８６ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§ １１．２ 随机事件、古典概型与几何概型
对应学生用书起始页码 Ｐ１４４
考点一 随机事件的概率 高频考点
１．确定性现象与随机现象
确定性现象 随机现象
在一定条件下，事先就能断
定发生或不发生某种结果，
这种现象就是确定性现象
在一定条件下，某种现象可
能发生，也可能不发生，事
先不能断定出现哪种结果，
这种现象就是随机现象
２．事件及其分类
（１）定义：对于某个现象，如果能让其条件实现 １ 次，那么就
是进行了 １ 次试验，而试验的每一种可能的结果，都是一个事件．
（２）分类
事
件
确定性现象
必然事件
不可能事件
随机事件
在一定条件下，必然会发生的事件叫做
必然事件
在一定条件下，肯定不会发生的事件叫
做不可能事件
①定义：在一定条件下，可能发生也可能
不发生的事件叫做随机事件；②表示：一
般用 Ａ，Ｂ，Ｃ 等大写英文字母表示
３．概率
一般地，对于给定的随机事件 Ａ，在相同条件下，随着试验次
数的增加，事件 Ａ 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳
定，我们可以用这个常数来刻画随机事件 Ａ 发生的可能性大小，
并把这个常数称为随机事件 Ａ 的概率，记作 Ｐ（Ａ） ．
（１）有界性：对任意事件 Ａ，有 ０≤Ｐ（Ａ）≤１．
（２）规范性：若 Ｂ，Ｃ 分别代表必然事件和不可能事件，则
Ｐ（Ｂ）＝ １，Ｐ（Ｃ）＝ ０．
４．事件
（１）基本事件：在 １ 次试验中可能出现的每一个基本结果．
（２）等可能基本事件：若在 １ 次试验中，每个基本事件发生
的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．
５．互斥事件
（１）定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．
（２）互斥事件概率计算公式：如果事件 Ａ，Ｂ 互斥，那么事件
Ａ＋Ｂ（事件 Ａ，Ｂ 至少有一个）发生的概率等于事件 Ａ，Ｂ 分别发生
的概率的和，即 Ｐ（Ａ＋Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ） ．
一般地，如果事件 Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ 两两互斥，那么 Ｐ（Ａ１＋Ａ２＋…
＋Ａｎ）＝ Ｐ（Ａ１）＋Ｐ（Ａ２）＋…＋Ｐ（Ａｎ） ．
（３）对立事件及其概率：若两个互斥事件必有 １ 个发生，则
称这两个事件为对立事件；若事件 Ａ 的对立事件记作 Ａ，则Ｐ（Ａ）
＋Ｐ（Ａ）＝ １，Ｐ（Ａ）＝ １－Ｐ（Ａ） ．
考点二 古典概型 高频考点
１．古典概型的特点
（１）所有的基本事件只有有限个；
（２）每个基本事件的发生都是等可能的．
２．古典概型的概率计算公式
如果 １ 次试验的等可能基本事件共有 ｎ 个，那么每一个等
可能基本事件发生的概率都是
１
ｎ
．如果某个事件 Ａ 包含了其中
ｍ 个等可能基本事件，那么事件 Ａ 发生的概率为 Ｐ（Ａ）＝
ｍ
ｎ
，即
Ｐ（Ａ）＝
事件 Ａ 包含的基本事件数
试验的基本事件总数
．
考点三 几何概型
１．对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个
特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机
会都一样，一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内
的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立
体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．
２．几何概型的概率计算公式
在几何区域 Ｄ 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的
一个区 域 ｄ 内 ” 为 事 件 Ａ， 则 事 件 Ａ 发 生 的 概 率 Ｐ （ Ａ）
＝ ｄ 的测度
Ｄ 的测度
．
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对应学生用书起始页码 Ｐ１４５
一、古典概型概率的求法
１．求古典概型问题的基本步骤
（１）明确事件，分清概型．古典概型一定要满足“所有基本事
件只有有限个，且每个基本事件的发生都是等可能的”这两个基
本特征．
（２）正确计数，套用公式．正确计算基本事件总数 ｎ 及事件 Ａ
包含的基本事件数 ｍ，再代入公式 Ｐ（Ａ）＝
ｍ
ｎ
进行计算．
２．解较复杂的概率问题的关键是理解题目的实际含义，把
问题转化为概率模型．必要时可考虑分类讨论、数形结合、正难则
反等思想方法．
（１）（２０１７ 扬州期末）已知 Ａ，Ｂ∈｛－３，－１，１，２｝且 Ａ≠
Ｂ，则直线 Ａｘ＋Ｂｙ＋１＝ ０ 的斜率小于 ０ 的概率为 ．
（２）（２０１７ 南京三模）甲盒子中有编号分别为 １，２ 的 ２ 个乒
乓球，乙盒子中有编号分别为 ３，４，５，６ 的 ４ 个乒乓球．现从两个
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第十一章 统计与概率 ８７
盒子中随机地各取出 １ 个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和
大于 ６ 的概率为 ．
（３）一个均匀的正四面体各面上分别标有 １，２，３，４ 四个数
字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为 ｂ，ｃ．
①记 ｚ＝（ｂ－３） ２＋（ｃ－３） ２，求 ｚ＝ ４ 的概率；
②若方程 ｘ２－ｂｘ－ｃ＝ ０ 至少有一根 ｘ∈｛１，２，３，４｝，则称该方
程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．
解析 （１）所有的基本事件（Ａ，Ｂ）为（－３，－１），（－３，１），
（－３，２），（－１，１），（－１，２），（１，２），（－１，－３），（１，－３），（２，－３），
（１，－１），（２，－１），（２，１），共 １２ 种，其中（－３，－１），（１，２），（－１，
－３），（２，１）这 ４ 种能使直线 Ａｘ＋Ｂｙ＋１ ＝ ０ 的斜率小于 ０，所以所
求概率 Ｐ＝
４
１２
＝ １
３
．
（２）由题意得，从甲、乙两个盒子中随机地各取出 １ 个乒乓
球，共有 ２×４＝ ８（种）情况，编号之和大于 ６ 的情况有（１，６），（２，
５），（２，６），共 ３ 种，所以取出的乒乓球的编号之和大于 ６ 的概率
为
３
８
．
（３）由题意知基本事件（ｂ，ｃ）共有 ４×４＝ １６（个） ．
①当 ｚ＝ ４ 时，（ｂ，ｃ）的所有取值为（１，３），（３，１），所以 ｚ ＝ ４
的概率 Ｐ１ ＝
２
１６
＝ １
８
．
②分类讨论：
１）若方程一根为 ｘ＝ １，则 １－ｂ－ｃ＝ ０，即 ｂ＋ｃ＝ １，不成立；
２）若方程一根为 ｘ＝ ２，则 ４－２ｂ－ｃ＝ ０，即 ２ｂ＋ｃ＝ ４，
所以 ｂ＝ １，ｃ＝ ２；
３）若方程一根为 ｘ＝ ３，则 ９－３ｂ－ｃ＝ ０，即 ３ｂ＋ｃ＝ ９，
所以 ｂ＝ ２，ｃ＝ ３；
４）若方程一根为 ｘ＝ ４，则 １６－４ｂ－ｃ＝ ０，即 ４ｂ＋ｃ＝ １６，
所以 ｂ＝ ３，ｃ＝ ４．
综上所述，（ｂ，ｃ）的所有可能取值为（１，２），（２，３），（３，４），
共 ３ 种．
所以方程为“漂亮方程”的概率 Ｐ２ ＝
３
１６
．
答案 （１）
１
３
（２）
３
８
１－１ （２０１７ 苏锡常镇四市教学情况调研（一））从集合｛１，
２，３，４｝中任取两个不同的数，则这两个数的和为 ３ 的倍数的概
率为 ．
１－１ 答案
１
３
解析 从集合｛１，２，３，４｝中任取两个不同的数，有 ６ 种取
法，其中和为 ３ 的倍数的有 １ 和 ２、２ 和 ４，共 ２ 种，故所求概率为
２
６
＝ １
３
．
１－２ 设集合 Ａ＝｛１，２｝，Ｂ＝｛１，２，３｝，分别从集合 Ａ 和 Ｂ 中
随机取一个数 ａ 和 ｂ，确定平面上的一个点 Ｐ（ａ，ｂ），记“点 Ｐ（ａ，
ｂ）落在直线 ｘ＋ｙ＝ｎ 上”为事件 Ｃｎ（２≤ｎ≤５，ｎ∈Ｎ），若事件 Ｃｎ
的概率最大，则 ｎ 的所有可能值为 ．
１－２ 答案 ３ 和 ４
解析 由题意知基本的事件总数为 ６．只要求出当 ｎ ＝ ２，
３，４，５ 时的基本事件个数即可．
当 ｎ＝ ２ 时，落在直线 ｘ＋ｙ＝ ２ 上的点为（１，１）；
当 ｎ＝ ３ 时，落在直线 ｘ＋ｙ＝ ３ 上的点为（１，２）、（２，１）；
当 ｎ＝ ４ 时，落在直线 ｘ＋ｙ＝ ４ 上的点为（１，３）、（２，２）；
当 ｎ＝ ５ 时，落在直线 ｘ＋ｙ＝ ５ 上的点为（２，３） ．
显然当 ｎ＝ ３，４ 时，事件 Ｃｎ 的概率最大，为
１
３
．
１－３ 已知直线 ｌ１：ｘ－２ｙ－１＝ ０，直线 ｌ２：ａｘ－ｂｙ＋１＝ ０，其中 ａ，
ｂ∈｛１，２，３，４，５，６｝ ．
（１）求直线 ｌ１∩ｌ２ ＝?的概率；
（２）求直线 ｌ１ 与 ｌ２ 的交点位于第一象限的概率．
１－３ 解析 （１）直线 ｌ１ 的斜率 ｋ１ ＝
１
２
，直线 ｌ２ 的斜率 ｋ２ ＝
ａ
ｂ
．
设事件 Ａ 为“直线 ｌ１∩ｌ２ ＝?” ．ａ，ｂ∈｛１，２，３，４，５，６｝的总事件数
为（１，１），（１，２），……，（１，６），（２，１），（２，２），……，（２，６），
……，（６，５），（６，６），共 ３６ 个．若 ｌ１∩ｌ２ ＝?，则 ｌ１∥ｌ２，即 ｋ１ ＝ ｋ２，
即 ｂ＝ ２ａ．满足条件的实数对（ａ，ｂ）有（１，２），（２，４），（３，６），共 ３
种情况．∴ Ｐ（Ａ）＝
３
３６
＝ １
１２
．
（２）设事件 Ｂ 为“直线 ｌ１ 与 ｌ２ 的交点位于第一象限”，由于
直线 ｌ１ 与 ｌ２ 有交点，则 ｂ≠２ａ．
联立得
ａｘ－ｂｙ＋１＝ ０，
ｘ－２ｙ－１＝ ０，{ 解得
ｘ＝
ｂ＋２
ｂ－２ａ
，
ｙ＝
ａ＋１
ｂ－２ａ
．
ì
?
í
?
?
??
∵ ｌ１ 与 ｌ２ 的交点位于第一象限，∴
ｂ＋２
ｂ－２ａ
＞０，
ａ＋１
ｂ－２ａ
＞０．
ì
?
í
?
?
??
∵ ａ，ｂ∈｛１，２，３，４，５，６｝，∴ ｂ＞２ａ．
∵ 总事件数为 ３６，满足 ｂ＞２ａ 的事件有（１，３），（１，４），（１，
５），（１，６），（２，５），（２，６），共 ６ 个，
∴ Ｐ（Ｂ）＝
６
３６
＝ １
６
．
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二、几何概型概率的求法
几何概型的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件
的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域
的大小有关．其中事件 Ａ 的概率的计算公式为
Ｐ（Ａ）＝
构成事件 Ａ 的测度
试验的全部结果所构成的测度
．
背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样
的．因而在解决几何模型的概率问题时，必须找准观察角度，明确
随机选取的含义，判断好基本事件的等可能性，找到合适的度量
方法，才能真正解决问题．
设关于 ｘ 的一元二次方程 ｘ２＋２ａｘ＋ｂ２ ＝ ０．
（１）若 ａ 是从 ０，１，２，３ 四个数中任取的一个数，ｂ 是从 ０，１，
２ 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（２）若 ａ 是从区间［０，３］中任取的一个数，ｂ 是从区间［０，２］
中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
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８８ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
解析 设事件 Ａ 为“方程 ｘ２＋２ａｘ＋ｂ２ ＝ ０ 有实根”，
当 ａ≥０，ｂ≥０ 时，方程 ｘ２＋２ａｘ＋ｂ２ ＝ ０ 有实根的充要条件为 ａ
≥ｂ．
（１）基本事件共有 １２ 个，即（０，０），（０，１），（０，２），（１，０），
（１，１），（１，２），（２，０），（２，１），（２，２），（３，０），（３，１），（３，２），其
中第一个数表示 ａ 的取值，第二个数表示 ｂ 的取值．
事件 Ａ 中包含 ９ 个基本事件，故事件 Ａ 发生的概率 Ｐ（Ａ）＝
９
１２
＝ ３
４
．
（２）试验的全部结果所构成的区域为｛（ａ，ｂ） ｜ ０≤ａ≤３，０≤
ｂ≤２｝ ．
构成事件 Ａ 的区域为｛（ａ，ｂ） ｜ ０≤ａ≤３，０≤ｂ≤２，ａ≥ｂ｝，即
如图所示的阴影区域，
所以所求的概率 Ｐ（Ａ）＝
３×２－
１
２
×２×２
３×２
＝ ２
３
．
２－１ （２０１７ 扬州考前调研）在区间（０，５）内任取一个实数
ｍ，则满足 ３＜ｍ＜４ 的概率为 ．
２－１ 答案
１
５
解析 根据几何概型的概率计算公式，得满足 ３＜ｍ＜４ 的
概率为
１
５
．
２－２ 如 图 ， 长 方 体 ＡＢＣＤ －
Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，有一动点在此长方体内
随机运动，则此动点在三棱锥 Ａ －
Ａ１ＢＤ 内的概率为 ．
２－２ 答案
１
６
解析 设事件 Ｍ 为“动点在三棱锥 Ａ－Ａ１ＢＤ 内”，
Ｐ（Ｍ）＝
Ｖ三棱锥Ａ－Ａ１ＢＤ
Ｖ长方体Ａ１Ｃ
＝
１
３
ＡＡ１·
１
２
Ｓ矩形ＡＢＣＤ
ＡＡ１·Ｓ矩形ＡＢＣＤ
＝ １
６
．
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(共59张PPT)
五年高考
A组????自主命题·江苏卷题组
1.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同
学中至少有1名女同学的概率是 ????.
答案?????
解析 本题主要考查了古典概型和古典概型概率的计算方法,考查学生的应用意识和运算求
解能力,考查的核心素养是逻辑推理和数学运算.
记3名男同学分别为a1、a2、a3,2名女同学分别为b1、b2,从这5名同学中选出2名同学的选法如
下:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10种,其中至少有1名女同
学的选法如下:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共7种,故所求概率P=?.
解后反思 解决古典概型概率问题的关键是不重不漏地列出所有基本事件,既可以从正面直
接求解,也可以从反面找对立事件来求解.
2.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好
选中2名女生的概率为 ????.
答案?????
解析 本题考查古典概型.
把男生编号为男1,男2,女生编号为女1,女2,女3,则从5名学生中任选2名学生有:男1男2,男1女1,男1女
2,男1女3,男2女1,男2女2,男2女3,女1女2,女1女3,女2女3,共10 种情况,其中选中2名女生有3种情况,则恰
好选中2名女生的概率为?.
易错警示 在使用古典概型的概率公式时,应注意:(1)要判断该概率模型是不是古典概型;(2)
分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m,常用列举法把基本事件一一列举出来,再利
用公式P(A)=?求出事件A发生的概率,列举时尽量按某一顺序,做到不重复、不遗漏.
评析 本题主要考查古典概型,考查运算能力和分析问题、解决问题的能力.古典概型问题主
要是要求学生能通过实例理解古典概型的特征,试验结果的有限性和每一个试验结果出现的
等可能性.从文理相对公平考虑,一般在利用等可能事件的概率公式计算概率的同时,也可用枚
举法直接计数.
3.(2017江苏,7,5分)记函数f(x)=?的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D
的概率是 ????.
答案?????
解析 本题考查几何概型.
由6+x-x2≥0,得-2≤x≤3,即D=[-2,3],
∴P(x∈D)=?=?.
4.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩
具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 ????.
答案?????
解析 先后抛掷2次骰子,所有可能出现的情况可用数对表示为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
……
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个.
其中点数之和不小于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个.从而点数之和小于10的数对
共有30个,故所求概率P=?=?.
解后反思 求解概率问题时要先明确所求事件本身的含义,然后选择合适的方法解决问题,当
直接求比较复杂时,可通过求问题的反面的概率,然后用1减去该概率的方法进行求解.
5.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一
次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 ????.
答案?????
解析 记两只黄球为黄A与黄B,从而所有的摸球结果为红、白,红、黄A,红、黄B,白、黄A,
白、黄B,黄A、黄B,共6种情况,其中颜色不同的有5种情况,则所求概率P=?.
解后反思 解题时首先要分清是否有序,同时注意分类要不重、不漏.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 随机事件的概率
1.(2018课标全国Ⅲ文改编,5,5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支
付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 ????.
答案 0.4
解析 本题考查互斥事件、对立事件的概率.
设事件A为“不用现金支付”,事件B为“既用现金支付也用非现金支付”,事件C为“只用现
金支付”,则P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.15-0.45=0.4.
2.(2016天津改编,2,5分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是?,甲获胜的概率是?,则甲不
输的概率为 ????.
答案?????
解析 设“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件,所以甲不输
的概率P=P(A+B)=P(A)+P(B)=?+?=?.
3.(2016课标全国Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续
保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的
估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解析 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为?=0.55,
故P(A)的估计值为0.55.?(3分)
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为?=0.3,
故P(B)的估计值为0.3.?(6分)
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
(10分)
调查的200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.
因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.?(12分)
评析 本题考查了频率的求解方法,同时对考生的应用意识及数据处理能力进行了考查,属中
档题.
4.(2015陕西,19,12分)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天?的概率;
(2)西安市某学校拟从4月份的一个?开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间?的
概率.
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
解析 (1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,从4月份任选一天,西安市
不下雨的概率为?.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为
晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为?.
以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为?.
考点二 古典概型
1.(2019课标全国Ⅰ理改编,6,5分)
我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组
成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该
重卦恰有3个阳爻的概率是 ????.
答案?????
解析????本题以数学文化为背景考查排列与组合;考查学生的数据处理能力和应用意识;考查的
核心素养是数学建模与数学运算.
重卦是由从下到上排列的6个爻组成,而爻有“阳爻”和“阴爻”两种,故所有的重卦共有26=6
4种.重卦中恰有3个“阳爻”的共有?×?=20种.故所求概率P=?=?.
审题指导 本题渗透了中国传统文化,以《周易》中的“卦”为背景,考查排列、组合,组成所
有重卦的情况是“可重复排列”问题,从下到上的每个爻都有两种选择;而其中恰有3个阳爻
的重卦,只需从6个爻中选出3个作为阳爻,其余均为阴爻,本题是一个标准的组合问题.
2.(2019课标全国Ⅱ文改编,4,5分)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这
5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 ????.
答案?????
解析 本题主要考查古典概型;考查学生的逻辑推理和运算求解能力;考查的核心素养是数学
运算与数据分析.
记5只兔子分别为A,B,C,D,E,其中测量过某项指标的3只兔子为A,B,C,则从这5只兔子中随机取
出3只的基本事件有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种,其中恰有2只
测量过该指标的基本事件有ABD,ABE,ACD,ACE,BCD,BCE,共6种,所以所求事件的概率P=?=
?.
3.(2019课标全国Ⅲ文改编,3,5分)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻
的概率是 ????.
答案?????
解析 本题考查古典概型,以现实生活中常见的学生排队问题为背景,考查学生对数学知识的
应用意识.
设两位男同学分别为A、B,两位女同学分别为a、b,则四位同学排成一列,所有可能的结果用
树状图表示为
?
共24种结果,其中两位女同学相邻的结果有12种,
∴P(两位女同学相邻)=?=?.
技巧点拨 用树状图列举所有可能的结果是求解古典概型问题的基本方法之一.
4.(2018课标全国Ⅱ理改编,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领
先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不
超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 ????.
答案?????
解析 本题主要考查古典概型.
不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从这10个素数中随机选取两个不同的数,
有?=45种情况,其和等于30的情况有3种,则所求概率等于?=?.
方法总结 解决关于古典概型的概率问题关键是正确求出基本事件的总数和所求事件包含
的基本事件数.(1)当基本事件的总数较少时,可用列举法把所有基本事件一一列举出来.(2)注
意区分排列与组合,正确使用计数原理.
5.(2017天津文改编,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这
5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ????.
答案?????
解析 本题考查古典概型.
从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,有以下10种情况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),
(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫).其中含有红色彩笔的有4种情况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),
(红,紫),所以所求事件的概率P=?=?
6.(2016课标全国Ⅰ改编,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在
一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ????
????.
答案?????
解析 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄
白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同
一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=?=?.
解后反思 从4种颜色的花中任选2种共有6种情况,不重不漏地列举出所有情况是解题关键.
7.(2016课标全国Ⅲ改编,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是
M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概
率是 ????.
答案?????
解析 小敏输入密码的所有可能情况如下:
(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),
(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),
(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种.
而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为?.
8.(2016四川,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是????
????.
答案?????
解析 所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12
个.
记“logab为整数”为事件A,
则事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2个.
∴P(A)=?=?.
易错警示 对a,b取值时要注意顺序.
评析 本题考查了古典概型.正确列举出基本事件是解题的关键.
9.(2019天津文,15,13分)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续
教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、
中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查
专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如
下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.
员工
项目 ???? A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
解析 本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及
其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,体现了数学运算素
养.
(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员
工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.
(2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},
{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.
(ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},
{C,F},{D,F},{E,F},共11种.
所以,事件M发生的概率P(M)=?.
思路分析 (1)首先得出抽样比,从而按比例抽取各层的人数;(2)(i)利用列举法列出满足题意的
基本事件;(ii)利用古典概型公式求概率.
失分警示 在列举基本事件时应找好标准,做到不重不漏.
10.(2018天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.
现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工
作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
解析 本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及
其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法
从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},
{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},
{E,F},{E,G},{F,G},共21种.
②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是
F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},
{B,C},{D,E},{F,G},共5种.
所以,事件M发生的概率P(M)=?.
易错警示 解决古典概型问题时,需注意以下几点:
(1)忽视基本事件的等可能性导致错误;
(2)列举基本事件考虑不全面导致错误;
(3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,一个按有序,一个按无序处理导致错误.
11.(2017山东文,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选
择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
解析 本题考查古典概型.
(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,A2},{A1,A
3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},
{B2,B3},共15个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,
则所求事件的概率为P=?=?.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B
2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,
则所求事件的概率为:P=?.
1.求出所有基本事件的个数n,常用的方法有列举法、列表法、画树状图法;
方法总结 求古典概型概率的一般步骤:
2.求出事件A所包含的基本事件的个数m;
3.代入公式P(A)=?求解.
12.(2016山东,16,12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需
转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次
记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
?
解析 用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y
∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.
因为S中元素的个数是4×4=16,
所以基本事件总数n=16.
(1)记“xy≤3”为事件A,
则事件A包含的基本事件数共5个,
即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).
所以P(A)=?,即小亮获得玩具的概率为?.
(2)记“xy≥8”为事件B,“3则事件B包含的基本事件数共6个,
即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).
所以P(B)=?=?.
事件C包含的基本事件数共5个,
即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).
所以P(C)=?.因为?>?,
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
易错警示 本题出错的原因有两个:(1)理解不清题意,不能将基本事件列举出来;(2)列举基本
事件有遗漏.
评析 本题主要考查古典概型.理解题意,不重不漏地列举出基本事件是解题关键.
考点三 几何概型
1.(2017课标全国Ⅰ理改编,2,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形
内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此
点取自黑色部分的概率是 ????.
?
答案?????
解析 本题考查几何概型.
设正方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心
对称,则黑色部分的面积为?,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=?=
?.
2.(2016课标全国Ⅱ改编,8,5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时
间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 ????
????.
答案?????
解析 行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何
概型的概率公式知所求事件的概率P=?=?.
评析 本题主要考查几何概型,理清题意是解题的关键.
C组 教师专用题组
1.(2014江苏,4,5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是
????.
答案?????
解析 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6种情况.
满足条件的有(2,3),(1,6),共2种情况.
故P=?=?.
2.(2013江苏,7,5分)现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都
取到奇数的概率为 ????.
答案?????
解析 从正整数m,n(m≤7,n≤9)中任取两数的所有可能结果有??=63(个),其中m,n都取奇数
的结果有??=20(个),故所求概率为?.
3.(2012江苏,6,5分)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个
数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是 ????.
答案?????
解析 将10个数排成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,则an=(-3)n-1(1≤n≤10),当n=1,2,4,6,
8,10时,an<8,所以抽到小于8的数的概率为?.
评析 本题考查古典概型的概率运算,考查思维能力.
4.(2011江苏,5,5分)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两
倍的概率是 ????.
答案?????
解析 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数的种数为?=6(种),其中一个数是另一个数的
两倍的数对为1,2和2,4.故符合条件的概率为?=?.
评析 本题主要考查古典概型,考查学生逻辑能力和分析问题、解决问题的能力,属容易题.
5.(2010江苏,3,5分)盒子里共有大小相同的3只白球,1只黑球.若从中随机摸出两只球,则它们颜
色不同的概率是 ????.
答案?????
解析 基本事件总数为6,其中颜色不同的共有3种情况,所以所求的概率为?.
6.(2009江苏,5,5分)现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随
机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 ????.
答案 0.2
解析 从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10,它们的长度恰好相差0.3 m的事
件数为2,故所求概率为0.2.
7.(2019北京文,17,12分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成
为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有
的1 000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅
使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
支付金额
支付方式 ???? 不大于2 000元 大于2 000元
仅使用A 27人 3人
仅使用B 24人 1人
(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率;
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1
人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月
支付金额大于2 000 元的人数有变化?说明理由.
解析 本题主要考查总体分布的估计,利用概率知识解决实际问题,旨在提高学生分析问题、
解决问题的能力.渗透了逻辑推理、数学运算的核心素养,体现了应用与创新意识.
(1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30人,仅使用B的学生有24+1=25人,A,B两种支付方
式都不使用的学生有5人.
故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.
估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为?×1 000=400.
(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2 000
元”,则P(C)=?=0.04.
(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2 000元”.
假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)=0.04.
答案示例1:可以认为有变化.
答案示例2:无法确定有没有变化.
理由如下:
P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2
000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.理由如下:
事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的.所以无法确定有没有变
化.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点一 随机事件的概率
(2018扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港七市三模,6)袋中有若干只红、黄、蓝
三种颜色的球,这些球除颜色外完全相同.现从中随机摸出1只球,若摸出的球不是红球的概率
为0.8,不是黄球的概率为0.5,则摸出的球为蓝球的概率为 ????.
答案 0.3
解析 设“摸出的为红球”为事件A,“摸出的为黄球”为事件B,“摸出的为蓝球”为事件C,
则P(A)=0.2,P(B)=0.5,由于A,B,C为互斥事件,所以P(C)=0.3.
评析 本题考查互斥事件的概率,理解不是红球和不是黄球的事件的含义,利用互斥事件概率
的关系就能得到答案,本题是基础题.
名师点睛 1.利用互斥事件的概率计算公式求概率的一般步骤:(1)要确定这些事件彼此互斥;
(2)这些事件中有一个发生;(3)先求出这些事件分别发生的概率,再求和.
2.概率的加法公式是解决两个或几个互斥事件至少有一个发生的事件的概率问题.该公式必
须在各个事件彼此互斥的前提下使用.如果事件A,B不互斥,就不能应用公式P(A+B)=P(A)+P
(B)来求概率.
考点二 古典概型
1.(2019苏州检测,3)将一颗质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛
掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是 ????.
答案?????
解析 将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,基本事件总数为n=6×6=36,“点数之和等于
6”包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种情况,∴“点数之和等于6”的概率是
?.
方法总结 求古典概型概率的步骤:
(1)求基本事件的总数n;
(2)求事件A包含的基本事件数m;
(3)事件A的概率P(A)=?.
2.(2019南通、扬州、泰州、苏北四市七市一模,5)有数学、物理、化学三个兴趣小组,甲、乙
两位同学各随机参加一个,则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 ????.
答案?????
解析 设数学、物理、化学分别为1、2、3,则甲、乙两位同学参加的兴趣小组的所有情况为
(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3),共9种,则参加不同兴趣小组的情
况有6种,所以所求概率为P=?=?.
名师点睛 古典概型中基本事件的探求方法:
①枚举法,适合基本事件个数较少且易一一列举出的问题;
②树状图法,适合于较为复杂的问题.
注意在确定基本事件时(x,y)可以看成是有序的,如(1,2)与(2,1)不同;有时也可以看成是无序的,
如(1,2)与(2,1)相同.
3.(2019苏北三市(徐州、连云港、淮安)期末,5)若从2,3,6三个数中任取一个数记为a,再从剩余
的两个数中任取一个数记为b,则“?是整数”的概率为 ????.
答案?????
解析 取出数(a,b)的所有可能为(2,3),(2,6),(3,2),(3,6),(6,2),(6,3),共6种,满足?是整数的有(6,2),
(6,3),共2种,所以所求概率为P=?=?.
考点三 几何概型
1.(2019金陵中学调研,3)将一根长度为5 cm的绳子随机剪成两段,则这两段长都不小于1 cm的
概率为 ????.
答案?????
解析 要使得两段长都不小于1 cm,则应该在距离端点1 cm 以上的地方剪断,根据几何概型公
式得P=?.
2.(2019扬州中学检测,5)在区间(1,3)内任取1个数x,则满足log2(2x-1)>1的概率是 ????.
答案?????
解析 ∵log2(2x-1)>1,∴2x-1>2,∴x>?,
又1根据几何概型公式得P=?=?.
3.(2018南通调研,5)在长为12 cm的线段AB上任取一点C,以线段AC,BC为邻边作矩形,则该矩
形的面积大于32 cm2的概率为 ????.
答案?????
解析 设AC=x cm,则BC=(12-x)cm,
则矩形的面积为AC×BC=x(12-x)=(12x-x2)cm2,
∵12x-x2>32,∴4由几何概型概率的求解公式可得该矩形的面积大于32 cm2的概率P=?=?.
评析 (1)当试验的结果构成的区域的测度为长度、面积、体积等时,要考虑使用几何概型的
概率公式求解;
(2)利用几何概型求概率时,关键是寻找试验的全部结果构成的区域和事件发生的结果构成的
区域,有时需要设出变量,在坐标系中表示所求的区域;
(3)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性,可以把基本事件抽象为点,尽管这些点是
无限的,但它们所占据的区域是有限的,因此,可用“比例解法”求解几何概型的概率.
4.(2018泰州中学二模,4)在△ABC的边AB上随机取一点P,记△CAP和△CBP的面积分别为S1和
S2,则S1>2S2的概率是 ????.
答案?????
解析 设AB边上的高为h,则S1=?AP·h,S2=?BP·h,
∵S1>2S2,∴AP>2BP,∴S1>2S2的概率是?.
填空题(每小题5分,共50分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：20分钟 分值：50分)
1.(2019扬州期末,6)甲、乙两人各有三张卡片,甲的卡片分别标有数字1、2、3,乙的卡片分别
标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张,甲抽出卡片的数字记为a,乙抽出卡片的数字记为b,
则a与b的积为奇数的概率为 ????.
答案?????
解析 记甲、乙抽出的卡片上的数为(a,b),则所有可能为
(1,0),(1,1),(1,3),(2,0),(2,1),(2,3),(3,0),(3,1),(3,3),共9种,
积为奇数的有(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),共4种,
所以所求概率为?.
2.(2019七大市三模,5)一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球,其中有3只白球,1只红球.从
中1次随机摸出2只球,则2只球都是白球的概率为 ????.
答案?????
解析 记白球分别为A,B,C,红球为D,则从中一次摸出2只球的可能是AB,AC,BC,AD,BD,CD,共
6种情况,其中2只都是白球的是AB,AC,BC,共3种,根据古典概型概率公式得P=?=?.
3.(2019南京三模,6)从1,2,3,4,5这5个数字中随机抽取3个不同的数字,则这3个数字经适当排序
后能组成等差数列的概率为 ????.
答案?????
解析 一共有10种选择方法,其中123,234,345,135这4种选取方法满足条件,故P=?.
4.(2019南通一模,6)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩
具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和大于9的概率为 ????.
答案?????
解析 设第一次的点数为x,第二次的点数为y,基本事件记为(x,y),易知所有可能结果共有6×6=
36种,出现向上的点数之和大于9的可能有(6,4),(6,5),(6,6),(5,5),(5,6),(4,6),共6种情况,所以出现
向上的点数之和大于9的概率为?=?.
5.(2019徐州检测)Ω={(x,y)|x+y<6,x>0,y>0},A={(x,y)|x<4,y>0,x-2y>0},若向区域Ω内随机投掷一
点P,则点P落入区域A的概率为 ????.
答案?????
解析 如图所示.区域Ω为三角形OBE内部(不包括边界),区域A与区域Ω重合的部分为三角形
OCD内部(不包括边界),
?
所以所求的概率为P=?=?.
6.(2019海安期末,7)已知O为矩形ABCD的对角线的交点,现从A,B,C,D,O这5个点中任选3个点,
则这3个点不共线的概率为 ????.
答案?????
解析 从A,B,C,D,O这5个点中任选3个点,共有10种可能,共线的有A、C、O,B、D、O 2种,所
以不共线的有8种,所以所求概率为P=?=?.
7.(2019南京、盐城二模,5)现有5件相同的产品,其中3件合格,2件不合格,从中随机抽检2件,则
一件合格,另一件不合格的概率为 ????.
答案?????
解析 设3件合格产品分别为A、B、C,不合格产品分别为1、2,随机抽取2件,所有可能为AB,
AC,A1,A2,BC,B1,B2,C1,C2,12,共10种,一件合格,另一件不合格有6种可能,故所求概率为P=?=
?.
8.(2019锡山高级中学实验学校检测,3)某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s,黄灯时间
为3 s,绿灯时间为60 s,从西向东行驶的一辆公交车通过该路口,遇到红灯的概率为 ????.
答案?????
解析 从西向东行驶的一辆公交车通过该路口,遇到红灯的概率P=?=?.
9.(2018无锡期末,4)已知a,b∈{1,2,3,4,5,6},直线l1:2x+y-1=0,l2:ax-by+3=0,则直线l1⊥l2的概率为
????.
答案?????
解析 设事件A为“直线l1⊥l2”.
a,b∈{1,2,3,4,5,6}的基本事件为
(1,1),(1,2),…,(1,6);
(2,1),(2,2),…,(2,6);
……,
(6,1),(6,2),…,(6,6),共36种.
而l1:2x+y-1=0,l2:ax-by+3=0,l1⊥l2?2a-b=0,
∴a=1时,b=2;
a=2时,b=4;
a=3时,b=6.
∴P(A)=?=?.
∴直线l1⊥l2的概率为?.
思路分析 本题是求等可能事件的概率,试验发生包含的基本事件数是36,由直线l1⊥l2,得到关
于a,b的关系式,写出满足条件的基本事件数,即可得到结果.
10.(2017扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市联考,5)100张卡片上分别写有数字1,2,3,
…,100.从中任取1张,则这张卡片上的数是6的倍数的概率是 ????.
答案?????
解析 从分别写有数字1,2,3,…,100的100张卡片中任取一张,这张卡片上的数为6的倍数,则这
样的卡片上的数有:6,12,18,24,…,96,组成以6为首项,6为公差的等差数列,则这样的卡片共有
?+1=16张,故所求概率P=?=?.
第十一章 统计与概率
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
２０１９ 江苏，５ ５ 分 填空题 易 总体特征数的估计 求方差 公式法
数学运算
数据分析
２０１９ 江苏，６ ５ 分 填空题 易 古典概型 古典概型
枚举法
公式法
数学运算
２０１８ 江苏，３ ５ 分 填空题 易
总体分布、
总体特征数的估计
①茎叶图
②求平均数
直接法 数学运算
２０１８ 江苏，６ ５ 分 填空题 易 古典概型 古典概型 枚举法 数学运算
２０１７ 江苏，３ ５ 分 填空题 易 抽样方法 分层抽样 直接法
数学运算
数据分析
２０１７ 江苏，７ ５ 分 填空题 易 几何概型 几何概型 直接法 数学运算
２０１６ 江苏，４ ５ 分 填空题 易
总体分布、
总体特征数的估计
求一组数据的方差 直接法 数学运算
２０１６ 江苏，７ ５ 分 填空题 易 古典概型 古典概型
枚举法
间接法
数学运算
２０１５ 江苏，２ ５ 分 填空题 易
总体分布、
总体特征数的估计
求一组数据的平均数 直接法 数学运算
２０１５ 江苏，５ ５ 分 填空题 易 古典概型 古典概型 枚举法 数学运算
命题规律与趋势
０１ 考查内容
１．本章主要考查随机事件的概率，抽样方
法，总体分布，总体特征数的估计．
２．考查统计，以总体特征数为主，偶尔考查
抽样方法，考查概率，主要考查古典概
型，偶尔考查几何概型和随机事件的
概率．
０２ 考频赋分
每年高考都考 ２ 题，分值为 １０ 分．
０３ 题型难度
都是容易题．
０４ 命题特点
１．统计中，考查分层抽样、茎叶图、直方图、
方差等知识．
２．概率中，考查以古典概型为主，通过枚举
法或画树形图法求出基本事件的个数，
然后求概率．
０５ 核心素养
以数学运算、数据分析、逻辑推理为主．
０６ 命题趋势
强调知识的应用性，试题背景与日常生活
很贴近，体现统计思想、概率思想，考查数
据分析、概率计算、阅读与理解、表述、分析
与解决实际问题的能力．
０７ 备考建议
重基础，以教材难度为宜，掌握通性、通法．
第十一章 统计与概率 ８３
§ １１．１ 统计
对应学生用书起始页码 Ｐ１３９
考点一 抽样方法
１．简单随机抽样
（１）定义：从个体数为 Ｎ 的总体中逐个不放回地取出 ｎ 个个
体作为样本（ｎ＜Ｎ），如果每个个体都有相同的机会被取到，那么
这样的抽样方法称为简单随机抽样．
（２）分类：简单随机抽样
抽签法
随机数表法{
２．系统抽样的步骤
假设要从容量为 Ｎ 的总体中抽取容量为 ｎ 的样本，系统抽
样的步骤为：
（１）采用随机的方式将总体中的 Ｎ 个个体编号；
（２）将编号按间隔 ｋ 分段，当
Ｎ
ｎ
是整数时，取 ｋ ＝
Ｎ
ｎ
；当
Ｎ
ｎ
不
是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数
Ｎ′能被 ｎ 整除，这时取 ｋ＝
Ｎ′
ｎ
，并将剩下的总体重新编号；
（３）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号 ｌ；
（４）按照一定的规则抽取样本，通常将编号为 ｌ，ｌ＋ｋ，ｌ＋２ｋ，
……，ｌ＋（ｎ－１）ｋ 的个体抽出．
３．分层抽样
当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观
地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成
层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比
实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样．
考点二 总体分布、总体特征数的估计
１．绘制频率分布表的步骤
（１）求全距，决定组数和组距，组距＝
全距
组数
；
（２）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后
一组取闭区间；
（３）登记频数，计算频率，列出频率分布表．
２．作频率分布直方图的步骤
（１）先制作频率分布表，然后作直角坐标系．
（２）把横轴分成若干段，每一线段对应 １ 个组的组距，然后
以此线段为底作矩形，它的高等于该组的
频率
组距
，这样得出一系列
的矩形．
（３）每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了
频率分布直方图．
３．茎叶图
茎相同者共用一个茎（如两位数中的十位数字），茎按从小
到大的顺序从上向下列出，共茎的叶（如两位数中的个位数字）
一般按从小到大（或从大到小）的顺序同行列出．这样将样本数
据有条理地列出来的图形叫做茎叶图．其优点是当样本数据较少
时，茎叶图可以保留样本数据的所有信息，直观反映出数据的水
平状况、稳定程度，且便于记录和表示；缺点是对差异不大的两
组数据不易分析，且样本数据很多时效果不好．
４．平均数、标准差和方差
已知一组样本数据 ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，则有：
平均数：ｘ＝
ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ
ｎ
，反映了一组数据的平均水平．
方差：ｓ２ ＝
１
ｎ
［（ｘ１－ｘ）２＋（ｘ２－ｘ）２＋…＋（ｘｎ －ｘ）２］，反映了样本数
据的离散程度．
标准差：ｓ ＝
１
ｎ
［（ｘ１－ｘ） ２＋（ｘ２－ｘ） ２＋…＋（ｘｎ－ｘ） ２］ ，反映了
样本数据的离散程度．
５．有关平均数、方差的一些结论
（１）若数据 ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ 的平均数为 ｘ，那么 ｍｘ１ ＋ａ，ｍｘ２ ＋ａ，
ｍｘ３＋ａ，…，ｍｘｎ＋ａ 的平均数是 ｍｘ＋ａ．
（２）设数据 ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ 的方差为 ｓ２，则
①ｓ２ ＝
１
ｎ
［（ｘ２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ）－ｎｘ２］；
②数据 ｘ１＋ａ，ｘ２＋ａ，…，ｘｎ＋ａ 的方差也为 ｓ２；
③数据 ａｘ１，ａｘ２，…，ａｘｎ 的方差为 ａ２ ｓ２ ．
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对应学生用书起始页码 Ｐ１３９
一、有关抽样方法问题的解题方法
１．若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样
或系统抽样；当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，
样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大，样本容量也
较大时宜用系统抽样．
２．采用系统抽样时，当总体容量 Ｎ 能被样本容量 ｎ 整除时，
抽样间隔为 ｋ＝
Ｎ
ｎ
；当总体容量 Ｎ 不能被样本容量 ｎ 整除时，先
用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为 ｋ＝
Ｎ
ｎ[ ] ．
３．若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样；在
每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．
（１）（２０１７ 南通三模）为调查某高校学生对“一带一
路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为
５００ 的样本．其中大一年级抽取 ２００ 人，大二年级抽取 １００ 人．若
其他年级共有学生 ３ ０００ 人，则该校学生总人数是 ．
（２）某单位有 ８４０ 名职工，现采用系统抽样的方法抽取
４２ 人做问卷调查，将 ８４０ 人按 １，２，…，８４０ 随机编号，则抽取的
４２ 人中，编号落入区间［４８１，７２０］的人数为 ．
（３）（２０１７ 扬州考前调研）随着社会的发展，食品安全问题
渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学
校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方
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８４ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
图如图，数据的分组依次为［２０，４０），［４０，６０），［６０，８０），［８０，
１００］ ．若该校的学生总人数为 ３ ０００，则成绩低于 ６０ 分的学生人
数大约为 ．
解析 （１）设该校学生总人数为 ｎ，
则 １－
２００＋１００
５００
＝ ３ ０００
ｎ
，解得 ｎ＝ ７ ５００．
（２）抽样间隔为
８４０
４２
＝ ２０．设在 １，２，…，２０ 中抽取号码 ｘ０（ ｘ０
∈［１，２０］），在［４８１，７２０］之间抽取的号码记为 ２０ｋ＋ｘ０，则 ４８１≤
２０ｋ＋ｘ０≤７２０，ｋ∈Ｎ? ．
∴ ２４
１
２０
≤ｋ＋
ｘ０
２０
≤３６．
∵
ｘ０
２０
∈
１
２０
，１[ ] ，
∴ ｋ＝ ２４，２５，２６，…，３５，
∴ ｋ 的值共有 ３５－２４＋１＝ １２（个），即所求人数为 １２．
（３）由题图知，成绩低于 ６０ 分的学生的频率为 （ ０． ００５ ＋
０．０１）×２０ ＝ ０．３，所以成绩低于 ６０ 分的学生人数大约为 ０．３×
３ ０００＝ ９００．
答案 （１）７ ５００ （２）１２ （３）９００
１－１ 为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了
抽样调查．抽到的班级一共有 ５２ 名学生，现将该班学生随机编
号，用系统抽样的方法抽到一个容量为 ４ 的样本．已知 ７ 号，３３
号，４６ 号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号应是
号．
１－１ 答案 ２０
解析 由系统抽样的原理知，抽样的间隔为 ５２÷４ ＝ １３，故
抽取的样本的编号分别为 ７，７＋１３，７＋１３×２，７＋１３×３，即 ７ 号，２０
号，３３ 号，４６ 号．
１－２ （２０１７ 苏北四市期中）某校有足球、篮球、排球三个兴
趣小组，共有成员 １２０ 人，其中足球、篮球、排球三个兴趣小组的
成员分别有 ４０ 人、６０ 人、２０ 人．现用分层抽样的方法从这三个兴
趣小组中抽取 ２４ 人，则在足球兴趣小组中应抽取 人．
１－２ 答案 ８
解析 在足球兴趣小组中应抽取
４０
１２０
×２４＝ ８ 人．
１－３ 某网站针对“２０１８ 年法定节假日调休安排”提出的
Ａ，Ｂ，Ｃ 三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：
支持 Ａ 方案 支持 Ｂ 方案 支持 Ｃ 方案
３５ 岁以下的人数 ２００ ４００ ８００
３５ 岁以上
（含 ３５ 岁）的人数
１００ １００ ４００
（１）从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 ｎ 人，
已知从支持 Ａ 方案的人中抽取了 ６ 人，求 ｎ 的值；
（２）从支持 Ｂ 方案的人中，用分层抽样的方法抽取 ５ 人，这
５ 人中在 ３５ 岁以上（含 ３５ 岁）的人数是多少？ ３５ 岁以下的人数
是多少？
１－３ 解析 （１）由题意，得
６
１００＋２００
＝ ｎ
２００＋４００＋８００＋１００＋１００＋４００
，解得 ｎ＝ ４０．
（２）３５ 岁以下的人数为
５
５００
×４００＝ ４，３５ 岁以上（含 ３５ 岁）的
人数为
５
５００
×１００＝ １．
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二、有关茎叶图问题的解题方法
１．作样本的茎叶图时，先要根据数据特点确定茎、叶，再作
茎叶图．
２．作样本的茎叶图时，一般对称作图，茎部位的数字由上向
下、从小到大排列；叶部位的数字由内向外、从小到大排列．
３．给定两组数据的茎叶图，比较数字特征时，“重心”下移者
平均数较大，数据集中者方差较小．
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培
训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 ８ 次，记录如下：
甲：８２，８１，７９，７８，９５，８８，９３，８４．
乙：９２，９５，８０，７５，８３，８０，９０，８５．
（１）用茎叶图表示这两组数据；
（２）现要从两人中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度
考虑，你认为选派哪位学生参加合适？ 请说明理由．
解题导引 （１）根据茎叶图的相关知识表示出两组数据．
（２）从平均数和方差两个角度考虑．
解析 （１）作出茎叶图如图所示．
甲 乙
９ ８ ７ ５
８ ４ ２ １ ８ ０ ０ ３ ５
５ ３ ９ ０ ２ ５
（２）ｘ甲 ＝
１
８
×（７０×２＋８０×４＋９０×２＋８＋９＋１＋２＋４＋８＋３＋５）
＝ ８５，
ｘ乙 ＝
１
８
×（７０×１＋８０×４＋９０×３＋５＋０＋０＋３＋５＋０＋２＋５）＝ ８５，
ｓ２甲 ＝
１
８
×［（７８－８５） ２＋（７９－８５） ２＋（８１－８５） ２＋（８２－８５） ２ ＋（８４
－８５） ２＋（８８－８５） ２＋（９３－８５） ２＋（９５－８５） ２］ ＝ ３５．５，
ｓ２乙 ＝
１
８
×［（７５－８５） ２＋（８０－８５） ２＋（８０－８５） ２＋（８３－８５） ２ ＋（８５
－８５） ２＋（９０－８５） ２＋（９２－８５） ２＋（９５－８５） ２］ ＝ ４１．
因为 ｘ甲 ＝ ｘ乙，ｓ２甲＜ｓ２乙，
所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
名师点睛 （１）在计算平均数和标准差时，如果数据较
大，可以注意方法的选择，将各个数据都减去同一个数后，平均
数也相应减小了，而这组数据的标准差不会发生变化．
（２）平均数与标准差都是重要的数学特征数，是对总体的一
种简明的描述．它们所反映的情况有着重要的实际意义，所以，不
仅需要掌握其计算公式和方法，还要学会通过这些数据分析其
含义，从而为正确决策提供依据．
２－１ （２０１７ 南京三模）如图是甲、乙两名篮球运动员在五
场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定
（方差较小）的运动员的得分的方差为 ．
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第十一章 统计与概率 ８５
甲 乙
７ ７ ９ ０ ８ ９
４ ８ １ ０ ３ ５
２－１ 答案 ６．８
解析 由茎叶图知，得分较为稳定的运动员应该是乙，他
在五场比赛中得分分别为 ８，９，１０，１３，１５，所以他的平均得分为ｘ
＝ ８
＋９＋１０＋１３＋１５
５
＝ １１， 其 方 差 为 ｓ２ ＝
（８－１１） ２＋（９－１１） ２＋（１０－１１） ２＋（１３－１１） ２＋（１５－１１） ２
５
＝ ６．８．
２－２ （２０１７ 江苏泰州中学摸底考试）如图所示的茎叶图表
示的是甲、乙两人在 ５ 次综合测评中的成绩（单位：分，均为整
数），其中一个数字被污损， 则乙的平均成绩超过甲的概
率为 ．
２－２ 答案
１
１０
解析 甲的平均成绩为
８８＋８９＋９０＋９１＋９２
５
＝ ９０，设被污损
的数字 为 ｘ （ ０ ≤ ｘ ≤ ９， 且 ｘ ∈ Ｎ? ）， 则 乙 的 平 均 成 绩 为
８３＋８３＋８７＋９９＋９０＋ｘ
５
＝ ４４２
＋ｘ
５
，令
４４２＋ｘ
５
＞９０，解得 ｘ＞８，故 ｘ ＝ ９，所
以乙的平均成绩超过甲的概率为
１
１０
．
方法点睛 使用茎叶图时的两个注意点：
（１）观察所有的样本数据，弄清图中数字的特点，不要漏掉
数据．
（２）不要弄混茎叶图中茎与叶的含义．
２－３ （２０１７ 苏北四市期末）某次比赛甲得分的茎叶图如图
所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下 ４ 个分数的
方差为 ．
２－３ 答案 １４
解析 剩下的 ４ 个分数是 ４２，４４，４６，５２，这 ４ 个数的平均数
是 ４６，方差是
１
４
×［（４２－４６）２＋（４４－４６）２＋（４６－４６）２＋（５２－４６）２］ ＝１４．
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(共49张PPT)
五年高考
A组????自主命题·江苏卷题组
考点一 抽样方法
(2017江苏,3,5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,10
0件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从
丙种型号的产品中抽取 ????件.
答案 18
解析 从丙种型号的产品中抽取的件数为60×?=18.
考点二 总体分布、总体特征数的估计
1.(2019江苏,5,5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 ????.
答案?????
解析 本题主要考查样本的数字特征,考查学生数据处理能力,考查的核心素养是数据分析、
数学运算.
∵?=?=8,
∴s2=?×[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=?.
解题关键 数据x1,x2,…,xn的平均数为?=?,方差为s2=?[(x1-?)2+(x2-?)2+…+(xn-?)2],
准确记忆公式是解题关键.
2.(2018江苏,3,5分)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打
出的分数的平均数为 ????.
8 9 9
9 0 1 1
答案 90
解析 本题考查茎叶图、平均数.
5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91,
则这5位裁判打出的分数的平均数为?×(89+89+90+91+91)=90.
方法总结 本题中要明确“茎”处数字是十位数字,“叶”处数字是个位数字,正确写出所有
数据,再根据平均数的概念进行计算.
评析 统计是历年来高考中的常考题,这类题一般都与统计的基本概念和基本运算有关,比较
容易.在学习中,一要掌握三种常见抽样方法的特点,包括简单随机抽样的操作流程,系统抽样
的编码特征,分层抽样中的比例关系;二要能正确理解频率分布直方图、折线图和茎叶图的意
义,并能从中读取相关信息;三是会计算数据的总体特征数的估计值,并理解其意义,如平均
数、方差和标准差等.
3.(2016江苏,4,5分)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 ????.
答案 0.1
解析?????=?=5.1,
则该组数据的方差
s2=?
=0.1.
4.(2015江苏,2,5分)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 ????.
答案 6
解析 由已知得,所求平均数为?=6.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 抽样方法
1.(2018课标全国Ⅲ文,14,5分)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差
异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层
抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 ????.
答案 分层抽样
解析 本题考查抽样方法.
因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,所以根据三种抽样方法的特点可知最合适
的抽样方法是分层抽样.
2.(2015北京改编,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查
教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为 ????.
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1 800
青年教师 1 600
合计 4 300
答案 180
解析 本题考查分层抽样,根据样本中的青年教师有320人,且青年教师与老年教师人数的比
为1 600∶900=16∶9,可以得到样本中的老年教师的人数为?×320=180.
3.(2015四川改编,3,5分)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视
力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样
方法是 ????.
答案 分层抽样法
解析 因为总体由有明显差异的几部分构成,所以用分层抽样法.
4.(2015福建,13,4分)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方
法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为 ????.
答案 25
解析 男生人数为900-400=500.设应抽取男生x人,则由?=?得x=25.即应抽取男生25人.
考点二 总体分布、总体特征数的估计
1.(2019课标全国Ⅰ文改编,6,5分)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,
2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽
到,则下面4名学生中被抽到的是 ????.
①8号学生;②200号学生;③616号学生;④815号学生.
答案 ③
解析 本题考查系统抽样;考查了数据处理能力;考查的核心素养为数据分析.
将1 000名学生分成100组,每组10人,则每组抽取的号码构成公差为10的等差数列{an},由题意
知a5=46,则an=a5+(n-5)×10=10n-4,n∈N*,易知③满足题意.
解题关键 明确系统抽样的方法是解决本题的关键.
2.(2019课标全国Ⅲ理改编,3,5分)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国
古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随
机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼
梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过
《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ????.
答案 0.7
解析 本题主要考查用样本估计总体;考查学生对实际问题的处理能力和数据分析能力;考查
了数据分析的核心素养.
在样本中,仅阅读过《西游记》的学生人数为90-80=10,又由既阅读过《西游记》又阅读过
《红楼梦》的学生人数为60,得阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70,所以在样本中,阅
读过《西游记》的学生人数所占的比例为?=0.7,即为该校阅读过《西游记》的学生人数与
该校学生总数比值的估计值.
解题关键 在样本中,由阅读过《西游记》或阅读过《红楼梦》的学生人数为90,阅读过《红
楼梦》的学生有80位,可得仅阅读过《西游记》的学生有10位是解决本题的关键.
3.(2019课标全国Ⅱ文,14,5分)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,
有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停
该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ????.
答案 0.98
解析 考查用频率估计概率和运算求解能力;考查的核心素养为数学抽象和数学运算.
设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A,正点率为0.98的事件为B,正点率为
0.99的事件为C,则用频率估计概率有P(A)=?=?,P(B)=?=?,P(C)=?
=?,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97×?+0.98×?+0.99×?=0.98.
4.(2017山东文改编,8,5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单
位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为 ????.
?
答案 3,5
解析 本题考查样本的数字特征.
由茎叶图,可得甲组数据的中位数为65,从而乙组数据的中位数也是65,所以y=5.
由乙组数据59,61,67,65,78,可得乙组数据的平均值为66,
故甲组数据的平均值也为66,从而有?=66,解得x=3.
5.(2019课标全国Ⅲ理,17,12分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:
将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子
溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出
残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:
?
?
记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
解析 本题主要考查频率分布直方图的含义,以及用频率分布直方图估计样本的数字特征,通
过实际问题的应用考查学生的运算求解能力,考查了数学运算的核心素养,体现了应用意识.
(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.
b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.
方法总结 由频率分布直方图估计样本的数字特征:
(xi表示第i个小矩形底边中点的横坐标,Si表示第i个小矩形的面积)
①平均数?=x1S1+x2S2+…+xiSi+…+xnSn;
②方差s2=(x1-?)2S1+(x2-?)2S2+…+(xn-?)2Sn;
③中位数:从左到右(或从右到左)小矩形面积之和等于0.5时的横坐标;
④众数:最高小矩形底边中点的横坐标.
6.(2019课标全国Ⅱ文,19,12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查
了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值
为代表).(精确到0.01)
附:?≈8.602.
y的分组 [-0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)
企业数 2 24 53 14 7
解析 本题考查了统计的基础知识、基本思想和方法,考查学生对频数分布表的理解与应用,
考查样本的平均数,标准差等数字特征的计算方法,以及对现实社会中实际数据的分析处理能
力.
(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为
?=0.21.
产值负增长的企业频率为?=0.02.
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值
负增长的企业比例为2%.
(2)?=?(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,
s2=??ni(yi-?)2
=?[2×(-0.40)2+24×(-0.20)2+53×02+14×0.202+7×0.402]=0.029 6,
s=?=0.02×?≈0.17.
所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.
方法总结 利用频数分布表求平均数估计值的方法:各组区间中点值乘该组频数,并求和,再除
以样本容量.利用频数分布表求标准差估计值的方法:用各组区间中点值代表该组,代入标准差
公式即可.
7.(2017北京文,17,13分)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使
用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,4
0),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
?
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计
总体中男生和女生人数的比例.
解析 (1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,
所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,
分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×?=20.
(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×?=30.
所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=
3∶2.
所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.
8.(2016四川,16,12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用
水情况进行了调查.通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照
[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由;
(3)估计居民月均用水量的中位数.
?
解析 (1)由频率分布直方图,可知:月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.0
2.
由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a,解得a=0.30.
(2)由(1)知,100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12,
由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=3
6 000.
(3)设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,
所以2≤x<2.5.
由0.50×(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
评析????本题考查了样本数据的数字特征及利用样本的数字特征估计总体的数字特征,同时考
查了学生的运算能力.
C组 教师专用题组
1.(2014陕西改编,9,5分)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常
数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为 ????.
答案 1+a,4
解析 ∵x1,x2,…,x10的均值?=1,方差?=4,且yi=xi+a(i=1,2,…,10),∴y1,y2,…,y10的均值?=?(y1+y2
+…+y10)=?(x1+x2+…+x10+10a)=?(x1+x2+…+x10)+a=?+a=1+a,其方差?=?[(y1-?)2+(y2-?)2+…
+(y10-?)2]=?[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=?=4.
2.(2014江苏,6,5分)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单
位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有
????株树木的底部周长小于100 cm.
?
答案 24
解析 由题意得60×(0.015+0.025)×10=24(株).
3.(2014天津,9,5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽
样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年
级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取
????名学生.
答案 60
解析?????×300=60(名).
4.(2013江苏,6,5分)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ????.
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
答案 2
解析 由题表中数据知,乙运动员成绩稳定,平均值为?=?=90,方差为s2=
?=2.
5.(2012江苏,2,5分)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层抽样的
方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 ????名学
生.
答案 15
解析 从高二年级中抽取的学生数与抽取学生总数的比为?,所以应从高二年级抽取学生人
数为50×?=15.
评析 本题考查分层抽样方法,只需按每层占总体的比抽取样本即可.
6.(2011江苏,6,5分)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该组数据的方
差s2= ????.
答案?????
解析 记星期一到星期五收到的信件数分别为x1,x2,x3,x4,x5,则?=?=
?=7.
∴s2=?[(x1-?)2+(x2-?)2+(x3-?)2+(x4-?)2+(x5-?)2]=?[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]=?.
7.(2010江苏,4,5分)某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测了100根棉花纤维的长度
(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图
所示,则在抽测的100根中,有 ????根棉花纤维的长度小于20 mm.
答案 30
解析 由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于20 mm的有(0.01+0.01+0.04)×5×100=30
(根).
8.(2009江苏,6,5分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投1
0次,投中的次数如下表:
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2= ????.
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6 7 7 8 7
乙班 6 7 6 7 9
答案?????
解析 两组数据的平均值都是7,甲班的方差为?=?=?,乙班的方差
为?=?=?,故两组数据中方差较小的一个为s2=?.
9.(2018课标全国Ⅰ文,19,12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)
和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7)
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6)
频数 1 5 13 10 16 5
(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;
?
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水.(一年按365天计算,同一组中的数据以这组
数据所在区间中点的值作代表)
解析 (1)
?
(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.
6×0.1+2×0.05=0.48,
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
?=?×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
?=?×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.
估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).
易错警示 利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时,应注意区分这三者,在频率分布
直方图中:
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长
方形底边中点的横坐标之和.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点一 抽样方法
1.(2019无锡期末)有A,B,C三所学校,学生人数的比例为3∶4∶5,现用分层抽样的方法招募n名
志愿者,若在A学校恰好选出9名志愿者,那么n= ????.
答案 36
解析 设A,B,C三所学校学生人数为3x,4x,5x,其中x>0,x∈N*,则总人数为12x,所以?=?,解得
n=36.
2.(2019如东中学、栟茶中学期末,3)总体由编号为01,02,03,…,49,50的50个个体组成,利用随机
数表(以下摘取了随机数表中第1行和第2行)选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第9
列数字开始由左向右读取,则选出来的第4个个体的编号为 ????.
6667406714 6405719586 1105650968 7683203790
5716001166 1490844511 7573880590 5227411486
答案 09
解析 抽取的5个符合要求的数分别是14,05,11,09,20,所以第4个个体的编号为09.
3.(2019南京、盐城期末,3)某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2∶
3∶5,现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,样本中A型号产品有16件,那么此样本的
容量n= ????.
答案 80
解析????A产品占?×100%=20%,16÷20%=80.
4.(2019扬州期末,4)某学校选修网球课程的学生中,高一、高二、高三年级分别有50名、40
名、40名.现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本,已知在高二年级学生中抽取
了8名,则在高一年级学生中应抽取的人数为 ????.
答案 10
解析 设在高一年级抽取x人,
则?=?,解得x=10.
考点二 总体分布、总体特征数的估计
1.(2019南师大附中期中,5)某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤
维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直
方图如图所示,则在抽测的100根中,有 ????根棉花纤维的长度小于20 mm.
?
答案 30
解析 100×(0.04+0.01+0.01)×5=30.
名师点睛 频率分布直方图的性质:
(1)因为小矩形的面积=组距×?=频率,所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样,频率
分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
(2)在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于1.
(3)?=样本容量.
2.(2019南京、盐城二模,3)某药厂选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据
(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编
号为第一组,第二组,……,第五组,根据试验数据制成如图所示的频率分布直方图,已知第一组
与第二组共有20人,则第三组的人数为 ????.
?
答案 18
解析 第一、二组的频率之和为1×(0.24+0.16)=0.4,则总人数为?=50,所以第三组的人数为5
0×1×0.36=18.
评析 直方图中的矩形面积为这组的频率,频数就等于频率与样本容量的积.
3.(2019南通、扬州、泰州、苏北四市七市一模,3)某中学组织学生参加社会实践活动,高二(1)
班50名学生参加活动的次数统计如下:
则平均每人参加活动的次数为 ????.
次数 2 3 4 5
人数 20 15 10 5
答案 3
解析 平均次数为?=?=3.
4.(2019常州期末,3)已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1,9.3,x,9.2,9.4,且这5个分数的平
均数为9.3,则实数x= ????.
答案 9.5
解析 数据9.1,9.3,x,9.2,9.4的平均数为?×(9.1+9.3+x+9.2+9.4)=9.3,解得x=9.5.
评析 本题考查平均数的定义与计算,是基础题.
5.(2019苏北三市(徐州、连云港、淮安)期末,3)已知一组样本数据5,4,x,3,6的平均数为5,则该
组数据的方差为 ????.
答案 2
解析 平均数为?×(5+4+x+3+6)=5,解得x=7,
所以方差s2=?×[(5-5)2+(4-5)2+(7-5)2+(3-5)2+(6-5)2]=2.
6.(2018南京、盐城一模,3)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小
学六年级4 000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100](单位:
分钟)上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[7
0,80)(单位:分钟)内的学生人数为 ????.
?
答案 1 000
解析????a=0.1-0.005-0.035-0.020-0.015=0.025,所以阅读时间在[70,80)内的频率为0.025×10=0.2
5,故阅读时间在[70,80)内的学生人数为0.25×4 000=1 000.
填空题(每小题5分,共40分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：20分钟 分值：40分)
1.(2019南京三模,3)已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示,那么这一周该商
品日销售量的平均数为 ????.
2 8 9 9
3 0 1 1 2
答案 30
解析?????=30.
2.(2019七大市三模,4)已知一组数据6,6,9,x,y的平均数是8,且xy=90,则该组数据的方差为 ????
????.
答案?????
解析 因为数据6,6,9,x,y的平均数是8,所以x+y=19,又xy=90,所以这组数据为6,6,9,9,10,所以该
组数据的方差为?×[(6-8)2+(6-8)2+(9-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=?.
评析 本题考查方差的概念,先计算出x,y的值,再计算方差,要准确理解概念,不能忘记除以5.
是基础题.
3.(2019七市第二次调研,3)某单位普通职工和行政人员共280人,为了解他们在“学习强国”
APP平台上的学习情况,现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本,已知从普通
职工中抽取的人数为49,则该单位行政人员的人数为 ????.
答案 35
解析 分层抽样的比例为?=?,所以普通职工的人数为49×5=245,则行政人员的人数为280-
245=35.
4.(2019扬州中学3月检测,4)已知一组数据x1,x2,…,xn的方差为3,若数据ax1+b,ax2+b,…,axn+b(a,b
∈R)的方差为12,则a的值为 ????.
答案????±2
解析 ∵数据x1,x2,…,xn的方差为3,
∴数据ax1+b,ax2+b,…,axn+b(a,b∈R)的方差为a2·3=12,
∴a2=4,∴a=±2.
5.(2019海安期末,4)某地区连续5天的最低气温(单位:℃)依次为8,-4,-1,0,2,则该组数据的标准
差为 ????.
答案 4
解析 平均数为?=?×(8-4-1+0+2)=1,
标准差为s=?=?=4.
6.(2018南京、盐城二模,4)某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示,则这组数据的方差为
????.
7 9
8 3 5 7
9 1
答案 16
解析 该组数据为79,83,85,87,91,
平均数为?=85,
方差为?×[(79-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(87-85)2+(91-85)2]=16.
7.(2018扬州期末,3)若数据31,37,33,a,35的平均数是34,则这组数据的标准差为 ????.
答案 2
解析 由题意得31+37+33+a+35=34×5,解得a=34,故这组数据的标准差为
?
=2.
易错提醒 本题求解的是标准差,不是方差,容易看错.
8.(2018泰州中学二模,3)在某个容量为300的样本的频率分布直方图中,共有九个小长方形.若
中间一个小长方形的面积等于其他八个小长方形面积和的?,则中间一组的频数为 ????.
答案 50
解析 在频率分布直方图中,小长方形的面积等于该组的频率,小长方形的面积之和为1,设中
间一个小长方形面积为x,则x=?(1-x),解得x=?,所以中间一组的频数为?×300=50.
