１２０ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§ １４．３ 抛物线及其性质
对应学生用书起始页码 Ｐ２０４
考点一 抛物线定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
（１）在平面内；
（２）动点到定点 Ｆ 的距离与到定直线 ｌ 的距离相等；
（３）定点不在定直线上．
考点二 抛物线的方程与几何性质
标准
方程
ｙ２ ＝ ２ｐｘ（ｐ＞０） ｙ２ ＝－２ｐｘ（ｐ＞０） ｘ２ ＝ ２ｐｙ（ｐ＞０） ｘ２ ＝－２ｐｙ（ｐ＞０）
图形
范围 ｘ≥０，ｙ∈Ｒ ｘ≤０，ｙ∈Ｒ ｘ∈Ｒ，ｙ≥０ ｘ∈Ｒ，ｙ≤０
准线 ｘ＝－
ｐ
２
ｘ＝
ｐ
２
ｙ＝－
ｐ
２
ｙ＝
ｐ
２
续表
焦点
ｐ
２
，０( ) － ｐ２ ，０( ) ０， ｐ２( ) ０，－ ｐ２( )
对称
性
关于 ｘ 轴对称 关于 ｙ 轴对称
顶点 （０，０）
离心
率
ｅ＝ １
焦半
径长
ｘ０＋
ｐ
２
－ｘ０＋
ｐ
２
ｙ０＋
ｐ
２
－ｙ０＋
ｐ
２
焦点
弦长
ｘ０＋ｘ１＋ｐ －（ｘ０＋ｘ１）＋ｐ ｙ０＋ｙ１＋ｐ －（ｙ０＋ｙ１）＋ｐ
其中 Ｐ（ｘ０，ｙ０），Ｑ（ｘ１，ｙ１）是抛物线上两动点，且 ＰＱ 过焦点
Ｆ，线段 ＰＦ 称为抛物线的焦半径，线段 ＰＱ 称为抛物线的焦点弦．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
对应学生用书起始页码 Ｐ２０５
一、应用抛物线定义解题的策略
抛物线是到定点和到定直线（定点不在定直线上）的距离相
等的点的轨迹，利用抛物线的定义解决问题时，应灵活进行抛物
线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化．“看到准线
应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线焦点
弦的有关问题的有效途径．
（１） （２０１７ 课标全国Ⅱ理，１６，５ 分）已知 Ｆ 是抛物线
Ｃ：ｙ２ ＝ ８ｘ 的焦点，Ｍ 是 Ｃ 上一点，ＦＭ 的延长线交 ｙ 轴于点 Ｎ．若
Ｍ 为 ＦＮ 的中点，则 ｜ＦＮ ｜ ＝ ．
（２）（２０１７ 江苏六市联考，６）在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中，已
知抛物线 ｙ２ ＝ ４ｘ 上一点 Ｐ 到焦点的距离为 ３，则点 Ｐ 的横坐
标是 ．
解析 （１）如图，过 Ｍ、Ｎ 分别作抛物线准线的垂线，垂足
分别为 Ｍ１、Ｎ１，设抛物线的准线与 ｘ 轴的交点为 Ｆ１，则 ｜ ＮＮ１ ｜ ＝
｜ＯＦ１ ｜ ＝ ２， ｜ＦＦ１ ｜ ＝ ４．因为 Ｍ 为 ＦＮ 的中点，所以 ｜ＭＭ１ ｜ ＝ ３，由抛
物线的定义知 ｜ＦＭ ｜ ＝ ｜ＭＭ１ ｜ ＝ ３，从而 ｜ＦＮ ｜ ＝ ２ ｜ＦＭ ｜ ＝ ６．
（２）设 Ｐ（ｍ，ｎ），ｍ＞０，由 ｙ２ ＝ ４ｘ 得准线方程为 ｘ ＝ －１，由抛
物线的定义得 １＋ｍ＝ ３，所以 ｍ＝ ２．
答案 （１）６ （２）２
１－１ 如果 Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐｎ 是抛物线 Ｃ：ｙ２ ＝ ４ｘ 上的点，它们
的横坐标依次为 ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，Ｆ 是抛物线 Ｃ 的焦点，若 ｘ１＋ｘ２＋…
＋ｘｎ ＝ １０，则 ｜Ｐ１Ｆ ｜ ＋ ｜Ｐ２Ｆ ｜ ＋…＋ ｜ＰｎＦ ｜ ＝ ．
１－１ 答案 ｎ＋１０
解析 由抛物线的方程 ｙ２ ＝ ４ｘ 可知焦点为 Ｆ（１，０），准线
为 ｘ＝－１，由抛物线的定义可知 ｜ Ｐ１Ｆ ｜ ＝ ｘ１ ＋ １， ｜ Ｐ２Ｆ ｜ ＝ ｘ２ ＋ １，
……，｜ＰｎＦ ｜ ＝ ｘｎ＋１，所以 ｜Ｐ１Ｆ ｜ ＋ ｜Ｐ２Ｆ ｜ ＋…＋ ｜ＰｎＦ ｜ ＝ ｘ１＋１＋ｘ２＋１＋
…＋ｘｎ＋１＝（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）＋ｎ＝ｎ＋１０．
１－２ 已知抛物线 Ｃ：ｙ２ ＝ ２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为 Ｆ，准线为 ｌ，且
ｌ 过点（－２，３），Ｍ 在抛物线 Ｃ 上，若点 Ｎ（１，２），则 ｜ＭＮ ｜ ＋ ｜ＭＦ ｜
的最小值为 ．
１－２ 答案 ３
解析 依题意，ｌ：ｘ ＝ －２，则抛物线 Ｃ：ｙ２ ＝ ８ｘ，过点 Ｍ 作
ＭＭ′⊥ｌ，垂足为 Ｍ′，过点 Ｎ 作 ＮＮ′⊥ ｌ，垂足为 Ｎ′，则 ｜ ＭＮ ｜ ＋
｜ＭＦ ｜ ＝ ｜ＭＮ ｜ ＋ ｜ＭＭ′ ｜≥ ｜ＮＮ′ ｜ ＝ ３．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
第十四章 圆锥曲线与方程 １２１
二、抛物线焦点弦问题的求解方法
（１）求抛物线的焦点弦长时，可应用公式求解，解题时，需要
依据抛物线的标准方程确定弦长是由 ｐ 与交点横坐标确定，还
是由 ｐ 与交点纵坐标确定，进一步还要确定是 ｐ 与交点横（纵）
坐标的和还是差，这是正确解题的关键．
（２）熟练掌握与焦点弦有关的结论是快速解决与焦点弦有
关的填空题的关键．
（１）（２０１８ 课标全国Ⅲ理，１６，５ 分）已知点 Ｍ（－１，１）和
抛物线 Ｃ：ｙ２ ＝ ４ｘ，过 Ｃ 的焦点且斜率为 ｋ 的直线与 Ｃ 交于 Ａ，Ｂ
两点．若∠ＡＭＢ＝ ９０°，则 ｋ＝ ．
（２）过抛物线 ｙ２ ＝ ４ｘ 的焦点 Ｆ 且倾斜角为 ６０°的直线 ｌ 与抛
物线在第一、四象限分别交于 Ａ、Ｂ 两点，则
｜ ＡＦ ｜
｜ＢＦ ｜
等于 ．
解析 （１）由题意可知 Ｃ 的焦点坐标为（１，０），所以过焦
点（１， ０）， 斜率为 ｋ 的直线方程为 ｘ ＝
ｙ
ｋ
＋ １ （ ｋ ≠ ０）， 设
Ａ
ｙ１
ｋ
＋１，ｙ１
?
è
?
?
?
÷ ，Ｂ
ｙ２
ｋ
＋１，ｙ２
?
è
?
?
?
÷ ，将直线方程与抛物线方程联立得
ｘ＝
ｙ
ｋ
＋１，
ｙ２ ＝ ４ｘ，
{ 整理得 ｙ２－ ４ｋ ｙ－４＝ ０，从而得 ｙ１＋ｙ２ ＝ ４ｋ ，ｙ１·ｙ２ ＝－４．
∵ Ｍ（ － １，１），∠ＡＭＢ ＝ ９０°，∴ ＭＡ→·ＭＢ→ ＝ ０，即 ｙ１
ｋ
＋２?
è
?
?
?
÷ ·
ｙ２
ｋ
＋２?
è
?
?
?
÷ ＋（ｙ１－１）（ｙ２－１）＝ ０，即 ｋ２－４ｋ＋４＝ ０，解得 ｋ＝ ２．
（２）如图，过 Ａ、Ｂ 作准线的垂线，垂足分别为 Ａ１、Ｂ１，过 Ｂ 作
ＢＣ⊥ＡＡ１ 于点 Ｃ，由直线 ｌ 的倾斜角为 ６０°可知∠ＣＡＢ＝ ６０°，所以
｜ ＡＢ ｜ ＝ ２ ｜ ＡＣ ｜ ， 所 以 ｜ ＡＦ ｜ ＋ ｜ ＢＦ ｜ ＝
２（ ｜ Ａ１Ａ ｜ － ｜ Ａ１Ｃ ｜ ）＝ ２（ ｜ ＡＦ ｜ － ｜ＢＦ ｜ ），所以
｜ ＡＦ ｜
｜ＢＦ ｜
＝ ３．
答案 （１）２ （２）３
２－１ 已知过抛物线 ｙ２ ＝ ４ｘ 的焦点 Ｆ 的直线交抛物线于 Ａ、
Ｂ 两点， ｜ ＡＦ ｜ ＝ ２，则 ｜ＢＦ ｜ ＝ ．
２－１ 答案 ２
解析 由抛物线方程可知焦点 Ｆ 为（１，０），ｐ＝ ２，
设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２） ．则 ｜ ＡＦ ｜ ＝ ｘ１＋
ｐ
２
＝ ２，∴ ｘ１ ＝ １．
故直线 ＡＢ 的方程为 ｘ＝ １．
则 ｜ＢＦ ｜ ＝ ｘ２＋１＝ ２．
２－２ 如图，已知：圆 Ｆ：（ｘ－１） ２＋ｙ２ ＝ １ 和抛物线 ｘ＝
ｙ２
４
，过 Ｆ
的直线与抛物线和圆依次交于 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 四点，则 ｜ ＡＢ ｜ · ｜ ＣＤ ｜
的值是 ．
２－２ 答案 １
解析 易得 Ｆ（１，０） ．若直线的斜率不存在，则直线方程为
ｘ＝ １，分别代入抛物线方程和圆的方程，可得 Ａ（１，２），Ｂ（１，１），Ｃ
（１，－１），Ｄ（１，－２），所以 ｜ ＡＢ ｜ ＝ １， ｜ＣＤ ｜ ＝ １，从而 ｜ ＡＢ ｜ ｜ＣＤ ｜ ＝ １．
若直线的斜率存在，设为 ｋ，则直线方程为 ｙ ＝ ｋ（ ｘ－１），不妨
设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｄ（ｘ２，ｙ２），过 Ａ、Ｄ 分别作抛物线准线的垂线，由抛
物线的定义得 ｜ ＡＦ ｜ ＝ ｘ１＋１， ｜ＤＦ ｜ ＝ ｘ２＋１，
把直线方程与抛物线方程联立，消去 ｙ 可得 ｋ２ｘ２－（２ｋ２＋４） ｘ
＋ｋ２ ＝ ０，则 ｘ１ｘ２ ＝ １，又抛物线的焦点 Ｆ 是已知圆的圆心，所以 ｜ＢＦ
｜ ＝ ｜ＣＦ ｜ ＝Ｒ＝ １．
从而有 ｜ ＡＢ ｜ ＝ ｜ ＡＦ ｜ － ｜ＢＦ ｜ ＝ ｘ１， ｜ＣＤ ｜ ＝ ｜ＤＦ ｜ － ｜ＣＦ ｜ ＝ ｘ２ ．
所以 ｜ ＡＢ ｜· ｜ＣＤ ｜ ＝ ｘ１ｘ２ ＝ １．
综上， ｜ ＡＢ ｜· ｜ＣＤ ｜的值为 １．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
(共29张PPT)
统一命题、省(区、市)卷题组
1.(2019课标全国Ⅱ理改编,8,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆?+?=1的一个焦点,则p
= ????.
五年高考
答案 8
解析 本题考查椭圆与抛物线的几何性质;考查运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.
∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为?,
∴由已知得椭圆?+?=1的一个焦点为?,
∴3p-p=?,又p>0,∴p=8.
思路分析 利用抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,建立关于p的方程,解方程得p的值.
2.(2018课标全国Ⅰ理改编,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为?的直线与C
交于M,N两点,则?·?= ????.
答案 8
解析 本题主要考查直线与抛物线的位置关系及平面向量的数量积的运算.
设M(x1,y1),N(x2,y2).由已知可得直线的方程为y=?(x+2),即x=?y-2,由?得y2-6y+8=0.
由根与系数的关系可得y1+y2=6,y1y2=8,∴x1+x2=?(y1+y2)-4=5,x1x2=?=4,∵F(1,0),∴?·?
=(x1-1)·(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=4-5+1+8=8.
3.(2017课标全国Ⅱ文改编,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为?的直线交C于点M(M
在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为 ????.
答案 2?
解析 本题考查抛物线的方程和性质.
因为直线MF的斜率为?,所以直线MF的倾斜角为60°,则∠FMN=60°.由抛物线的定义得|MF|=
|MN|,所以△MNF为等边三角形.过F作FH⊥MN,垂足为H.易知F(1,0),l的方程为x=-1,所以|OF|=
1,|NH|=2,所以|MF|=?+2,即|MF|=4,所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|sin 60°=4×?=2?.
?
思路分析 利用抛物线的定义得|MN|=|MF|,从而得△MNF为等边三角形,易得点M到直线NF
的距离等于|FH|,进而得解.
解题反思 涉及抛物线焦点和准线的有关问题,应充分利用抛物线的定义求解.本题中直线的
倾斜角为特殊角60°,通过解三角形更快捷.若联立直线和抛物线的方程求点M的坐标,然后求
点N的坐标和直线NF的方程,再利用点到直线的距离公式求解,运算量会比较大.
4.(2017天津文,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴
的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为 ????.
答案 (x+1)2+(y-?)2=1
解析 本题主要考查抛物线的几何性质,圆的方程以及直线与圆的位置关系.
由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t>0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1,
因为∠FAC=120°,CA⊥y轴,
所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1,
所以OA=?,即t=?,
故圆C的方程为(x+1)2+(y-?)2=1.
?
方法总结 求圆的方程常用的方法是待定系数法,根据题意列出关于三个独立参数a,b,r(或D,
E,F)的方程组,从而得到参数的值,写出圆的方程.若题中涉及直线与圆的位置关系或弦长,常把
圆的方程设为标准形式,同时应考虑数形结合思想的运用.
5.(2016四川改编,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是 ????.
答案 (1,0)
解析 ∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为?,
∴抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0).
6.(2016浙江理,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 ????.
答案 9
解析 设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10,∴x0=9,即点
M到y轴的距离为9.
评析 本题主要考查抛物线的定义以及几何性质,解决本题的关键在于抛物线定义的应用.
名师点睛 当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时,一般会想到转化为抛物线上的点到
准线的距离求解.
7.(2016课标全国Ⅰ改编,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E
两点.已知|AB|=4?,|DE|=2?,则C的焦点到准线的距离为 ????.
答案 4
解析 不妨设C:y2=2px(p>0),A(x1,2?),则x1=?=?,由题意可知|OA|=|OD|,得?+8=?
+5,解得p=4.
评析 本题主要考查抛物线的性质及运算,解题时一定要注意运算的准确性与技巧性.
8.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= ????.
答案 2?
解析 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-?(p>0),故直线x=-?过双曲线x2-y2=1的左焦点(-
?,0),
从而-?=-?,得p=2?.
9.(2019课标全国Ⅰ文,21,12分)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+
2=0相切.
(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径;
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.
解析 本题利用关于原点对称和直线与圆相切,考查圆的方程及圆的几何性质,要求学生具备
较强的直观想象与逻辑推理能力,第(2)问设置开放性问题,考查抛物线的定义与性质.
(1)因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐
标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).
因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|.
由已知得|AO|=2,又?⊥?,
故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.
故☉M的半径r=2或r=6.
(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.
理由如下:
设M(x,y),由已知得☉M的半径为r=|x+2|,|AO|=2,
由于?⊥?,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.
因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.
因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.
10.(2017北京理,18,14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点P(1,1).过点?作直线l与抛物线C交
于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(2)求证:A为线段BM的中点.
解析 本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.
(1)由抛物线C:y2=2px(p>0)过点P(1,1),得p=?.
所以抛物线C的方程为y2=x.
抛物线C的焦点坐标为?,准线方程为x=-?.
(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+?(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).
由?得4k2x2+(4k-4)x+1=0.
则x1+x2=?,x1x2=?.
因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=?x,
点B的坐标为?.
因为y1+?-2x1=?
=?
=?=?=0,
所以y1+?=2x1.
故A为线段BM的中点.
方法总结 在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联
立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.
易错警示 在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty
+n的形式,注意先讨论斜率是不是0.
教师专用题组
1.(2014上海,3,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆?+?=1的右焦点重合,则该抛物线的准线
方程为 ????.
答案????x=-2
解析 ∵c2=9-5=4,∴c=2.
∴椭圆?+?=1的右焦点为(2,0),
∴?=2,即p=4.
∴抛物线的准线方程为x=-2.
2.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a
点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则?= ????.
?
答案 1+?
解析 |OD|=?,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,
故C?,F?,
因为抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,
从而有?即?
∴b2=a2+2ab,∴?-2·?-1=0,
又?>1,∴?=1+?.
3.(2014课标全国Ⅱ改编,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C
于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 ????.
答案?????
解析 易知直线AB的方程为y=??,与y2=3x联立并消去x得4y2-12?y-9=0.设A(x1,y1),B(x
2,y2),则y1+y2=3?,y1y2=-?.S△OAB=?|OF|·|y1-y2|=?×??=??=?.
4.(2013江西,14,5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线?-?=1相交于A,B两点,若
△ABF为等边三角形,则p= ????.
答案 6
解析 如图,在正三角形ABF中,DF=p,BD=?p,∴B点坐标为?.又点B在双曲线上,故
?-?=1,解得p=6.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点一 抛物线的定义和标准方程
1.(2019如皋检测,2)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2-?=1的右焦点为F,则以F为焦点的抛物
线的标准方程是 ????.
答案????y2=8x
解析 双曲线x2-?=1的右焦点为F(2,0),则可设抛物线方程为y2=2px(p>0),因为焦点为F(2,0),
所以?=2,所以所求的抛物线的标准方程是y2=8x.
2.(2019如皋期末,5)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线?-y2=1的左准线与抛物线y2=mx的准
线重合,则m的值为 ????.
答案 6
解析 由?-y2=1,可得a2=3,b2=1,∴c=2,
∴双曲线的左准线为x=-?,又抛物线y2=mx的准线为x=-?,∴-?=-?,解得m=6.
思路分析 由题意得出双曲线的左准线为x=-?,抛物线的准线为x=-?,直接计算可得结果.
3.(2019扬州期中,8)在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的
距离为4,则该抛物线的准线方程为 ????.
答案????x=-3
解析 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-?,由抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的
距离相等,得1+?=4,解得p=6,所以准线方程为x=-3.
4.(2019无锡期末,8)以双曲线?-?=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是 ????.
答案????y2=12x
解析 双曲线中,c=?=3,所以右焦点为F(3,0),
抛物线的焦点也为(3,0),所以?=3,所以p=6,
所以抛物线的标准方程为y2=12x.
5.(2017扬州期中)抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=-?,则抛物线的方程为 ????.
答案????x2=2y
解析 由准线y=-?得?=?,即p=1,所以所求抛物线的方程为x2=2y.
考点二 抛物线的几何性质
1.(2019镇江期末,6)抛物线y2=8x的焦点到双曲线?-?=1渐近线的距离为 ????.
答案?????
解析 抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),
双曲线?-?=1的一条渐近线为3x-4y=0,
则焦点到渐近线的距离d=?=?.
2.(2019泰州期末,8)若抛物线y2=2px(p>0)的准线与双曲线x2-y2=1的一条准线重合,则p= ????
????.
答案?????
解析 双曲线中,c=?,
所以双曲线的准线为x=±?=±?,
抛物线的开口向右,准线为x=-?,
所以-?=-?,解得p=?.
填空题(每小题5分,共35分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：20分钟 分值：30分)
1.(2017南京、盐城二模,8)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物
线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率k=-?,则线段PF的长为 ????.
答案 6
解析 由题意可设P(x,?)(x>0),则A?,由题意易得F?,∴kAF=?=-?,解得x=?,
由抛物线定义可得|PF|=x+?=?+?=6.
思路分析 求抛物线上一点到焦点的距离,由抛物线定义知只要求出该点的横坐标即可.设P
(x,?)(x>0),则A?-?,??,易得F?,由kAF=-?可求得x,进而求解.
2.(2019金陵中学调研,6)已知抛物线y2=4x上的点P到原点O的距离等于P到焦点F的距离,则线
段PF的长为 ????.
答案?????
解析 因为抛物线y2=4x上的点P到原点O的距离等于P到焦点F的距离,所以点P在OF的中垂
线上,则P点的横坐标为?,根据抛物线定义知|PF|等于P点到准线的距离,所以|PF|=?+1=?.
3.(2019南通、扬州、泰州、苏北四市七市一模,8)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px
(p>0)的准线为l,直线l与双曲线?-y2=1的两条渐近线分别交于A,B两点,|AB|=?,则p的值为????
????.
答案 2?
解析 双曲线?-y2=1的渐近线方程为y=±?x,
抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-?,
由对称性,不妨取A、B两点坐标分别为?,?,
所以|AB|=2·?=?,则p=2?.
4.(2019天一中学期初,6)已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线
焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为 ????.
答案?????
解析 ∵y2=4x,∴p=2,焦点坐标为(1,0),
过点P作准线的垂线PM交准线于M,则PF=PM,
依题意可知当P,Q,M三点共线且点P在中间时,距离之和最小,如图,
此时,P的纵坐标为-1,代入抛物线方程求得x=?.∴P点坐标为?.
?
思路分析 先根据抛物线方程求出焦点坐标,再由抛物线的性质知,当P,Q,M三点共线且点P在
中间时距离之和最小,进而先求出纵坐标的值,代入抛物线方程中可求得横坐标的值,从而得到
答案.
5.(2018镇江期末统考,12)已知点P(1,0),直线l:y=x+t与函数y=x2的图象相交于A、B两点,当?·
?取最小值时,直线l的方程为 ????.
答案????x-y+?=0
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立?消去y,得x2-x-t=0,∴x1+x2=1,x1x2=-t,Δ>0?t>-?.
?·?=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2
=2x1x2+(t-1)(x1+x2)+t2+1=t2-t.
所以t=?时,?·?取最小值,
此时直线方程为x-y+?=0.
6.(2018海安中学、金陵中学等5月模拟,14)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px的上半支(y
≥0)与圆(x-2)2+y2=3相交于A,B两点,直线y=x恰好经过线段AB的中点,则p的值为 ????.
答案?????
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立?得x2+2(p-2)x+1=0.
则?=2-p,x1x2=1,
由?+?=(y1+y2)2-2y1y2=2p(x1+x2),且y1+y2=x1+x2,
得y1y2=4(2-p)(1-p).
又??=4p2x1x2=4p2,
所以y1y2=2p=8-12p+4p2,
解得p=?或p=?.
由x1+x2=4-2p>0,知p<2,所以p=?.
１１６ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§ １４．２ 双曲线及其性质
对应学生用书起始页码 Ｐ１９９
考点一 双曲线的定义和标准方程 高频考点
１．双曲线的基本知识
定义
（１）定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为
正常数（小于两定点间距离） 的动点轨迹叫做双
曲线．
（２）双曲线的定义用式子表示为 ｜ ｜ＭＦ１ ｜ － ｜ＭＦ２ ｜ ｜ ＝
２ａ，其中 ２ａ＜ ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ ．
（３）当 ｜ＭＦ１ ｜ － ｜ＭＦ２ ｜ ＝ ２ａ 时，曲线仅表示焦点 Ｆ２ 所
对应的双曲线的一支；当 ｜ＭＦ１ ｜ － ｜ＭＦ２ ｜ ＝ －２ａ 时，曲
线仅表示焦点 Ｆ１ 所对应的双曲线的一支；当 ２ａ ＝
｜Ｆ１Ｆ２ ｜时，轨迹为分别以 Ｆ１、Ｆ２ 为端点的两条射线；
当 ２ａ＞ ｜Ｆ１Ｆ２ ｜时，动点轨迹不存在
图形
标准方程
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ １
（ａ＞０，ｂ＞０）
ｙ２
ａ２
－ ｘ
２
ｂ２
＝ １
（ａ＞０，ｂ＞０）
２．（１）等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴
双曲线．
（２）等轴双曲线?离心率 ｅ＝ ２?两条渐近线互相垂直（位
置关系） ．
３．双曲线
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）的共轭双曲线的方程为
ｙ２
ｂ２
－
ｘ２
ａ２
＝ １，它们有共同的渐近线 ｙ ＝ ±
ｂ
ａ
ｘ，它们的离心率 ｅ１、ｅ２ 满足
的关系式为
１
ｅ２１
＋ １
ｅ２２
＝ １．
考点二 双曲线的几何性质 高频考点
１．双曲线的简单几何性质
标准方程
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）
ｙ２
ａ２
－ ｘ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）
几
何
性
质
范围 ｜ ｘ ｜≥ａ ｜ ｙ ｜≥ａ
焦点 Ｆ１（－ｃ，０）、Ｆ２（ｃ，０） Ｆ１（０，－ｃ）、Ｆ２（０，ｃ）
顶点 Ａ１（－ａ，０）、Ａ２（ａ，０） Ａ１（０，－ａ）、Ａ２（０，ａ）
对称性 关于 ｘ 轴、ｙ 轴对称，关于原点对称
实、虚轴长 实轴长为 ２ａ，虚轴长为 ２ｂ
离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 ｅ＝
ｃ
ａ
渐近线
方程
ｙ＝±
ｂ
ａ
ｘ ｙ＝±
ａ
ｂ
ｘ
准线方程 ｘ＝±
ａ２
ｃ
ｙ＝±
ａ２
ｃ
２．ＡＢ 为双曲线
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）的弦．设直线 ＡＢ 的斜
率存在，为 ｋ（ｋ≠０），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），弦中点Ｍ（ｘ０，ｙ０） ．
（１）弦长 ｌ＝ ｜ ｘ１－ｘ２ ｜ １＋ｋ２ ＝ ｜ ｙ１－ｙ２ ｜ １＋
１
ｋ２
（ｋ≠０）；
（２）ｋ＝
ｂ２ｘ０
ａ２ｙ０
；
（３）直线 ＡＢ 的方程为 ｙ－ｙ０ ＝
ｂ２ｘ０
ａ２ｙ０
（ｘ－ｘ０）；
（４）线段 ＡＢ 的垂直平分线方程为 ｙ－ｙ０ ＝－
ａ２ｙ０
ｂ２ｘ０
（ｘ－ｘ０） ．
３．与双曲线
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）有共同渐近线的双曲线方
程为
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ ｋ（ｋ≠０） ．
４．以直线
ｘ
ａ
±
ｙ
ｂ
＝ ０（ ａ＞ ０，ｂ＞ ０） 为渐近线的双曲线方程
为
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ ｋ（ｋ≠０） ．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
第十四章 圆锥曲线与方程 １１７
对应学生用书起始页码 Ｐ２００
一、双曲线定义和标准方程有关问题的解题策略
１．涉及双曲线上的点到焦点的距离问题（可能到一个焦点
的距离）常常用到定义，主动联想定义．
２．双曲线的标准方程是根据双曲线的定义，通过建立恰当
的坐标系求出的．若已知所求曲线是双曲线，也可利用待定系数
法求方程．参数 ｂ 是根据进一步化简方程的需要而引入的，但它
同样具有明确的几何意义，即 ｂ 表示双曲线虚半轴的长．由双曲
线的标准方程可确定双曲线实半轴长 ａ 和虚半轴长 ｂ，再结合 ｃ２
＝ａ２＋ｂ２ 就可得到双曲线的焦点坐标，实轴、虚轴长，焦距，离心
率，渐近线等．
３．双曲线标准方程的求解步骤
定位置 根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上
设方程
↓
根据焦点位置，设方程为
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ １ 或
ｙ２
ａ２
－
ｘ２
ｂ２
＝ １（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０），焦点位置不确定时，可
设为 ｍｘ２ ＋ ｎｙ２ ＝ １（ｍ·ｎ ＜ ０）
寻关系
↓
根据已知条件列出关于 ａ，ｂ（或 ｍ，ｎ）的方程组
得方程
↓ 解方程组，将 ａ，ｂ（或 ｍ，ｎ）代入所设方程即为
所求
（１）（２０１６ 浙江，１３，４ 分）设双曲线 ｘ２ －
ｙ２
３
＝ １ 的左，右
焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２ ．若点 Ｐ 在双曲线上，且△Ｆ１ＰＦ２ 为锐角三角
形，则 ｜ＰＦ１ ｜ ＋ ｜ＰＦ２ ｜的取值范围是 ．
（２）设双曲线与椭圆
ｘ２
２７
＋ ｙ
２
３６
＝ １ 有共同的焦点，且与椭圆相
交，其中一个交点的坐标为（ １５ ，４），则此双曲线的标准方程
是 ．
解析 （１）△ＰＦ１Ｆ２ 为锐角三角形，不妨设 Ｐ 在第一象
限，Ｐ 点在 Ｐ１ 与 Ｐ２ 之间运动（如图） ．
当 Ｐ 在 Ｐ１ 点处时，∠Ｆ１Ｐ１Ｆ２ ＝ ９０°，
Ｓ△Ｐ１Ｆ１Ｆ２ ＝
１
２
｜Ｆ１Ｆ２ ｜· ｜ ｙＰ１ ｜ ＝
１
２
｜Ｐ１Ｆ１ ｜· ｜Ｐ１Ｆ２ ｜ ．
由 ｜Ｐ１Ｆ１ ｜ ２＋ ｜Ｐ１Ｆ２ ｜ ２ ＝ ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ ２， ｜Ｐ１Ｆ１ ｜ － ｜Ｐ１Ｆ２ ｜ ＝ ２，
得 ｜Ｐ１Ｆ１ ｜· ｜Ｐ１Ｆ２ ｜ ＝ ６，
此时 ｜ＰＦ１ ｜ ＋ ｜ＰＦ２ ｜ ＝ ２ ７ ．
当 Ｐ 在 Ｐ２ 点处时，∠Ｐ２Ｆ２Ｆ１ ＝ ９０°，
∴ ｘＰ２ ＝ ２，易知 ｙＰ２ ＝ ３，
此时 ｜ＰＦ１ ｜ ＋ ｜ＰＦ２ ｜ ＝ ２ ｜ＰＦ２ ｜ ＋２＝ ８．
∴ 当△ＰＦ１Ｆ２ 为锐角三角形时， ｜ＰＦ１ ｜ ＋ ｜ＰＦ２ ｜∈（２ ７ ，８） ．
（２）解法一：椭圆
ｘ２
２７
＋ ｙ
２
３６
＝ １ 的焦点坐标是（０，±３） ．设双曲
线方程为
ｙ２
ａ２
－ ｘ
２
ｂ２
＝ １（ ａ ＞ ０， ｂ ＞ ０），根据双曲线的定义知 ２ａ ＝
｜ （ １５ －０） ２＋（４－３） ２ － （ １５ －０） ２＋（４＋３） ２ ｜ ＝ ４，故 ａ＝ ２．又
ｂ２ ＝ ３２－ａ２ ＝ ５，故所求双曲线的标准方程为
ｙ２
４
－ ｘ
２
５
＝ １．
解法二：椭圆
ｘ２
２７
＋ ｙ
２
３６
＝ １ 的焦点坐标是（０，±３） ．设双曲线方
程为
ｙ２
ａ２
－ ｘ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞０，ｂ＞０），则 ａ２ ＋ｂ２ ＝ ９①，又点（ １５ ，４）在双
曲线上，所以
１６
ａ２
－１５
ｂ２
＝ １②，联立①②解得 ａ２ ＝ ４，ｂ２ ＝ ５．故所求双
曲线的标准方程为
ｙ２
４
－ ｘ
２
５
＝ １．
解法三：设双曲线的方程为
ｘ２
２７－λ
＋ ｙ
２
３６－λ
＝ １（２７＜λ＜３６），
由于双曲线过点（ １５ ，４），故
１５
２７－λ
＋ １６
３６－λ
＝ １，
解得 λ１ ＝ ３２，λ２ ＝ ０，
经检验，λ１ ＝ ３２，λ２ ＝ ０ 都是分式方程的根，但 λ＝ ０ 不符合题
意，应舍去，所以 λ＝ ３２．
故所求双曲线的标准方程为
ｙ２
４
－ ｘ
２
５
＝ １．
答案 （１）（２ ７ ，８） （２）
ｙ２
４
－ ｘ
２
５
＝ １
１－１ 设动圆 Ｃ 与两圆 Ｃ１：（ ｘ＋ ５ ） ２ ＋ｙ２ ＝ ４，Ｃ２：（ ｘ－ ５ ） ２ ＋
ｙ２ ＝ ４ 中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心 Ｃ 的轨迹方程
为 ．
１－１ 答案
ｘ２
４
－ｙ２ ＝ １
解析 设圆 Ｃ 的圆心 Ｃ 的坐标为（ｘ，ｙ），半径为 ｒ，由题设
知 ｒ＞２，
于是有
｜ＣＣ１ ｜ ＝ ｒ＋２，
｜ＣＣ２ ｜ ＝ ｒ－２
{ 或 ｜ＣＣ１ ｜ ＝ ｒ－２，｜ＣＣ２ ｜ ＝ ｒ＋２，{
∴ ｜ ｜ＣＣ１ ｜ － ｜ＣＣ２ ｜ ｜ ＝ ４＜２ ５ ＝ ｜ Ｃ１Ｃ２ ｜ ，即圆心 Ｃ 的轨迹是以
Ｃ１，Ｃ２ 为焦点，４ 为实轴长的双曲线，
∴ 轨迹方程为
ｘ２
( ４２ )
２－
ｙ２
（ ５ ） ２－ ( ４２ )
２ ＝ １，即
ｘ２
４
－ｙ２ ＝ １．
１－２ 已知 Ａ、Ｂ 分别是双曲线 ｘ２ －
ｙ２
３
＝ １ 的左、右焦点，
△ＡＢＣ 的顶点 Ｃ 在双曲线的右支上，则
ｓｉｎ Ａ－ｓｉｎ Ｂ
ｓｉｎ Ｃ
＝ ．
１－２ 答案 －
１
２
解析 如图，由条件可知 ＡＣ－ＢＣ ＝ ２，ＡＢ ＝ ４．在△ＡＢＣ 中，
ＢＣ
ｓｉｎ Ａ
＝ ＡＢ
ｓｉｎ Ｃ
＝ ＡＣ
ｓｉｎ Ｂ
，所以
ｓｉｎ Ａ－ｓｉｎ Ｂ
ｓｉｎ Ｃ
＝ＢＣ
－ＡＣ
ＡＢ
＝－ ２
４
＝ － １
２
．
１－３ 与双曲线
ｘ２
９
－ ｙ
２
１６
＝ １ 有共同的渐近线，且过点（ －３，
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
１１８ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
２ ３ ）的双曲线方程是 ．
１－３ 答案
ｘ２
９
４
－ ｙ
２
４
＝ １
解析 解法一：由题意可设双曲线的方程为
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ
＞０，ｂ＞０），
由题意，得
ｂ
ａ
＝ ４
３
，
（－３） ２
ａ２
－（２ ３ ）
２
ｂ２
＝ １，
ì
?
í
?
?
??
解得 ａ２ ＝
９
４
，ｂ２ ＝ ４．
所以双曲线的方程为
ｘ２
９
４
－ ｙ
２
４
＝ １．
解法二：设双曲线的方程为
ｘ２
９
－ ｙ
２
１６
＝λ（λ≠０） ．
∵ 双曲线过点（－３，２ ３ ），
∴
（－３） ２
９
－（２ ３ ）
２
１６
＝λ，
∴ λ＝
１
４
，故双曲线方程为
ｘ２
９
４
－ ｙ
２
４
＝ １．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
二、求双曲线离心率或其取值范围的方法
１．在解析几何中，解决求范围问题，一般可从以下几个方面
考虑：①与已知范围联系，通过求函数值域或解不等式来完成；
②通过一元二次方程的根的判别式的符号建立不等关系；
③利用点在曲线内部建立不等关系；④利用解析式的结构特点，
如 ａ２， ｜ ａ ｜ ， ａ等的非负性来完成范围的求解．
２．求双曲线离心率或其范围的常用方法
（１）求 ａ 及 ｂ 或 ｃ 的值，由 ｅ２ ＝
ｃ２
ａ２
＝ ａ
２＋ｂ２
ａ２
＝ １＋
ｂ２
ａ２
求 ｅ．
（２）列出含有 ａ，ｂ，ｃ 的齐次方程（或不等式），借助于 ｂ２ ＝ ｃ２
－ａ２ 消去 ｂ，然后转化成关于 ｅ 的方程（或不等式）求解．
（１）双曲线
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞１，ｂ＞０）的焦距为 ２ｃ，直线 ｌ
过点（ａ，０）和（０，ｂ），且点（１，０）到直线 ｌ 的距离与点（－１，０）到
直线 ｌ 的距离之和 ｓ≥
４
５
ｃ，则双曲线的离心率 ｅ 的取值范围
是 ．
（２）（２０１９ 扬州期末，９）在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中，已知双
曲线
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）的一条渐近线方程为 ｘ－２ｙ ＝ ０，则该
双曲线的离心率为 ．
（３）过双曲线 Ｃ：
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）的一个焦点作圆 ｘ２ ＋
ｙ２ ＝ａ２ 的两条切线，切点分别为 Ａ，Ｂ．若∠ＡＯＢ ＝ １２０°（Ｏ 是坐标
原点），则双曲线 Ｃ 的离心率为 ．
（４）设 Ｆ１、Ｆ２ 分别是双曲线
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）的左、右
焦点，若双曲线上存在点 Ａ，使∠Ｆ１ＡＦ２ ＝ ９０°，且 ｜ ＡＦ１ ｜ ＝ ３ ｜ ＡＦ２ ｜ ，
则双曲线的离心率为 ．
解析 （１）由题意知直线 ｌ 的方程为
ｘ
ａ
＋ ｙ
ｂ
＝ １，即 ｂｘ＋ａｙ
－ａｂ＝ ０．由点到直线的距离公式及 ａ＞１，ｂ＞０ 得，点（１，０）到直线 ｌ
的距离 ｄ１ ＝
ｂ（ａ－１）
ａ２＋ｂ２
，点（－１，０）到直线 ｌ 的距离 ｄ２ ＝
ｂ（ａ＋１）
ａ２＋ｂ２
，
故 ｓ＝ｄ１＋ｄ２ ＝
２ａｂ
ａ２＋ｂ２
＝ ２ａｂ
ｃ
，
由 ｓ≥
４
５
ｃ，得
２ａｂ
ｃ
≥
４
５
ｃ，
即 ５ａ· ｃ２－ａ２ ≥２ｃ２，
于是 ５ ｅ２－１≥２ｅ２，
即 ４ｅ４－２５ｅ２＋２５≤０，
得
５
４
≤ｅ２≤５．
又 ｅ＞１，所以双曲线的离心率 ｅ 的取值范围是
５
２
≤ｅ≤ ５ ．
（２）
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ １ 的渐近线方程为 ｙ＝ ±
ｂ
ａ
ｘ，所以
ｂ
ａ
＝ １
２
，所以
ｅ＝
ｃ
ａ
＝ ａ
２＋ｂ２
ａ
＝ １＋
ｂ
ａ( )
２
＝ ５
２
．
（３）如图，不妨设双曲线的右焦点为 Ｆ，则在△ＡＯＦ 中，ＯＡ＝
ａ，ＯＦ＝ ｃ，∠ＦＯＡ＝ ６０°，所以 ｃ＝ ２ａ，所以 ｅ＝
ｃ
ａ
＝ ２．
（４）由双曲线的定义知 ｜ ｜ ＡＦ１ ｜ － ｜ ＡＦ２ ｜ ｜ ＝ ２ａ，因为 ｜ ＡＦ１ ｜ ＝
３ ｜ ＡＦ２ ｜ ，所以 ｜ ＡＦ１ ｜ ＝ ３ａ， ｜ ＡＦ２ ｜ ＝ａ．
因为∠Ｆ１ＡＦ２ ＝ ９０°，所以 ｜ ＡＦ１ ｜ ２ ＋ ｜ ＡＦ２ ｜ ２ ＝ ｜ Ｆ１Ｆ２ ｜ ２ ＝ ４ｃ２，所
以 ９ａ２＋ａ２ ＝ ４ｃ２，即
ｃ２
ａ２
＝ １０
４
，所以 ｅ＝
１０
２
．
答案 （１）
５
２
≤ｅ≤ ５ （２）
５
２
（３）２ （４）
１０
２
２－１ （２０１８ 江苏高邮中学阶段考试，９）如图所示，Ｆ１ 和 Ｆ２
是双曲线
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）的两个焦点，Ａ 和 Ｂ 是以 Ｏ 为圆
心、ＯＦ１ 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△Ｆ２ＡＢ 是
等边三角形，则该双曲线的离心率为 ．
２－１ 答案 ３ ＋１
解析 由题意得 ｜ ＡＦ２ ｜ ＝ ｜ Ｆ１Ｆ２ ｜ ·ｃｏｓ ３０° ＝ ３ ｃ， ｜ ＡＦ１ ｜ ＝
｜Ｆ１Ｆ２ ｜·ｓｉｎ ３０° ＝ ｃ．由双曲线的定义得 ｜ ＡＦ２ ｜ － ｜ ＡＦ１ ｜ ＝ ２ａ，即 ２ａ
＝（ ３ －１）ｃ，∴ ｅ＝
ｃ
ａ
＝ ２
３ －１
＝ ３ ＋１．
２－２ 点 Ｆ 是双曲线
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）的左焦点，点 Ｅ
是该双曲线的右顶点，过 Ｆ 且垂直于 ｘ 轴的直线与双曲线交于
Ａ、Ｂ 两点，若△ＡＢＥ 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 ｅ 的取
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
第十四章 圆锥曲线与方程 １１９
值范围是 ．
２－２ 答案 （１，２）
解析 不妨令 Ａ 在 ｘ 轴上方．如图．
由题意知 Ａ 点的纵坐标为
ｂ２
ａ
，∵ △ＡＢＥ 是锐角三角形，
∴ ∠ＡＥＦ＜４５°，∴ ｔａｎ∠ＡＥＦ＝
ｂ２
ａ
ａ＋ｃ
＜１，则 ｃ２－ａｃ－２ａ２＜０，∴ ｅ２ －ｅ－２＜
０，∴ －１＜ｅ＜２．又 ｅ＞１，∴ １＜ｅ＜２．
２－３ 已知双曲线 Ｅ：
ｘ２
ａ２
－ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）的左、右焦点分
别为 Ｆ１、Ｆ２， ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ ＝ ６，Ｐ 是 Ｅ 右支上的一点，ＰＦ１ 与 ｙ 轴交于点
Ａ，△ＰＡＦ２ 的内切圆与 ＡＦ２ 切于点 Ｑ．若 ｜ ＡＱ ｜ ＝ ３ ，则 Ｅ 的离心
率是 ．
２－３ 答案 ３
解析 如图所示，设 ＰＦ１、ＰＦ２ 分别与△ＰＡＦ２ 的内切圆切
于点 Ｍ、Ｎ，依题意，有 ｜ ＭＡ ｜ ＝ ｜ ＡＱ ｜ ， ｜ ＮＰ ｜ ＝ ｜ ＭＰ ｜ ， ｜ ＮＦ２ ｜ ＝
｜ＱＦ２ ｜ ， ｜ ＡＦ１ ｜ ＝ ｜ ＡＦ２ ｜ ＝ ｜ ＱＡ ｜ ＋ ｜ ＱＦ２ ｜ ， ２ａ ＝ ｜ ＰＦ１ ｜ － ｜ ＰＦ２ ｜ ＝
（ ｜ ＡＦ１ ｜ ＋ ｜ＭＡ ｜ ＋ ｜ＭＰ ｜ ） －（ ｜ ＮＰ ｜ ＋ ｜ ＮＦ２ ｜ ） ＝ ２ ｜ ＱＡ ｜ ＝ ２ ３ ，故 ａ ＝
３ ，从而 ｅ＝
ｃ
ａ
＝ ３
３
＝ ３ ．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
(共70张PPT)
五年高考
A组????自主命题·江苏卷题组
1.(2019江苏,7,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-?=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的
渐近线方程是 ????.
答案????y=±?x
解析 本题主要考查双曲线渐近线方程,考查了运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.
由双曲线x2-?=1(b>0)经过点(3,4),得9-?=1,
解得b=±?,又b>0,所以b=?,
易知双曲线的焦点在x轴上,
故双曲线的渐近线方程为y=±?x=±?x.
2.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线?-?=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一
条渐近线的距离为?c,则其离心率的值是 ????.
答案 2
解析 本题考查双曲线的性质.
双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为?=?c,∴b=?
c,∴b2=?c2,又b2=c2-a2,∴c2=4a2,∴e=?=2.
3.(2017江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线?-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别
交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是 ????.
答案 2?
解析 本题考查双曲线的性质及应用.
由?-y2=1得右准线方程为x=?,
渐近线方程为y=±?x,|F1F2|=4,
不妨设P在x轴上方,则P?,Q?,
∴?=2×?×4×?=2?.
4.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线?-?=1的焦距是 ????.
答案 2?
解析 由?-?=1,得a2=7,b2=3,所以c2=10,c=?,所以2c=2?.
5.(2015江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直
线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为 ????.
答案?????
解析 双曲线x2-y2=1的一条渐近线为直线y=x,显然直线y=x与直线x-y+1=0平行,且两直线之间
的距离为?=?.因为点P为双曲线x2-y2=1的右支上一点,所以点P到直线y=x的距离恒
大于0,结合图形可知点P到直线x-y+1=0的距离恒大于?,结合已知可得c的最大值为?.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.(2019课标全国Ⅲ理改编,10,5分)双曲线C:?-?=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O
为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为 ????.
答案?????
解析 本题考查双曲线的标准方程和几何性质,通过双曲线的渐近线考查了数形结合的思想
方法.考查的核心素养是数学运算.
由双曲线的方程为?-?=1,知a=2,b=?,故c=?=?,渐近线的方程为y=±?x.
不妨设点P在第一象限,作PQ⊥OF于Q,如图,
∵|PO|=|PF|,∴Q为OF的中点,∴|OQ|=?.
?
令∠POF=θ,由tan θ=?得|PQ|=|OQ|tan θ=?×?=?.
∴△PFO的面积S=?|OF|·|PQ|=?×?×?=?.
解题关键 求等腰△PFO底边上的高是解题的关键.掌握双曲线的方程和几何性质是解题的
基础和保证.
2.(2018天津文改编,7,5分)已知双曲线?-?=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴
的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,
则双曲线的方程为 ????.
答案?????-?=1
解析 本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用.
∵双曲线?-?=1(a>0,b>0)的离心率为2,
∴e2=1+?=4,∴?=3,即b2=3a2,∴c2=a2+b2=4a2,
不妨设点A(2a,3a),B(2a,-3a),
∵?=3,∴渐近线方程为y=±?x,
则点A与点B到直线?x-y=0的距离分别为d1=?=?a,d2=?=?a,又
∵d1+d2=6,∴?a+?a=6,解得a=?,∴b2=9.∴双曲线的方程为?-?=1.
方法归纳 求双曲线标准方程的方法:
(1)定义法:根据题目条件求出a,b的值,即可求得方程.
(2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条
件构造关于参数a,b的方程组,解出a,b的值,即可求得方程.
3.(2017课标全国Ⅲ理改编,5,5分)已知双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=?x,
且与椭圆?+?=1有公共焦点,则C的方程为 ????.
答案?????-?=1
解析 本题考查求解双曲线的方程.
由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为?-?=k(k>0),即?-?=1,∵双曲线与椭圆?+?
=1有公共焦点,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为?-?=1.
一题多解 ∵椭圆?+?=1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆?+?=1有公共焦点,
∴a2+b2=(±3)2=9①,
∵双曲线的一条渐近线为y=?x,∴?=?②,联立①②可解得a2=4,b2=5.∴双曲线C的方程为
?-?=1.
4.(2017天津理改编,5,5分)已知双曲线?-?=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为?.若经过F和
P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 ????.
答案?????-?=1
解析 本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的标准方程.
由离心率为?可知a=b,c=?a,所以F(-?a,0),由题意可知kPF=?=?=1,所以?a=4,
解得a=2?,所以双曲线的方程为?-?=1.
5.(2016天津理改编,6,5分)已知双曲线?-?=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径
长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程
为 ????.
答案?????-?=1
解析 不妨设A(x0,y0)在第一象限,
由题意得?
由①③得?=?,④
所以?=?×?=?,⑤
由②④⑤可得b2=12.
所以双曲线的方程为?-?=1.
评析 本题考查了圆和双曲线的方程与性质,考查了运算求解能力和方程的思想方法.
6.(2015天津改编,6,5分)已知双曲线?-?=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,?),且双曲线的一
个焦点在抛物线y2=4?x的准线上,则双曲线的方程为 ????.
答案?????-?=1
解析 因为点(2,?)在渐近线y=?x上,所以?=?,又因为抛物线的准线为x=-?,所以c=?,
故a2+b2=7,解得a=2,b=?.故双曲线的方程为?-?=1.
考点二 双曲线的性质
1.(2019浙江改编,2,4分)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是 ????.
答案?????
解析 本题考查双曲线的渐近线、离心率;考查学生的运算求解的能力;体现了数学运算的核
心素养.
∵渐近线方程为y=±x,∴a=b,
∴c=?a,∴e=?=?.
解题关键 正确理解双曲线方程与渐近线方程的关系,从而得出a与c的关系.
2.(2019北京文改编,5,5分)已知双曲线?-y2=1(a>0)的离心率是?,则a= ????.
答案?????
解析 本题主要考查双曲线的几何性质,考查学生运算求解的能力以及方程的思想,考查的核
心素养为数学运算.
由题意得e=?=?,又a2+b2=c2,∴?=?=e2-1=4,
∵b2=1,∴a2=?.∵a>0,∴a=?.
易错警示 把双曲线的离心率错认为e=?而出错.
3.(2019天津理改编,5,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线?-?=1(a>0,b>0)
的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为 ????.
答案?????
解析 本题主要考查双曲线的离心率,抛物线焦点坐标与准线方程,通过圆锥曲线的性质考查
学生的运算求解能力,渗透了数学运算的核心素养.
如图,由题意可知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,
?
∵|AB|=4|OF|=4,∴A(-1,2),又点A在直线y=-?x上,
∴2=-?·(-1),∴?=2,
∴双曲线的离心率e=?=?=?.
4.(2019课标全国Ⅱ理改编,11,5分)设F为双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,
以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为 ????.
答案?????
解析 本题考查了双曲线的几何性质以及圆的性质;通过双曲线的离心率考查了学生的运算
求解能力;考查的核心素养为数学运算.
如图,∵|PQ|=|OF|=c,∴PQ过点?.∴P?.
又∵|OP|=a,∴a2=?+?=?,
∴?=2,∴e=?=?.
?
解题关键 由|PQ|=|OF|=c可知PQ过以OF为直径的圆的圆心,进而得到P?是解答本题的
关键.
5.(2019课标全国Ⅰ文改编,10,5分)双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,
则C的离心率为 ????.
答案?????
解析 本题主要考查双曲线的性质,同角三角函数的基本关系式及诱导公式;考查考生的运算
求解能力和逻辑思维能力;考查的核心素养是数学运算.
由双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)可知渐近线方程为y=±?x,由题意知-?=tan 130°,
又tan 130°=-tan 50°,∴?=tan 50°,
∴双曲线的离心率e=?=?=?=?=?=?.
方法总结 求双曲线?-?=1(a>0,b>0)的离心率的常见方法:
(1)定义法:e=?=?;(2)公式法:e=?=?(θ为渐近线的倾斜角);(3)方程思想:利用题
中条件得出关于a,b,c的方程,利用b2=c2-a2转化为关于a,c的方程,最后利用e=?转化为关于e的
方程,从而得出离心率e.
6.(2019课标全国Ⅲ文改编,10,5分)已知F是双曲线C:?-?=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标
原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为 ????.
答案?????
解析 本题主要考查双曲线的定义和标准方程,结合图形考查学生的数据处理能力、运算求
解能力,考查数形结合思想及数学运算的核心素养.
如图,记双曲线的右焦点为F,设左焦点为F',连接PF',PF,
?
由题意得F(3,0),F'(-3,0),
∵|OP|=|OF|=?|FF'|=3,
∴∠F'PF=90°,设|PF'|=m,|PF|=n,
则?故mn=?=10.
∴S△OPF=?S△PF'F=?m·n=?.
解题关键 由于题中条件只涉及一个焦点F,故合理作图标出左、右两焦点F',F,并将双曲线的
定义作为已知条件直接应用是解决本题的关键,利用平面几何知识发现∠F'PF=90°是解决本
题的关键.
7.(2018浙江改编,2,4分)双曲线?-y2=1的焦点坐标是 ????.
答案 (-2,0),(2,0)
解析 本题考查双曲线的标准方程和几何性质.
∵a2=3,b2=1,∴c=?=2.又∵焦点在x轴上,∴双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).
易错警示 求双曲线焦点坐标的易错点
(1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误;
(2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆.
8.(2018课标全国Ⅱ理改编,5,5分)双曲线?-?=1(a>0,b>0)的离心率为?,则其渐近线方程为
????.
答案????y=±?x
解析 本题主要考查双曲线的几何性质.
∵e=?,∴?=?=?=?,
∴双曲线的渐近线方程为y=±?x=±?x.
9.(2017课标全国Ⅱ文改编,5,5分)若a>1,则双曲线?-y2=1的离心率的取值范围是 ????.
答案 (1,?)
解析 本题考查双曲线的方程和性质.
由题意知e=?=?,
因为a>1,所以e又e>1,所以110.(2018课标全国Ⅲ文改编,10,5分)已知双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的离心率为?,则点(4,0)
到C的渐近线的距离为 ????.
答案 2?
解析 本题考查双曲线的几何性质及点到直线的距离公式.
∵e=?=?=?,且a>0,b>0,∴?=1,
∴C的渐近线方程为y=±x,
∴点(4,0)到C的渐近线的距离为?=2?.
11.(2018课标全国Ⅰ理改编,11,5分)已知双曲线C:?-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的
直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|= ????.
答案 3
解析 本题主要考查双曲线的几何性质.
由双曲线C:?-y2=1可知其渐近线方程为y=±?x,∴∠MOx=30°,∴∠MON=60°,不妨设∠OMN
=90°,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,∴|OM|=?,则在Rt△OMN
中,|MN|=|OM|·tan∠MON=3.
?
解题关键 利用双曲线的几何性质求出∠MON的大小及|OM|的值是求解本题的关键.
12.(2018课标全国Ⅲ理改编,11,5分)设F1,F2是双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐
标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=?|OP|,则C的离心率为 ????.
答案?????
解析 本题考查双曲线的几何性质.
点F2(c,0)到渐近线y=?x的距离|PF2|=?=b(b>0),而|OF2|=c,所以在Rt△OPF2中,由勾股定
理可得|OP|=?=a,所以|PF1|=?|OP|=?a.
在Rt△OPF2中,cos∠PF2O=?=?,
在△F1F2P中,
cos∠PF2O=?=?,
所以?=??3b2=4c2-6a2,
则有3(c2-a2)=4c2-6a2,解得?=?(负值舍去),即e=?.
方法总结 求双曲线的离心率的值(或取值范围)
根据题设条件,得出一个关于a,b,c的等式(或不等式),利用c2=a2+b2消去b,转化为关于a、c的等
式(或不等式),即可求得离心率的值(或取值范围).
13.(2017课标全国Ⅰ文改编,5,5分)已知F是双曲线C:x2-?=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴
垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为 ????.
答案?????
解析 本题考查双曲线的几何性质.
易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.
?
∵PF⊥x轴,
∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),
∴|AP|=1,AP⊥PF,
∴S△APF=?×3×1=?.
14.(2017北京文改编,10,5分)若双曲线x2-?=1的离心率为?,则实数m= ????.
答案 2
解析 本题考查双曲线的性质.
由题意知,a2=1,b2=m.
∵e=?=?=?=?,∴m=2.
15.(2017课标全国Ⅱ理改编,9,5分)若双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4
所截得的弦长为2,则C的离心率为 ????.
答案 2
解析 本题主要考查双曲线的方程和性质,直线与圆的位置关系.
由题意可知圆的圆心为(2,0),半径为2.因为双曲线?-?=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±?x,
即bx±ay=0,且双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,所以?=?,所以?=?.
故离心率e=?=2.
方法总结 求双曲线离心率e的常见方法有两种,一是直接法:e=?=?;二是间接法:即由
条件得到关于a、c的等式,再化成关于e的方程求解.
16.(2017课标全国Ⅰ理,15,5分)已知双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为
半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为 ????
????.
答案?????
解析 本题考查双曲线的方程、几何性质以及直线与圆的位置关系,考查学生的运算求解能
力和对数形结合思想的应用能力.
解法一:不妨设点M、N在渐近线y=?x上,如图,△AMN为等边三角形,且|AM|=b,
?
则A点到渐近线y=?x的距离为?b,又将y=?x变形为一般形式为bx-ay=0,则A(a,0)到渐近线bx-
ay=0的距离d=?=?,所以?=?b,即?=?,
所以双曲线离心率e=?=?.
解法二:不妨设点M、N在渐近线y=?x上,如图,作AC垂直于MN,垂足为C,
?
据题意知点A的坐标为(a,0),则|AC|=?=?,在△ACN中,∠CAN=?∠MAN=30°,|AN|=
b,所以cos∠CAN=cos 30°=?=?=?=?=?,所以离心率e=?=?.
17.(2017山东理,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线?-?=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F
的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 ????.
答案????y=±?x
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2).
因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4×?=y1+?+y2+?,即y1+y2=p①.由?消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2
=0,所以y1+y2=?②.由①②可得?=?,故双曲线的渐近线方程为y=±?x.
思路分析 由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y1+y2的值(用p表示).再联立双曲线和抛物
线的方程,消去x得关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得y1+y2.从而得?的值,近而得渐近
线方程.
18.(2016课标全国Ⅱ理改编,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:?-?=1的左,右焦点,点M在E上,MF1
与x轴垂直,sin∠MF2F1=?,则E的离心率为 ????.
答案?????
解析 解法一:由MF1⊥x轴,可得M?,∴|MF1|=?.由sin∠MF2F1=?,可得cos∠MF2F1=
?=?,又tan∠MF2F1=?=?,∴?=?,∴b2=?ac,∵c2=a2+b2?b2=c2-a2,∴c2-a2-
?ac=0?e2-?e-1=0,∴e=?.
解法二:由MF1⊥x轴,得M?,∴|MF1|=?,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+?,又
sin∠MF2F1=?=?=??a2=b2?a=b,∴e=?=?.
解题思路 解法一是利用三角函数的知识求出tan∠MF2F1,得到关于a,b,c的一个等式;解法二
是先由双曲线的定义得出|MF2|,再由sin∠MF2F1=?,得到关于a,b的一个等式,最后求出e.
19.(2016山东,14,5分)已知双曲线E:?-?=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的
中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 ????.
答案 2
解析 由已知得|AB|=|CD|=?,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所以?=6c,2b2=3ac,?
=3e,2(e2-1)=3e,2e2-3e-2=0,解得e=2或e=-?(舍去).
评析 本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB|=3|BC|建立关于离心率e的方程是求解关键.
20.(2016浙江理改编,7,5分)已知椭圆C1:?+y2=1(m>1)与双曲线C2:?-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,
e2分别为C1,C2的离心率,则e1e2与1的大小关系为 ????.
答案????e1e2>1
解析 在椭圆中,a1=m,c1=?,e1=?.在双曲线中,a2=n,c2=?,e2=?.因为c1=c2,
所以n2=m2-2.从而?·?=?=?,令t=m2-1,则t>0,?·?=?>1,即e1e2>1.
评析 本题考查了椭圆、双曲线的方程和基本性质.考查了运算求解能力.
C组 教师专用题组
1.(2015北京,10,5分)已知双曲线?-y2=1(a>0)的一条渐近线为?x+y=0,则a= ????.
答案?????
解析 由双曲线?-y2=1(a>0)知其渐近线方程为y=±?x,又因为a>0,所以?=?,解得a=?.
2.(2015课标全国Ⅰ改编,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:?-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.
若?·?<0,则y0的取值范围是 ????.
答案?????
解析 若?·?=0,则点M在以原点为圆心,半焦距c=?为半径的圆上,则?解得?
=?.可知:?·?<0?点M在圆x2+y2=3的内部??3.(2015课标全国Ⅱ改编,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角
形,且顶角为120°,则E的离心率为 ????.
答案?????
解析 设双曲线E的标准方程为?-?=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一象限内,
则易得M(2a,?a),又M点在双曲线E上,于是?-?=1,解得b2=a2,∴e=?=?.
4.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:?-?=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:
x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为 ????.
答案?????
解析 设点A在点B左侧,抛物线C2的焦点为F,则F?.联立得?和?分别解得
A?,B?.
∵F为△OAB的垂心,∴AF⊥OB,∴kAF·kOB=-1,
即?·?=-1?4b2=5a2?4(c2-a2)=5a2??=?,
∴e=?=?.
评析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质及计算能力.
5.(2015重庆改编,10,5分)设双曲线?-?=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂
线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小
于a+?,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ????.
答案 (-1,0)∪(0,1)
解析 由题意知F(c,0),A(a,0),不妨令B点在第一象限,则B?,C?,kAB=?,∵CD⊥
AB,
∴kCD=?,∴直线CD的方程为y+?=?(x-c).
由双曲线的对称性,知点D在x轴上,得xD=?+c,
则点D到直线BC的距离为c-xD,∴?又该双曲线的渐近线的斜率为?或-?,∴双曲线渐近线斜率的取值范围是(-1,0)∪(0,1).
6.(2014天津改编,5,5分)已知双曲线?-?=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双
曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为 ????.
答案?????-?=1
解析 由题意得?=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线的方程为?-
?=1.
7.(2013江苏,3,5分)双曲线?-?=1的两条渐近线的方程为 ????.
答案????y=±?x
解析?????-?=1的两条渐近线方程为?-?=0,化简得y=±?x.
8.(2013广东理改编,7,5分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于?,则C的
方程是 ????.
答案?????-?=1
解析 由右焦点为F(3,0)可知c=3,又因为离心率等于?,所以?=?,所以a=2.由c2=a2+b2知b2=5,
故双曲线C的方程为?-?=1.
9.(2012江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线?-?=1的离心率为?,则m的值为
????.
答案 2
解析 由题意得?解得m=2.
10.(2011江苏,6,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线?-?=1上一点M,点M的横坐标是3,则M
到双曲线右焦点的距离是 ????.
答案 4
解析 ∵点M在双曲线上,∴?-?=1,则y=±?.
双曲线右焦点坐标为(4,0),则所求距离为?=4.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.(2019南京、盐城期末,6)若双曲线?-?=1的离心率为2,则实数m的值为 ????.
答案 6
解析 因为a2=2,b2=m,e=?=2,所以c2=(2a)2=4a2=8=a2+b2=2+m,所以m=6.
2.(2019扬州期中,10)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线?-?=1的一个焦点为(3,0),则双
曲线的渐近线方程为 ????.
答案????y=±?x
解析 因为焦点(3,0)在x轴上,所以m+m+1=9,所以m=4,所以双曲线方程为?-?=1,所以渐近
线方程为y=±?x.
3.(2018南通调研,7)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C与双曲线x2-?=1有公共的渐近线,
且经过点P(-2,?),则双曲线C的焦距为 ????.
答案 4?
解析 ∵双曲线C与双曲线x2-?=1有公共的渐近线,
∴设双曲线C的方程为x2-?=λ(λ>0),
∵双曲线C经过点P(-2,?),
∴λ=4-1=3.
∴双曲线C的方程为?-?=1.
∴双曲线C的焦距为2×?=4?.
方法点拨 与双曲线?-?=1(a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为?-?=λ(λ>0),
此种方法比用基本量求a,b要简单.
考点二 双曲线的几何性质
1.(2019南京六校联合体联考,2)双曲线?-?=1的渐近线方程是 ????.
答案????y=±?x
解析 令?-?=0,得y=±?x,
∴双曲线?-?=1的渐近线方程为y=±?x.
2.(2019扬州中学检测,5)双曲线?-?=1的两条渐近线的方程为 ????.
答案????y=±?x
解析 ∵a=4,b=3,焦点在x轴上,
∴渐近线方程为y=±?x.
一题多解 求双曲线的渐近线方程也可以直接写成?-?=0,化简即得双曲线的渐近线方程.
3.(2019常州期末,7)已知双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)的离心率为2,直线x+y+2=0经过双曲线C
的焦点,则双曲线C的渐近线方程为 ????.
答案????y=±?x
解析 直线x+y+2=0与x轴的交点为(-2,0),因为
双曲线的焦点在x轴上,直线x+y+2=0经过双曲线C的焦点,所以c=2,
又离心率e=?=2,所以a=1,b=?=?,
所以双曲线C的渐近线方程为y=±?x=±?x.
4.(2019七大市三模,8)在平面直角坐标系xOy中,双曲线?-?=1(a>0,b>0)的右准线与两条渐
近线分别交于A,B两点.若△AOB的面积为?,则该双曲线的离心率为 ????.
答案 2
解析 右准线方程为x=?,与y=?x联立得?
由对称性,不妨取A?,B?,
∴△AOB的面积为?·?·?=?,∴e=2.
评析 本题考查双曲线的性质,根据条件解出右准线与渐近线的交点,得到△AOB的面积即可.
是基础题.
5.(2019扬州期末,9)已知双曲线?-?=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则该双曲线的
离心率为 ????.
答案?????
解析 双曲线?-?=1的渐近线为y=±?x,
所以?=?,离心率e=?=?=?=?.
6.(2019南通期末,7)已知经过双曲线?-?=1的一个焦点,且垂直于实轴的直线l与双曲线交于
A,B两点,则线段AB的长为 ????.
答案 4
解析 ∵a=4,b=2?,∴c=?=2?,
由对称性,不妨取直线l:x=2?,
代入双曲线的方程可得?-?=1,解得y=±2,
∴|AB|=4.
7.(2019苏州期末,7)在平面直角坐标系xOy中,中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线
经过点(-3,1),则该双曲线的离心率为 ????.
答案?????
解析 设双曲线的方程为?-?=1(a>0,b>0),则渐近线方程为y=±?x,
因为双曲线的一条渐近线经过点(-3,1),所以?=1,即b2=9a2,
所以离心率e=?=?=?=?.
易错警示 本题容易把条件看成焦点在x轴上的双曲线而导致错误,要仔细审题.
8.(2018苏锡常镇四市教学情况调查一,3)双曲线?-?=1的渐近线方程为 ????.
答案????y=±?x
解析 解法一:易知a2=4,b2=3,则渐近线方程为y=±?x.
解法二:令?-?=0,得所求的渐近线方程为y=±?x.
填空题(每小题5分,共45分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：25分钟 分值：45分)
1.(2019海安期末,5)在平面直角坐标系xOy中,双曲线?-?=1的一条准线与两条渐近线所围
成的面积为 ????.
答案?????
解析 双曲线的渐近线方程为y=±?x,准线为x=±?,
右准线与渐近线交点为A?,B?,
围成三角形面积S=?×?×?=?.
2.(2019南京三模,10)在平面直角坐标系xOy中,过双曲线?-?=1(a>0,b>0)的右焦点F作一条
渐近线的平行线,交另一条渐近线于点P.若线段PF的中点恰好在此双曲线上,则此双曲线的离
心率为 ????.
答案?????
解析 双曲线的渐近线方程为y=±?x,由对称性,不妨设过F(c,0)的直线为l:y=?(x-c),令?(x-c)=
-?x,解得x=?,代入方程y=-?x得点P?,求得PF的中点M?,代入双曲线方程得
?-?=1,化简得?=2,即e=?=?.
3.(2019南通基地学校3月联考,6)已知双曲线?-?=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距
离为3a,则该双曲线的渐近线方程为 ????.
答案????y=±3x
解析 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b=3a,所以该双曲线的渐近线的斜率为±?=±
3,即y=±3x.
4.(2019天一中学4月检测,6)已知双曲线?-?=1的一条渐近线上的一点P到双曲线中心的距
离为3,则点P到y轴的距离为 ????.
答案?????
解析 双曲线?-?=1的渐近线为y=±?x,
由对称性,不妨设P?(x0>0),则PO=?x0,
∴?x0=3,∴x0=?,
∴P到y轴的距离为?.
5.(2018无锡期末,11)已知双曲线C:?-?=1(a>0,b>0)与椭圆?+?=1的焦点重合,离心率互为
倒数,设F1,F2分别为双曲线C的左,右焦点,P为右支上任意一点,则?的最小值为 ????.
答案 8
解析 由题意得c2=4,c=2.
由离心率互为倒数,得?·?=1?a=1,
由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a?|PF1|=|PF2|+2.
所以?=?=|PF2|+4+?≥2?+4=8.
当且仅当|PF2|=?,即|PF2|=2时取等号.
评析 本题考查双曲线的定义及简单性质,找到等量关系,用基本不等式求出最值即可.
6.(2018扬州期末检测,10)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线?-?=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x
2+y2-6y+5=0没有交点,则双曲线离心率的取值范围是 ????.
答案?????
解析 圆x2+y2-6y+5=0的标准方程为x2+(y-3)2=4,双曲线的渐近线方程为y=±?x,即bx±ay=0,由
条件知圆心到渐近线的距离大于半径,从而有?>2,∴3a>2c,∴e1,∴1心率的取值范围是?.
7.(2017如皋高级中学联考,14)已知F1、F2分别是双曲线?-?=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2
作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点,G是△ABF1的重心,且?·?=0,则双曲线的离心率为????
????.
答案?????
解析 由已知不妨设A在x轴上方,可得A?,B?,
因为F1(-c,0),F2(c,0)从而G?.
由?·?=0可得?·?=0,
所以3c4-10a2c2+3a4=0,即(3e2-1)(e2-3)=0,
可得e2=?(舍去)或e2=3,所以e=?.
8.(2019苏州中学期初,11)如图,双曲线的中心在坐标原点O,A、C分别是双曲线虚轴的上、下
端点,B是双曲线的左顶点,F为双曲线的左焦点,直线AB与FC相交于点D,若双曲线的离心率为
2,则∠BDF的余弦值是 ????.
?
答案?????
解析 ∵e=?=?=2,∴?=?,∴tan∠FBD=tan∠ABO=?,又tan∠BFD=?=?,
∴tan∠BDF=-tan(∠FBD+∠BFD)=-?=3?,
∴cos∠BDF=?.
9.(2019扬州中学3月检测,11)已知双曲线?-?=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,直线
MN过F2,且与双曲线右支交于M、N两点,若cos∠F1MN=cos∠F1F2M,?=?,则双曲线的离心
率等于 ????.
答案 2
解析 ∵cos∠F1MN=cos∠F1F2M,
∴∠F1MN=∠F1F2M,∴|MF1|=|F1F2|=2c,
由双曲线的定义可得|MF2|=|MF1|-2a=2c-2a,
?
∵?=?,∴|NF1|=4c,则|NF2|=4c-2a,
在△MF1F2中,由余弦定理得cos∠F1F2M=?=?,
在△NF1F2中,由余弦定理得cos∠F1F2N=?=?,
∵∠F1F2M+∠F1F2N=π,
∴cos∠F1F2M+cos∠F1F2N=0,
即?+?=0,
整理得2a2+3c2-7ac=0,
∴3e2-7e+2=0,解得e=2或e=?(舍去).
第十四章 圆锥曲线与方程
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
２０１９ 江苏，７ ５ 分 填空题 易 双曲线的几何性质 求双曲线渐近线方程
公式法
直接法
数学运算
２０１９ 江苏，１７ １４ 分 解答题 易 直线与椭圆的位置关系
椭圆的定义、标准方程、
圆的方程、直线与椭
圆的位置关系
直接法
数学运算
直观想象
２０１８ 江苏，８ ５ 分 填空题 易 双曲线的几何性质 求双曲线离心率 直接法 数学运算
２０１８ 江苏，１８ １６ 分 解答题 中
①椭圆的定义和标准方程
②椭圆的几何性质
③直线与椭圆的位置关系
①求圆的方程
②求椭圆的方程
③由直线与椭圆的位
置关系求直线方程
直接法 数学运算
２０１７ 江苏，８ ５ 分 填空题 易 双曲线的几何性质 双曲线的性质及应用 直接法 数学运算
２０１７ 江苏，１７ １４ 分 解答题 易
①椭圆方程
②椭圆的几何性质
①求椭圆方程
②由椭圆的几何
性质求坐标
直接法 数学运算
２０１６ 江苏，３ ５ 分 填空题 易 双曲线的几何性质 已知双曲线方程，求焦距 直接法 数学运算
２０１６ 江苏，１０ ５ 分 填空题 易 椭圆的几何性质 求椭圆的离心率 直接法 数学运算
２０１６ 江苏，２２ １０ 分 解答题 中
①抛物线的方程
②抛物线的几何性质
求抛物线的方程 直接法 数学运算
２０１５ 江苏，１２ ５ 分 填空题 易 双曲线的几何性质 利用双曲线的性质求最值 直接法 数学运算
２０１５ 江苏，１８ １６ 分 解答题 中
①椭圆方程
②直线与椭圆的位置关系
①求椭圆方程
②求椭圆的弦长
直接法 数学运算
命题规律与趋势
０１ 考查内容
考查圆锥曲线的定义与方程、几何性质、直
线与椭圆的位置关系，弦中点，定点与定值
问题，范围问题．
０２ 命题特征
一小一大，一道填空题，难度不大，一道解
答题，在第 １７ 题，难度适中．
０３ 核心素养
以考查数学运算及逻辑推理为主．
０４ 命题趋势
高考中，本章内容题型平稳，填空题考查双
曲线或抛物线的基本概念和几何性质，解
答题考查椭圆的方程和几何性质，直线与
椭圆的位置关系．
０５ 备考建议
１．重视对圆锥曲线定义的理解与应用．一方
面，既要理解圆锥曲线的定义，还要了解
圆锥曲线的其他表现形式；另一方面，要
充分创造条件应用定义；从而简化问题
的求解．
２．总结基本问题的常见算法（通性通法），
如直线与圆锥曲线的交点个数问题，求
交点问题，弦长问题、中点问题等．
３．合理选择解题思路，优化解题过程．
４．适时利用平面几何性质．
第十四章 圆锥曲线与方程 １０９
§ １４．１ 椭圆及其性质
对应学生用书起始页码 Ｐ１８８
考点一 椭圆的定义和标准方程 高频考点
１．椭圆的定义
平面内与两个定点 Ｆ１，Ｆ２ 的距离的和等于常数 （大于
｜Ｆ１Ｆ２ ｜ ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两
焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合 Ｐ＝｛Ｍ（ｘ，ｙ） ｜ ｜ＭＦ１ ｜ ＋ ｜ＭＦ２ ｜ ＝ ２ａ｝， ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ ＝ ２ｃ，其中 ａ
＞０，ｃ＞０，且 ａ，ｃ 为常数：
（１）当 ２ａ＞ ｜Ｆ１Ｆ２ ｜时，Ｐ 点的轨迹是椭圆；
（２）当 ２ａ＝ ｜Ｆ１Ｆ２ ｜时，Ｐ 点的轨迹是线段；
（３）当 ２ａ＜ ｜Ｆ１Ｆ２ ｜时，Ｐ 点不存在．
２．椭圆的标准方程
（１）焦点在 ｘ 轴上的椭圆的标准方程为
ｘ２
ａ２
＋ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０），
焦点在 ｙ 轴上的椭圆的标准方程为
ｘ２
ｂ２
＋ ｙ
２
ａ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０） ．给定椭
圆
ｘ２
ｍ
＋ ｙ
２
ｎ
＝ １，ｍ＞０，ｎ＞０（ｍ≠ｎ），要根据 ｍ、ｎ 的大小来判断焦点
在哪个坐标轴上．
（２）若焦点位置不确定，则可设椭圆方程为 Ａｘ２ ＋Ｂｙ２ ＝ １（Ａ＞
０，Ｂ＞０，且 Ａ≠Ｂ） ．
考点二 椭圆的几何性质 高频考点
１．椭圆的简单几何性质
焦点在 ｘ 轴上 焦点在 ｙ 轴上
标准方程
ｘ２
ａ２
＋ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０）
ｙ２
ａ２
＋ ｘ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０）
图形
焦点坐标 Ｆ１（－ｃ，０），Ｆ２（ｃ，０） Ｆ１（０，－ｃ），Ｆ２（０，ｃ）
顶点坐标
Ａ１（－ａ，０），Ａ２（ａ，０）
Ｂ１（０，－ｂ），Ｂ２（０，ｂ）
Ａ１（０，－ａ），Ａ２（０，ａ）
Ｂ１（－ｂ，０），Ｂ２（ｂ，０）
范围 ｜ ｘ ｜≤ａ， ｜ ｙ ｜≤ｂ ｜ ｘ ｜≤ｂ， ｜ ｙ ｜≤ａ
准线方程 ｘ＝±
ａ２
ｃ
ｙ＝±
ａ２
ｃ
长轴长 ｜Ａ１Ａ２ ｜ ＝ ２ａ
短轴长 ｜Ｂ１Ｂ２ ｜ ＝ ２ｂ
焦距 ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ ＝ ２ｃ
离心率
ｅ＝
ｃ
ａ
＝ １－
ｂ２
ａ２
（０＜ｅ＜１），
ｅ 越接近于 １，椭圆越扁；ｅ 越接近于 ０，椭圆越圆
２．点与椭圆的位置关系
已知点 Ｐ（ｘ０，ｙ０），椭圆
ｘ２
ａ２
＋ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０），则
（１）点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）在椭圆内?
ｘ２０
ａ２
＋
ｙ２０
ｂ２
＜１；
（２）点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）在椭圆上?
ｘ２０
ａ２
＋
ｙ２０
ｂ２
＝ １；
（３）点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）在椭圆外?
ｘ２０
ａ２
＋
ｙ２０
ｂ２
＞１．
若已知点在椭圆上，则把点的坐标代入椭圆方程，可构造关
于一些量的等式；若已知点在椭圆内（外），则把点的坐标代入椭
圆方程，可构造关于一些量的不等式，进而可解决相关的取值范
围或最值问题．
与椭圆有关的常用结论
（１）设 Ｐ，Ａ，Ｂ 是中心在原点的椭圆上不同的三点，其中
Ａ，Ｂ 两点关于原点对称，且直线 ＰＡ、ＰＢ 的斜率都存在，则 ｋＰＡ
·ｋＰＢ ＝－
ｂ２
ａ２
．
（２）Ｐ 是椭圆上一点，Ｆ 为椭圆的焦点，则 ｜ ＰＦ ｜ ∈［ａ－ｃ，ａ
＋ｃ］，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为 ａ＋ｃ，最小值为 ａ
－ｃ；
（３）椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为
２ｂ２
ａ
，通
径是最短的焦点弦；
（４）Ｐ 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，Ｆ１，Ｆ２ 为
椭圆的两焦点，则△ＰＦ１Ｆ２ 的周长为 ２（ａ＋ｃ） ．
（５）椭圆上的点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）与两焦点构成的△ＰＦ１Ｆ２ 称作
焦点三角形．如图．若 ｜ＰＦ１ ｜ ＝ ｒ１， ｜ＰＦ２ ｜ ＝ ｒ２，∠Ｆ１ＰＦ２ ＝ θ，则
①ｃｏｓ θ＝
２ｂ２
ｒ１ ｒ２
－１．
②Ｓ△ＰＦ１Ｆ２ ＝
１
２
ｒ１ ｒ２ｓｉｎ θ ＝
ｓｉｎ θ
１＋ｃｏｓ θ
·ｂ２ ＝ ｂ２·ｔａｎ
θ
２
＝ ｃ ｜ ｙ０ ｜ ，
当 ｜ ｙ０ ｜ ＝ ｂ，即 Ｐ 为短轴端点时，Ｓ△ＰＦ１Ｆ２最大，且最大值为 ｂｃ．
考点三 直线与椭圆的位置关系 高频考点
１．直线与椭圆的位置关系的判断方法
通常将直线 ｌ 的方程 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝ ０（Ａ，Ｂ 不同时为 ０）代入椭
圆 Ｃ 的方程 Ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０，消去 ｙ（也可以消去 ｘ）得到一个关于变
量 ｘ（或变量 ｙ）的一元二次方程．即
Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝ ０，
ｘ２
ａ２
＋ ｙ
２
ｂ２
＝ １，{ 消去 ｙ，得 ｍｘ２
＋ｍｘ＋ｔ＝ ０．设一元二次方程 ｍｘ２ ＋ｎｘ＋ ｔ ＝ ０ 的判别式为 Δ，则 Δ＞０
?直线 ｌ 与椭圆 Ｃ 相交；Δ＝ ０?直线 ｌ 与椭圆 Ｃ 相切；Δ＜０ 直线 ｌ
与椭圆 Ｃ 相离．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
１１０ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
２．弦长公式
设斜率为 ｋ（ｋ≠０）的直线 ｌ 与椭圆 Ｃ 相交于 Ａ，Ｂ 两点，Ａ
（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则 ｜ ＡＢ ｜ ＝ （ｘ１－ｘ２） ２＋（ｙ１－ｙ２） ２ ＝ ｋ２＋１ ｜ ｘ１
－ｘ２ ｜ ＝ ｋ２＋１· （ｘ１＋ｘ２） ２－４ｘ１ｘ２ 或
｜ ＡＢ ｜ ＝ （ｘ１－ｘ２） ２＋（ｙ１－ｙ２） ２ ＝
１
ｋ２
＋１ ｜ ｙ１ － ｙ２ ｜ ＝
１
ｋ２
＋１ ·
（ｙ１＋ｙ２） ２－４ｙ１ｙ２ （ｋ≠０） ．
３．处理中点弦问题的常用方法
（１）点差法：设弦的两端点为 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ ｘ２，ｙ２），则有
ｘ２１
ａ２
＋
ｙ２１
ｂ２
＝ １，
ｘ２２
ａ２
＋
ｙ２２
ｂ２
＝ １，相减得
（ｘ１－ｘ２）（ｘ１＋ｘ２）
ａ２
＋
（ｙ１－ｙ２）（ｙ１＋ｙ２）
ｂ２
＝ ０，
从而有 ｋ＝
ｙ１－ｙ２
ｘ１－ｘ２
＝－ ｂ
２
ａ２
·
ｘ１＋ｘ２
ｙ１＋ｙ２
，式中含有 ｘ１＋ｘ２，ｙ１＋ｙ２，
ｙ１－ｙ２
ｘ１－ｘ２
三个
未知量，这样就直接联系了中点坐标和直线的斜率，借用中点坐
标公式即可求得斜率．
（２）根与系数的关系：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程
组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
注意
中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关
系在解题过程中易漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定
范围方面略显不足．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
对应学生用书起始页码 Ｐ１９０
一、求椭圆的离心率或其取值范围的方法
（１）若给定椭圆的方程，则根据椭圆方程确定 ａ２，ｂ２ 的值，
进而求出 ａ，ｃ 的值，从而利用公式 ｅ＝
ｃ
ａ
直接求解；（２）若椭圆的
方程未知，则根据条件及几何图形建立关于 ａ，ｂ，ｃ 的齐次等式
（或不等式），化为关于 ａ，ｃ 的齐次方程（或不等式），进而化为关
于 ｅ 的方程（或不等式）进行求解．
（２０１５ 重庆理，２１，１２ 分）如图，椭圆
ｘ２
ａ２
＋ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞
０）的左、右焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，过 Ｆ２ 的直线交椭圆于 Ｐ，Ｑ 两点，
且 ＰＱ⊥ＰＦ１ ．
（１）若 ｜ＰＦ１ ｜ ＝ ２＋ ２ ， ｜ＰＦ２ ｜ ＝ ２－ ２ ，求椭圆的标准方程；
（２）若 ｜ＰＦ１ ｜ ＝ ｜ＰＱ ｜ ，求椭圆的离心率 ｅ．
解题导引
（１）
利用椭圆的
定义求得 ａ 值
→ 利用勾股定理求得 ｃ 值 → 求出 ｂ 值
→ 写出椭圆标准方程
（ ２ ） 解 法 一：
设 Ｐ 点
坐标
→
利用两点间距
离公式得 ｜ＰＦ１ ｜
→
利用等腰直角三角形
得 ｜ＱＦ１ ｜ ＝ ２ ｜ＰＦ１ ｜
→
由△ＰＦ１Ｑ 的周长
为 ４ａ 建立方程
→
转化为关于 ｅ 的
方程，求得离心率
解法二：
由椭圆定义及已知条件
得 ｜ＱＦ１ ｜ ＝ ４ａ－２ ｜ＰＦ１ ｜
→
利用等腰直角三角
形得 ｜ＱＦ１ ｜ ＝ ２ ｜ＰＦ１ ｜
→
列方程求
出 ｜ＰＦ１ ｜
→
利用椭圆定义
求出 ｜ＰＦ２ ｜
→
利用 ｜ＰＦ１ ｜ ２＋ ｜ＰＦ２ ｜ ２ ＝
｜Ｆ１Ｆ２ ｜ ２ 求离心率
解析 （１）由椭圆的定义，有 ２ａ＝ ｜ＰＦ１ ｜ ＋ ｜ＰＦ２ ｜ ＝ （２＋ ２ ）
＋（２－ ２ ）＝ ４，故 ａ＝ ２．
设椭圆的半焦距为 ｃ，由已知 ＰＦ１ ⊥ＰＦ２，得 ２ｃ ＝ ｜ Ｆ１Ｆ２ ｜ ＝
｜ＰＦ１ ｜ ２＋ ｜ＰＦ２ ｜ ２ ＝ （２＋ ２ ） ２＋（２－ ２ ） ２ ＝ ２ ３ ，即 ｃ ＝ ３ ，从而
ｂ＝ ａ２－ｃ２ ＝ １．
故所求椭圆的标准方程为
ｘ２
４
＋ｙ２ ＝ １．
（２）解法一：连接 Ｆ１Ｑ，如图，设 Ｐ（ｘ０，ｙ０），因为点 Ｐ 在椭圆
上，且 ＰＦ１⊥ＰＦ２，
所以
ｘ２０
ａ２
＋
ｙ２０
ｂ２
＝ １，ｘ２０＋ｙ２０ ＝ ｃ２，
求得 ｘ０ ＝±
ａ
ｃ
ａ２－２ｂ２ ，ｙ０ ＝±
ｂ２
ｃ
．
由 ｜ＰＦ１ ｜ ＝ ｜ＰＱ ｜ ＞ ｜ＰＦ２ ｜得 ｘ０＞０，
从而 ｜ＰＦ１ ｜ ２ ＝
ａ ａ２－２ｂ２
ｃ
＋ｃ
?
è
?
?
?
÷
２
＋ ｂ
４
ｃ２
＝ ２（ａ２－ｂ２）＋２ａ ａ２－２ｂ２
＝（ａ＋ ａ２－２ｂ２ ） ２ ．
由 ＰＦ１⊥ＰＦ２， ｜ＰＦ１ ｜ ＝ ｜ＰＱ ｜ ，知 ｜ＱＦ１ ｜ ＝ ２ ｜ＰＦ１ ｜ ．
因此（２＋ ２ ） ｜ＰＦ１ ｜ ＝ ４ａ，
即（２＋ ２ ）（ａ＋ ａ２－２ｂ２ ）＝ ４ａ，
于是（２＋ ２ ）（１＋ ２ｅ２－１ ）＝ ４，
解得 ｅ＝
１
２
１＋
４
２＋ ２
－１?
è
?
?
?
÷
２
é
?
êê
ù
?
úú ＝ ６ － ３ ．
解法二：连接 Ｆ１Ｑ，由椭圆的定义，有 ｜ ＰＦ１ ｜ ＋ ｜ ＰＦ２ ｜ ＝ ２ａ，
｜ＱＦ１ ｜ ＋ ｜ＱＦ２ ｜ ＝ ２ａ．从而由 ｜ ＰＦ１ ｜ ＝ ｜ ＰＱ ｜ ＝ ｜ ＰＦ２ ｜ ＋ ｜ ＱＦ２ ｜ ，有
｜ＱＦ１ ｜ ＝ ４ａ－２ ｜ＰＦ１ ｜ ．
又由 ＰＦ１⊥ＰＱ， ｜ＰＦ１ ｜ ＝ ｜ＰＱ ｜ ，知 ｜ＱＦ１ ｜ ＝ ２ ｜ＰＦ１ ｜ ，
因此，４ａ－２ ｜ＰＦ１ ｜ ＝ ２ ｜ＰＦ１ ｜ ，得 ｜ＰＦ１ ｜ ＝ ２（２－ ２ ）ａ，
从而 ｜ＰＦ２ ｜ ＝ ２ａ－ ｜ＰＦ１ ｜ ＝ ２ａ－２（２－ ２ ）ａ＝ ２（ ２ －１）ａ．
由 ＰＦ１⊥ＰＦ２，知 ｜ＰＦ１ ｜ ２＋ ｜ＰＦ２ ｜ ２ ＝ ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ ２ ＝（２ｃ） ２，
因此 ｅ ＝
ｃ
ａ
＝
｜ＰＦ１ ｜ ２＋ ｜ＰＦ２ ｜ ２
２ａ
＝ （２－ ２ ） ２＋（ ２ －１） ２ ＝
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
第十四章 圆锥曲线与方程 １１１
９－６ ２ ＝ ６ － ３ ．
１－１ （２０１６ 课标全国Ⅲ改编，１２，５ 分）已知 Ｏ 为坐标原
点，Ｆ 是椭圆 Ｃ：
ｘ２
ａ２
＋ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０）的左焦点，Ａ，Ｂ 分别为 Ｃ 的
左，右顶点．Ｐ 为 Ｃ 上一点，且 ＰＦ⊥ｘ 轴．过点 Ａ 的直线 ｌ 与线段
ＰＦ 交于点 Ｍ，与 ｙ 轴交于点 Ｅ．若直线 ＢＭ 经过 ＯＥ 的中点，则 Ｃ
的离心率为 ．
１－１ 答案
１
３
解析 解法一：设点 Ｍ（－ｃ，ｙ０），ＯＥ 的中点为 Ｎ，则直线
ＡＭ 的斜率 ｋ＝
ｙ０
ａ－ｃ
，从而直线 ＡＭ 的方程为 ｙ ＝
ｙ０
ａ－ｃ
（ ｘ＋ａ），令 ｘ ＝
０，得点 Ｅ 的纵坐标 ｙＥ ＝
ａｙ０
ａ－ｃ
．
同理，ＯＥ 的中点 Ｎ 的纵坐标 ｙＮ ＝
ａｙ０
ａ＋ｃ
．
因为 ２ｙＮ ＝ ｙＥ，所以
２
ａ＋ｃ
＝ １
ａ－ｃ
，
即 ２ａ－２ｃ＝ａ＋ｃ，所以 ｅ＝
ｃ
ａ
＝ １
３
．
解法二：如图，设 ＯＥ 的中点为 Ｎ，
由题意知 ｜ ＡＦ ｜ ＝ ａ－ｃ， ｜ ＢＦ ｜ ＝ ａ＋ｃ， ｜ ＯＦ ｜
＝ ｃ， ｜ＯＡ ｜ ＝ ｜ＯＢ ｜ ＝ａ，
∵ ＰＦ∥ｙ 轴，∴
｜ＭＦ ｜
｜ＯＥ ｜
＝ ｜ ＡＦ ｜
｜ ＡＯ ｜
＝ ａ
－ｃ
ａ
，
｜ＭＦ ｜
｜ＯＮ ｜
＝ ｜ＢＦ ｜
｜ＯＢ ｜
＝ ａ
＋ｃ
ａ
，
又∵
｜ＭＦ ｜
｜ＯＥ ｜
＝ ｜ＭＦ ｜
２ ｜ＯＮ ｜
，即
ａ－ｃ
ａ
＝ ａ
＋ｃ
２ａ
，
∴ ａ＝ ３ｃ，故 ｅ＝
ｃ
ａ
＝ １
３
．
１－２ （２０１８ 盐城中学期末，９）已知椭圆 Ｃ１：
ｘ２
ａ２
＋ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ
＞０）与圆 Ｃ２：ｘ２＋ｙ２ ＝ ｂ２，若椭圆 Ｃ１ 上存在点 Ｐ，由点 Ｐ 向圆 Ｃ２ 作
两条切线 ＰＡ，ＰＢ，且∠ＡＰＢ ＝ ６０°，则椭圆 Ｃ１ 的离心率的取值范
围是 ．
１－２ 答案 ３
２
，１é
?
êê
?
?
÷
解析 因为∠ＡＰＢ ＝ ６０°，所以∠ＯＰＢ ＝ ３０°，在Ｒｔ△ＰＯＢ中，
由 ｜ＯＢ ｜ ＝ｂ 得 ｜ＰＯ ｜ ＝ ２ｂ，由点 Ｐ 在椭圆上知，ｂ＜ ｜ ＰＯ ｜ ＝ ２ｂ≤ａ，所
以 ４ｂ２ ＝４（ａ２－ｃ２）≤ａ２，解得 ｅ≥
３
２
，又 ０＜ｅ＜１，所以
３
２
≤ｅ＜１．
１－３ （２０１７ 苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ
中，已知 Ａ、Ｂ１、Ｂ２ 分别为椭圆 Ｃ：
ｘ２
ａ２
＋ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０）的右、下、上
顶点，Ｆ 是椭圆 Ｃ 的右焦点．若 Ｂ２Ｆ⊥ＡＢ１，则椭圆 Ｃ 的离心率是
．
１－３ 答案
５ －１
２
解析 因为 Ｆ（ ｃ，０），Ｂ２（０，ｂ），Ｂ１（０，－ｂ），Ａ（ａ，０），所以
Ｂ２Ｆ
→＝（ｃ，－ｂ），Ｂ１Ａ→＝（ａ，ｂ） ．因为 Ｂ２Ｆ⊥ＡＢ１，所以 ａｃ－ｂ２ ＝ ０，即 ｃ２＋
ａｃ－ａ２ ＝ ０，故 ｅ２＋ｅ－１＝ ０，解得 ｅ＝
－１＋ ５
２
（负值舍去） ．
１－４ 已知椭圆
ｘ２
ａ２
＋ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞ｃ＞０，ａ２ ＝ ｂ２ ＋ｃ２）的左、右焦
点分别为 Ｆ１，Ｆ２，若以 Ｆ２ 为圆心，ｂ－ｃ 为半径作圆 Ｆ２，过椭圆上
一点 Ｐ 作此圆的切线，切点为 Ｔ，且 ｜ ＰＴ ｜的最小值不小于
３
２
（ａ－
ｃ），则椭圆的离心率 ｅ 的取值范围是 ．
１－４ 答案 ３
５
，
２
２
é
?
êê
?
?
÷
解析 由题意易得 ｜ＰＴ ｜ ＝ ｜ＰＦ２ ｜ ２－（ｂ－ｃ） ２ （ｂ＞ｃ），
而 ｜ＰＦ２ ｜的最小值为 ａ－ｃ，
所以 ｜ＰＴ ｜的最小值为 （ａ－ｃ） ２－（ｂ－ｃ） ２ ．
依题意，有 （ａ－ｃ） ２－（ｂ－ｃ） ２ ≥
３
２
（ａ－ｃ），
所以（ａ－ｃ） ２≥４（ｂ－ｃ） ２，所以 ａ－ｃ≥２（ｂ－ｃ），
所以 ａ＋ｃ≥２ｂ，所以（ａ＋ｃ） ２≥４（ａ２－ｃ２），
所以 ５ｃ２＋２ａｃ－３ａ２≥０，所以 ５ｅ２＋２ｅ－３≥０．①
又 ｂ＞ｃ，所以 ｂ２＞ｃ２，所以 ａ２－ｃ２＞ｃ２，所以 ２ｅ２＜１．②
联立①②，解得
３
５
≤ｅ＜
２
２
．
故 ｅ∈ ３
５
，
２
２
é
?
êê
?
?
÷ ．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
二、椭圆中定点（定值）问题的求法
定点、定值问题是解析几何解答题的考查重点．此类问题定
中有动，动中有定，并且常与轨迹问题、曲线系问题等相结合，深
入考查直线与圆锥曲线的位置关系等相关知识．考查数形结合，
分类讨论，转化与化归，函数与方程等数学思想方法．
１．定点问题
解定点问题的关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂
直关系、中点关系、方程、不等式等，然后将已知量、未知量代入上述
关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决．
２．定值问题
解决定值问题时，要善于运用辩证的观点去思考、分析，在
动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算
推理求出结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和
参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质等，再用根与系
数的关系，点差法等推导出所求定值关系所需要的表达式，并将
其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查
极端位置，探索出“定值”，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特
殊图形等）确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将问题涉
及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒成立
的．同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，
还可以为我们提供解题的线索．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
１１２ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
（２０１９ 海安期末，１８）在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中，已知
椭圆
ｘ２
ａ２
＋ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０）的左、右顶点分别为 Ａ、Ｂ，焦距为 ２，直线
ｌ 与椭圆交于 Ｃ，Ｄ 两点（均异于椭圆的左、右顶点） ．当直线 ｌ 过
椭圆的右焦点 Ｆ 且垂直于 ｘ 轴时，四边形 ＡＣＢＤ 的面积为 ６．
（１）求椭圆的标准方程；
（２）设直线 ＡＣ，ＢＤ 的斜率分别为 ｋ１，ｋ２ ．
①若 ｋ２ ＝ ３ｋ１，求证：直线 ｌ 过定点；
②若直线 ｌ 过椭圆的右焦点 Ｆ，试判断
ｋ１
ｋ２
是不是定值，
并说明理由．
解析 （１）由焦距为 ２，ｌ 垂直于 ｘ 轴，设点 Ｃ 的坐标为
（１，ｙ０），代入
ｘ２
ａ２
＋ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０）得，
１２
ａ２
＋
ｙ２０
ｂ２
＝ １，解得 ｙ０ ＝±
ｂ２
ａ
．
所以四边形 ＡＣＢＤ 的面积为 ６＝ ２Ｓ△ＡＢＣ ＝ ２ａ·
ｂ２
ａ
＝ ２ｂ２，
所以 ｂ２ ＝ ３，所以 ａ２ ＝ ４．
所以椭圆的标准方程为
ｘ２
４
＋ ｙ
２
３
＝ １． （４ 分）
（２）①由题意设直线 ＡＣ：ｙ＝ ｋ１（ｘ＋２），
联立得
ｘ２
４
＋ ｙ
２
３
＝ １，
ｙ＝ ｋ１（ｘ＋２），
{ 整理得（３＋４ｋ２１）ｘ２＋１６ｋ２１ｘ＋１６ｋ２１－１２＝ ０，
所以－２ｘ１ ＝
１６ｋ２１－１２
３＋４ｋ２１
，解得 ｘ１ ＝
６－８ｋ２１
３＋４ｋ２１
，
从而 ｙ１ ＝ ｋ１（ｘ１＋２）＝
１２ｋ１
３＋４ｋ２１
．
所以点 Ｃ 的坐标为 －
８ｋ２１－６
３＋４ｋ２１
，
１２ｋ１
３＋４ｋ２１
?
è
?
?
?
÷ ．
同理可得，点 Ｄ 的坐标为
８ｋ２２－６
３＋４ｋ２２
，－
１２ｋ２
３＋４ｋ２２
?
è
?
?
?
÷ ． （６ 分）
猜想：直线 ｌ 过定点 Ｐ（１，０），下证之：
因为 ｋ２ ＝ ３ｋ１，
所以 ｋＰＣ－ｋＰＤ ＝
１２ｋ１
３＋４ｋ２１
－
８ｋ２１－６
３＋４ｋ２１
－１
－
－
１２ｋ２
３＋４ｋ２２
８ｋ２２－６
３＋４ｋ２２
－１
＝
４ｋ１
１－４ｋ２１
＋
１２ｋ２
４ｋ２２－９
＝
４ｋ１
１－４ｋ２１
＋
３６ｋ１
３６ｋ２１－９
＝
４ｋ１
１－４ｋ２１
＋
４ｋ１
４ｋ２１－１
＝ ０．
所以 Ｐ，Ｃ，Ｄ 三点共线，所以直线 ｌ 过定点 Ｐ（１，０） ． （１０ 分）
②
ｋ１
ｋ２
是定值．理由如下：
由题意设 Ｃ（ｘ１，ｙ１），Ｄ（ｘ２，ｙ２），直线 ｌ：ｘ＝ｍｙ＋１，
代入椭圆的标准方程
ｘ２
４
＋ ｙ
２
３
＝ １，得（３ｍ２＋４）ｙ２＋６ｍｙ－９＝ ０，
所以 ｙ１，２ ＝
－６ｍ± ３６ｍ２＋３６（３ｍ２＋４）
２（３ｍ２＋４）
，
所以 ｙ１＋ｙ２ ＝－
６ｍ
３ｍ２＋４
，ｙ１ｙ２ ＝－
９
３ｍ２＋４
． （１２ 分）
解法一：所以
ｋ１
ｋ２
＝
ｙ１
ｘ１＋２
ｙ２
ｘ２－２
＝
ｙ１（ｘ２－２）
ｙ２（ｘ１＋２）
＝
ｙ１（ｍｙ２－１）
ｙ２（ｍｙ１＋３）
＝
ｍｙ１ｙ２－ｙ１
ｍｙ１ｙ２＋３ｙ２
＝
－ ９ｍ
３ｍ２＋４
－ － ６ｍ
３ｍ２＋４
－ｙ２?è
?
?
?
÷
－ ９ｍ
３ｍ２＋４
＋３ｙ２
＝
－ ３ｍ
３ｍ２＋４
＋ｙ２
－ ９ｍ
３ｍ２＋４
＋３ｙ２
＝ １
３
（定值） ．
（１６ 分）
解法二：两式相除得
ｙ１＋ｙ２
ｙ１ｙ２
＝ ２
３
ｍ，则 ｍｙ１ｙ２ ＝
３
２
（ｙ１＋ｙ２） ．
所以
ｋ１
ｋ２
＝
ｙ１
ｘ１＋２
ｙ２
ｘ２－２
＝
ｍｙ１ｙ２－ｙ１
ｍｙ１ｙ２＋３ｙ２
＝
３
２
（ｙ１＋ｙ２）－ｙ１
３
２
（ｙ１＋ｙ２）＋３ｙ２
＝
ｙ１＋３ｙ２
３ｙ１＋９ｙ２
＝ １
３
（定值） ． （１６ 分）
２－１ （２０１９ 镇江期末，１８）已知椭圆 Ｃ：
ｘ２
ａ２
＋ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０）
的长轴长为 ４，两准线间的距离为 ４ ２ ．设 Ａ 为椭圆 Ｃ 的左顶点，
直线 ｌ 过点 Ｄ（１，０），且与椭圆 Ｃ 相交于 Ｅ，Ｆ 两点．
（１）求椭圆 Ｃ 的方程；
（２）若△ＡＥＦ 的面积为 １０ ，求直线 ｌ 的方程；
（３）已知直线 ＡＥ，ＡＦ 分别交直线 ｘ ＝ ３ 于点 Ｍ，Ｎ，线段 ＭＮ
的中点为 Ｑ，设直线 ｌ 和 ＱＤ 的斜率分别为 ｋ（ ｋ≠０），ｋ′，求证：ｋ
·ｋ′为定值．
２－１ 解析 （１）由题意可知，２ａ＝ ４，
ａ２
ｃ
＝ ２ ２ ，
解得 ａ＝ ２，ｃ＝ ２ ，因为 ａ２ ＝ ｂ２＋ｃ２，
所以 ｂ＝ ２ ，
所以椭圆 Ｃ 的方程为
ｘ２
４
＋ ｙ
２
２
＝ １．
（２）因为 ＡＤ＝ ３，
所以 Ｓ△ＡＥＦ ＝Ｓ△ＡＤＥ＋Ｓ△ＡＤＦ ＝
３
２
｜ ｙＥ－ｙＦ ｜ ＝ １０ ，
所以 ｜ ｙＥ－ｙＦ ｜ ＝
２ １０
３
．
设直线 ｌ：ｘ＝ｍｙ＋１，代入椭圆 Ｃ，整理得（ｍ２ ＋２） ｙ２ ＋２ｍｙ－３
＝ ０，
所以 ｙＥ，Ｆ ＝
－２ｍ± ４ｍ２＋１２（ｍ２＋２）
２（ｍ２＋２）
，
则 ｜ ｙＥ－ｙＦ ｜ ＝
４ｍ２＋１２（ｍ２＋２）
ｍ２＋２
＝ ２ １０
３
，
解得 ｍ２ ＝ １，即 ｍ＝±１，
所以直线 ｌ 的方程为 ｘ±ｙ－１＝ ０．
（３）证明：设直线 ｌ： ｙ ＝ ｋ （ ｘ － １），代入椭圆 Ｃ，整理得
（２ｋ２＋１）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２ｋ２－４＝ ０，
设 Ｅ（ｘ１，ｋ（ｘ１－１）），Ｆ（ｘ２，ｋ（ｘ２－１）），
所以 ｘ１＋ｘ２ ＝
４ｋ２
２ｋ２＋１
，ｘ１·ｘ２ ＝
２ｋ２－４
２ｋ２＋１
，
直线 ＡＥ 的方程为 ｙ＝
ｋ（ｘ１－１）
ｘ１＋２
（ｘ＋２），
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
第十四章 圆锥曲线与方程 １１３
令 ｘ＝ ３，得 Ｍ 点坐标为 ３，
５ｋ（ｘ１－１）
ｘ１＋２
?
è
?
?
?
÷ ，
同理可得 Ｎ 点坐标为 ３，
５ｋ（ｘ２－１）
ｘ２＋２
?
è
?
?
?
÷ ．
因为 Ｑ 为 ＭＮ 中点，
所以 ｙＱ ＝
５ｋ
２
ｘ１－１
ｘ１＋２
＋
ｘ２－１
ｘ２＋２
?
è
?
?
?
÷ ＝ ５ｋ－
１５ｋ
２
·
ｘ１＋ｘ２＋４
ｘ１ｘ２＋２ｘ１＋２ｘ２＋４
，
将 ｘ１＋ｘ２ ＝
４ｋ２
２ｋ２＋１
，ｘ１·ｘ２ ＝
２ｋ２－４
２ｋ２＋１
代入上式，
整理得 ｙＱ ＝
－５
３ｋ
，
所以 ｋ′＝
－５
３ｋ
３－１
，
所以 ｋ·ｋ′＝－
５
６
．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
三、椭圆中最值（范围）问题的求法
（１）椭圆中最值（范围）问题可分为两类：一是涉及距离、面
积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或椭圆中几何
元素的最值以及当这些元素存在最值时，求解与之有关的一些
问题．
（２）椭圆中的最值和范围问题的求解方法：一是注意题目中
的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想，建立目
标函数，求解最值．在利用代数法解决最值和范围问题时常从以
下五个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核
心是两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值
范围；
④利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值
范围；
⑤利用函数的值域的求法确定参数的取值范围．
如图，已知动直线 ｌ：ｙ＝ ｋｘ＋ｍ 与椭圆
ｘ２
４
＋ｙ２ ＝ １ 交于 Ａ，
Ｂ 两个不同点．
（１）若动直线 ｌ：ｙ ＝ ｋｘ＋ｍ 又与圆 ｘ２ ＋（ｙ－２） ２ ＝ １ 相切，求 ｍ
的取值范围；
（２）若动直线 ｌ：ｙ＝ ｋｘ＋ｍ 与 ｙ 轴交于点 Ｐ，满足ＰＢ→＝ ２ ＡＰ→，点
Ｏ 为坐标原点．求△ＡＯＢ 面积的最大值，并指出此时 ｋ 的值．
解析 把 ｙ＝ ｋｘ＋ｍ 代入椭圆方程 ｘ２＋４ｙ２－４＝ ０，整理得
（４ｋ２＋１）ｘ２＋８ｋｍｘ＋４ｍ２－４＝ ０．①
（１）Δ＝（８ｋｍ） ２－４（４ｋ２＋１）（４ｍ２－４）＞０，
即 ４ｋ２－ｍ２＋１＞０．②
∵ 直线 ｌ 与圆 ｘ２＋（ｙ－２） ２ ＝ １ 相切，
∴
｜ｍ－２ ｜
ｋ２＋１
＝ １，∴ ｋ２ ＝ｍ２－４ｍ＋３，③
把③代入②得：３ｍ２－１６ｍ＋１３＞０，
解得 ｍ＞
１３
３
或 ｍ＜１．
（２）设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），
∵ Ｐ（０，ｍ），ＰＢ→＝ ２ ＡＰ→，∴ ２ｘ１＋ｘ２ ＝ ０，
由①式得：ｘ１＋ｘ２ ＝
－８ｋｍ
４ｋ２＋１
，∴ ｘ１ ＝－（ｘ１＋ｘ２）＝
８ｋｍ
４ｋ２＋１
．
又∵ ｘ１ 是方程①的根，
∴ （４ｋ２＋１）
６４ｋ２ｍ２
（４ｋ２＋１） ２
＋６４ｋ
２ｍ２
４ｋ２＋１
＋４ｍ２－４＝ ０，
∴ ｍ２ ＝
４ｋ２＋１
３６ｋ２＋１
，由题意得 ｋ≠０，
显然满足 Δ＝（８ｋｍ） ２－４（４ｋ２＋１）（４ｍ２－４）＞０，
∵ ｜ ｘ１－ｘ２ ｜ ＝ ｜ ３ｘ１ ｜ ＝
｜ ２４ｋｍ ｜
４ｋ２＋１
，
∴ Ｓ△ＡＯＢ ＝
１
２
｜ ｘ１ －ｘ２ ｜ ｜ｍ ｜ ＝
１２ｍ２ ｜ ｋ ｜
４ｋ２＋１
＝ １２ ｜ ｋ ｜
３６ｋ２＋１
＝ ３
９ ｜ ｋ ｜ ＋
１
４ ｜ ｋ ｜
≤
１，当且仅当 ９ ｜ ｋ ｜ ＝
１
４ ｜ ｋ ｜
，即 ｋ＝±
１
６
（符合题意）时取等号，
∴ 当 ｋ＝±
１
６
时，△ＡＯＢ 的面积取最大值 １．
３－１ （２０１９ 泰州期末，１８）如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ
中，椭圆 Ｃ：
ｘ２
ａ２
＋ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０）的左顶点为 Ａ，点 Ｂ 是椭圆 Ｃ 上
异于左、右顶点的任一点，Ｐ 是 ＡＢ 的中点，过点 Ｂ 且与 ＡＢ 垂直
的直线与直线 ＯＰ 交于点 Ｑ，已知椭圆 Ｃ 的离心率为
１
２
，点 Ａ 到
右准线的距离为 ６．
（１）求椭圆 Ｃ 的标准方程；
（２）设点 Ｑ 的横坐标为 ｘ０，求 ｘ０ 的取值范围．
３－１ 解析 （１）依题意，有
ｃ
ａ
＝ １
２
，即 ｃ＝
１
２
ａ，
又 ａ＋
ａ２
ｃ
＝ ６，所以 ａ＋
ａ２
１
２
ａ
＝ ６，
解得 ａ＝ ２，则 ｃ＝ １，ｂ＝ ａ２－ｃ２ ＝ ３ ，
所以椭圆 Ｃ 的标准方程为
ｘ２
４
＋ ｙ
２
３
＝ １．
（２）由（１）知，Ａ（－２，０），设 ＡＢ 的方程为 ｘ＝ｍｙ－２，ｍ≠０，
则
ｘ＝ｍｙ－２，
３ｘ２＋４ｙ２ ＝ １２{ ?
ｘ＝
６ｍ２－８
３ｍ２＋４
，
ｙ＝
１２ｍ
３ｍ２＋４
，
ì
?
í
?
?
??
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
１１４ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
即 Ｂ
６ｍ２－８
３ｍ２＋４
，
１２ｍ
３ｍ２＋４
?
è
?
?
?
÷ ，则 Ｐ
－８
３ｍ２＋４
，
６ｍ
３ｍ２＋４
?
è
?
?
?
÷ ，
则 ｋＯＰ ＝－
３ｍ
４
，直线 ＯＰ 的方程为 ｙ＝－
３ｍ
４
ｘ；ｋＢＱ ＝－ｍ，直线 ＢＱ
的方程为 ｙ＝－ｍｘ＋
６ｍ３＋４ｍ
３ｍ２＋４
．
由
ｙ＝－
３ｍ
４
ｘ，
ｙ＝－ｍｘ＋
６ｍ３＋４ｍ
３ｍ２＋４
ì
?
í
?
?
??
?ｘ０ ＝
８（３ｍ２＋２）
３ｍ２＋４
＝ ８－
１６
３ｍ２＋４
∈（４，８） ．
故 ｘ０ 的取值范围是（４，８） ．
３－２ （２０１９ 江都中学、华罗庚中学等 １３ 校联考，１８）如图，
Ｆ１、Ｆ２ 分别为椭圆
ｘ２
ａ２
＋ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０）的焦点，椭圆的右准线 ｌ 与
ｘ 轴交于 Ａ 点，Ｆ１（－１，０），且ＡＦ１
→＝ ２ ＡＦ２→．
（１）求椭圆的方程；
（２）过 Ｆ１、Ｆ２ 作互相垂直的两直线分别与椭圆交于 Ｐ、Ｑ、
Ｍ、Ｎ 四点，求四边形 ＰＭＱＮ 面积的取值范围．
３－２ 解析 （１）由 Ｆ１（－１，０）得 ｃ＝ １，∴ Ａ 点坐标为（ａ２，０） ．
（２ 分）
∵ ＡＦ１
→＝ ２ ＡＦ２→，∴ Ｆ２ 是 ＡＦ１ 的中点，
∴ ａ２－ｃ＝ ２ｃ，∴ ａ２ ＝ ３，∴ ｂ２ ＝ ２．
∴ 椭圆的方程为
ｘ２
３
＋ ｙ
２
２
＝ １． （４ 分）
（２）当直线 ＭＮ 与 ＰＱ 之一与 ｘ 轴垂直时，四边形 ＰＭＱＮ 的
面积 Ｓ＝
１
２
｜ＭＮ ｜· ｜ＰＱ ｜ ＝ ４． （５ 分）
当直线 ＰＱ，ＭＮ 均与 ｘ 轴不垂直时，不妨设 ＰＱ：ｙ ＝ ｋ（ ｘ＋１）
（ｋ≠０），
联立
ｙ＝ ｋ（ｘ＋１），
ｘ２
３
＋ ｙ
２
２
＝ １，{
消去 ｙ 得（２＋３ｋ２）ｘ２＋６ｋ２ｘ＋（３ｋ２－６）＝ ０．
设 Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），则 ｘ１＋ｘ２ ＝
－６ｋ２
２＋３ｋ２
，ｘ１ｘ２ ＝
３ｋ２－６
２＋３ｋ２
．
（８ 分）
∴ ｜ＰＱ ｜ ＝ １＋ｋ２ ｜ ｘ１－ｘ２ ｜ ＝
４ ３ （ｋ２＋１）
２＋３ｋ２
．
同理 ｜ＭＮ ｜ ＝
４ ３
１
ｋ２
＋１?
è
?
?
?
÷
２＋
３
ｋ２
．
∴ 四边形 ＰＭＱＮ 的面积 Ｓ＝
１
２
｜ＭＮ ｜ ｜ＰＱ ｜ ＝
２４ ｋ２＋
１
ｋ２
＋２?
è
?
?
?
÷
６ ｋ２＋
１
ｋ２
?
è
?
?
?
÷ ＋１３
．
（１２ 分）
令 ｕ＝ ｋ２＋
１
ｋ２
，则 ｕ≥２，Ｓ＝
２４（ｕ＋２）
６ｕ＋１３
＝ ４－
４
６ｕ＋１３
，
易知 Ｓ 是以 ｕ 为变量的增函数．
所以当 ｕ＝ ２，即 ｋ＝±１ 时，取最小值，Ｓｍｉｎ ＝
９６
２５
，∴
９６
２５
≤Ｓ＜４．
综上可知，四边形 ＰＭＱＮ 面积的取值范围为
９６
２５
，４[ ) ．
（１６ 分）
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
四、椭圆中存在性问题的求法
１．存在性问题的解题步骤：（１）先假设存在，引入参数，根据
题目条件列出关于参数的方程（组）或不等式（组）；（２）解此方
程（组）或不等式（组），若有解，则存在；若无解，则不存在．
２．解决存在性问题要注意解题的规范性，一般先作出结论，
后给出证明（理由） ．
（２０１８ 盐城中学三模，１８）如图，已知 Ｆ１、Ｆ２ 分别是椭
圆
ｘ２
ａ２
＋ ｙ
２
ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点，点 Ｐ（ －２，３）是椭圆 Ｃ 上一
点，且 ＰＦ１⊥ｘ 轴．
（１）求椭圆 Ｃ 的方程；
（２）设圆 Ｍ：（ｘ－ｍ） ２＋ｙ２ ＝ ｒ２（ ｒ＞０） ．
①设圆 Ｍ 与线段 ＰＦ２ 交于两点 Ａ，Ｂ，若 ＭＡ
→＋ＭＢ→＝ＭＰ→＋ＭＦ２→，
且 ｜ ＡＢ ｜ ＝ ２，求 ｒ 的值；
②设 ｍ＝－２，过点 Ｐ 作圆 Ｍ 的两条切线分别交椭圆 Ｃ 于 Ｇ，
Ｈ 两点（均异于点 Ｐ） ．试问：是否存在这样的正数 ｒ，使得 Ｇ，Ｈ 两
点恰好关于坐标原点 Ｏ 对称？ 若存在，求出 ｒ 的值；若不存在，
请说明理由．
解析 （１）因为点 Ｐ（－２，３）是椭圆 Ｃ 上一点，且 ＰＦ１⊥ｘ
轴，所以椭圆的半焦距 ｃ＝ ２，
由
ｃ２
ａ２
＋ ｙ
２
ｂ２
＝ １，得 ｙ＝±
ｂ２
ａ
，所以
ｂ２
ａ
＝ ａ
２－４
ａ
＝ ３， （２ 分）
化简得 ａ２－３ａ－４＝ ０，解得 ａ＝ ４（负值舍去），所以 ｂ２ ＝ １２，
所以椭圆 Ｃ 的方程为
ｘ２
１６
＋ ｙ
２
１２
＝ １． （４ 分）
（２）①因为ＭＡ→＋ＭＢ→＝ＭＰ→＋ＭＦ２→，
所以ＭＡ→－ＭＰ→＝ＭＦ２→－ＭＢ→，即ＰＡ→＝ＢＦ２→，
所以线段 ＰＦ２ 与线段 ＡＢ 的中点重合（记为点 Ｑ），
易知 Ｑ ０，
３
２( ) ． （６ 分）
所以 ｋＭＱ·ｋＡＢ ＝ ｋＭＱ·ｋＰＦ２ ＝－１，
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
第十四章 圆锥曲线与方程 １１５
所以
０－
３
２
ｍ
·
３－０
－２－２
＝－１，解得 ｍ＝－
９
８
， （８ 分）
所以 ｜ＭＱ ｜ ＝ －
９
８
－０( ) ２＋ ０－ ３２( )
２
＝ １５
８
，
故 ｒ＝
１５
８( )
２
＋１２ ＝
１７
８
． （１０ 分）
②假设存在．由 Ｇ，Ｈ 两点恰好关于原点对称，设 Ｇ（ ｘ０，ｙ０），
则 Ｈ（－ｘ０，－ｙ０），不妨设 ｘ０＜０，
因为 Ｐ（－２，３），ｍ＝－２，所以两条切线的斜率均存在．
设过点 Ｐ 与圆 Ｍ 相切的直线斜率为 ｋ，则切线方程为 ｙ－３ ＝
ｋ（ｘ＋２），即 ｋｘ－ｙ＋２ｋ＋３＝ ０，
由该直线与圆 Ｍ 相切，得 ｒ＝
３
１＋ｋ２
，即 ｋ＝±
９－ｒ２
ｒ２
，
（１２ 分）
所以两条切线的斜率互为相反数，即 ｋＰＧ ＝－ｋＰＨ，
所以
ｙ０－３
ｘ０＋２
＝－
－ｙ０－３
－ｘ０＋２
，
化简得 ｘ０ｙ０ ＝－６，即 ｙ０ ＝
－６
ｘ０
，
代入
ｘ２０
１６
＋
ｙ２０
１２
＝ １，化简得 ｘ４０－１６ｘ２０＋４８＝ ０，
解得 ｘ０ ＝－２（舍）或 ｘ０ ＝－２ ３ ，所以 ｙ０ ＝ ３ ． （１４ 分）
所以 Ｇ（－２ ３ ， ３ ），Ｈ（２ ３ ，－ ３ ），所以 ｋＰＧ ＝
３－ ３
－２＋２ ３
＝ ３
２
，
所以 ｒ＝
３
１＋ ３
２
?
è
?
?
?
÷
２
＝ ６ ７
７
．
故存在满足条件的 ｒ，且 ｒ＝
６ ７
７
． （１６ 分）
４－１ （２０１９ 南京金陵中学检测，１８）已知圆 Ｏ：ｘ２＋ｙ２ ＝ ４，点
Ｆ（１，０），Ｐ 为平面内一动点，以线段 ＦＰ 为直径的圆内切于圆 Ｏ，
设动点 Ｐ 的轨迹为曲线 Ｃ．
（１）求曲线 Ｃ 的方程；
（２）已知 Ｍ，Ｎ 是曲线 Ｃ 上的动点，且直线 ＭＮ 经过定点
０，
１
２( ) ，问在 ｙ 轴上是否存在定点 Ｑ，使得∠ＭＱＯ ＝∠ＮＱＯ？ 若
存在，请求出定点 Ｑ；若不存在，请说明理由．
４－１ 解析 （１）设 ＰＦ 的中点为 Ｓ，切点为 Ｔ，连接 ＯＳ，ＳＴ，
则 ｜ＯＳ ｜ ＋ ｜ ＳＴ ｜ ＝ ｜ＯＴ ｜ ＝ ２，
取 Ｆ 关于 ｙ 轴的对称点 Ｆ′，连 Ｆ′Ｐ，
故 ｜Ｆ′Ｐ ｜ ＋ ｜ＦＰ ｜ ＝ ２（ ｜ＯＳ ｜ ＋ ｜ ＳＦ ｜ ）＝ ４．
所以点 Ｐ 的轨迹是以 Ｆ′，Ｆ 为焦点，长轴长为 ４ 的椭圆． （４ 分）
其中，ａ＝ ２，ｃ＝ １，∴ 曲线 Ｃ 的方程为
ｘ２
４
＋ ｙ
２
３
＝ １． （６ 分）
（２）假设存在满足题意的定点 Ｑ，设 Ｑ（０，ｍ） ．
当直线 ＭＮ 的斜率存在时，设直线 ＭＮ 的方程为 ｙ ＝ ｋｘ＋
１
２
，
Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），ｘ１≠０，且 ｘ２≠０．
由
ｘ２
４
＋ ｙ
２
３
＝ １，
ｙ＝ ｋｘ＋
１
２
ì
?
í
??
??
消去 ｘ，得（３＋４ｋ２）ｘ２＋４ｋｘ－１１＝ ０， （８ 分）
由直线 ＭＮ 过椭圆内一点 ０，
１
２( ) 知 Δ＞０，
由根与系数的关系得 ｘ１＋ｘ２ ＝
－４ｋ
３＋４ｋ２
，ｘ１ｘ２ ＝
－１１
３＋４ｋ２
， （１０ 分）
由∠ＭＱＯ＝∠ＮＱＯ，得直线 ＭＱ 与 ＮＱ 斜率和为零，
故
ｙ１－ｍ
ｘ１
＋
ｙ２－ｍ
ｘ２
＝
ｋｘ１＋
１
２
－ｍ
ｘ１
＋
ｋｘ２＋
１
２
－ｍ
ｘ２
＝
２ｋｘ１ｘ２＋
１
２
－ｍ( ) （ｘ１＋ｘ２）
ｘ１ｘ２
＝ ０， （１２ 分）
即 ２ｋｘ１ｘ２＋
１
２
－ｍ( ) （ｘ１＋ｘ２）
＝ ２ｋ·
－１１
３＋４ｋ２
＋ １
２
－ｍ( ) · －４ｋ３＋４ｋ２ ＝
４ｋ（ｍ－６）
３＋４ｋ２
＝ ０．
当 ｋ≠０ 时，ｍ＝ ６，
ｋ＝ ０ 时，ｍ＝ ６ 也符合题意．故存在定点（０，６）符合题意．
（１４ 分）
当直线 ＭＮ 斜率不存在时，定点（０，６）也符合题意． （１５ 分）
综上，存在定点（０，６），使得∠ＭＱＯ＝∠ＮＱＯ． （１６ 分）
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
(共161张PPT)
五年高考
A组????自主命题·江苏卷题组
1.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆?+?=1(a>b>0)的右焦点,直线y=
?与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 ????.
?
答案?????
解析 由已知条件易得B?,C?,
F(c,0),∴?=?,?=?,
由∠BFC=90°,可得?·?=0,
所以??+?=0,
得c2-?a2+?b2=0,
即4c2-3a2+(a2-c2)=0,
亦即3c2=2a2,
所以?=?,则e=?=?.
2.(2019江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:?+?=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),
F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接
AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=?.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求点E的坐标.
?
解析 本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆
的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.
(1)设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.
又因为DF1=?,AF2⊥x轴,所以DF2=?=?=?.
因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.
由b2=a2-c2,得b2=3.
因此,椭圆C的标准方程为?+?=1.
(2)解法一:由(1)知,椭圆C:?+?=1,a=2.
因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.
因为点A在x轴上方,所以A(1,4).
又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.
由?得5x2+6x-11=0,
解得x=1或x=-?.
将x=-?代入y=2x+2,得y=-?.
因此B?.
又F2(1,0),所以直线BF2:y=?(x-1).
由?得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=?.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.
将x=-1代入y=?(x-1),得y=-?.
因此E?.
解法二:由(1)知,椭圆C:?+?=1.
如图,连接EF1.
因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B,所以∠A=∠B.
所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.
因为F1(-1,0),由?解得y=±?.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-?.
因此E?.
3.(2018江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点?,焦点F1(-?,0),F2(?,
0),圆O的直径为F1F2.
(1)求椭圆C及圆O的方程;
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;
②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为?,求直线l的方程.
?
解析????本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、
直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.
(1)解法一:因为椭圆C的焦点为F1(-?,0),F2(?,0),
所以可设椭圆C的方程为?+?=1(a>b>0).
又点?在椭圆C上,
所以?解得?
因此,椭圆C的方程为?+y2=1.
因为圆O的直径为F1F2,
所以其方程为x2+y2=3.
解法二:设椭圆C的方程为?+?=1(a>b>0).
因为椭圆C的焦点为F1(-?,0),F2(?,0),又点?在椭圆C上,
所以2a=?+?=?+?=4,所以a=2,
又因为c=?,所以b2=1,
因此,椭圆C的方程为?+y2=1.
因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.
(2)解法一:①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则?+?=3.
所以直线l的方程为y=-?(x-x0)+y0,
即y=-?x+?.
由?消去y,得
(4?+?)x2-24x0x+36-4?=0.(*)
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x0)2-4(4?+?)(36-4?)=48?(?-2)=0.
因为x0,y0>0,所以x0=?,y0=1.
因此,点P的坐标为(?,1).
②因为三角形OAB的面积为?,
所以?AB·OP=?,从而AB=?.
?
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由(*)得x1,2=?,
所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=?·?.
因为?+?=3,
所以AB2=?=?,即2?-45?+100=0.
解得?=?(?=20舍去),则?=?,因此P的坐标为?.
则直线l的方程为y=-?x+3?.
解法二:①由题意知,直线l斜率存在,
设直线l的方程为y=kx+m.
因为直线l与圆O相切于点P,所以?=?,
即m2=3(1+k2),由?
消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0(**).
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,
所以Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(k2-2)=0,
解得k=±?.
因为点P在第一象限,所以k=-?,从而m=3,
则直线l的方程为y=-?x+3.
由?解得?
因此,点P的坐标为(?,1).
②因为三角形OAB的面积为?,
所以?AB·OP=?,从而AB=?.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由(**)得x1,2=?,
所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=(1+k2)·?,
所以(1+k2)·?=?,即17k4-65k2-100=0,
解得k2=5?.
因为P在第一象限,所以k=-?,从而m=3?,
此时Δ=16(k2-2)>0,
综上,直线l的方程为y=-?x+3?.
典型错解????
错解1:对于直线与圆相切,直线与椭圆有且只有一个公共点的处理方法不清楚.
错解2:没有将三角形OAB的面积问题转化为AB长度问题.
错解3:字母和数值的运算出错.
错解4:没有交代条件就直接取舍数值.如没有交代P在第一象限,直接取k=-?,k=-?等.
名师点睛 本题从椭圆的基本问题出发,结合直线与圆的方程及几何性质,对两者进行综合,考
查综合处理问题的能力.第一问是基础问题,第二问判断直线及曲线的位置关系涉及解析几何
的基本思想方法.因此在复习中要注意以下几点:
(1)重视圆锥曲线定义的理解和应用.一方面既要理解圆锥曲线的定义,还要了解圆锥曲线的其
他表现形式;另一方面要充分创造条件应用定义,从而简化问题.
(2)总结基本问题的常见算法.如直线与圆锥曲线的交点个数问题、求交点问题、弦长问题、
中点问题等.
(3)合理选择解题思路.不同的解题思路可能导致不同的运算量,所以要先分析题目中未知点的
坐标关系,权衡所设变量,合理选择方法,从而确定最优的解题思路.
(4)优化解题运算过程.解析几何不可避免地会涉及较多计算,而且涉及较多的字母运算,需要
从算理上进行权衡,避免死算蛮算,从整体角度观察,优化运算过程.
(5)适时利用平面几何性质.解析几何本质上是几何问题,要挖掘题目中的平面几何性质,从而
优化解题路径,减少运算量.
4.(2017江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:?+?=1(a>b>0)的左、右焦点分
别为F1,F2,离心率为?,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线
PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.
?
解析 本题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基
础知识,考查分析问题能力和运算求解能力.
(1)设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为?,两准线之间的距离为8,所以?=?,?=8,解得a=2,c=1,于是b=?
=?,
因此椭圆E的标准方程是?+?=1.
(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).
设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>0.
当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.
当x0≠1时,直线PF1的斜率为?,直线PF2的斜率为?.
因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-?,直线l2的斜率为-?,
从而直线l1的方程:y=-?(x+1),?①
直线l2的方程:y=-?(x-1).?②
由①②,解得x=-x0,y=?,
所以Q?.
因为点Q在椭圆上,由对称性,得?=±y0,即?-?=1或?+?=1.
又P在椭圆E上,故?+?=1.
由?解得x0=?,y0=?;?无解.
因此点P的坐标为?.
5.(2015江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆?+?=1(a>b>0)的离心率为
?,且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2
AB,求直线AB的方程.
?
解析 (1)由题意,得?=?且c+?=3,
解得a=?,c=1,则b=1,
所以椭圆的标准方程为?+y2=1.
(2)当AB⊥x轴时,AB=?,又CP=3,不合题意.
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2=?,C的坐标为
?,且AB=?=?=?.
若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.
从而k≠0,故直线PC的方程为y+?=-??,
则P点的坐标为?,
从而PC=?.
因为PC=2AB,
所以?=?,
解得k=±1.
此时直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 椭圆的定义和标准方程
1.(2019课标全国Ⅰ理改编,10,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B
两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为 ????.
答案?????+?=1
解析 本题考查了椭圆的定义、椭圆的方程和余弦定理的应用,考查学生的运算求解能力,考
查了方程的思想方法,体现的核心素养是数学运算,具有很好的创新性.
设|F2B|=x(x>0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,
|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,
?
由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.
在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1,即9x2=x2+22-4x·cos∠BF2
F1①,
在△AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1,即4x2=4x2+22+8x·cos∠
BF2F1②,
由①②得x=?,所以2a=4x=2?,a=?,所以b2=a2-c2=2.
所以椭圆的方程为?+?=1.
思路分析 由于涉及焦点,所以要利用椭圆的定义,通过解三角形建立方程求a的值,而b2=a2-1,
故可得椭圆的方程.
疑难突破 利用余弦定理灵活解三角形是突破口.灵活利用椭圆的定义是解题的关键.
2.(2019课标全国Ⅲ理,15,5分)设F1,F2为椭圆C:?+?=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象
限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为 ????.
答案 (3,?)
解析 本题考查椭圆的定义与几何性质;考查了学生的运算求解能力和数形结合的思想方法;
考查了数学运算的核心素养.
不妨设F1,F2分别是椭圆C的左,右焦点,由M点在第一象限,△MF1F2是等腰三角形,知|F1M|=|F1F2
|,又由椭圆方程?+?=1,知|F1F2|=8,|F1M|+|F2M|=2×6=12,
所以|F1M|=|F1F2|=8,|F2M|=4.
设M(x0,y0)(x0>0,y0>0),
则?
解得x0=3,y0=?,
即M(3,?).
一题多解 依题意得|F1F2|=|F1M|=8,|F2M|=4,cos∠MF1F2=?=?,则tan∠MF1F2=?.
所以直线MF1的方程为y-0=?(x+4).
设M(6cos θ,2?sin θ),因为M点在直线MF1上,
所以2?sin θ=?(6cos θ+4),
结合sin2θ+cos2θ=1且sin θ>0,cos θ>0得cos θ=?,sin θ=?,
即M点的坐标为(3,?).
3.(2018浙江,17,4分)已知点P(0,1),椭圆?+y2=m(m>1)上两点A,B满足?=2?,则当m= ????
????时,点B横坐标的绝对值最大.
答案 5
解析 本题考查椭圆的标准方程,向量的坐标运算,二次函数的最值.
设B(t,u),由?=2?,易得A(-2t,3-2u).
∵点A,B都在椭圆上,∴?
从而有?+3u2-12u+9=0,即?+u2=4u-3.
即有4u-3=m?u=?,
∴?+?=m,∴t2=-?m2+?m-?=-?(m-5)2+4.
∴当m=5时,(t2)max=4,即|t|max=2,
即当m=5时,点B横坐标的绝对值最大.
思路分析 (1)设出点B的坐标,利用向量的坐标运算得点A的坐标.
(2)利用点A,B都在椭圆上得方程组,求得点B的横、纵坐标满足的关系式.
(3)利用(2)中的关系式及点B在椭圆上,把点B的横坐标的平方表示为关于m的函数.
(4)利用二次函数的最值得结论.
4.(2018天津理,19,14分)设椭圆?+?=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率
为?,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6?.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若?=?sin∠
AOQ(O为原点),求k的值.
解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研
究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有?=?,
又由a2=b2+c2,可得2a=3b.
由已知可得,|FB|=a,|AB|=?b,
由|FB|·|AB|=6?,可得ab=6,从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为?+?=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).
由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.
又因为|AQ|=?,而∠OAB=?,故|AQ|=?y2.
由?=?sin∠AOQ,可得5y1=9y2.
由方程组?消去x,可得y1=?.
易知直线AB的方程为x+y-2=0,
由方程组?消去x,可得y2=?.
由5y1=9y2,可得5(k+1)=3?,两边平方,
整理得56k2-50k+11=0,解得k=?,或k=?.
所以,k的值为?或?.
解题关键 利用平面几何知识将?=?sin∠AOQ转化为点P、Q坐标间的关系是解决第
(2)问的关键.
方法归纳 求椭圆标准方程的基本方法
(1)定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程;
(2)待定系数法:这是求椭圆方程的常用方法,基本步骤为①根据已知条件判断焦点的位置;②
根据焦点的位置设出所求椭圆的方程;③根据已知条件,建立关于a、b、c的方程组,注意c2=a2-
b2的应用;④解方程组,求得a、b的值,从而得出椭圆的方程.
5.(2017天津文,20,14分)已知椭圆?+?=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为
(0,c),△EFA的面积为?.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=?c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线
PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.
(i)求直线FP的斜率;
(ii)求椭圆的方程.
解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研
究圆锥曲线的性质和方程思想.考查运算求解能力,以及综合分析问题和解决问题的能力.
(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得?(c+a)c=?.
又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.
又因为0(2)(i)依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为?.
由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为?+?=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=
?,y=?,即点Q的坐标为?.由已知|FQ|=?c,有?+?
=?,整理得3m2-4m=0,所以m=?,即直线FP的斜率为?.
(ii)由a=2c,可得b=?c,故椭圆方程可以表示为?+?=1.
由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得?消去y,
整理得7x2+6cx-13c2=0,
解得x=-?(舍去),或x=c.因此可得点P?,进而可得|FP|=?=?,所以|PQ|=|FP|
-|FQ|=?-?=c.
由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线
FP.
因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=?×?=?,所以△FQN的面积为?|FQ||QN|=?,同理
△FPM的面积等于?,由四边形PQNM的面积为3c,得?-?=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得
c=2.
所以,椭圆的方程为?+?=1.
方法点拨 1.求离心率常用的方法:(1)直接求a,c,利用定义求解;(2)构造a,c的齐次式,利用方程
思想求出离心率e的值.
2.求直线斜率的常用方法:(1)公式法:k=?(x1≠x2),其中两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2);(2)利用
导数的几何意义求解;(3)直线的方向向量a=(m,n),则k=?(m≠0);(4)点差法.
3.解决四边形或三角形的面积问题时,注意弦长公式与整体代换思想的应用.
6.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为?+?=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),
点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为?.
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为?,求E的方
程.
解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为?,
因为kOM=?,所以?=?.
所以a=?b,c=?=2b.故e=?=?.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为?+?=1,点N的坐标为?.
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为?,则线段NS的中点T的坐标为?.
因为点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,所以有?
解得b=3.
所以a=3?,故椭圆E的方程为?+?=1.
评析????本题考查椭圆的方程、几何性质以及对称问题,利用方程思想解决点关于直线的对称
问题,考查利用待定系数法求椭圆的方程,考查学生的运算求解能力和化归思想的应用.
考点二 椭圆的几何性质
1.(2019北京理改编,4,5分)已知椭圆?+?=1(a>b>0)的离心率为?,则 ????.
①a2=2b2;②3a2=4b2;③a=2b;④3a=4b.
答案 ②
解析 本题考查椭圆的标准方程及离心率;通过椭圆的几何性质考查学生的理解与运算能力;
考查的核心素养是数学运算.
由题意知?=e2=?,整理得3a2=4b2.
易错警示 椭圆与双曲线中a、b、c关系的区别:
(1)椭圆:b2+c2=a2;(2)双曲线:c2=a2+b2.
2.(2018课标全国Ⅰ文改编,4,5分)已知椭圆C:?+?=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为 ????
????.
答案?????
解析 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质.
由题意可知c=2,b2=4,∴a2=b2+c2=4+22=8,则a=2?,
∴e=?=?=?.
方法总结 求椭圆离心率的常用方法:
(1)求得a,c的值,直接代入e=?求解.
(2)列出关于a,b,c的齐次方程,结合b2=a2-c2消去b,从而转化为关于e的方程求解.
3.(2018课标全国Ⅱ理改编,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:?+?=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的
左顶点,点P在过A且斜率为?的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为
????.
答案?????
解析 本题考查直线方程和椭圆的几何性质.
由题意易知直线AP的方程为y=?(x+a),①
直线PF2的方程为y=?(x-c).②
联立①②得y=?(a+c),
如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=?(a+c).
?
因为∠PF2H=60°,PF2=F1F2=2c,PH=?(a+c),
所以sin 60°=?=?=?,
即a+c=5c,即a=4c,
所以e=?=?.
解题关键 通过解三角形得到a与c的等量关系是解题的关键.
4.(2018课标全国Ⅱ文改编,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,
且∠PF2F1=60°,则C的离心率为 ????.
答案?????-1
解析 本题主要考查椭圆的定义和几何性质.
不妨设椭圆方程为?+?=1(a>b>0).
在Rt△F1PF2中,因为∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,
所以|PF2|=c,|PF1|=?c.
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,
即?c+c=2a,
所以椭圆的离心率e=?=?=?-1.
?
疑难突破 利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,结合题意得到a与c的等量关系是求解的关键,也是
难点的突破口.
5.(2018北京理,14,5分)已知椭圆M:?+?=1(a>b>0),双曲线N:?-?=1.若双曲线N的两条渐
近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为
????;双曲线N的离心率为 ????.
答案?????-1;2
解析 本题考查椭圆与双曲线的几何性质.
解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭
圆M的两个焦点.
?
∵直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为y=?x,
∴?=?.设m=k,则n=?k,则双曲线N的离心率e2=?=2.
连接F1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得∠F1CF2=90°,∠CF1F2=30°.
设椭圆的焦距为2c,则|CF2|=c,|CF1|=?c,再由椭圆的定义得|CF1|+|CF2|=2a,即(?+1)c=2a,∴椭
圆M的离心率e1=?=?=?=?-1.
解法二:双曲线N的离心率同解法一.由题意可得C点坐标为?,代入椭圆M的方程,并结
合a,b,c的关系,联立得方程组?解得?=?-1?.
方法总结 求椭圆和双曲线的离心率的关键是通过其几何性质找到a,c所满足的关系,从而求
出c与a的比值,即得离心率.
6.(2017浙江改编,2,5分)椭圆?+?=1的离心率是 ????.
答案?????
解析 本题考查椭圆的标准方程和几何性质.
由题意得a=3,c=?,∴离心率e=?=?.
7.(2017课标全国Ⅰ文改编,12,5分)设A,B是椭圆C:?+?=1长轴的两个端点.若C上存在点M满
足∠AMB=120°,则m的取值范围是 ????.
答案 (0,1]∪[9,+∞)
解析 本题考查圆锥曲线的几何性质.
当0?
图(1)
当点M运动到短轴的端点时,∠AMB取最大值,此时∠AMB≥120°,则|MO|≤1,即0当m>3时,椭圆C的长轴在y轴上,如图(2),A(0,?),B(0,-?),M(?,0)
?
图(2)
当点M运动到短轴的端点时,∠AMB取最大值,此时∠AMB≥120°,则|OA|≥3,即?≥3,即m≥9.
综上,m∈(0,1]∪[9,+∞).
易错警示 在求解本题时,要注意椭圆的长轴所在的坐标轴,题目中只说A、B为椭圆长轴的两
个端点,并未说明椭圆长轴所在的坐标轴,因此,要根据m与3的大小关系,讨论椭圆长轴所在的
坐标轴.
8.(2019课标全国Ⅱ文,20,12分)已知F1,F2是椭圆C:?+?=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O
为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
解析 本题主要考查椭圆的定义、简单的几何性质;考查数形结合的数学思想和逻辑思维能
力与运算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.
(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=?c,于是2a=|
PF1|+|PF2|=(?+1)c,故C的离心率e=?=?-1.
(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,当且仅当?|y|·2c=16,?·?=-1,?+?=1,
即c|y|=16,①
x2+y2=c2,②
?+?=1.③
由②③及a2=b2+c2得y2=?,
又由①知y2=?,故b=4.
由②③得x2=?(c2-b2),
所以c2≥b2,
从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4?.
当b=4,a≥4?时,存在满足条件的点P.
所以b=4,a的取值范围为[4?,+∞).
思路分析 第(1)问中由平面几何知识可知△PF1F2是∠F1PF2=90°的直角三角形,且|PF2|=c,|PF
1|=?c,再利用椭圆的定义找出a与c的等量关系,进而求离心率.
第(2)问中设出P点坐标,利用?=16,PF1⊥PF2以及?+?=1得到方程①②③,消元化简可求
b的值和a的取值范围.
一题多解 (2)设|PF1|=r1,|PF2|=r2,
由椭圆的定义可得r1+r2=2a,
?=?r1r2=16,∴r1r2=32.
又PF1⊥PF2,∴?+?=4c2,
(r1+r2)2=?+?+2r1r2=4c2+64=4a2,
∴4a2-4c2=64,∴b=4,
又?+?≥2r1r2,∴4c2≥2×32,∴c≥4,
∴a2=b2+c2=16+c2≥32,
∴b的值为4,a的取值范围为[4?,+∞).
9.(2016浙江理,19,15分)如图,设椭圆?+y2=1(a>1).
(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.
?
解析 (1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,
由?得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,
故x1=0,x2=-?.
因此|AP|=?|x1-x2|=?·?.
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP
|=|AQ|.
记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.
由(1)知,|AP|=?,|AQ|=?,
故?=?,
所以(?-?)[1+?+?+a2(2-a2)??]=0.
由于k1≠k2,k1,k2>0得1+?+?+a2(2-a2)??=0,
因此??=1+a2(a2-2),?①
因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>?.
因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1由e=?=?得,所求离心率的取值范围为0评析 本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几
何的基本思想方法和综合解题能力.
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.(2019浙江,15,4分)已知椭圆?+?=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF
的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是 ????.
答案?????
解析 本题主要考查椭圆的定义和标准方程、直线斜率与倾斜角的关系,以及解三角形,旨在
考查学生的综合应用能力及运算求解能力,重点应用数形结合思想,突出考查了直观想象与数
学运算的核心素养.
如图,记椭圆的右焦点为F',取PF中点为M,
?
由题知a=3,b=?,∴c=2,连接OM,PF',
则|OM|=|OF|=2,又∵M为PF的中点,
∴|PF'|=2|OM|,PF'∥OM,∴|PF'|=4,
又∵P在椭圆上,∴|PF'|+|PF|=6,∴|PF|=2,
在△PFF'中,|PF'|=|FF'|=4,|PF|=2,连接F'M,
则F'M⊥PF,∴|F'M|=?=?=?,∴kPF=tan∠PFF'=?=?.
即直线PF的斜率为?.
一题多解 易知F(-2,0),设P(3cos θ,?sin θ),设PF的中点为M,则M?,∵|OM|=|
OF|=2,
∴?+?=4,∴9cos2θ-12cos θ+4+5sin2θ=16,又∵sin2θ=1-cos2θ,
∴4cos2θ-12cos θ-7=0,解得cos θ=-?,∴sin2θ=?,
又∵P在x轴上方,∴sin θ=?,
∴P?,∴kPF=?,故答案为?.
疑难突破 试题中只出现了椭圆的一个焦点,需要作出另一个焦点,并将椭圆定义作为隐含条
件直接应用是求解本题的突破口.再由条件中的中点M联想到利用三角形中位线的性质求出
PF'的长度是解决本题的关键.
2.(2019天津文,19,14分)设椭圆?+?=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知?|
OA|=2|OB|(O为原点).
(1)求椭圆的离心率;
(2)设经过点F且斜率为?的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心
C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.
解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方
法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.
(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有?a=2b.
又由a2=b2+c2,消去b得a2=?+c2,解得?=?.
所以,椭圆的离心率为?.
(2)由(1)知,a=2c,b=?c,故椭圆方程为?+?=1.
由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=?(x+c).
点P的坐标满足?消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-?.
代入到l的方程,解得y1=?c,y2=-?c.
因为点P在x轴上方,所以P?.
由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).
因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),故?=?,解得t=2.则C(4,2).
因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得?=2,可得c=2.
所以,椭圆的方程为?+?=1.
思路分析 (1)由已知条件,得a与b的比例关系,代入a2=b2+c2,得a与c的齐次关系,进而求得离心
率.(2)设出直线方程(含参数c),联立直线与椭圆方程(含参数c),得交点P的坐标(含参数c),由kAP=
kOC,求得C点坐标以及圆的半径r,最后由圆心到直线距离等于半径列出关于c的方程,求得c的
值,最终确定椭圆方程.
3.(2019北京文,19,14分)已知椭圆C:?+?=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线
AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.
解析 本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识点,考查学生用方程思想、
数形结合思想、分类讨论解决综合问题的能力,体现了逻辑推理、直观想象和数学运算的核
心素养.
(1)由题意得,b2=1,c=1.
所以a2=b2+c2=2.
所以椭圆C的方程为?+y2=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则直线AP的方程为y=?x+1.
令y=0,得点M的横坐标xM=-?.
又y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|=?.
同理,|ON|=?.
由?得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.
则x1+x2=-?,x1x2=?.
所以|OM|·|ON|=?·?
=?
=?
=2?.
又|OM|·|ON|=2,所以2?=2.解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).
4.(2018课标全国Ⅰ理,19,12分)设椭圆C:?+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点
M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
解析 (1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,
由已知可得,点A的坐标为?或?.
所以AM的方程为y=-?x+?或y=?x-?.
(2)证明:当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,
当l与x轴垂直时,直线OM为AB的垂直平分线,
所以∠OMA=∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时,
设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=?.
将y=k(x-1)代入?+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
所以,x1+x2=?,x1x2=?.
则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=?=0,
从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,
所以∠OMA=∠OMB.
综上,∠OMA=∠OMB.
5.(2016课标全国Ⅱ,21,12分)已知A是椭圆E:?+?=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M
两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,证明:?解析 (1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为?.
又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.?(2分)
将x=y-2代入?+?=1得7y2-12y=0.
解得y=0或y=?,所以y1=?.
因此△AMN的面积S△AMN=2×?×?×?=?.?(4分)
(2)将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入?+?=1得
(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.
由x1·(-2)=?得x1=?,
故|AM|=|x1+2|?=?.
由题设,直线AN的方程为y=-?(x+2),
故同理可得|AN|=?.?(7分)
由2|AM|=|AN|得?=?,即4k3-6k2+3k-8=0.?(9分)
设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f '(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)单调递增.
又f(?)=15?-26<0, f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k在(?,2)内,所以?2.?(12分)
评析 本题考查了直线与椭圆的位置关系,考查了设而不求,整体运算的技巧,考查了函数的思
想方法,属难题.
6.(2015北京,19,14分)已知椭圆C:?+?=1(a>b>0)的离心率为?,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)
都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.
(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);
(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM
=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.
解析 (1)由题意得?解得a2=2.
故椭圆C的方程为?+y2=1.
设M(xM,0).
因为m≠0,
所以-1直线PA的方程为y-1=?x,
所以xM=?,
即M?.
(2)存在.因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,-n).
设N(xN,0),则xN=?.
“存在点Q(0,yQ)使得∠OQM=∠ONQ”等价于“存在点Q(0,yQ)使得?=?”,即yQ满足
?=|xM||xN|.
因为xM=?,xN=?,?+n2=1,
所以?=|xM||xN|=?=2.
所以yQ=?或yQ=-?.
故在y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ.
点Q的坐标为(0,?)或(0,-?).
评析 本题考查椭圆的标准方程、点与椭圆的位置关系以及对称问题,正确翻译“∠OQM=
∠ONQ”是解决本题第(2)问的关键,考查学生的运算求解能力和知识的转化与化归能力.
C组 教师专用题组
考点一 椭圆的定义和标准方程
1.(2014大纲全国改编,6,5分)已知椭圆C:?+?=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为
?,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4?,则C的方程为 ????.
答案?????+?=1
解析 由题意及椭圆的定义知4a=4?,则a=?,又?=?=?,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为?+
?=1.
2.(2013重庆理,21,12分)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=?,过左焦点F1作x
轴的垂线交椭圆于A,A'两点,|AA'|=4.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P',过P,P'作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余
点均在圆Q外.若PQ⊥P'Q,求圆Q的标准方程.
?
解析 (1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则?+?=1,从而e2+?=1.
由e=?得b2=?=8,从而a2=?=16.
故该椭圆的标准方程为?+?=1.
(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+?+8
?=?(x-2x0)2-?+8(x∈[-4,4]).
设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,
因此,上式当x=x1时取最小值,又因x1∈(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8
-?.
因为PQ⊥P'Q,且P'(x1,-y1),所以?·?=(x1-x0,y1)·(x1-x0,-y1)=0,
即(x1-x0)2-?=0.由椭圆方程及x1=2x0得
??-8?=0,
解得x1=±?,x0=?=±?.
从而|QP|2=8-?=?.
故这样的圆有两个,其标准方程分别为
?+y2=?,?+y2=?.
评析 本题考查了椭圆的标准方程、几何性质、函数的最值等知识,考查了运算能力,分析问
题和解决问题的能力,综合性较强.
考点二 椭圆的几何性质
1.(2013江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为?+?=1(a>b>0),右焦点为
F,右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2.若d2=?d1,则
椭圆C的离心率为 ????.
答案?????
解析 由题意得d1=?,d2=?-c=?,已知d2=?d1,即?=?·?,解得e=?.
2.(2013福建理,14,4分)椭圆Γ:?+?=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=
?(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 ????.
答案?????-1
解析 由已知得直线y=?(x+c)过M、F1两点,所以直线MF1的斜率为?,所以∠MF1F2=60°,则
∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°,如图,故MF1=c,MF2=?c,由点M在椭圆Γ上知:MF1+MF2=c+?c=2a,
故e=?=?-1.
?
3.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆?+?=1(a>b>0)的
左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另
一点C,连接F1C.
(1)若点C的坐标为?,且BF2=?,求椭圆的方程;
(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.
?
解析 设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).
(1)因为B(0,b),所以BF2=?=a.
又BF2=?,故a=?.
因为点C?在椭圆上,所以?+?=1,解得b2=1.
故所求椭圆的方程为?+y2=1.
(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,
所以直线AB的方程为?+?=1.
解方程组?得??
所以点A的坐标为?.
又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为?.
因为直线F1C的斜率为?=?,直线AB的斜率为-?,且F1C⊥AB,所以?·
?=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=?.因此e=?.
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.(2018课标全国Ⅲ理,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:?+?=1交于A,B两点,线段AB的
中点为M(1,m)(m>0).
(1)证明:k<-?;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且?+?+?=0.证明:|?|,|?|,|?|成等差数列,并求该数
列的公差.
解析 本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、等差数列的概念及其运算.
(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则?+?=1,?+?=1.
两式相减,并由?=k得?+?·k=0.
由题设知?=1,?=m,
于是k=-?.?①
由题设得0(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).
由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.
又点P在C上,
所以m=?,
从而P?,|?|=?.
于是|?|=?=?=2-?.
同理,|?|=2-?.
所以|?|+|?|=4-?(x1+x2)=3.
故2|?|=|?|+|?|,
即|?|,|?|,|?|成等差数列.
设该数列的公差为d,则
2|d|=||?|-|?||=?|x1-x2|=??.?②
将m=?代入①得k=-1.
所以l的方程为y=-x+?,代入C的方程,并整理得7x2-14x+?=0.
故x1+x2=2,x1x2=?,代入②解得|d|=?.
所以该数列的公差为?或-?.
思路分析 (1)利用“点差法”建立k与m的关系式,由m的范围得到k的范围.
(2)根据题设?+?+?=0及点P在C上,确定m的值.进一步得出|?|、|?|、|?|的关系,再求
公差.
解后反思 (1)解决直线与椭圆的位置关系的常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消
元、化简,然后利用根与系数的关系建立方程(组),解决相关问题.
(2)题中涉及弦的中点坐标时,可以采用“点差法”求解,设出弦端点A、B的坐标,分别代入圆
锥曲线方程并作差,变形后可出现弦AB的中点坐标和直线AB的斜率.
2.(2017山东理,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:?+?=1(a>b>0)的离心率为?,焦距
为2.
(1)求椭圆E的方程;
(2)如图,动直线l:y=k1x-?交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=?.
M是线段OC延长线上一点,且|MC|∶|AB|=2∶3,☉M的半径为|MC|,OS,OT是☉M的两条切线,切
点分别为S,T.求∠SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.
?
解析 本题考查椭圆的方程,直线与椭圆、圆的位置关系,考查最值的求解方法和运算求解能
力.
(1)由题意知e=?=?,2c=2,所以a=?,b=1,
因此椭圆E的方程为?+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立?消y整理得(4?+2)x2-4?k1x-1=0,
由题意知Δ>0,且x1+x2=?,x1x2=-?,
所以|AB|=?|x1-x2|=??.
由题意可知圆M的半径
r=?|AB|=?·?.
由题设知k1k2=?,
所以k2=?,
因此直线OC的方程为y=?x.
联立?得x2=?,y2=?,
因此|OC|=?=?.
由题意可知sin?=?=?,
而?=?=??,
令t=1+2?,则t>1,?∈(0,1),
因此?=?·?=?·?
=?·?≥1,
当且仅当?=?,即t=2时等号成立,此时k1=±?,
所以sin?≤?,
因此?≤?,所以∠SOT的最大值为?.
综上所述:∠SOT的最大值为?,取得最大值时直线l的斜率k1=±?.
思路分析 (1)由离心率和焦距,利用基本量运算求解;(2)联立直线l与椭圆方程,利用距离公式
求出|AB|,联立直线OC与椭圆方程求|OC|,进而建立sin?与k1之间的函数关系,利用二次函
数的性质求解.
疑难突破 把角的问题转化为三角函数问题,即由sin?=?=f(k1)求解是解题的突破
口.
解后反思 最值问题一般利用函数的思想方法求解,利用距离公式建立sin?与k1之间的
函数关系是解题关键.牢固掌握基础知识和方法是求解的前提.本题的完美解答体现了数学知
识、能力、思想、方法的完美结合.
3.(2017北京文,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为
?.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.
求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
解析 本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力.
(1)设椭圆C的方程为?+?=1(a>b>0).
由题意得?
解得c=?.所以b2=a2-c2=1.
所以椭圆C的方程为?+y2=1.
(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).
由题设知m≠±2,且n≠0.
直线AM的斜率kAM=?,故直线DE的斜率kDE=-?.
所以直线DE的方程为y=-?(x-m).
直线BN的方程为y=?(x-2).
联立?
解得点E的纵坐标yE=-?.
由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.
所以yE=-?n.
又S△BDE=?|BD|·|yE|=?|BD|·|n|,
S△BDN=?|BD|·|n|,
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
易错警示 在设直线方程时,若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x=ty
+n,则要考虑斜率为0的情况.
4.(2017山东文,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:?+?=1(a>b>0)的离心率为?,
椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2?.
(1)求椭圆C的方程;
(2)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,☉N的半径
为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与☉N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.
?
解析 本题考查椭圆的标准方程及圆锥曲线的相关最值.
(1)由椭圆的离心率为?,得a2=2(a2-b2),
又当y=1时,x2=a2-?,得a2-?=2,
所以a2=4,b2=2.
因此椭圆方程为?+?=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程?
得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,
由Δ>0得m2<4k2+2,(*)
且x1+x2=-?,因此y1+y2=?,
所以D?,
又N(0,-m),所以|ND|2=?+?,
整理得|ND|2=?,
因为|NF|=|m|,
所以?=?=1+?.
令t=8k2+3,t≥3,故2k2+1=?,
所以?=1+?=1+?.
令y=t+?,所以y'=1-?.
当t≥3时,y'>0,
从而y=t+?在[3,+∞)上单调递增,
因此t+?≥?,
等号当且仅当t=3时成立,此时k=0,
所以?≤1+3=4,
由(*)得-?故?≥?.设∠EDF=2θ,
则sin θ=?≥?.所以θ的最小值为?,
从而∠EDF的最小值为?,此时直线l的斜率是0.
综上所述:当k=0,m∈(-?,0)∪(0,?)时,∠EDF取到最小值?.
方法总结 求解圆锥曲线相关最值的常用方法:
1.几何性质法;
2.二次函数最值法;
3.基本不等式法;
4.三角函数最值法;
5.导数法.
5.(2016山东,21,14分)已知椭圆C:?+?=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2?.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.
过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.
(i)设直线PM,QM的斜率分别为k,k',证明?为定值;
(ii)求直线AB的斜率的最小值.
?
解析 (1)设椭圆的半焦距为c.
由题意知2a=4,2c=2?,
所以a=2,b=?=?.
所以椭圆C的方程为?+?=1.
(2)(i)证明:设P(x0,y0)(x0>0,y0>0).
由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m).
所以直线PM的斜率k=?=?,
直线QM的斜率k'=?=-?.
此时?=-3.所以?为定值-3.
(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2).
直线PA的方程为y=kx+m,
直线QB的方程为y=-3kx+m.
联立?
整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0.
由x0x1=?,可得x1=?.
所以y1=kx1+m=?+m.
同理x2=?,y2=?+m.
所以x2-x1=?-?=?,
y2-y1=?+m-?-m=?,
所以kAB=?=?=??.
由m>0,x0>0,可知k>0,
所以6k+?≥2?,等号当且仅当k=?时取得.
此时?=?,即m=?,符合题意.
所以直线AB的斜率的最小值为?.
评析 本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线的斜率等基
础知识,考查逻辑思维能力、运算求解能力和推理论证能力.
6.(2016北京,19,14分)已知椭圆C:?+?=1(a>b>0)过A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四
边形ABNM的面积为定值.
解析 (1)由题意得a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为?+y2=1.
又c=?=?,
所以离心率e=?=?.
(2)证明:设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则?+4?=4.
又A(2,0),B(0,1),
所以,直线PA的方程为y=?(x-2).
令x=0,得yM=-?,从而|BM|=1-yM=1+?.
直线PB的方程为y=?x+1.
令y=0,得xN=-?,
从而|AN|=2-xN=2+?.
所以四边形ABNM的面积
S=?|AN|·|BM|
=???
=?
=?=2.
从而四边形ABNM的面积为定值.
评析 本题考查了椭圆的标准方程、离心率和直线方程的相关知识及定值问题,知识点较综
合,属中等偏难题.
7.(2015福建,18,13分)已知椭圆E:?+?=1(a>b>0)过点(0,?),且离心率e=?.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G?与以线段AB为直径的圆的位置
关系,并说明理由.
?
解析 (1)由已知得?解得?
所以椭圆E的方程为?+?=1.
(2)解法一:设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).
由?得(m2+2)y2-2my-3=0,
所以y1+y2=?,y1y2=-?,从而y0=?.
所以|GH|2=?+?=?+?=(m2+1)?+?my0+?.
?=?=?
=?=(1+m2)(?-y1y2),
故|GH|2-?=?my0+(1+m2)y1y2+?=?-?+?=?>0,所以|GH|>?.
故点G?在以AB为直径的圆外.
解法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则?=?,
?=?.
由?得(m2+2)y2-2my-3=0,
所以y1+y2=?,y1y2=-?,
从而?·?=??+y1y2=??+y1y2=(m2+1)y1y2+?m(y1+y2)+?=
?+?+?=?>0,
所以cos>0.又?,?不共线,所以∠AGB为锐角.
故点G?在以AB为直径的圆外.
评析 本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运
算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.
8.(2014天津,18,13分)设椭圆?+?=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为
B.已知|AB|=?|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆
相切.求直线l的斜率.
解析 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=?·|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则?=?.
所以椭圆的离心率e=?.
(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为?+?=1.
设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有?=(x0+c,y0),?=(c,c).
由已知,有?·?=0,即(x0+c)c+y0c=0.
又c≠0,故有
x0+y0+c=0.?①
又因为点P在椭圆上,
故?+?=1.?②
由①和②可得3?+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,
故x0=-?c,代入①得y0=?,
即点P的坐标为?.
设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=?=-?c,y1=?=?c,进而圆的半径r=?=?c.
设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得?=r,即?=
?c,
整理得k2-8k+1=0,解得k=4±?.
所以直线l的斜率为4+?或4-?.
评析????本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考查
用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
9.(2014课标全国Ⅰ,20,12分)已知点A(0,-2),椭圆E:?+?=1(a>b>0)的离心率为?,F是椭圆E
的右焦点,直线AF的斜率为?,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
解析 (1)设F(c,0),由条件知,?=?,得c=?.
又?=?,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故E的方程为?+y2=1.
(2)当l⊥x轴时不合题意,
故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
将y=kx-2代入?+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>?时,x1,2=?.
从而|PQ|=?|x1-x2|=?.
又点O到直线PQ的距离d=?,
所以△OPQ的面积S△OPQ=?d·|PQ|=?.
设?=t,则t>0,S△OPQ=?=?.
因为t+?≥4,当且仅当t=2,即k=±?时等号成立,且满足Δ>0,
所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=?x-2或y=-?x-2.
评析 本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质,直线的方程以及直线与椭圆的位置关系等
基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线综合问题,考查方程思想、函数思想、整体代换以及
换元法的应用.考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.
10.(2011江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,M,N分别是椭圆?+?=1的顶点,过坐标
原点的直线交椭圆于P,A两点,其中点P在第一象限.过P作x轴的垂线,垂足为C.连接AC,并延长
交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.
(1)若直线PA平分线段MN,求k的值;
(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;
(3)对任意的k>0,求证:PA⊥PB.
?
解析 (1)由题设知,a=2,b=?,故M(-2,0),N(0,-?),所以线段MN中点的坐标为?.由于
直线PA平分线段MN,故直线PA过线段MN的中点,又直线PA过坐标原点,所以k=?=?.
(2)直线PA的方程为y=2x,代入椭圆方程得?+?=1,解得x=±?,因此P?,A?.
于是C?,直线AC的斜率为?=1,
故直线AB的方程为x-y-?=0.
因此,d=?=?.
(3)证法一:将直线PA的方程y=kx代入?+?=1,解得x=±? .记μ=?,则P(μ,μk),A(-μ,
-μk).于是C(μ,0).
故直线AB的斜率为?=?,其方程为y=?(x-μ),
代入椭圆方程得(2+k2)x2-2μk2x-μ2(3k2+2)=0,
解得x=?或x=-μ.
因此B?.
于是直线PB的斜率k1=?=?=-?.
因此k1k=-1,所以PA⊥PB.
证法二:设P(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,x2>0,x1≠x2,A(-x1,-y1),C(x1,0).设直线PB,AB的斜率分别为k1,k2.因
为C在直线AB上,所以k2=?=?=?.从而k1k+1=2k1k2+1=2·?·?+1=?+
1=?=?=0.
因此k1k=-1,所以PA⊥PB.
评析 本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线
的距离等基础知识,是解析几何的经典题型.对考生的运算能力有较高的要求,对考生的心理素
质的要求也较高,属难题.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点一 椭圆的定义和标准方程
1.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,9)在平面直角坐标系xOy中,点P是椭圆C:?+?=1(a>0)上
一点,F为椭圆C的右焦点,直线FP与圆O:x2+y2=1相切于点Q,若Q恰为线段FP的中点,则a= ????
????.
答案 3
解析 取椭圆的左焦点F',连接PF',OQ.
?
因为直线FP与圆O:x2+y2=1相切于点Q,Q为线段FP的中点,O为F'F的中点,
所以OQ⊥PF,PF'=2OQ=2,PF⊥PF',
由椭圆的定义可得PF=2a-2,
在直角三角形PFF'中,可得PF2+PF'2=F'F2,
即(2a-2)2+22=4c2,可得4a2-8a+8=4(a2-4),
解得a=3.
评析 本题考查椭圆的定义,注意运用勾股定理和三角形中位线定理,属于中档题.当题目中涉
及椭圆上的点到焦点的距离时,要考虑使用椭圆的定义,再利用好Q是中点,就能够找到等量关
系.
2.(2017海安高级中学阶段检测,10)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:?+?=1和直线l:x-y+9=0.
在l上取一点M,经过点M且与椭圆C有共同焦点的椭圆中,长轴最短的椭圆的标准方程为 ????
????.
答案?????+?=1
解析 设椭圆C:?+?=1的左,右焦点分别为F1,F2,则F1(-3,0),F2(3,0),在l上取一点M,经过点M
且与椭圆C有共同焦点的椭圆中,长轴最短,即在l上取一点M使它到F1(-3,0),F2(3,0)的距离和最
小,设F1关于l:x-y+9=0的对称点为A(x1,y1),
则?解得A(-9,6),
设所求椭圆的标准方程为?+?=1(a>b>0),
由几何性质可得长轴最短时,A,M,F三点共线,此时2a=|AF2|=?=6?,即a=3?,
又c=3,所以b2=a2-c2=45-9=36,
所以所求椭圆的标准方程为?+?=1.
考点二 椭圆的几何性质
1.(2019南通通州、海门联考,9)设椭圆C:?+?=1(a>b>0)的左顶点为A,上顶点为B,AB=?,
且椭圆的离心率为?,则过椭圆C的右焦点F2且与直线AB平行的直线l的方程为 ????
????.
答案 2x-3y-2?=0
解析 由题意得?
∴a=3,b=2,c=?,
∴椭圆的右焦点坐标为(?,0).
由题意得直线AB的斜率为?,
∴直线l的方程为2x-3y-2?=0.
2.(2017无锡期末,9)设P为有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点,且PF1⊥PF2,椭圆C
1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,若3e1=e2,则e1= ????.
答案?????
解析 设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,它们的焦距均为2c,不妨设|PF1|>|PF2|,则由
椭圆及双曲线的定义可得?解得?
又PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2,
从而可得?+?=2c2,所以?+?=2,
因为3e1=e2,所以e1=?.
3.(2019连云港期中,13)已知椭圆T:?+?=1(a>b>0)的两个顶点A(a,0),B(0,b),过A,B分别作与
AB垂直的直线交椭圆T于D,C,若BC=3AD,则椭圆的离心率为 ????.
答案?????
解析 如图,A(a,0),B(0,b),设D(x1,y1),C(x2,y2),
∵AB⊥AD,AB⊥BC,∴AD∥BC,
又∵BC=3AD,∴?=3?,即(x2,y2-b)=3(x1-a,y1),
∴?即?
∵C,D在椭圆上,∴?
②-①得?+?=-8,
即?+?=-8,
即?+?=-8,化简,得y1=?x1-3b,
又kAB=-?,所以kAD=?,则直线AD的方程为y=?x-?,
因为点D在直线AD上,所以y1=?x1-?,所以?=?,即a2=3b2,
故e=?=?=?=?.
?
4.(2019苏中、苏北七大市一模,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆?+?=1(a>b>0)的左
焦点为F,右顶点为A,上顶点为B.
(1)已知椭圆的离心率为?,线段AF中点的横坐标为?,求椭圆的标准方程;
(2)已知△ABF外接圆的圆心在直线y=-x上,求椭圆的离心率e的值.
?
解析 (1)因为椭圆?+?=1(a>b>0)的离心率为?,所以?=?,则a=2c.
因为线段AF中点的横坐标为?,所以?=?.
所以c=?,则a2=8,b2=a2-c2=6.
所以椭圆的标准方程为?+?=1.?(4分)
(2)因为A(a,0),F(-c,0),
所以线段AF的中垂线方程为x=?.
又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y=-x上,
所以C?.?(6分)
因为A(a,0),B(0,b),
所以线段AB的中垂线方程为y-?=??.
由C在线段AB的中垂线上,得-?-?=??,
整理得b(a-c)+b2=ac,?(10分)
即(b-c)(a+b)=0.
因为a+b>0,所以b=c.?(12分)
所以椭圆的离心率e=?=?=?.?(14分)
名师点睛 解析几何包含两个主要问题,即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解
析几何的复习,第一,要牢固掌握解析几何中有关的基本概念;第二,合理选择参数,确定解题方
向,规划解题路线,把握解析法思想的精髓.
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.(2019徐州期初,18)已知圆C的方程为x2+y2-8mx-(6m+2)y+6m+1=0(m∈R,m≠0),椭圆中心在原
点,焦点在x轴上.
(1)证明圆C恒过一定点M,并求此定点M的坐标;
(2)判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系,并证明你的结论;
(3)当m=2时,圆C与椭圆的左准线相切,且椭圆过(1)中的点M,求此时的椭圆方程;在x轴上是否
存在两定点A,B,使得对椭圆上任意一点Q(异于长轴端点),直线QA,QB的斜率之积为定值?若存
在,求出A,B坐标;若不存在,请说明理由.
解析 (1)圆C的方程可化为
(x2+y2-2y+1)-m(8x+6y-6)=0,?(2分)
则有??(4分)
解得?所以圆C过定点M(0,1).?(5分)
(2)相切.圆C的方程可化为(x-4m)2+[y-(3m+1)]2=25m2,?(6分)
圆心到直线的距离d=??(8分)
=?=5|m|=r.?(9分)
所以直线4x+3y-3=0与圆C相切.?(10分)
(3)当m=2时,圆C的方程为(x-8)2+(y-7)2=100,
圆心为(8,7),半径为10,与直线x=8-10,即x=-2相切,
所以椭圆的左准线为x=-2.?(11分)
又椭圆过点M(0,1),则b=1,
所以???
所以椭圆方程为?+y2=1.?(12分)
在椭圆上任取一点Q(x,y),设定点A(s,0),B(t,0),
kQA·kQB=k.
则kQA·kQB=?·?=?=k,
即1-?=kx2-(s+t)kx+kst对任意x∈(-?,?)恒成立,?(13分)
所以???或??(14分)
所以A(-?,0),B(?,0)或A(?,0),B(-?,0).?(16分)
2.(2019苏州期末,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知焦点在x轴上,离心率为?的椭圆E的
左顶点为A,点A到右准线的距离为6.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过点A且斜率为?的直线与椭圆E交于点B,过点B与右焦点F的直线交椭圆E于M点,求M点的
坐标.
?
解析 (1)设椭圆方程为?+?=1(a>b>0),半焦距为c,
因为椭圆的离心率为?,所以?=?,即a=2c,
又因为A到右准线的距离为6,所以a+?=3a=6,?(2分)
解得a=2,c=1,?(4分)
所以b2=a2-c2=3,所以椭圆E的标准方程为?+?=1.?(6分)
(2)直线AB的方程为y=?(x+2),
由?得x2+3x+2=0,解得x=-2或x=-1,
则B点的坐标为?.?(9分)
由题意知,右焦点为F(1,0),所以直线BF的方程为y=-?(x-1),?(11分)
由?得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=?,?(13分)
所以点M的坐标为?.?(14分)
一、填空题(每小题5分,共20分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：60分钟 分值：85分)
1.(2019扬州中学检测,13)如图,已知椭圆?+?=1(a>b>0),点A,B1,B2,F依次为其左顶点、下顶
点、上顶点和右焦点,若直线AB2与直线B1F的交点M恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为
????.
?
答案?????
解析 根据题意,得A的坐标为(-a,0),B1的坐标为(0,-b),B2的坐标为(0,b),F的坐标为(c,0),
则直线AB2的方程为?+?=1,直线FB1的方程为?+?=1,
联立两直线的方程可得?-?=2.
又直线AB2与直线B1F的交点恰在直线x=?上,
所以?-?=2,即?-?=2,
解得?=2或-1(舍),
所以椭圆的离心率e=?=?.
2.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,11)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆
?+?=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B,右焦点为F,上顶点为C,线段BC的中点为M,直线
AM与椭圆的另一个交点为D,且DF垂直于x轴,则椭圆离心率e的值为 ????.
?
答案?????
解析 易知M?,D?,由A,M,D共线可知,
?=?,化简得a+c=3b,
因为b2=a2-c2,所以(a+c)2=9b2=9(a2-c2),所以a+c=9(a-c),所以c=?a,
所以e=?=?=?.
一题多解 连接AC.设AD交y轴于G,易知G为三角形ABC的重心,则OG=?b,又DF=?,?=
?,∴?=?,即a+c=3b,又b2=a2-c2,∴c=?a,∴e=?.
?
3.(2019淮安五校联考,12)如图,已知椭圆?+?=1(a>b>0)的左、右准线分别为l1、l2,且分别交
x轴于C,D两点,从l1上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与l2交于点B,若AF
⊥BF,且∠ABD=75°,则椭圆的离心率等于 ????.
?
答案?????
解析 由题意知∠AFC=∠BFC=45°,则|AC|=|CF|=-c-?=?,
∴|AF|=?,|BF|=?=?,
∴|BF|2=2|DF|2=?=?,
整理得e4-4e2+1=0.
解得e2=2-?或e2=2+?(舍去),∴e=?.
4.(2019南通、如皋二模,10)已知F1、F2分别为椭圆E:?+?=1(a>b>0)的左、右焦点,点A、B
分别是椭圆E的右顶点和上顶点,若直线AB上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆C的离心率e的取
值范围是 ????.
答案?????
解析 如图,依题意,得A(a,0),B(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),
易知直线AB的方程为y=-?x+b,
?
由点P在直线AB上,设P点坐标为?.
由PF1⊥PF2,得?·?=0,
即?·?=0,
即x2-c2+?x2-?x+b2=0,
整理,得?x2-?x+2b2-a2=0,(*)
直线AB上存在点P,使得PF1⊥PF2,即方程(*)有解,
所以Δ=?-4?(2b2-a2)≥0,
化简,得a4-b2a2-b4≥0,即a4-(a2-c2)a2-(a2-c2)2≥0,
化简,得a4+c4-3a2c2≤0,即?-?+1≤0,即e4-3e2+1≤0,
解得?≤e2≤?,即?≤e2≤?,即?≤e2≤?,即?≤e≤
?,又椭圆中0二、解答题(共65分)
5.(2019南京三模,18)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:?+?=1(a>b>0)经过点?,离
心率为?.A,B分别是椭圆C的上、下顶点,M是椭圆C上异于A,B的一点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P在直线x-y+2=0上,且?=3?,求△PMA的面积;
(3)过点M作斜率为1的直线交椭圆C于另一点N,交y轴于点D,且D点在线段OA上(不包括端
点O,A),直线NA与直线BM交于点P,求?·?的值.
?
解析 (1)因为椭圆经过点?,离心率为?,
所以?+?=1,?=1-e2=?,解得a2=2,b2=1,
所以椭圆C的方程为?+y2=1.?(2分)
(2)由(1)知B(0,-1),设M(x0,y0),P(x,y).
由?=3?,得(x,y+1)=3(x0,y0+1),
则x=3x0,y=3y0+2.
又因为P在直线x-y+2=0上,所以y0=x0.①?(4分)
因为M在椭圆C上,所以?+?=1,
将①代入上式,得?=?.?(6分)
所以|x0|=?,从而|x|=?,
所以S△PMA=S△PAB-S△MAB=?×2×?-?×2×?=?.?(8分)
(3)解法一:由(1)知, A(0,1), B(0,-1).
设D(0,m),0因为直线MN的斜率为1,所以直线MN的方程为y=x+m,
联立?消去y,得3x2+4mx+2m2-2=0,
所以x1+x2=-?,x1x2=?.?(10分)
直线MB的方程为y=?x-1,
直线NA的方程为y=?x+1,
联立解得yP=?.②?(12分)
将y1=x1+m,y2=x2+m代入②,得
yP=?=?
=?=?.?(14分)
所以?·?=(0,m)·(xP,yP)=myP=m·?=1.?(16分)
解法二:A(0,1),B(0,-1).设M(x0,y0),则?+?=1.
因为直线MN的斜率为1,所以直线MN的方程为y=x-x0+y0,则D(0,y0-x0),
联立得?消去y,得3x2-4(x0-y0)x+2(x0-y0)2-2=0,
所以xN+x0=?,?(10分)
所以xN=?,yN=-?,
所以直线NA的方程为y=?x+1=?x+1,
直线MB的方程为y=?x-1,
联立解得yP=?.?(12分)
又因为?+?=1,
所以yP=?=?,?(14分)
所以?·?=(0,y0-x0)·(xP,yP)=(y0-x0)?=1.?(16分)
6.(2019如皋期末,18)如图,已知椭圆C:?+?=1(a>b>0)的离心率为?,右准线方程为x=4,A,B分
别是椭圆C的左,右顶点,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C相交于M,N两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)记△AFM,△BFN的面积分别为S1,S2,若?=?,求k的值;
(3)设线段MN的中点为D,直线OD与右准线相交于点E,记直线AM,BN,FE的斜率分别为k1,k2,k3,
求k2·(k1-k3)的值.
?
解析 (1)设椭圆的焦距为2c(c>0).依题意,得?=?,且?=4,解得a=2,c=1.所以b2=a2-c2=3.
所以椭圆C的标准方程为?+?=1.?(4分)
(2)设点M(x1,y1)(x1>0,y1>0),N(x2,y2).
根据题意,得?=?,即?=?,整理可得?=?,所以?=2?.
可得?即?
又点M,N在椭圆C上,所以?
解得?
所以直线l的斜率k=?=?.?(9分)
(3)依题意,直线l的方程为y=k(x-1).
联立?整理得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
所以x1+x2=?,x1x2=?.
故xD=?=?,yD=k(xD-1)=-?,
所以直线OD的方程为y=-?x,
令x=4,得yE=-?,即E?.
所以k3=?=-?.?(12分)
所以k2·(k1-k3)=k2·?=?·?
=?·?
=?
=?
=?
=?
=?=?=?.?(16分)
7.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:?+?=1
(a>b>0)的左,右顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0),右准线方程为x=4.过点A1的直线交椭圆C于x轴上方
的点P,交椭圆C的右准线于点D.直线A2D与椭圆C的另一交点为G,直线OG与直线A1D交于点H.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若HG⊥A1D,试求直线A1D的方程;
(3)如果?=λ?,试求λ的取值范围.
?
解析 (1)由椭圆C的左,右顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0),右准线方程为x=4,得
a=2,?=4,所以c=1,b2=a2-c2=3.?(2分)
所以椭圆C的方程为?+?=1.?(3分)
(2)设直线A1D的方程为y=k(x+2)(k>0),则与右准线x=4的交点为D(4,6k).
又A2(2,0),所以直线A2D的方程为y=3k(x-2),
由?得G?,?(5分)
所以直线OG的斜率kOG=?,
因为OG⊥A1D,所以?·k=-1,又k>0,所以k=?,?(7分)
所以直线A1D的方程为y=?(x+2).?(8分)
(3)由(2)可知,直线OG的方程为y=?x,
由?得H?.?(10分)
由?得P?.?(12分)
因为?=λ?,所以(xH+2,yH)=λ(xP+2,yP),则yH=λyP,
则λ=?=?=?=?=?.?(14分)
令f(k)=?,
因为f(k)在(0,+∞)上为减函数,
所以λ∈?.?(16分)
8.(2019南京、盐城二模,18)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:?+?=1(a>b>0)的离心率为
?,且椭圆C短轴的一个端点到一个焦点的距离等于?.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设经过点P(2,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,点Q(m,0).
①若对任意直线l总存在点Q,使得QA=QB,求实数m的取值范围;
②设点F为椭圆C的左焦点,若点Q是△FAB的外心,求实数m的值.
解析 (1)由题意得?解得?
所以b2=a2-c2=1,
所以椭圆C的方程为?+y2=1.?(2分)
(2)设直线l的方程为y=k(x-2),
代入椭圆C的方程,消去y,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,
由Δ=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)>0得-?设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=?,x1x2=?.
①设AB中点为M(x0,y0),则x0=?=?,y0=k(x0-2)=-?.?(6分)
当k≠0时,因为QA=QB,所以QM⊥l,
即kQM·k=?·k=-1.
解得m=?.?(8分)
当k=0时,可得m=0,符合m=?.
由0≤k2=?②因为点Q为△FAB的外心,且F(-1,0),所以QA=QB=QF.
由??(12分)
消去y,得x2-4mx-4m=0,易知x1,x2也是此方程的两个根,
所以x1+x2=4m,x1x2=-4m.?(14分)
又因为x1+x2=?,x1x2=?,所以?=-?,
解得k2=?.所以m=?=?.?(16分)
C组 2017—2019年高考模拟·应用创新题组
(2019 5·3原创题)已知椭圆C:?+?=1(a>b>0)的离心率为?,F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,点M
的坐标为(3,0),且|F1M|=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点M的直线l与C交于A,B两个不同的点,点B关于x轴的对称点为点E,设直线AE与x轴交于
点N,试判断当直线l变化时,点N是否也随着变化.若不变,求出点N的坐标.
解析 (1)由已知可得?=?,3+c=4.
可得c=1,a=2,则b2=3.
∴C的方程为?+?=1.
(2)解法一:由条件可知直线AE的斜率存在,设其方程为y=kx+m.设A(x1,y1),E(x2,y2),则B(x2,-y2).
由?消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
∴x1+x2=-?,x1x2=?.
由Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)>0可得4k2-m2+3>0①.
∵A,B,M三点共线,∴?∥?.
又?=(3-x1,-y1),?=(3-x2,y2),
∴y2(3-x1)+y1(3-x2)=0.
∴(kx2+m)(3-x1)+(kx1+m)(3-x2)=0.
∴2kx1x2-3k(x1+x2)+m(x1+x2)-6m=0.
∴2k·?+(m-3k)·?-6m=0.
∴?=0,∴m=-?k,经验证满足①式.
∴直线AE的方程为y=kx-?k=k?,
即直线AE过定点?.
∴当直线l变化时,点N不变,且点N的坐标为?.
解法二:设l的方程为x=my+3,A(x1,y1),B(x2,y2),
则E(x2,-y2).
由?消去x,得(3m2+4)y2+18my+15=0.
∴y1+y2=-?,y1y2=?.
由Δ=(18m)2-4×15(3m2+4)=48(3m2-5)>0可得m2>?.
∴直线AE的方程为y-y1=?(x-x1).
令y=0,得x=?,即点N的坐标为?.
又x=?=?=?
=?+3=?+3=-?+3=?,
∴点N的坐标为?.
∴当直线l变化时,点N不变,且点N的坐标为?.
