则y'=[ex(x2+2)]'=ex(x2+2x+2)>0,∴
函数y=ex(x2+2)在(-∞,+∞)上单调递增,∴④符合题意.
∴符合题意的为①④.
思路分析 审清题意,逐项代入检验即可.
方法总结 判断函数单调性的一般方法:
(1)定义法.
(2)图象法.
(3)利用复合函数单调性的判断方法判断单调性.
(4)导数法.具体步骤:①确定函数的定义域;②当f '(x)>0时, f(x)为增函数,当f '(x)<0时, f(x)为减函
数,注意写单调区间时不能用“∪”连接.
5.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=?
(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;
(2)(i)求F(x)的最小值m(a);
(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).
解析 (1)由于a≥3,故
当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,
当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).
所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].
(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则
f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,
所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即
m(a)=?
(ii)当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}=2=F(2),
当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.
所以,M(a)=?
C组 教师专用题组
考点一 函数的实际应用
1.(2014浙江,17,4分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点
A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算
由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ的最大值是 ????.
(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)
?
答案?????
解析 过点P作PN⊥BC于N,连接AN,则∠PAN=θ,如图.设PN=x m,由∠BCM=30°,得CN=?x m.
在直角△ABC中,AB=15 m,AC=25 m,则BC=20 m,故BN=(20-?x)m.从而AN2=152+(20-?x)2=3x2
-40?x+625,故tan2θ=?=?=?=?.
?
当?=?时,tan2θ取最大值?,即当x=?时,tan θ取最大值?.
2.(2014湖南改编,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长
率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ????.
答案?????-1
解析????设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两
年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),得x=?-1.
考点二 函数的综合应用
1.(2014辽宁改编,12,5分)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:
①f(0)=f(1)=0;
②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|答案?????
解析 当x=y时,|f(x)-f(y)|=0.
当x≠y时,当|x-y|≤?时,依题意有|f(x)-f(y)|当|x-y|>?时,不妨设x依题意有|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(0)+f(1)-f(y)|≤|f(x)-f(0)|+|f(1)-f(y)|又y-x>?,
∴|f(x)-f(y)|综上所述,对所有x,y∈[0,1],都有|f(x)-f(y)|因此,k≥?,即k的最小值为?.
2.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函
数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x, f(x))对称.若h
(x)是g(x)=?关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是????
????.
答案 (2?,+∞)
解析 函数g(x)=?的图象是以坐标原点为圆心,2为半径的圆在x轴上及其上方的部分.由
题意可知,对任意x0∈I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0, f(x0))是点(x0,h(x0))和点(x0,g(x0))连线的中点,
又h(x)>g(x)恒成立,所以直线f(x)=3x+b与半圆g(x)=?相离且b>0.
即?解之得b>2?.
所以实数b的取值范围为(2?,+∞).
?
3.(2013课标全国Ⅰ理改编,11,5分)已知函数f(x)=?若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是
????.
答案 [-2,0]
解析 由题意作出y=|f(x)|=?的图象:
?
由题意结合图象知,当a>0时,由y=ln(x+1)的增长性知?x0∈(0,+∞),使ax0>ln(x0+1),所以a≤0.当
x≥0时,|f(x)|≥ax显然成立;当x<0时,|f(x)|=x2-2x≥ax,则a≥x-2恒成立,又x-2<-2,∴a≥-2.综上,-2
≤a≤0.
评析 本题考查了函数的综合应用,考查了数形结合的能力,借助基本初等函数的图象缩小参
数范围是解题关键.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点一 函数的实际应用制
1.(2019南京、盐城期末,17)盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是
金山银山”的号召,对环境进行了大力整治.目前盐城市的空气质量位列全国前十,吸引了大量
的外地游客.某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园.数据显示,近
期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)=mln x-x+?-6(4≤x≤22,m∈R),其中x为每
天的时刻.若在早晨6点,测得空气质量指数为29.6.
(1)求实数m的值;
(2)求近期每天在[4,22]时段空气质量指数最高的时刻.(参考数值:ln 6=1.8)
解析 (1)将x=6代入f(x)=mln x-x+?-6(4≤x≤22,m∈R),得mln 6-6+?-6=29.6,
解得m=12.?(5分)
(2)对已知函数求导,得f '(x)=?+600·?=(12-x)?.
令f '(x)=0,得x=12.列表如下:?(9分)
x (4,12) 12 (12,22)
f '(x) + 0 -
f(x) 增 极大值 减
所以函数在x=12时取极大值也是最大值,即每天空气质量指数最高的时刻为12时.?(12分)
答:(1)实数m的值为12;(2)空气质量指数最高的时刻为12时.(14分)
评分细则 第(2)问不列表或文字说明单调性,扣3分;最后未给出“答”,扣2分.
2.(2019锡山高级中学实验学校检测,17)为建设美丽乡村,政府欲将一块长12百米,宽5百米的矩
形空地ABCD建成生态休闲园,园区内有一景观湖EFG(图中阴影部分),以AB所在直线为x轴,
AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).景观湖的边界线符合函数y=x+?
(x>0)模型,园区服务中心P在x轴正半轴上,PO=? 百米.
(1)若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM,求OM的最短长度;
(2)若在线段DE上设置一园区出口Q,试确定Q的位置,使通道PQ最短.
?
解析 (1)设M?,则OM2=x2+?=2x2+?+2≥2?+2,当且仅当2x2=?,即x2=?时取
等号,
∴OM的最短长度为?百米.
(2)过P作函数y=x+?图象的切线l,
设切线l的方程为y=k?(k<0),
联立得?
整理得(1-k)x2+?x+1=0,
令Δ=?k2-4(1-k)=0,得k=-3或k=?(舍去),
∴直线l的方程为y=-3?.
令y=5,得x=-?,
∴DQ=6-?=? 百米.
∴当DQ=? 百米时,通道PQ最短.
思路分析 (1)设M?,利用距离公式得出OM2关于x的函数,利用基本不等式求出最小值
即可;
(2)当直线PQ与景观湖边界相切时,通道最短,设出切线方程,与边界函数解析式联立,令Δ=0,即
可得出切线方程的斜率,从而确定Q点的位置.
3.(2019苏锡常镇四市教学情况调查一,17)某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.已知
空地的一边是直路AB,余下的外围是抛物线的一段弧,直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称
轴(如图).拟在这个空地上规划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪,其中A,B,C,D均在该抛物
线上.经测量,直路AB长为40米,抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.设点C到抛物线的对称
轴的距离为m米,到直路AB的距离为n米.
(1)求出n关于m的函数关系式;
(2)当m为多大时,等腰梯形草坪ABCD的面积最大?并求出其最大值.
?
解析 (1)以直路AB所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系,?(1分)
则A(-20,0),B(20,0),P(0,40),?(2分)
∵曲线APB为抛物线的一段弧,
∴可以设抛物线的解析式为y=a(x-20)(x+20),
将点P(0,40)代入得40=-400a,解得a=-?,?(4分)
∴抛物线的解析式为y=?(400-x2),?(5分)
∵点C在抛物线上,∴n=?(400-m2),0(2)设等腰梯形ABCD的面积为S,
则S=?·(2m+40)·?(400-m2),?(8分)
即S=?(-m3-20m2+400m+8 000),?(9分)
求导得S'=?(-3m2-40m+400)=-?(3m-20)(m+20),?(10分)
令S'=0,得m=?,?(11分)
m ? ? ?
S' + 0 -
S 增 极大值 减
(13分)
∴当m=?时,等腰梯形ABCD的面积最大,最大面积为? 平方米.?(14分)
4.(2019泰州期末,17)如图,三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上,点Q是弧AB的中点,现欲
在线段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O,Q重合),为小区铺设三条地下电缆管线PO,PA,PB.
已知OA=2千米,∠AOB=?,记∠APQ=θ rad,地下电缆管线的总长度为y千米.
(1)将y表示成θ的函数,并写出θ的范围;
(2)请确定工作坑P的位置,使地下电缆管线的总长度最小.
?
解析 (1)因为Q为弧AB的中点,所以由对称性,知PA=PB,∠AOP=∠BOP=?,
由题意知∠APO=π-θ,∠OAP=θ-?,
由正弦定理得?=?=?,
又OA=2,所以PA=?,OP=?,
所以y=PA+PB+OP=2PA+OP=?=?.
连接AQ.
因为∠APQ>∠AOP,即θ>?,又∠OAQ=∠OQA=??=?,所以θ∈?.
(2)令f(θ)=?,θ∈?,
f '(θ)=?,令f '(θ)=0,得θ=?,
f(θ)在?上递减,在?上递增,
所以当θ=?,即OP=?时, f(θ)有唯一的极小值,即最小值, f(θ)min=2?.
答:当工作坑P与O的距离为? 千米时,地下电缆管线的总长度最小.
考点二 函数的综合应用
(2019天一中学检测,18)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则f(x)称为“局
部奇函数”.
(1)已知二次函数f(x)=ax2+x-4a,试判断f(x)是不是“局部奇函数”,并说明理由;
(2)若f(x)=2x+m是定义在区间[-1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围;
(3)若f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.
解析????f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)+f(-x)=0在定义域内有解.
(1)对于f(x)=ax2+x-4a(a∈R),方程f(x)+f(-x)=0,即2a(x2-4)=0,由题意得a≠0,则x=±2,
所以f(x)为“局部奇函数”.
(2)对于f(x)=2x+m, f(x)+f(-x)=0即2x+2-x+2m=0,
因为f(x)的定义域为[-1,1],所以方程2x+2-x+2m=0在[-1,1]上有解.
令t=2x,t∈?,则-2m=t+?,设g(t)=t+?,
则g'(t)=1-?=?,
当t∈(0,1)时,g'(t)<0,故g(t)在(0,1)上为减函数;
当t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,故g(t)在(1,+∞)上为增函数.
所以t∈?时,g(t)∈?.
所以-2m∈?,故m∈?.
(3)对于f(x)=4x-m2x+1+m2-3, f(x)+f(-x)=0可化为
4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0.
令t=2x+2-x,t∈[2,+∞),则4x+4-x=t2-2,
从而t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解即可保证f(x)为“局部奇函数”.
令F(t)=t2-2mt+2m2-8,
①当F(2)≤0时,t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解,
由F(2)≤0,即2m2-4m-4≤0,
解得1-?≤m≤1+?;
②当F(2)>0时,t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解等价于
?解得1+?综上,所求实数m的取值范围为{m|1-?≤m≤2?}.
思路分析 (1)由“局部奇函数”的定义,知f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)+f
(-x)=0在定义域有解,结合函数f(x)=ax2+x-4a,解方程即可得结论;(2)若f(x)=2x+m是定义在[-1,1]
上的“局部奇函数”,则2x+2-x+2m=0在[-1,1]有解,分离参数,利用导数求函数的最值,进而可得
实数m的取值范围;(3)若f(x)是定义在R上的“局部奇函数”,则f(x)+f(-x)=0有解,根据分类讨论
思想,结合一元二次方程根的分布,列不等式(组)求出满足条件的m的取值范围可得结果.
一、填空题(每小题5分,共10分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：30分钟 分值：40分)
1.(2019靖江检测,14)已知函数f(x)=|x-m|和函数g(x)=x|x-m|+m2-7m,若对任意x1∈(-∞,4],均存在x2
∈[3,+∞),使得f(x1)>g(x2),则实数m的取值范围是 ????.
答案 (1,4+2?)
解析 由题意可知, f(x)min>g(x)min.
①若m≤3,则f(x)min=f(m)=0,g(x)min=g(3)=m2-10m+9,
即?解得1②若3即?解得3③若m>4,则f(x)min=f(4)=m-4,g(x)min=g(m)=m2-7m,
即?解得4综上,m∈(1,4+2?).
2.(2019泰州中学3月检测,14)已知函数f(x)=?若对任意实数k>1,g(x)=f(x)-kx都有零
点,则实数a的取值范围是 ????.
答案?????
解析????g(x)=f(x)-kx有零点,即函数y=f(x)与y=kx的图象有公共点.
设F(x)=3x-x-2,x>0,F'(x)=3xln 3-1,
则F'(x)>0,F(1)=0,
则y=3x与y=x+2在y轴的右侧只有一个公共点(1,3),
设y=3x在x=x0处的切线方程为y=?ln 3(x-x0)+?,
若过原点,x0=log3e<1,则过原点的切线方程为y=(eln 3)x,
与y=x+2交点的横坐标为?,数形结合得a的取值范围是?.
?
二、解答题(共30分)
3.(2017常州教育学会学业水平检测)某辆汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑
到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时,每小时的耗油量(所需要的汽油量)为??
升,其中k为常数,且60≤k≤100.
(1)若汽车以120千米/时的速度行驶,每小时的耗油量为11.5升,欲使每小时的耗油量不超过9
升,求x的取值范围;
(2)求该汽车行驶100千米的耗油量的最小值.
解析 (1)由题意知,当x=120时,??=11.5,解得k=100,
由??≤9,得x2-145x+4 500≤0,
∴45≤x≤100.
又60≤x≤120,∴60≤x≤100.
故x的取值范围为60≤x≤100.
(2)设该汽车行驶100千米的耗油量为y升,则
y=?·??=20-?+?(60≤x≤120).
令t=?,则t∈?,
∴y=90 000t2-20kt+20=90 000?+20-?,
∴该函数图象的对称轴为直线t=?.
∵60≤k≤100,∴?∈?.
①若?≥?,即75≤k≤100,
则当t=?,即x=?时,ymin=20-?;
②若?则当t=?,即x=120时,ymin=?-?.
答:当75≤k≤100时,该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为?升;当60≤k<75时,该汽
车行驶100千米的耗油量的最小值为?升.
4.(2019苏州3月检测,19)已知函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)当a<0时,解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)在[-1,1]上是单调增函数,求a的取值范围;
(3)当a=0时,求整数k的所有值,使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解.
解析 (1)因为ex>0,所以不等式f(x)>0转化为ax2+x>0,
又因为a<0,所以不等式可化为x?<0,
所以不等式f(x)>0的解集为?.?(4分)
(2)f '(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=[ax2+(2a+1)x+1]ex.
①当a=0时, f '(x)=(x+1)ex, f '(x)≥0在[-1,1]上恒成立,当且仅当x=-1时取等号,故a=0符合要求;?
(6分)
②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,因为Δ=(2a+1)2-4a=4a2+1>0,
所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1>x2,
因此f(x)有极大值又有极小值.
若a>0,因为g(-1)·g(0)=-a<0,所以f(x)在(-1,0)内有极值点,故f(x)在[-1,1]上不单调.?(8分)
若a<0,易知x1>0>x2,
因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[-1,1]上单调,
又g(0)=1>0,
必须满足?即?所以-?≤a<0.
综上可知,a的取值范围是?.?(10分)
(3)当a=0时,方程即为xex=x+2,由于ex>0,所以x=0不是方程的解,
所以原方程等价于ex-?-1=0,令h(x)=ex-?-1,
h'(x)=ex+?,
因为h'(x)>0对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞)恒成立,
所以h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数,?(13分)
又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,h(-3)=e-3-?<0,h(-2)=e-2>0,
所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上,
所以整数k的所有值为{-3,1}.?(16分)
C组 2017—2019年高考模拟·应用创新题组
1.(2019 5·3原创题)设函数f(x)在(-∞,+∞)上有定义,且对任意的x,y∈R,有|f(x)-f(y)|<|x-y|,并且函
数f(x+1)的对称中心是(-1,0),若函数g(x)-f(x)=x,则不等式g(2x-x2)+g(x-2)<0的解集是 ????.
答案 (-∞,1)∪(2,+∞)
解析 任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1又f(x1)-f(x2)≤|f(x2)-f(x1)|,所以f(x1)-f(x2)所以f(x1)+x1x1时,有g(x2)>g(x1),所以g(x)在R上单调递增.
又因为函数f(x+1)的对称中心是(-1,0),
所以f(x)的对称中心是(0,0),即函数f(x)是奇函数.
又g(x)=f(x)+x,所以g(x)在定义域(-∞,+∞)上也是奇函数.
不等式g(2x-x2)+g(x-2)<0可转化为g(2x-x2)结合单调性可得2x-x2<-x+2,解得x>2或x<1.
2.(2019泰州期末,19)设A,B为函数y=f(x)图象上相异两点,且点A,B的横坐标互为倒数,过点A,B
分别作函数y=f(x)的切线,若这两条切线存在交点,则称这个交点为函数f(x)的“优点”.
(1)若函数f(x)=?不存在“优点”,求实数a的值;
(2)求函数f(x)=x2的“优点”的横坐标的取值范围;
(3)求证:函数f(x)=ln x的“优点”一定落在第一象限.
解析 (1)由题意可知, f '(x)=f '?对任意x∈(0,1)∪(1,+∞)恒成立,
不妨取x∈(0,1),
则f '(x)=?=?=f '?恒成立,即a=?.
经验证,a=?符合题意.
(2)设A(t,t2),B?(t≠0且t≠±1),
因为f '(x)=2x,
所以A,B两点处的切线方程分别为y=2tx-t2,y=?x-?,
令2tx-t2=?x-?,
解得x=??,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),
所以“优点”的横坐标的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(3)证明:设A(t,ln t),B?,t∈(0,1),
因为f '(x)=?,
所以A,B两点处的切线方程分别为y=?x+ln t-1,y=tx-ln t-1,
令?x+ln t-1=tx-ln t-1,
解得x=?,则x>0,
所以y=?·?+ln t-1=??,
设h(m)=ln m-?,m∈(0,1),
则h'(m)=?,则h'(m)>0,
所以h(m)在(0,1)上单调递增,
所以h(m)因为?<0,所以y=?·?+ln t-1>0,
所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数,即“优点”在第一象限.
评析 本题考查函数的综合应用,涉及的知识点有新定义,导数的几何意义,两直线的交点,利
用导数研究函数的性质.属于较难题目.
