４２ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§ ４．４ 解三角形
对应学生用书起始页码 Ｐ６９
考点一 正弦定理与余弦定理 高频考点
在△ＡＢＣ 中，角 Ａ，Ｂ，Ｃ 所对的边分别是 ａ，ｂ，ｃ，Ｒ 是△ＡＢＣ
的外接圆半径，则有：
定理 正弦定理 余弦定理
内容
ａ
ｓｉｎ Ａ
＝ ｂ
ｓｉｎ Ｂ
＝ ｃ
ｓｉｎ Ｃ
＝ ２Ｒ
ａ２ ＝ ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓ Ａ；
ｂ２ ＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓ Ｂ；
ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓ Ｃ
变形
公式
（１）ａ ∶ ｂ ∶ ｃ ＝ ｓｉｎ Ａ ∶ ｓｉｎ Ｂ
∶ ｓｉｎ Ｃ；
（２）ａ＝ ２Ｒｓｉｎ Ａ，ｂ＝ ２Ｒｓｉｎ Ｂ，
ｃ＝ ２Ｒｓｉｎ Ｃ；
（３） ｓｉｎ Ａ ＝
ａ
２Ｒ
，ｓｉｎ Ｂ ＝
ｂ
２Ｒ
，
ｓｉｎ Ｃ＝
ｃ
２Ｒ
；
（４）
ａ＋ｂ＋ｃ
ｓｉｎ Ａ＋ｓｉｎ Ｂ＋ｓｉｎ Ｃ
＝ ２Ｒ
ｃｏｓ Ａ＝
ｂ２＋ｃ２－ａ２
２ｂｃ
＝（ｂ
＋ｃ） ２－ａ２
２ｂｃ
－１；
ｃｏｓ Ｂ＝
ａ２＋ｃ２－ｂ２
２ａｃ
＝（ａ
＋ｃ） ２－ｂ２
２ａｃ
－１；
ｃｏｓ Ｃ＝
ａ２＋ｂ２－ｃ２
２ａｂ
＝（ａ
＋ｂ） ２－ｃ２
２ａｂ
－１
应用
类型
（１）已知两角和任一边，求
另一角和其他两条边；
（２）已知两边和其中一边的
对角，求另一边和其他两角
（１）已知三边，求各角；
（２）已知两边和它们的夹角，求
第三边和其他两角
考点二 解三角形及其综合应用 高频考点
１．解三角形
（１）利用余弦定理求边长，实质是解一元二次方程，解出后
可根据已知条件对方程的根进行取舍．
（２）在△ＡＢＣ 中，已知 ａ，ｂ 和 Ａ，利用正弦定理解三角形时，
会出现解不确定的情况，一般可根据三角形中“大边对大角和三
角形内角和定理”来取舍．在△ＡＢＣ 中，已知 ａ，ｂ 和 Ａ 时，具体解
的情况如下表：
Ａ 为锐角 Ａ 为钝角或直角
图形
关系式 ａ＝ ｂｓｉｎ Ａ ｂｓｉｎ Ａ＜ａ＜ｂ ａ≥ｂ ａ＞ｂ
解的
个数
一解 两解 一解 一解
上表中，若 Ａ 为锐角，则当 ａ＜ｂｓｉｎ Ａ 时无解；若 Ａ 为钝角或
直角，则当 ａ≤ｂ 时无解．
２．三角形中常用的结论
在△ＡＢＣ 中，角 Ａ，Ｂ，Ｃ 所对的边分别是 ａ，ｂ，ｃ，常见的结
论有：
（１）Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π；
（２）在△ＡＢＣ 中，大角对大边，大边对大角，如：ａ＞ｂ?Ａ＞Ｂ?
ｓｉｎ Ａ＞ｓｉｎ Ｂ；
（３）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
（４）在锐角三角形 ＡＢＣ 中，ｓｉｎ Ａ＞ｃｏｓ Ｂ?Ａ＋Ｂ＞
π
２
；
（５）在斜△ＡＢＣ 中，ｔａｎ Ａ＋ｔａｎ Ｂ＋ｔａｎ Ｃ＝ ｔａｎ Ａ·ｔａｎ Ｂ·ｔａｎ Ｃ；
（６）与三角形内角有关的常用三角恒等式： ｓｉｎ （ Ａ＋Ｂ） ＝
ｓｉｎ Ｃ； ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ） ＝ － ｃｏｓ Ｃ； ｔａｎ （ Ａ ＋ Ｂ） ＝ － ｔａｎ Ｃ Ａ＋Ｂ≠
π
２( ) ；
ｓｉｎ
Ａ＋Ｂ
２
＝ｃｏｓ
Ｃ
２
；ｃｏｓ
Ａ＋Ｂ
２
＝ ｓｉｎ
Ｃ
２
．
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对应学生用书起始页码 Ｐ７０
一、三角形形状的判断
要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考．
依据已知条件中的边角关系判断时，主要有以下两种途径：
（１）化角为边：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含
边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断
三角形的形状．
（２）化边为角：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含
内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换得出内角的关系，
从而判断出三角形的形状，此时要注意应用“△ＡＢＣ 中，Ａ＋Ｂ＋Ｃ
＝π”这个结论．
（２０１９ 苏州 ３ 月检测，１５）在△ＡＢＣ 中，ａ、ｂ、ｃ 分别是内
角 Ａ、Ｂ、Ｃ 的对边，已知 ｂ２＋ｃ２ ＝ａ２＋ｂｃ．
（１）求角 Ａ 的大小；
（２）若 ２ｓｉｎ２
Ｂ
２
＋２ｓｉｎ２
Ｃ
２
＝ １，判断△ＡＢＣ 的形状．
思路分析 （１）ｂ２＋ｃ２ ＝ ａ２ ＋ｂｃ?ｂ２ ＋ｃ２ －ａ２ ＝ ｂｃ?
ｂ２＋ｃ２－ａ２
２ｂｃ
＝
１
２
，结合余弦定理知 ｃｏｓ Ａ＝
１
２
，可求出角 Ａ 的大小；
（２）用半角公式对 ２ｓｉｎ２
Ｂ
２
＋ ２ｓｉｎ２
Ｃ
２
＝ １ 进行变形，得到
ｃｏｓ Ｂ＋ｃｏｓ Ｃ＝ １，又由（１）的结论知，Ａ ＝
π
３
，Ｂ＋Ｃ ＝
２π
３
，与 ｃｏｓ Ｂ＋
ｃｏｓ Ｃ＝ １ 联立可求得 Ｂ，Ｃ 的值，由角判断△ＡＢＣ 的形状．
解析 （１）在△ＡＢＣ 中，ｂ２＋ｃ２－ａ２ ＝ ２ｂｃｃｏｓ Ａ，
又 ｂ２＋ｃ２ ＝ａ２＋ｂｃ，
∴ ｃｏｓ Ａ＝
１
２
，∴ Ａ＝
π
３
． （６ 分）
（２）∵ ２ｓｉｎ２
Ｂ
２
＋２ｓｉｎ２
Ｃ
２
＝ １，∴ １－ｃｏｓ Ｂ＋１－ｃｏｓ Ｃ＝ １， （８ 分）
∴ ｃｏｓ Ｂ＋ｃｏｓ Ｃ＝ １，即 ｃｏｓ Ｂ＋ｃｏｓ
２π
３
－Ｂ( ) ＝ １，即 ｃｏｓ Ｂ＋ｃｏｓ ２π３
ｃｏｓ Ｂ＋ｓｉｎ
２π
３
ｓｉｎ Ｂ＝ １，
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第四章 三角函数 ４３
即
３
２
ｓｉｎ Ｂ＋
１
２
ｃｏｓ Ｂ＝ １，∴ ｓｉｎ Ｂ＋
π
６( ) ＝ １，
∵ ０＜Ｂ＜π，∴ Ｂ＝
π
３
，Ｃ＝
π
３
，∴ △ＡＢＣ 为等边三角形． （１４ 分）
１－１ 在 △ＡＢＣ 中， 若
ｔａｎ Ａ
ｔａｎ Ｂ
＝ ａ
２
ｂ ２
， 则 △ＡＢＣ 的 形 状
是 ．
１－１ 答案 等腰或直角三角形
解析 由已知并结合正弦定理得
ｓｉｎ Ａ
ｃｏｓ Ａ
·
ｃｏｓ Ｂ
ｓｉｎ Ｂ
＝ ｓｉｎ
２Ａ
ｓｉｎ２Ｂ
，即
ｃｏｓ Ｂ
ｃｏｓ Ａ
＝ ｓｉｎ Ａ
ｓｉｎ Ｂ
，∴ ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ａ＝ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｂ，即 ｓｉｎ ２Ａ ＝ ｓｉｎ ２Ｂ，又 Ａ、Ｂ
为△ＡＢＣ 的内角，∴ ２Ａ＝ ２Ｂ 或 ２Ａ＋２Ｂ ＝π，即 Ａ ＝Ｂ 或 Ａ＋Ｂ ＝
π
２
，
所以△ＡＢＣ 的形状为等腰三角形或直角三角形．
１－２ 在△ＡＢＣ 中，
ｃ－ａ
２ｃ
＝ ｓｉｎ２
Ｂ
２
（ａ、ｂ、ｃ 分别为角 Ａ、Ｂ、Ｃ 的
对边），则△ＡＢＣ 的形状为 ．
１－２ 答案 直角三角形
解析 由 ｃｏｓ Ｂ＝ １－２ｓｉｎ２
Ｂ
２
得 ｓｉｎ２
Ｂ
２
＝ １
－ｃｏｓ Ｂ
２
，
∴
ｃ－ａ
２ｃ
＝ １
－ｃｏｓ Ｂ
２
，即 ｃｏｓ Ｂ＝
ａ
ｃ
．
解法一：由余弦定理得
ａ２＋ｃ２－ｂ２
２ａｃ
＝ ａ
ｃ
，即 ａ２＋ｃ２－ｂ２ ＝ ２ａ２，∴ ａ２
＋ｂ２ ＝ ｃ２ ．
∴ △ＡＢＣ 为直角三角形．
（无法判断两直角边是否相等）
解法二：由正弦定理得 ｃｏｓ Ｂ ＝
ｓｉｎ Ａ
ｓｉｎ Ｃ
，又 ｓｉｎ Ａ ＝ ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝
ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ＋ｃｏｓ Ｂｓｉｎ Ｃ，∴ ｃｏｓ Ｂｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ＋ ｃｏｓ Ｂｓｉｎ Ｃ，即
ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ＝ ０，又 ｓｉｎ Ｂ≠０，∴ ｃｏｓ Ｃ＝ ０，又角 Ｃ 为三角形的内角，
∴ Ｃ＝
π
２
，∴ △ＡＢＣ 为直角三角形．
（无法判断两直角边是否相等）
１－３ 在△ＡＢＣ 中，角 Ａ，Ｂ，Ｃ 所对的边分别是 ａ，ｂ，ｃ，若
２ａｓｉｎ Ａ＝（２ｂ－ｃ）ｓｉｎ Ｂ＋（２ｃ－ｂ）ｓｉｎ Ｃ．
（１）求角 Ａ 的大小；
（２）若 ｓｉｎ Ｂ＋ｓｉｎ Ｃ＝ ３ ，试判断△ＡＢＣ 的形状．
１－３ 解析 （１）由 ２ａｓｉｎ Ａ＝（２ｂ－ｃ）ｓｉｎ Ｂ＋（２ｃ－ｂ）ｓｉｎ Ｃ，
得 ２ａ２ ＝（２ｂ－ｃ）ｂ＋（２ｃ－ｂ）ｃ，即 ｂｃ＝ ｂ２＋ｃ２－ａ２，
所以 ｃｏｓ Ａ＝
ｂ２＋ｃ２－ａ２
２ｂｃ
＝ １
２
，
因为 ０°＜Ａ＜１８０°，所以 Ａ＝ ６０°．
（２）因为 Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ １８０°，所以 Ｂ＋Ｃ＝ １８０°－６０° ＝ １２０°．
由 ｓｉｎ Ｂ＋ｓｉｎ Ｃ＝ ３ ，得 ｓｉｎ Ｂ＋ｓｉｎ（１２０°－Ｂ）＝ ３ ，
所以 ｓｉｎ Ｂ＋ｓｉｎ １２０°ｃｏｓ Ｂ－ｃｏｓ １２０°ｓｉｎ Ｂ＝ ３ ．
所以
３
２
ｓｉｎ Ｂ＋
３
２
ｃｏｓ Ｂ＝ ３ ，即 ｓｉｎ（Ｂ＋３０°）＝ １．
因为 ０°＜Ｂ＜１２０°，所以 ３０°＜Ｂ＋３０°＜１５０°．
所以 Ｂ＋３０° ＝ ９０°，即 Ｂ＝ ６０°．
所以 Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝ ６０°，所以△ＡＢＣ 为等边三角形．
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二、三角形面积的计算
与三角形面积有关的问题主要有两种：一是求三角形的面
积；二是给出三角形的面积，求其他量．解题时主要应用三角形的
面积公式 Ｓ＝
１
２
ａｂｓｉｎ Ｃ＝
１
２
ｂｃｓｉｎ Ａ＝
１
２
ａｃｓｉｎ Ｂ，此公式既与边长
的乘积有关，又与角的三角函数值有关，由此可以与正弦定理、
余弦定理综合起来求解．
（２０１９ 江苏宿迁期末，１５）已知三角形 ＡＢＣ 的面积是
Ｓ，ＡＢ→·ＡＣ→＝ ２ ３
３
Ｓ．
（１）求 ｓｉｎ Ａ 的值；
（２）若 ＢＣ＝ ２ ３ ，当三角形 ＡＢＣ 的周长取得最大值时，求三
角形 ＡＢＣ 的面积 Ｓ．
解析 （１）由 ＡＢ→·ＡＣ→＝ ２ ３
３
Ｓ 得
ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓ Ａ＝
２ ３
３
× １
２
ＡＢ·ＡＣ·ｓｉｎ Ａ，
所以 ｃｏｓ Ａ＝
３
３
ｓｉｎ Ａ． （２ 分）
在三角形 ＡＢＣ 中，Ａ∈（０，π），得 ｔａｎ Ａ＝ ３ ． （４ 分）
所以∠Ａ＝
π
３
，所以 ｓｉｎ Ａ＝
３
２
． （７ 分）
（２）解法一：在三角形 ＡＢＣ 中，ａ２ ＝ ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓ Ａ，
所以 １２＝（ｂ＋ｃ） ２－２ｂｃ－２ｂｃｃｏｓ
π
３
，
即（ｂ＋ｃ） ２－１２＝ ３ｂｃ≤３
ｂ＋ｃ
２( )
２
， （１０ 分）
当且仅当 ｂ＝ ｃ 时取等号，所以 ｂ＋ｃ≤４ ３，
所以周长的最大值为 ６ ３ ，此时 ｂ＝ ｃ＝ ２ ３ ，
所以面积 Ｓ＝
１
２
ｂｃ·ｓｉｎ Ａ＝ ３ ３ ． （１４ 分）
解法二：在三角形 ＡＢＣ 中，
ＡＢ
ｓｉｎ Ｃ
＝ ＡＣ
ｓｉｎ Ｂ
＝ ＢＣ
ｓｉｎ Ａ
得
ＡＢ
ｓｉｎ Ｃ
＝
ＡＣ
ｓｉｎ
π
３
＋Ｃ( )
＝ ２ ３
３
２
＝ ４，
所以周长 ｌ＝ＢＣ＋ＡＢ＋ＣＡ＝ ２ ３ ＋４ｓｉｎ Ｃ＋４ｓｉｎ
π
３
＋Ｃ( )
＝ ２ ３ ＋４ ３ ｓｉｎ Ｃ＋
π
６( ) ， （１０ 分）
由 Ｃ∈ ０，
２π
３( ) 得，当 Ｃ＝ π３ 时，周长 ｌ 取得最大值 ６ ３ ，
此时 ＡＣ＝ＡＢ＝ ２ ３ ，
所以面积 Ｓ＝
１
２
ＡＢ·ＡＣ·ｓｉｎ Ａ＝ ３ ３ ． （１４ 分）
２－１ 在△ＡＢＣ中，ａ，ｂ，ｃ分别为内角 Ａ，Ｂ，Ｃ 的对边，且 ２ａｂｓｉｎ Ｃ
＝ ３（ｂ２＋ｃ２－ａ２），若 ａ＝ １３，ｃ＝３，则△ＡＢＣ的面积为 ．
２－１ 答案 ３ ３
解析 已知 ２ａｂｓｉｎ Ｃ＝ ３ （ｂ２＋ｃ２－ａ２），两边同时除以 ２ｂｃ，
可得
ａ
ｃ
ｓｉｎ Ｃ＝ ３ ｃｏｓ Ａ，则 ｓｉｎ Ａ＝ ３ ｃｏｓ Ａ，所以 ｔａｎ Ａ＝ ３ ，所以 Ａ
＝ π
３
．由余弦定理得 １３ ＝ ｂ２ ＋９－６ｂ·
１
２
，解得 ｂ ＝ ４ 或 ｂ ＝ －１（舍
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４４ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
去），由三角形面积公式得△ＡＢＣ 的面积 Ｓ＝
１
２
ｂｃ·ｓｉｎ Ａ＝ ３ ３ ．
２－２ （２０１８ 常熟期中，１２）设△ＡＢＣ 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ 的对边
分别是 ａ，ｂ，ｃ，Ｄ 为 ＡＢ 的中点，若 ｂ ＝ ａｃｏｓ Ｃ＋ｃｓｉｎ Ａ 且 ＣＤ ＝ ２ ，
则△ＡＢＣ 面积的最大值是 ．
２－２ 答案 ２ ＋１
解析 因为 ｂ ＝ ａｃｏｓ Ｃ＋ｃｓｉｎ Ａ，所以由正弦定理得ｓｉｎ Ｂ ＝
ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ＋ｓｉｎ Ｃｓｉｎ Ａ，即 ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ＋ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ Ａ·ｃｏｓ Ｃ＋
ｓｉｎ Ｃｓｉｎ Ａ，因为 ｓｉｎ Ｃ≠０，所以 ｃｏｓ Ａ＝ｓｉｎ Ａ，即 ｔａｎ Ａ＝ １，因为 Ａ∈
（０，π），所以 Ａ＝
π
４
，在△ＡＣＤ 中，由余弦定理得 ＣＤ２ ＝ ｂ２＋
ｃ２
４
－２ｂ
·
ｃ
２
ｃｏｓ
π
４
，即 ２ ２ ｂｃ＝ ４ｂ２ ＋ｃ２ －８≥４ｂｃ－８，所以 ｂｃ≤
４
２－ ２
＝ ４＋２
２ ，当且仅当 ２ｂ＝ ｃ 时等号成立，所以 Ｓ△ＡＢＣ ＝
１
２
ｂｃｓｉｎ Ａ ＝
１
２
·
２
２
ｂｃ≤ ２＋１．所以△ＡＢＣ 面积的最大值为 ２ ＋１．
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(共111张PPT)
A组????自主命题·江苏卷题组
五年高考
考点一 正弦定理与余弦定理
1.(2016江苏,15,14分)在△ABC中,AC=6,cos B=?,C=?.
(1)求AB的长;
(2)求cos?的值.
解析 (1)因为cos B=?,0
所以sin B=?=?=?.
由正弦定理知?=?,
所以AB=?=?=5?.
(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),
于是cos A=-cos(B+C)=-cos?=-cos Bcos ?+sin B·sin?,
又cos B=?,sin B=?,
故cos A=-?×?+?×?=-?.
因为0因此,cos?=cos Acos?+sin Asin?=-?×?+?×?=?.
评析 本题主要考查正(余)弦定理、同角三角函数基本关系与两角和(差)的三角函数,考查运
算求解能力.
2.(2015江苏,15,14分)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.
(1)求BC的长;
(2)求sin 2C的值.
解析 (1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=4+9-2×2×3×?=7,所以BC=?.
(2)解法一:由正弦定理知,?=?,
所以sin C=?·sin A=?=?.
因为AB则cos C=?=?=?.
因此sin 2C=2sin C·cos C=2×?×?=?.
解法二:由余弦定理得cos C=?=?,
因为C∈(0,π),所以sin C=?=?,
因此sin 2C=2sin Ccos C=2×?×?=?.
考点二 解三角形及其综合应用
1.(2019江苏,15,14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=3c,b=?,cos B=?,求c的值;
(2)若?=?,求sin?的值.
解析 本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查
运算求解能力.满分14分.
(1)因为a=3c,b=?,cos B=?,
由余弦定理得cos B=?,得?=?,
即c2=?.所以c=?.
(2)因为?=?,
由正弦定理?=?,得?=?,所以cos B=2sin B.
从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),
故cos2B=?.
因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=?.
因此sin?=cos B=?.
2.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高
均为32 cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10? cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别
为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为
40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;
(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.
?
解析 (1)由正棱柱的定义,知CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.
记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.
因为AC=10?,AM=40,
所以MC=?=30,从而sin∠MAC=?.
记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,
则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=?=16.
答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)
?
(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.
?
由正棱台的定义,知OO1⊥平面EFGH,
所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.
同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.
记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.
过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.
因为EG=14,E1G1=62,所以KG1=?=24,从而GG1=?=?=40.
设∠EGG1=α,∠ENG=β,
则sin α=sin?=cos∠KGG1=?.
因为?<α<π,所以cos α=-?.
在△ENG中,由正弦定理可得?=?,解得sin β=?.
因为0<β于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)
=sin αcos β +cos αsin β=?×?+?×?=?.
记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG,Q2为垂足,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2=
?=20.
答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20 cm)
考点一 正弦定理与余弦定理
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
1.(2019课标全国Ⅰ文改编,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4
csin C,cos A=-?,则?= ????.
答案 6
解析 本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用;考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力;
考查的核心素养是数学运算与逻辑推理.
由正弦定理及asin A-bsin B=4csin C得a2-b2=4c2,由余弦定理可得cos A=?=?=-?.所
以?=6.
2.(2019浙江,14,6分)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD
= ????,cos∠ABD= ????.
答案?????;?
解析 本题考查了两角差的余弦公式和正弦定理,通过解三角形考查了运算求解能力,通过长
度和角度的计算体现了数学运算的核心素养.
在△BDC中,BC=3,sin∠BCD=?,∠BDC=45°,
由正弦定理得?=?,则BD=?=?,
在△ABD中,sin∠BAD=?,cos∠BAD=?,∠ADB=135°,
∴cos∠ABD=cos[180°-(135°+∠BAD)]=cos(45°-∠BAD)=cos 45°cos∠BAD+sin 45°sin∠BAD=
??=?.
?
思路分析 在△BCD中,由正弦定理求BD的值;cos∠ABD的值可通过两角差的余弦公式求解.
解题反思 三角恒等变换和正弦定理、余弦定理是解三角形的基础知识,在熟练掌握的前提
下,应比较运算量大小,从而选取比较理想的解法.
3.(2019课标全国Ⅱ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B
= ????.
答案?????π
解析 本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算.
在△ABC中,由已知及正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0,
∵sin A≠0,∴sin B+cos B=0,
即tan B=-1,
又B∈(0,π),∴B=?π.
4.(2018课标全国Ⅱ理改编,6,5分)在△ABC中,cos?=?,BC=1,AC=5,则AB= ????.
答案 4?
解析 本题考查二倍角公式和余弦定理.
∵cos ?=?,∴cos C=2cos2?-1=2×?-1=-?,
又∵BC=1,AC=5,
∴AB=?=?=4?.
5.(2018课标全国Ⅰ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin
Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为 ????.
答案?????
解析 本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用以及三角形面积的求解.
由已知条件及正弦定理可得2sin Bsin C=4sin A·sin Bsin C,易知sin Bsin C≠0,∴sin A=?,又b2+c
2-a2=8,∴cos A=?=?,∴cos A>0,∴cos A=?,即?=?,∴bc=?,
∴△ABC的面积S=?bcsin A=?×?×?=?.
解题关键 正确利用正弦定理将“边”转化为“角”,求出sin A是解决本题的关键.
6.(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=?,b=2,A=60°,则sin B=????
????,c= ????.
答案?????;3
解析 本题考查正弦定理、余弦定理.
由?=?得sin B=?sin A=?,
由a2=b2+c2-2bccos A,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍负).
7.(2017课标全国Ⅲ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=?,c=3,则
A= ????.
答案 75°
解析 由正弦定理得?=?,∴sin B=?,
又∵c>b,∴B=45°,∴A=75°.
易错警示 本题求得sin B=?后,要注意利用c>b确定B=45°,从而求得A=75°.
方法总结 已知两条边及其中一条边的对角解三角形,常用正弦定理进行求解.
8.(2017课标全国Ⅱ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos
A,则B= ????.
答案 60°
解析 解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin C·cos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=
sin(180°-B),可得B=60°.
解法二:由余弦定理得2b·?=a·?+c·?,即b·?=b,所以a2+c2-b2
=ac,所以cos B=?,又0°思路分析 利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解.
方法总结 当给出的条件为含有边角的三角等式时,常用的基本方法是利用正弦定理或余弦
定理将边角统一后进行求解.若等式两边均含有边的一次式或角的正弦的一次式,通常应用正
弦定理进行转化;若等式两边含有角的余弦的一次式或边的平方式,通常应用余弦定理进行转
化.
9.(2017课标全国Ⅰ文改编,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin
C-cos C)=0,a=2,c=?,则C= ????.
答案?????
解析 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.
在△ABC中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C)
=sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,
即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,
∴cos Asin C+sin Asin C=0,∵sin C≠0,∴cos A+sin A=0,
即tan A=-1,即A=?π.
由?=?得?=?,∴sin C=?,
又0方法总结 解三角形问题首先要熟悉正弦定理、余弦定理;其次还要注意应用三角形内角和
定理,以达到求解三角函数值时消元的目的,例如本题中sin B=sin(A+C)的应用.
10.(2016课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=?,cos C=?,a=1,
则b= ????.
答案?????
解析 由cos C=?,0由cos A=?,0所以sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sin Acos C+sin Ccos A=?,
根据正弦定理得b=?=?.
思路分析 利用同角三角函数的平方关系求出sin A与sin C的值,进而由sin B=sin(A+C)求出
sin B的值,再利用正弦定理即可求出b的值.
11.(2019北京文,15,13分)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-?.
(1)求b,c的值;
(2)求sin(B+C)的值.
解析 本题主要考查余弦定理及其推论的应用,旨在考查学生在解三角形中的运算求解能力,
以求三角形边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想.
(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
得b2=32+c2-2×3×c×?.
因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×?.
解得c=5.所以b=7.
(2)由cos B=-?得sin B=?.
由正弦定理得sin A=?sin B=?.
在△ABC中,B+C=π-A.所以sin(B+C)=sin A=?.
12.(2019天津理,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4
asin C.
(1)求cos B的值;
(2)求sin?的值.
解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,
以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.体现了对数学运算这一核心素养的
重视.
(1)在△ABC中,由正弦定理?=?,得bsin C=csin B,
又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a.
又因为b+c=2a,得到b=?a,c=?a.
由余弦定理可得cos B=?=?=-?.
(2)由(1)可得sin B=?=?,
从而sin 2B=2sin Bcos B=-?,cos 2B=cos2B-sin2B=-?,
故sin?=sin 2Bcos ?+cos 2Bsin ?=-?×?-?×?=-?.
思路分析 (1)由已知边角关系:3csin B=4asin C利用正弦定理,得三边比例关系,根据余弦定理
即可求出cos B.
(2)由(1)利用同角三角函数基本关系式,求出sin B,再由二倍角公式求出sin 2B、cos 2B,代入两
角和的正弦公式即可求出sin?的值.
易错警示 角B为三角形内角,故sin B>0,由cos B求sin B仅有一正解.
13.(2019课标全国Ⅰ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-
sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若?a+b=2c,求sin C.
解析 本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运
算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.
(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得cos A=?=?.
因为0°(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得?sin A+sin(120°-C)=2sin C,
即?+?cos C+?sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-?.
由于0°故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)·sin 60°=?.
思路分析 (1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角
A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正
弦、余弦的等式,利用角度变换求出sin C.
考点二 解三角形及其综合应用
1.(2019课标全国Ⅱ理,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=?,则△
ABC的面积为 ????.
答案 6?
解析 本题考查解三角形,余弦定理,三角形面积公式;通过余弦定理和三角形面积公式的运用
考查推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养为逻辑推理和数学运算.
由b2=a2+c2-2accos B及已知得62=(2c)2+c2-2×2c×c×?,
∴c=2?(c=-2?舍去).
∴a=2c=4?,∴△ABC的面积S=?acsin B=?×4?×2?×?=6?.
2.(2018课标全国Ⅲ理改编,9,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为
?,则C= ????.
答案?????
解析 本题考查解三角形及其综合应用.
根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,因为S△ABC=?,所以S△ABC=?,又S△ABC=?absin
C,所以tan C=1,因为C∈(0,π),所以C=?.
3.(2016课标全国Ⅲ改编,9,5分)在△ABC中,B=?,BC边上的高等于?BC,则sin A= ????.
答案?????
解析 解法一:过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD=?,∵B=?,∴AD=BD,∠BAD=?,
∴BD=?,DC=?a,tan∠DAC=?=2.
?
∴tan∠BAC=tan?=?=?=-3.
cos2∠BAC=?=?,
sin∠BAC=?=?.
解法二:过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD=?,∵B=?,∴AD=BD,∴BD=AD=?,DC=?a,
∴AC=?=?a,在△ABC中,由正弦定理得?=?,∴sin∠BAC=?.
4.(2015课标全国Ⅰ,16,5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围
是 ????.
答案 (?-?,?+?)
解析 如图,依题意作出四边形ABCD,连接BD.令BD=x,AB=y,∠CDB=α,∠CBD=β.在△BCD中,
由正弦定理得?=?.由题意可知,∠ADC=135°,则∠ADB=135°-α.在△ABD中,由正弦定
理得?=?,所以?=?,即y=?=?=
?=?.
?
因为0°<β<75°,α+β+75°=180°,所以30°<α<105°,
当α=90°时,易得y=?;
当α≠90°时,y=?=??,
又tan 30°=?,tan 105°=tan(60°+45°)=?=-2-?,结合正切函数的性质知,?∈
(?-2,?),且?≠0,所以y=??∈(?-?,?)∪(?,?+?).
综上所述,y∈(?-?,?+?).
5.(2018北京理,15,13分)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-?.
(1)求∠A;
(2)求AC边上的高.
解析 (1)在△ABC中,因为cos B=-?,所以sin B=?=?.
由正弦定理得sin A=?=?.
由题设知?<∠B<π,所以0<∠A所以∠A=?.
(2)在△ABC中,
因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=?,
所以AC边上的高为asin C=7×?=?.
方法总结 处理与解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分
析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通
过解方程求出边或角.
6.(2018天津文,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos?.
(1)求角B的大小;
(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.
解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余
弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.
(1)在△ABC中,由?=?,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acos?,得asin B=acos
?,即sin B=cos?,可得tan B=?.又因为B∈(0,π),所以B=?.
(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=?,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=?.
由bsin A=acos?,可得sin A=?.
因为a因此sin 2A=2sin Acos A=?,cos 2A=2cos2A-1=?.
所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=?×?-?×?=?.
方法总结 在三角关系式中,有边有角时,要利用正弦定理进行边角互化.
7.(2017课标全国Ⅰ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为
?.
(1)求sin Bsin C;
(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.
解析 本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式及其综合应用.
(1)由题设得?acsin B=?,即?csin B=?.
由正弦定理得?sin Csin B=?.
故sin Bsin C=?.
(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-?,
即cos(B+C)=-?.
所以B+C=?,故A=?.
由题设得?bcsin A=?,即bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=?.
故△ABC的周长为3+?.
方法总结 解三角形的综合应用.
(1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计
算,例如:将?csin B=?变形为?sin Csin B=?.
(2)三角形面积公式:S=?absin C=?acsin B=?bcsin A.
(3)三角形的内角和为π.这一性质经常在化简中起到消元的作用,例如:在△ABC中,sin(B+C)=
sin A.
8.(2017课标全国Ⅱ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2?.
(1)求cos B;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
解析 (1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2?,
故sin B=4(1-cos B).
上式两边平方,结合sin2B=1-cos2B,
整理得17cos2B-32cos B+15=0,
解得cos B=1(舍去)或cos B=?.
(2)由cos B=?得sin B=?,故S△ABC=?acsin B=?ac.
又S△ABC=2,则ac=?.
由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2×?×?=4.
所以b=2.
解后反思 在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题
中b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的转化就说明了这一点.
9.(2017课标全国Ⅲ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+?cos A=0,a=2
?,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
解析 (1)由已知可得tan A=-?,所以A=?.
在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos?,
即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4.
(2)解法一:由题设可得∠CAD=?,
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=?.
故?=?=1.
S△ABC=?×4×2sin∠BAC=2?,
所以△ABD的面积为?.
解法二:由余弦定理得cos C=?,在Rt△ACD中,cos C=?,
∴CD=?,∴AD=?,DB=CD=?,
∴S△ABD=S△ACD=?×2×?×sin C=?×?=?.
解法三:同解法一得∠BAD=?,由余弦定理得cos C=?,∴CD=?,∴AD=?,∴S△ABD=?×4×
?×sin∠DAB=?.
解法四:过B作BE⊥AD,交AD的延长线于E,在△ABE中,∠EAB=?-?=?,AB=4,∴BE=2,∴BE=
CA,从而可得△ADC≌△EDB,∴BD=DC,即D为BC中点,∴S△ABD=?S△ABC=?×?×2×4×sin∠CAB
=?.
10.(2015课标全国Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面
积的2倍.
(1)求?;
(2)若AD=1,DC=?,求BD和AC的长.
解析 (1)S△ABD=?AB·ADsin∠BAD,
S△ADC=?AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.
由正弦定理可得?=?=?.
(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=?.
在△ABD和△ADC中,由余弦定理知
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,
AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.
故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.
由(1)知AB=2AC,所以AC=1.
思路分析 (1)S△ABD与S△ADC的比值?AB与AC的比值,再由正弦定理求得?.
(2)由S△ABD与S△ADC的比值确定BD的长.△ACD中,AC2=12+?-2×1×?×cos∠ADC①,
△ABD中,AB2=12+(?)2-2×1×?×cos(π-∠ADC)②.
将①②联立消去cos∠ADC,得到一个AC2与AB2的等量关系,将AB=2AC代入,解方程即可.
评析 本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.
考点一 正弦定理与余弦定理
C组 教师专用题组
1.(2014课标全国Ⅱ改编,4,5分)钝角三角形ABC的面积是?,AB=1,BC=?,则AC= ????.
答案?????
解析????S△ABC=?AB·BCsin B=?×1×?sin B=?,
∴sin B=?,若B=45°,则由余弦定理得AC=1,则△ABC为直角三角形,不符合题意,因此B=135°,
由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2-2×1×?×?=5,∴AC=?.
思路分析 利用S△ABC=?AB·BCsin B求出sin B的值,进而分析出B的大小,再利用余弦定理求解
AC的值.
2.(2014课标全国Ⅱ,17,12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(1)求C和BD;
(2)求四边形ABCD的面积.
解析 (1)由题设及余弦定理得
BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C
=13-12cos C,?①
BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A
=5+4cos C.?②
由①,②得cos C=?,故C=60°,BD=?.
(2)四边形ABCD的面积
S=?AB·DAsin A+?BC·CDsin C
=?sin 60°
=2?.
评析 本题考查余弦定理的应用和四边形面积的计算,考查运算求解能力和转化的思想,把四
边形分割成两个三角形是求面积的常用方法.
3.(2011江苏,15,14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若sin?=2cos A,求A的值;
(2)若cos A=?,b=3c,求sin C的值.
解析 (1)由题设知sin Acos?+cos Asin?=2cos A.
从而sin A=?cos A,所以cos A≠0,tan A=?.
因为0(2)由cos A=?,b=3c及a2=b2+c2-2bccos A,得a2=b2-c2.
故△ABC是直角三角形,且B=?.所以sin C=cos A=?.
考点二 解三角形及其综合应用
1.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一
山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为
30°,则此山的高度CD= ????m.
?
答案 100?
解析 依题意有AB=600,∠CAB=30°,
∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.
∴∠ACB=45°,
在△ABC中,由?=?,
得?=?,
有CB=300?,
在Rt△BCD中,CD=CB·tan 30°=100?,
则此山的高度CD=100? m.
2.(2014江苏,14,5分)若△ABC的内角满足sin A+?sin B=2sin C,则cos C的最小值是 ????.
答案?????
解析 设△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
∵sin A+?sin B=2sin C,
∴由正弦定理得a+?b=2c,
∴cos C=?=?
=?
=?≥?=?,
当且仅当?a=?b时等号成立,
故cos C的最小值为?.
3.(2014四川,13,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时
气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于 ????m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考
数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,?≈1.73)
?
答案 60
解析 不妨设气球A在地面的投影为点D,则AD=46 m,于是BD=AD·tan(90°-67°)=46×?=1
9.5 m,DC=AD·tan(90°-30°)=46×?≈79.6 m,∴BC=DC-BD=79.6-19.5≈60 m.
4.(2014课标全国Ⅰ,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A
点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60
°.已知山高BC=100 m,则山高MN= ????m.
?
答案 150
解析 在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100 m,所以AC=100? m.
在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,
由正弦定理得,?=?,因此AM=100? m.
在Rt△MNA中,AM=100? m,∠MAN=60°,
由?=sin 60°得MN=100?×?=150 m,故填150.
思路分析 △ABC中,由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC;△AMC中,由条件利用正
弦定理求得AM;Rt△AMN中,根据MN=AM·sin∠MAN求得结果.
5.(2012课标,16,5分)在△ABC中,B=60°,AC=?,则AB+2BC的最大值为 ????.
答案 2?
解析 设AC=b=?,AB=c,BC=a,
在△ABC中,?=?=?=2,
∴a=2sin A,c=2sin C,又A+C=120°,
∴AB+2BC=c+2a=2sin C+4sin A=2sin C+4sin(120°-C)
=4sin C+2?cos C=2?sin(C+φ),
其中sin φ=?,cos φ=?,
∴30°<φ<60°,而0°∴30°<φ+C<180°,∴当C+φ=90°时,AB+2BC有最大值2?.
失分警示 没有找到由正弦定理将AB+2BC转化为角A和角C的正弦的思路,导致无从下手,无
法得出正确的结果.
6.(2010江苏,13,5分)在锐角三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,?+?=6cos C,则
?+?= ????.
答案 4
解析 解法一:因为?+?=6cos C=6·?,
所以a2+b2=?c2,
所以?+?=?+?
=?·?=?
=?=?·?=?=4.
解法二:因为?+?=6cos C,所以?+?=6cos C,
即?+?=6,
从而?+?
=2+?+?=6,
故?+?=4.
7.(2019北京理,15,13分)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-?.
(1)求b,c的值;
(2)求sin(B-C)的值.
解析 本题主要考查正弦、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识
点,考查学生的运算能力,以及利用方程思想解决数学问题的能力,同时体现了直观想象的核心
素养.
(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得
b2=32+c2-2×3×c×?.
因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×?.
解得c=5.所以b=7.
(2)由cos B=-?得sin B=?.
由正弦定理得sin C=?sin B=?.
在△ABC中,∠B是钝角,所以∠C为锐角.
所以cos C=?=?.
所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=?.
8.(2015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.
(1)证明:B-A=?;
(2)求sin A+sin C的取值范围.
解析 (1)证明:由a=btan A及正弦定理,得?=?=?,所以sin B=cos A,即sin B=sin?.
又B为钝角,因此?+A∈?,故B=?+A,即B-A=?.
(2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-?=?-2A>0,
所以A∈?.
于是sin A+sin C=sin A+sin?
=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1
=-2?+?.
因为0因此?<-2?+?≤?.
由此可知sin A+sin C的取值范围是?.
评析 本题以解三角形为背景,考查三角恒等变形及三角函数的图象与性质,对考生思维的严
谨性有较高要求.
9.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.
(1)证明:tan?=?;
(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan?+tan?+tan?+tan?的值.
解析 (1)证明:tan?=?=?=?.
(2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.
由(1),有tan?+tan?+tan?+tan?
=?+?+?+?
=?+?.
连接BD.
在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A,
在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C,
所以AB2+AD2-2AB·ADcos A=BC2+CD2+2BC·CDcos A.
则cos A=?=?=?.
于是sin A=?=?=?.
连接AC.同理可得
cos B=?=?=?,
于是sin B=?=?=?.
所以,tan?+tan?+tan?+tan?
=?+?=?+?=?.
评析 本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,
考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化等数学思想.
10.(2013江苏,18,16分,0.430)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是
从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘
缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,
山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=?,cos C=?.
(1)求索道AB的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
?
解析 (1)在△ABC中,因为cos A=?,cos C=?,
所以sin A=?,sin C=?.
从而sin B=sin[π-(A+C)]
=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C
=?×?+?×?=?.
由?=?,得
AB=?×sin C=?×?=1 040(m).
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d m,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所
以由余弦定理得
d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×?=200(37t2-70t+50),
因0≤t≤?,即0≤t≤8,
故当t=? min时,甲、乙两游客距离最短.
(3)由?=?,得BC=?×sin A=?×?=500(m).
乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤?-?≤3,
解得?≤v≤?,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应
控制在?(单位:m/min)范围内.
评析 本题考查正、余弦定理,二次函数的最值以及两角和的正弦等基础知识和基本技能,考
查学生阅读能力和分析、解决实际问题的能力.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点一 正弦定理与余弦定理
1.(2018南通调研,6)在△ABC中,已知AB=1,AC=?,B=45°,则BC的长为 ????.
答案?????
解析????cos B=?,即?=?,
化简得BC2-?BC-1=0,
解得BC=?(负值舍去).
2.(2019七市第二次调研)在△ABC中,已知C=120°,sin B=2sin A,且△ABC的面积为2?,则AB的
长为 ????.
答案 2?
解析 因为sin B=2sin A,所以由正弦定理,得b=2a,所以S=?absin 120°=?a2=2?,解得a=2,b=
4,则AB=c=?=?=2?.
评析 本题考查正弦、余弦定理以及面积公式,利用边角关系解得AB边长,难度不大.
3.(2019金陵中学调研,7)在△ABC中,已知AB=3,BC=7,A=120°,则△ABC的面积为 ????.
答案?????
解析 根据余弦定理知
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°,
即49=9+AC2-2×3·AC·?,
∴AC2+3AC-40=0,
∴AC=5或AC=-8(舍),
∴S△ABC=?AB·AC·sin A=?×3×5×?=?.
4.(2019苏锡常镇四市教学情况调查一,11)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知5a=8
b,A=2B,则sin?= ????.
答案?????
解析 5a=8b,A=2B?5sin 2B=8sin B?sin B=?,cos B=?,∴sin A=?,cos A=?,∴sin?=
?(sin A-cos A)=?.
5.(2019扬州中学检测,6)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=2bc,sin C=3sin B,则
A= ????.
答案?????
解析 由sin C=3sin B及正弦定理得c=3b,代入a2-b2=2bc得a2=7b2,则cos A=?=
?=?,又∵A∈(0,π),∴A=?.
6.(2019南通、如皋二模,9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=3,C=2A,则cos C的
值为 ????.
答案?????
解析 因为C=2A,所以sin C=sin 2A,即sin C=2sin Acos A,由正弦定理,得c=2acos A,所以cos A=
?=?,
由余弦定理,得cos A=?=?=?,解得c2=10,
故cos C=?=?=?.
考点二 解三角形及其综合应用
1.(2019常州期末,12)平面内不共线的三点O,A,B满足|?|=1,|?|=2,点C为线段AB的中点,∠
AOB的平分线交线段AB于点D,若|?|=?,则|?|= ????.
答案?????
解析 如图,∵点C为线段AB的中点,
∴?=?(?+?),
则?=?(?+?+2?·?)=?(1+4+2×1×2×cos∠AOB)=?,
解得cos∠AOB=-?,∴∠AOB=120°,
由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos 120°=7,则AB=?,
?
在△AOB中,由正弦定理得?=?,故sin A=?.
在△AOD中,由正弦定理得?=?,
∵AD=?=?,∠AOD=60°,∴|?|=?.
思路分析 由点C为线段AB的中点可得?=?(?+?),通过计算?求得∠AOB,由正弦定
理可得?=?,?=?,即可求解.
2.(2017苏锡常镇四市调研二,11)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos A=2c-?a,则
角B的大小为 ????.
答案?????
解析 解法一:因为2bcos A=2c-?a,所以由余弦定理得2b·?=2c-?a,即b2-a2=c2-?
ac,所以cos B=?=?,因为B∈(0,π),所以B=?.
解法二:因为2bcos A=2c-?a,所以由正弦定理得2sin Bcos A=2sin C-?sin A=2sin(A+B)-?sin
A=2sin Acos B+2cos Asin B-?sin A,故2cos Bsin A=?sin A,因为sin A≠0,所以cos B=?,因为
B∈(0,π),所以B=?.
3.(2019七大市三模,15)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对边的长,a(sin A-sin B)=(c-b)(sin B+
sin C).
(1)求角C的值;
(2)若a=4b,求sin B的值.
解析 (1)在△ABC中,a(sin A-sin B)=(c-b)(sin B+sin C),由正弦定理得a(a-b)=(b+c)(c-b),?(3分)
即a2+b2-c2=ab,
由cos C=?,得cos C=?.?(5分)
又因为0(2)解法一:因为a=4b且a2+b2-c2=ab,
所以c2=16b2+b2-4b2=13b2,即c=?b,?(10分)
由正弦定理得?=?,即?=?,
所以sin B=?.?(14分)
解法二:由正弦定理及a=4b得sin A=4sin B.
由A+B+C=π,得sin(B+C)=sin A=4sin B,
因为C=?,所以?sin B+?cos B=4sin B,
即7sin B=?cos B.?(11分)
又因为sin2B+cos2B=1,所以sin2B=?,
因为在△ABC中,sin B>0,所以sin B=?.?(14分)
4.(2019南通通州、海门联考,16)在△ABC中,已知sin2A-sin2B=(sin A-sin C)sin C.
(1)求内角B的大小;
(2)若cos A=?,求sin 2C的值.
解析 (1)在△ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,
由?=?=?及sin2A-sin2B=(sin A-sin C)sin C,得a2-b2=ac-c2,即a2+c2-b2=ac,?(2分)
由余弦定理得cos B=?=?,?(4分)
因为0(2)解法一:因为在△ABC中,cos A=?,
所以sin A=?=?,?(8分)
所以sin 2A=2sin Acos A=?,?(10分)
cos 2A=cos2A-sin2A=-?,?(12分)
而2C=2?=?-2A,
所以sin 2C=sin?=sin?cos 2A-cos?sin 2A
=-?×?-?×?=?.?(14分)
解法二:因为在△ABC中,cos A=?,
所以sin A=?=?,?(8分)
所以sin C=sin?=sin Acos?+cos Asin?=?,?(10分)
cos C=-cos?=-cos Acos?+sin Asin?=?.?(12分)
所以sin 2C=2sin Ccos C=?.?(14分)
(当然这里求cos C时也可以用sin2C+cos2C=1,但要判断角C的范围)
一、填空题(每小题5分,共40分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：40分钟 分值：70分)
1.(2019南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学联考,11)如图,在平行四边形ABCD中,已知
AB=2,AD=1,?·?=5,则cos∠CAB= ????.
?
答案?????
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形,且AD=1,
∴BC=AD=1,
∵?·?=AB·AC·cos∠CAB=5,且AB=2,
∴AC·cos∠CAB=?.
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB,
∴12=22+AC2-2×2×?,则AC=?.∴cos∠CAB=?.
2.(2019扬州中学检测,13)在△ABC中,若tan Atan C+tan A·tan B=5tan Btan C,则sin A的最大值为
????.
答案?????
解析 已知等式化为?+?=?,
?=?,
即?=?,
可得?=5sin Bsin C,
即sin2A=5sin Bsin Ccos A,
即a2=5bc·?,
∴7a2=5(b2+c2),
∴cos A=?=?=?≥?.
∴sin A=?≤?(当且仅当b=c时取等号).
思路分析 已知的等式通过切化弦可得sin2A=5sin Bsin Ccos A,进而利用正弦、余弦定理可得
7a2=5(b2+c2),再结合余弦定理可得cos A的最小值,从而得sin A的最大值.
评析 本题考查正弦定理、余弦定理的应用,同角三角函数的基本关系,把角的关系转化为边
的关系是解题的关键.
3.(2019如皋期末,14)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2+2abcos C=3b2,则tan
Atan Btan C的最小值是 ????.
答案 6
解析 已知a2+2abcos C=3b2,由余弦定理得
a2+2ab?=3b2,化简得2(a2-b2)=c2,
∴c2=2(c2-2bccos A)?c=4bcos A?sin C=4sin Bcos A,
∴3sin Bcos A=cos Bsin A,
∴tan A=3tan B,
设tan A=x,tan B=3x,
因为△ABC为锐角三角形,所以tan A>0,x>0,
此时tan C=-tan(A+B)=-?,即tan C=?,
所以tan Atan Btan C=?.
令f(x)=?(x>0), f '(x)=?,
当f '(x)>0时,x>1, f(x)递增;当f '(x)<0时,0所以f(x)min=f(1)=6,故tan Atan Btan C的最小值是6.
4.(2019无锡期末,14)在锐角三角形ABC中,已知2sin2A+sin2B=2sin2C,则?+?+?的最
小值为 ????.
答案?????
解析 解法一:2sin2A+sin2B=2sin2C?2a2+b2=2c2,
cos C=?=?=?=?
=?=?=?+?,
则?=??tan C=3tan A,
由tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C,得
4tan A+tan B=3tan2Atan B?tan B=?,
故?+?+?=?+?=?+?,
因为A∈?,所以tan A>0,
所以?+?+?=?+?≥?,
当且仅当?=?时等号成立.
解法二:如图,不妨设BD=1,AD=x,CD=y,
?
则b2=(x+y)2,c2=x2+1,a2=y2+1,
由2sin2A+sin2B=2sin2C?2a2+b2=2c2,
即(x+y)2=2(x2-y2)?(x+y)(x+y)=2(x+y)(x-y)?x=3y,
∵tan A=?,tan C=?(x>0,y>0),
∴tan B=-tan(A+C)=-?=-?=-?=-?.
由tan B>0?0所以?+?+?=3y+?+y=4y+?=?=?+?≥?.当且仅当?=?,
即y=?时取等号.
5.(2018如皋第一次联考,14)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若?,?,?成等
差数列,则cos C的最小值为 ????.
答案?????
解析 ∵?,?,?成等差数列,
∴?+?=?,即?+?=?,
可得?=?=?,
∴cos C=?,则?=?,化简得2(a2+b2)=3c2,
∴cos C=?=?≥?=?(当且仅当a2=b2时等号成立).
思路分析 根据等差数列的性质,利用同角三角函数间的基本关系切化弦后,再利用正弦、余
弦定理化简,整理得到2(a2+b2)=3c2,代入cos C=?,利用基本不等式即可求出cos C的最
小值.
评析 本题主要考查正弦、余弦定理,基本不等式的应用以及同角三角函数间的基本关系,熟
练掌握定理是解本题的关键.属于中档题.
6.(2018苏锡常镇四市教学情况调研(一),10)设三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已
知?=?,则cos A= ????.
答案?????
解析 解法一:由题意及正弦定理,得?=?,
即tan A·cos B=3sin C-sin B,
即sin Acos B=3sin Ccos A-sin Bcos A,
即sin Acos B+sin Bcos A=3sin Ccos A,
即sin(A+B)=3sin Ccos A,∵A+B=π-C,∴sin(A+B)=sin C,∴sin C=3sin Ccos A,∵sin C≠0,∴cos A
=?.
解法二:∵?=?,∴?·?=?,由正弦定理及余弦定理,得?·?=?,即
?=?,则b2+c2-a2=?bc,∴cos A=?=?.
思路分析 解法一:利用正弦定理化边为角,再利用两角和的正弦公式求解;
解法二:化切为弦,运用正弦、余弦定理化角为边,再由余弦定理求解.
7.(2018盐城中学期末,14)已知△ABC的周长为6,且BC,CA,AB的长成等比数列,则?·?的取
值范围是 ????.
答案?????
解析 设BC,CA,AB的长分别为a,b,c,因为a,b,c成等比数列,所以b=?≤?=?(当且仅当
a=c时等号成立),从而00,解得?评析 “a,b,c成等比数列”即给出“b2=ac”这一条件,所以解题的重点是如何把?·?与这
个条件联系起来.
8.(2019泰州中学3月检测,13)已知△ABC的面积为?+1,且满足?+?=1,则边AC的最小
值为 ????.
答案 2?
解析 解法一:化切为弦,消元搭桥.
因为?+?=1,所以?+?=1,
去分母并利用sin C=sin Acos B+sin Bcos A得cos Asin B+3sin C=sin Asin B,
由正弦定理得bcos A+3c=bsin A,
则c=?,
所以S△ABC=?bcsin A=?b?sin A=?+1,
所以b2=?=?=?≥?=12,
故当2A+?=?π,即A=?π时取“=”,AC的最小值为2?.
解法二:选择主元,按序消角.
将tan B=?代入?+?=1,
得?+?=1,
解得tan C=?,
设tan A=x,
则tan C=?,
因为S△ABC=?absin C=?b2?=?+1,
所以b2=2(?+1)·?=2(?+1)·?,
因为?+?=?+?=?=3?≥3(2?-2)=6(?-1),当且仅当2x2=
(x-1)2时取“=”.
所以b2≥2(?+1)×6(?-1)=12,故AC的最小值为2?.
二、解答题(共30分)
9.(2019南通基地学校3月联考,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(2a,b),n=
(1,-cos C),且m∥n.
(1)若A=30°,求角C的大小;
(2)求角B的最大值.
解析 (1)因为m=(2a,b),n=(1,-cos C),且m∥n,
所以2acos C+b=0.?(2分)
由正弦定理得2sin Acos C+sin B=0,①
所以2sin Acos C+sin(A+C)=0,?(4分)
整理,得3sin Acos C+cos Asin C=0,②
将A=30°代入上式得tan C=-?.
又0°(2)解法一:对于①式,因为sin A>0,sin B>0,
所以cos C<0,所以cos A>0,
②式两边同时除以cos Acos C,得3tan A+tan C=0,?(9分)
得tan B=-tan(A+C)=-?
=-?=?≤?=?.?(12分)
当且仅当?tan A=1,即A=30°时取“=”.
又0°解法二:由(1)知,2acos C+b=0.
由余弦定理得cos C=?,
代入上式并化简得a2+2b2-c2=0.?(9分)
所以cos B=?=?=?
≥?=?.?(12分)
当且仅当c=?a时取“=”.
又0°10.(2019南京六校联合体联考,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且?bsin A=acos
B.
(1)求角B;
(2)若b=3,sin C=?sin A,求a,c.
解析 (1)在△ABC中,
由?=?,得?sin Bsin A=sin Acos B.?(2分)
又因为在△ABC中,sin A≠0,
所以?sin B=cos B.?(4分)
解法一:因为0所以tan B=?=?,所以B=?.?(6分)
解法二:?sin B-cos B=0,即2sin?=0,
所以B-?=kπ(k∈Z),因为0所以B=?.?(6分)
(2)由?=?及sin C=?sin A,得c=?a,①?(9分)
由b2=a2+c2-2accos B,
得9=a2+c2-2accos?,即a2+c2-?ac=9,②?(12分)
把①代入②,解得a=3,c=3?.?(15分)
C组 2017—2019年高考模拟·应用创新题组
1.(2019 5·3原创题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2sin2A+c(sin C-sin A)=2sin2B,△
ABC的面积S=?abc,则角B= ????.
答案?????
解析 由S=?abc=?absin C,可知c=2sin C,又2sin2A+c(sin C-sin A)=2sin2B,∴sin2A+sin2C-sin
Asin C=sin2B.由正弦定理得a2+c2-ac=b2,由余弦定理得cos B=?,∴B=?.
2.(2019 5·3原创题)在△ABC中,cos A∶cos B∶cos C=2∶2∶7,则cos C= ????.
答案?????
解析 记a,b,c分别为角A,B,C的对边,
根据题意,显然有A=B,故a=b,
由?=?=?,
整理得4a2-7ac-2c2=0,即(4a+c)(a-2c)=0,
而4a+c>0,故a=2c,
因此cos C=?=?=?.
3.(2019 5·3原创题)在△ABC中,sin A∶cos B∶tan A=12∶16∶15.
(1)求sin C;
(2)若AB=8,点D为△ABC外接圆上的动点,求?·?的最大值.
解析 (1)由sin A∶tan A=12∶15,得cos A=?,故sin A=?,
由sin A∶cos B=12∶16,得cos B=?,故sin B=?,
于是sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=?.
(2)在△ABC中,由?=?,解得AC=5,
由A,B,C,D四点共圆及题干条件可知∠ADC=∠ABC,
设DA=m,DC=n,在△DAC中,由余弦定理的推论得cos∠ADC=?=?,故?mn=m2+n2-25
≥2mn-25,
解得mn≤?,
故?·?=?mn≤?×?=50,
当且仅当m=n=?时,等号成立,
故?·?的最大值为50.
4.(2019 5·3原创题)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a,b,c成等差数列.
(1)若a=2c,求cos C的值;
(2)若A=2C,且b=5,求△ABC的面积S.
解析 (1)根据题意有?
将②代入①,得b=?c,
因此cos C=?=?.
(2)根据题意,b=5,a+c=10,故a=10-c,
由A=2C得sin A=sin 2C=2sin Ccos C,
利用正弦定理、余弦定理,得a=2c·?,
将a=10-c及b=5代入并整理,得c2-9c+20=0,
解得c=4或c=5,
易知,当c=5时,有a=b=c,则△ABC为等边三角形,与A=2C矛盾,
故c=4,于是a=6,
此时cos C=?=?=?,进而sin C=?,
因此S=?absin C=?×6×5×?=?.
第四章 三角函数 ３９
§ ４．３ 三角函数的图象和性质
对应学生用书起始页码 Ｐ６２
考点一 三角函数的图象及其变换
由函数 ｙ＝ｓｉｎ ｘ 的图象变换得到 ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０）图
象的步骤：
上述两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），
平移的量是 ｜φ ｜个单位长度；而先周期变换（伸缩变换）再相位变
换，平移的量是
｜φ ｜
ω
（ω＞０）个单位长度．原因在于相位变换和周
期变换都是针对 ｘ 而言的．
考点二 三角函数的性质及其应用 高频考点
函数
性质
ｙ＝ ｓｉｎ ｘ ｙ＝ｃｏｓ ｘ ｙ＝ ｔａｎ ｘ
定义域 Ｒ Ｒ
{ ｘ ｘ≠ｋπ＋
π
２
， ｋ∈Ｚ}
图象
值域 ［－１，１］ ［－１，１］ Ｒ
对称性
对称轴：ｘ＝ｋπ＋ π
２
（ｋ∈
Ｚ）；
对称中心：
（ｋπ，０）（ｋ∈Ｚ）
对称轴：ｘ＝ｋπ（ｋ∈
Ｚ）；
对称中心：
ｋπ＋
π
２ ，０( )
（ｋ∈Ｚ）
对称中心：
ｋπ
２ ，０( )
（ｋ∈Ｚ）
周期 ２π ２π π
续表
函数
性质
ｙ＝ ｓｉｎ ｘ ｙ＝ｃｏｓ ｘ ｙ＝ ｔａｎ ｘ
单调性
单调增区间：
[ ２ｋπ － π２ ， ２ｋπ ＋
π
２ ] （ｋ∈Ｚ）；
单调减区间：
[ ２ｋπ ＋ π２ ， ２ｋπ ＋
３π
２ ] （ｋ∈Ｚ）
单调增区间：
［２ｋπ－π，２ｋπ］ （ ｋ
∈Ｚ）；
单调减区间：
［２ｋπ，２ｋπ＋π］ （ ｋ
∈Ｚ）
单调增区间：
( ｋπ－ π２ ，ｋπ ＋
π
２ ) （ｋ∈Ｚ）
奇偶性 奇 偶 奇
考点三
函数 ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图象和性质
高频考点
１．函数 ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的有关概念
ｙ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ） （Ａ＞
０， ω ＞ ０）， ｘ ∈ ［ ０，
＋∞ ）表示一个振动
量时
振幅 周期 频率 相位 初相
Ａ Ｔ＝
２π
ω
ｆ＝
１
Ｔ
＝ ω
２π
ωｘ＋φ φ
２．用五点法画 ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ） （Ａ≠０，ω≠０）一个周期内的
简图时，要找五个关键点，如下表所示：
ｘ －
φ
ω
－ φ
ω
＋ π
２ω
π－φ
ω
３π
２ω
－ φ
ω
２π－φ
ω
ωｘ＋φ ０
π
２
π
３π
２
２π
ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ） ０ Ａ ０ －Ａ ０
３．函数 ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的性质
（１）函数 ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０）的单调区间的确定，基
本思想是把 ωｘ＋φ 看作一个整体，比如，由 ２ｋπ－
π
２
≤ωｘ＋φ≤２ｋπ
＋ π
２
（ｋ∈Ｚ）解出 ｘ 的范围，所得区间即为增区间，由 ２ｋπ＋
π
２
≤
ωｘ＋φ≤２ｋπ＋
３π
２
（ｋ∈Ｚ）解出 ｘ 的范围，所得区间即为减区间．
（２）图象的对称性
ｙ ＝ Ａｓｉｎ （ ωｘ ＋ φ） （ Ａ ＞ ０， ω ＞ ０） 的 图 象 关 于 直 线 ｘ ＝
ｘｋ ωｘｋ＋φ＝ ｋπ＋
π
２
，ｋ∈Ｚ( ) 对称；关于点（ ｘｋ，０） （ωｘｋ ＋φ ＝ ｋπ，ｋ∈
Ｚ）中心对称．
（３）函数 ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）和 ｙ＝Ａｃｏｓ（ωｘ＋φ）（Ａ≠０，ω＞０ 且为
常数）的周期 Ｔ 均为
２π
ω
，函数 ｙ＝Ａｔａｎ（ωｘ＋φ）（Ａ≠０，ω＞０ 且为常
数）的周期 Ｔ＝
π
ω
．
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４０ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
对应学生用书起始页码 Ｐ６３
一、由图象求三角函数解析式
根据图象求函数 ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ） ＋Ｂ（Ａ＞０，ω＞０， ｜ φ ｜ ＜π）的
解析式的方法与步骤：
（１）求 Ａ、Ｂ，确定函数的最大值 Ｍ 和最小值 ｍ，则 Ａ ＝
Ｍ－ｍ
２
，
Ｂ＝
Ｍ＋ｍ
２
．
（２）求 ω，确定函数的周期 Ｔ，则 ω＝
２π
Ｔ
．
（３）求 φ，常用方法有：
①五点法，求出图象中离原点最近的右侧上升（或下降）部
分的与 ｘ 轴交点的横坐标 ｘ０，令 ωｘ０＋φ＝ ０（或 ωｘ０＋φ＝π）求 φ；
②代入法，将已知点坐标代入解析式，再结合图象和 φ 的范
围解出 φ．
（ ２０１９ 南 师 大 附 中 期 中， ７） 函数 ｙ ＝ Ａｓｉｎ （ ωｘ ＋ φ）
Ａ＞０，ω＞０，－
π
２
＜φ＜
π
２( ) 的部分图象如图所示，则函数的解析式
为 ．
解析 由题图可得：Ａ ＝ ２，且
３
４
Ｔ ＝
５π
１２
－ － π
３( ) ，解得 Ｔ ＝
π，又 ω＞０，则
２π
ω
＝π，解得 ω＝ ２，则 ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ（２ｘ＋φ），
因为函数图象过点 －
π
３
，０( ) ，所以 ２ｓｉｎ －２π３ ＋φ( ) ＝ ０，即
－２π
３
＋φ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ），解得 φ＝
２π
３
＋ｋπ（ｋ∈Ｚ），又－
π
２
＜φ＜
π
２
，则 φ
＝－ π
３
，所以 ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ－
π
３( ) ．
答案 ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ－
π
３( )
１－１ （２０１７ 江苏如东高级中学第二次学情调研）函数 ｆ（ｘ）
＝ Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ） Ａ＞０，ω＞０， ｜φ ｜ ＜
π
２( ) 的部分图象如图所示，现将
函数 ｙ＝ ｆ（ｘ）的图象向右平移
π
６
个单位后，得到函数 ｙ ＝ ｇ（ ｘ）的
图象，则函数 ｇ（ｘ）的解析式为 ．
１－１ 答案 ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ－
π
６( )
解析 由题图得 Ａ＝ １，
３
４
Ｔ ＝
１１π
１２
－ π
６
＝ ３
４
π，所以 Ｔ ＝π ＝
２π
ω
，故 ω＝ ２，所以 ｓｉｎ ２×
π
６
＋φ( ) ＝ １，结合 ｜ φ ｜ ＜ π２ ，得 φ ＝ π６ ，所
以ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ＋
π
６( ) ．将 ｆ（ ｘ）的图象向右平移 π６ 个单位后得
ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ ｘ－
π
６( ) ＋ π６[ ] ＝ ｓｉｎ ２ｘ－ π６( ) 的图象， 故 ｇ （ ｘ） ＝
ｓｉｎ ２ｘ－
π
６( ) ．
思路分析 由题图可知，Ａ＝ １，
３
４
Ｔ ＝
１１π
１２
－ π
６
＝ ３
４
π，从而
得 ω，由ｆ
π
６( ) ＝ １，结合 ｜φ ｜ ＜ π２ 可求得 φ，从而得出 ｆ（ ｘ）的解析
式，再利用图象变换可得函数 ｇ（ｘ）的解析式．
１－２ 如图，函数 ｙ ＝ ２ｃｏｓ（ωｘ＋φ） ω＞０，０≤φ≤
π
２( ) 的部分
图象与 ｙ 轴交于点（０， ３ ），最小正周期是 π．
（１）求 ω，φ 的值；
（２）已知点 Ａ
π
２
，０( ) ，点 Ｐ 是该函数图象上一点，点 Ｑ（ ｘ０，
ｙ０）是 ＰＡ 的中点，当 ｙ０ ＝
３
２
，ｘ０∈
π
２
，２[ ] 时，求 ｘ０的值．
１－２ 解析 （１）将点（０， ３ ）代入 ｙ ＝ ２ｃｏｓ（ωｘ＋φ），得 ｃｏｓ φ ＝
３
２
，∵ ０≤φ≤
π
２
，∴ φ＝
π
６
．
∵ 最小正周期 Ｔ＝π，且 ω＞０，∴ ω＝
２π
Ｔ
＝ ２．
（２）由（１）知 ｙ＝ ２ｃｏｓ ２ｘ＋
π
６( ) ．
∵ Ａ
π
２
，０( ) ，Ｑ（ｘ０，ｙ０）是 ＰＡ 的中点，ｙ０ ＝ ３２ ，
∴ Ｐ ２ｘ０－
π
２
， ３( ) ．
又∵ 点 Ｐ 在 ｙ＝ ２ｃｏｓ ２ｘ＋
π
６( ) 的图象上，
∴ ２ｃｏｓ ４ｘ０－π＋
π
６( ) ＝ ３ ，∴ ｃｏｓ ４ｘ０＋ π６( ) ＝－ ３２ ．
∵ ｘ０∈
π
２
，π[ ] ，∴ ４ｘ０＋ π６ ∈ ２π＋ π６ ，４π＋ π６[ ] ，
∴ ４ｘ０＋
π
６
＝ ２π＋π－
π
６
或 ４ｘ０＋
π
６
＝ ２π＋π＋
π
６
，
∴ ｘ０ ＝
２π
３
或
３π
４
．
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第四章 三角函数 ４１
二、三角函数性质及其应用策略
１．三角函数的单调性
（１）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式化简，
并注意复合函数单调性规律“同增异减” ．
（２）求形如 ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）或 ｙ＝Ａｃｏｓ（ωｘ＋φ）（其中 ω＞０）的
单调区间时，要视“ωｘ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如
果 ω＜０，那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．
２．三角函数的奇偶性
对于 ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ），若为奇函数，则 φ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ）；若为偶
函数，则 φ＝
π
２
＋ｋπ（ｋ∈Ｚ） ．对于 ｙ ＝ Ａｃｏｓ（ωｘ＋φ），若为奇函数，
则 φ＝
π
２
＋ｋπ（ ｋ∈Ｚ）；若为偶函数，则 φ ＝ ｋπ（ ｋ∈Ｚ） ．对于 ｙ ＝
Ａｔａｎ（ωｘ＋φ），若为奇函数，则 φ＝
ｋ
２
π（ｋ∈Ｚ） ．
３．三角函数的周期性
求三角函数的最小正周期，一般先通过三角恒等变换化为 ｙ
＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）＋Ｂ 或 ｙ＝Ａｃｏｓ（ωｘ＋φ）＋Ｂ 或 ｙ＝Ａｔａｎ（ωｘ＋φ）＋Ｂ（Ａ，
Ｂ，ω，φ 为常数，Ａ≠０，ω≠０）的形式，再应用公式 Ｔ ＝
２π
｜ω ｜
（正弦、
余弦型）或 Ｔ＝
π
｜ω ｜
（正切型）求解．
４．三角函数的对称性
函数 ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（Ａ，ω，φ 为常数，Ａ≠０，ω≠０）图象
的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标
一定是函数的零点，因此在判断直线 ｘ＝ ｘ０ 或点（ ｘ０，０）是不是函
数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验 ｆ（ｘ０）的值进行．
（１）（２０１７ 江苏如东高级中学第二次学情调研，８）函数
ｙ＝ ｔａｎ ｘ－
π
３( ) 的单调增区间为 ．
（２）函数 ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ＋６ｃｏｓ
π
２
－ｘ( ) 的最大值为 ．
（３）函数 ｙ＝ｓｉｎ ｘ－ｃｏｓ ｘ＋ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ 的值域为 ．
解析 （１）由题意得 ｋπ－
π
２
＜ｘ－
π
３
＜ｋπ＋
π
２
，ｋ∈Ｚ，得 ｋπ－
π
６
＜ｘ＜ｋπ＋
５π
６
，ｋ∈Ｚ，故答案为 ｋπ－
π
６
，ｋπ＋
５π
６( ) ，ｋ∈Ｚ．
（２）由 ｆ （ ｘ） ＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ ６ｃｏｓ
π
２
－ｘ( ) ＝ １ － ２ｓｉｎ２ｘ ＋ ６ｓｉｎ ｘ ＝
－２ ｓｉｎ ｘ－
３
２( )
２
＋１１
２
，所以当 ｓｉｎ ｘ ＝ １ 时函数取得最大值，最大值
为 ５．
（３）设 ｔ＝ｓｉｎ ｘ－ｃｏｓ ｘ，则－ ２≤ｔ≤ ２，
则 ｔ２ ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ－２ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ，
∴ ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ＝
１－ｔ２
２
，∴ ｙ＝－
ｔ２
２
＋ｔ＋
１
２
＝ － １
２
（ ｔ－１） ２＋１．
当 ｔ＝ １ 时，ｙｍａｘ ＝ １；当 ｔ＝－ ２时，ｙｍｉｎ ＝－
１
２
－ ２ ．
∴ 函数的值域为 －
１
２
－ ２ ，１[ ] ．
答案 （１） ｋπ－
π
６
，ｋπ＋
５π
６( ) ，ｋ∈Ｚ
（２）５ （３） －
１
２
－ ２ ，１[ ]
归纳总结 求解三角函数的值域（最值）的常见类型：
①形如 ｙ＝ａｓｉｎ ｘ＋ｂｃｏｓ ｘ＋ｃ 的三角函数化为 ｙ ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）
＋ｃ 的形式，再求值域（最值）；
②形如 ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎ ｘ＋ｃ（ａ≠０）的三角函数，可先设 ｓｉｎ ｘ
＝ ｔ，化为关于 ｔ 的二次函数求值域（最值）；
③形如 ｙ＝ａｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ＋ｂ（ｓｉｎ ｘ±ｃｏｓ ｘ）＋ｃ 的三角函数，可先设
ｔ＝ｓｉｎ ｘ±ｃｏｓ ｘ，化为关于 ｔ 的二次函数求值域（最值） ．
２－ １ （ ２０１７ 课标全国Ⅲ文改编，６，５ 分） 函数 ｆ （ ｘ） ＝
１
５
ｓｉｎ ｘ＋
π
３( ) ＋ｃｏｓ ｘ－ π６( ) 的最大值为 ．
２－１ 答案
６
５
解析 ∵ ｆ（ｘ）＝
１
５
ｓｉｎ ｘ＋
π
３( ) ＋ｃｏｓ ｘ－ π６( )
＝ １
５
１
２
ｓｉｎ ｘ＋
３
２
ｃｏｓ ｘ?
è
?
?
?
÷ ＋ ３
２
ｃｏｓ ｘ＋
１
２
ｓｉｎ ｘ
＝ ３
５
ｓｉｎ ｘ＋
３ ３
５
ｃｏｓ ｘ
＝ ３
５
×２ｓｉｎ ｘ＋
π
３( )
＝ ６
５
ｓｉｎ ｘ＋
π
３( ) ，
∴ ｆ（ｘ）的最大值为
６
５
．
一题多解 ∵ ｃｏｓ ｘ－
π
６( ) ＝ｃｏｓ π６ －ｘ( )
＝ｓｉｎ
π
２
－ π
６
－ｘ( )[ ] ＝ｓｉｎ π３ ＋ｘ( ) ，
∴ ｆ（ｘ）＝
６
５
ｓｉｎ ｘ＋
π
３( ) ，∴ ｆ（ｘ） ｍａｘ ＝ ６５ ．
２－２ （２０１７ 浙江，１８，１４ 分）已知函数 ｆ（ ｘ）＝ ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ－
２ ３ ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ（ｘ∈Ｒ） ．
（１）求 ｆ
２π
３( ) 的值；
（２）求 ｆ（ｘ）的最小正周期及单调递增区间．
２－２ 解析 （１）由 ｓｉｎ
２π
３
＝ ３
２
，ｃｏｓ
２π
３
＝－ １
２
，
ｆ
２π
３( ) ＝ ３２?è? ??÷
２
－ － １
２( )
２
－２ ３ ×
３
２
× － １
２( ) ，
得 ｆ
２π
３( ) ＝ ２．
（２）由 ｃｏｓ ２ｘ＝ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ 与 ｓｉｎ ２ｘ＝ ２ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ 得
ｆ（ｘ）＝ －ｃｏｓ ２ｘ－ ３ ｓｉｎ ２ｘ＝－２ｓｉｎ ２ｘ＋
π
６( ) ．
所以 ｆ（ｘ）的最小正周期是 π．
由正弦函数的性质得
π
２
＋２ｋπ≤２ｘ＋
π
６
≤
３π
２
＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ，
解得
π
６
＋ｋπ≤ｘ≤
２π
３
＋ｋπ，ｋ∈Ｚ．
所以， ｆ（ｘ）的单调递增区间是
π
６
＋ｋπ，
２π
３
＋ｋπ[ ] （ｋ∈Ｚ） ．
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(共95张PPT)
A组????自主命题·江苏卷题组
五年高考
1.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ)?的图象关于直线x=?对称,则φ的值是????
????.
答案 -?
解析 本题考查正弦函数的图象和性质.
∵函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=?对称,∴x=?时,函数取得最大值或最小值,∴sin
?=±1.
∴?+φ=kπ+?(k∈Z),∴φ=kπ-?(k∈Z),
又-?<φ方法提炼 函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的性质:
(1)ymax=A+B,ymin=-A+B.
(2)最小正周期T=?;
(3)由ωx+φ=?+kπ(k∈Z)求对称轴;
(4)由-?+2kπ≤ωx+φ≤?+2kπ(k∈Z)求单调增区间;由?+2kπ≤ωx+φ≤?+2kπ(k∈Z)求单调
减区间.
2.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是????
????.
答案 7
解析 解法一:在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=cos x在区间[0,3π]上的图象(如图).
由图象可知,共有7个交点.
?
解法二:由sin 2x=cos x?cos x=0或sin x=?,因为x∈[0,3π],所以x=?,?,?,?,?,?,?,故
两函数图象的交点个数是7.
3.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-?),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解析 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-?),a∥b,
所以-?cos x=3sin x.
若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,
故cos x≠0.
于是tan x=-?.
又x∈[0,π],所以x=?.
(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-?)=3cos x-?sin x=2?cos?.
因为x∈[0,π],所以x+?∈?,
从而-1≤cos?≤?.
于是,当x+?=?,
即x=0时, f(x)取到最大值3;
当x+?=π,即x=?时, f(x)取到最小值-2?.
考点一 三角函数的图象及其变换
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
1.(2018天津文改编,6,5分)将函数y=sin?的图象向右平移?个单位长度,则下列说法正
确的是 ????.
①所得图象对应的函数在区间?上单调递增
②所得图象对应的函数在区间?上单调递减
③所得图象对应的函数在区间?上单调递增
④所得图象对应的函数在区间?上单调递减
答案 ①
解析 本题主要考查三角函数图象的变换及三角函数的性质.
将y=sin?的图象向右平移?个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin
?=sin 2x,当2kπ-?≤2x≤2kπ+?(k∈Z),即kπ-?≤x≤kπ+?(k∈Z)时,y=sin 2x单调
递增,令k=0,得x∈?,所以y=sin 2x在?上单调递增.
易错警示 在进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行怎样的变换都是对自变量本身而
言的.另外,要注意变换前后两个函数的函数名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为
同名函数.
2.(2017课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin?,则下面结论正确的是
????(填序号).
①把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移?个单位长
度,得到曲线C2;
②把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移?个单位长
度,得到曲线C2;
③把C1上各点的横坐标缩短到原来的?,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移?个单位长度,
得到曲线C2;
④把C1上各点的横坐标缩短到原来的?,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移?个单位长度,
得到曲线C2.
答案 ④
解析 本题考查三角函数的诱导公式及图象变换.
首先利用诱导公式化异名为同名.
y=sin?=cos?=cos?=cos?,
由y=cos x的图象得到y=cos 2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的?,纵坐标不
变;由y=cos 2x的图象得到y=cos?的图象,需将y=cos 2x的图象上的各点向左平移?个
单位长度.故填④.
方法总结 (1)三角函数图象变换:
①伸缩变换:将y=sin x图象上的各点的横坐标变为原来的ω倍,纵坐标不变,可得到y=sin?
的图象;将y=sin x图象上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,可得到y=Asin x的图象.
②平移变换:函数图象的平移变换遵循“左加右减”的法则,但是要注意平移量是指自变量x
的变化量.
(2)解决三角函数图象变换的题时,若两函数异名,则通常利用sin x=cos?和cos x=sin
?将异名三角函数转化为同名三角函数,然后分析变换过程.
3.(2016四川理改编,3,5分)为了得到函数y=sin?的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所
有的点向 ????平移 ????个单位长度.
答案 右;?
解析 将y=sin 2x的图象向右平行移动?个单位长度得到y=sin?=sin?的图象.
解后反思 将y=sin?化为y=sin?是解题的关键.
4.(2016课标全国Ⅰ改编,6,5分)将函数y=2sin?的图象向右平移?个周期后,所得图象对
应的函数为 ????.
答案????y=2sin?
解析 该函数的周期为π,将其图象向右平移?个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin?2
?+??=2sin?.
易错警示 三角函数图象的平移变换中,“左加右减”是对x而言的,将x变为x-?,而不是将2x
变为2x-?.
评析 本题主要考查三角函数图象的平移变换,注意“左加右减”仅针对x.
5.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-?cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移
????个单位长度得到.
答案?????
解析 函数y=sin x-?cos x=2sin?的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移?个单
位长度得到.
评析 本题考查了三角函数的图象平移及两角差的正弦公式的逆用,属于中档题.
考点二 三角函数的性质及其应用
1.(2019北京理,9,5分)函数f(x)=sin22x的最小正周期是 ????.
答案?????
解析 本题考查二倍角的余弦公式以及三角函数的最小正周期;考查学生的运算求解能力.考
查的核心素养为数学运算.
因为f(x)=sin22x,所以f(x)=?(1-cos 4x),所以函数f(x)的最小正周期T=?=?.
2.(2019天津理改编,7,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象
上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小
正周期为2π,且g?=?,则f ?= ????.
答案?????
解析 本题主要考查三角函数的图象和性质,考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力.
∵f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,∴φ=kπ,k∈Z,又|φ|<π,∴φ=0,∴f(x)=Asin ωx,则g(x)=Asin?.由g
(x)的最小正周期T=2π,得?=?=1,∴ω=2.又g?=Asin ?=?A=?,∴A=2,∴f(x)=2sin 2x,∴f
?=2sin ?=?.
方法总结 1.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z);若f(x)为偶函数,则φ=k
π+?(k∈Z);
2.若函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)为奇函数,则φ=kπ+?(k∈Z);若f(x)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z).
3.(2019课标全国Ⅱ理改编,9,5分)下列函数中,以?为周期且在区间?单调递增的是 ????
????.
①f(x)=|cos 2x|;②f(x)=|sin 2x|;
③f(x)=cos|x|;④f(x)=sin|x|.
答案 ①
解析 本题考查三角函数的图象与性质;通过三角函数的周期性和单调性考查运算求解能力
以及数形结合思想;考查的核心素养为逻辑推理、数学运算.
对于①,作出f(x)=|cos 2x|的部分图象,如图1所示,则f(x)在?上单调递增,且最小正周期T=
?,故①正确.
对于②,作出f(x)=|sin 2x|的部分图象,如图2所示,则f(x)在?上单调递减,且最小正周期T=?,
故②不正确.
对于③,∵f(x)=cos|x|=cos x,∴最小正周期T=2π,故③不正确.
对于④,作出f(x)=sin|x|的部分图象,如图3所示.显然f(x)不是周期函数,故④不正确.
图1
?
?????
图2
?
图3
方法点拨 1.y=f(x)的图象的翻折变换:
(1)y=f(x)?y=f(|x|);
(2)y=f(x)?y=|f(x)|.
2.求三角函数的最小正周期:
(1)形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),则最小正周期T=?.
(2)形如y=|Asin(ωx+φ)|,y=|Acos(ωx+φ)|,则最小正周期T=?.
4.(2019课标全国Ⅰ理改编,11,5分)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:
① f(x)是偶函数
② f(x)在区间?单调递增
③ f(x)在[-π,π]有4个零点
④ f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 ????.
答案 ①④
解析????本题考查函数的奇偶性、三角函数的图象与性质;考查学生的推理论证能力和运算求
解能力;考查的核心素养是逻辑推理.
f(x)的定义域为(-∞,+∞), f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),故f(x)是偶函数,①正确;
当x∈?时, f(x)=sin x+sin x=2sin x单调递减,②不正确;
当x∈[0,π]时,sin x≥0, f(x)=2sin x有两个零点,当x∈[-π,0)时, f(x)=-2sin x仅有一个零点,故③不
正确;
当x≥0时, f(x)=sin x+|sin x|,其最大值为2,又f(x)是R上的偶函数,故f(x)在R上的最大值为2,④正
确.
综上,①④正确,②③不正确.
名师点拨 本题背景熟悉,方法常规,但对学生的知识储备要求较高.每个结论考查的侧重点各
不相同,很难通过一个性质排除所有错误结论.
5.(2019课标全国Ⅲ理改编,12,5分)设函数f(x)=sin?(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个
零点.下述四个结论:
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点
③f(x)在?单调递增
④ω的取值范围是?
其中所有正确结论的编号是 ????.
答案 ①③④
解析 本题主要考查三角函数的图象、性质及其应用,函数的零点、极值点、单调性等知识,
通过对函数f(x)=sin?图象的研究,考查学生将复杂图象化归为简单图象,将陌生问题转
化为熟悉问题的能力,考查了直观想象的核心素养.
令t=ωx+?(ω>0),∵x∈[0,2π],
∴t∈?且y=sin t,
∵f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点,
∴y=sin t在?上有且仅有5个零点,
∴2ωπ+?∈[5π,6π),∴ω∈?,故④正确.
y=sin t在?上极值点的个数即为f(x)在[0,2π]上极值点的个数.
由y=sin t在?上的图象可知f(x)在[0,2π]有且仅有3个极大值点,有2个或3个极小值点,
故①正确,②错误.
当x∈?时,t∈?,
又ω∈?,∴?+?∈?,
∵?∴y=sin t在t∈?上单调递增.
∴y=f(x)在?上单调递增,故③正确.
解题关键 ①令t=ωx+?(ω>0),利用整体思想将原函数转化为y=sin t来研究.
②当ω>0时,y=sin?的图象可由y=sin x的图象经过平移、伸缩变换得到,y=sin?的
增、减区间可通过讨论y=sin x的增、减区间得到.
6.(2019课标全国Ⅰ文,15,5分)函数f(x)=sin?-3cos x的最小值为 ????.
答案 -4
解析 本题主要考查三角函数的诱导公式、二倍角公式,二次函数最值问题;考查考生的转化
与化归能力,运算能力和换元方法的应用;考查的核心素养以数学运算为主.
f(x)=sin?-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1,
令cos x=t,则t∈[-1,1].
f(t)=-2t2-3t+1=-2?+?,
易知当t=1时,f(t)min=-2×12-3×1+1=-4.
故f(x)的最小值为-4.
方法总结 求解有关三角函数的最值问题的常用方法:
(1)形如函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)的形式,利用函数的单调性求解;
(2)涉及sin x±cos x,sin x·cos x的形式,常采用换元法转化为一元二次函数形式求解;
(3)形如f(x)=?的形式常用数形结合思想进行求解.
7.(2018课标全国Ⅰ文改编,8,5分)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则下列说法正确的是 ????.
① f(x)的最小正周期为π,最大值为3
② f(x)的最小正周期为π,最大值为4
③f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
④f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
答案 ②
解析 本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质.
f(x)=2cos2x-sin2x+2=2(1-sin2x)-sin2x+2=4-3sin2x=4-3×?=?+?,∴f(x)的最小正周期T
=π,当cos 2x=1时, f(x)取最大值,为4.
解题关键 解题关键是通过三角恒等变换化简函数解析式.
8.(2018课标全国Ⅱ理改编,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是 ????
????.
答案?????
解析 本题主要考查三角函数的图象和性质.
f(x)=cos x-sin x=?cos?,
由题意得a>0,故-a+?因为f(x)=?cos?在[-a,a]是减函数,
所以?
解得0所以a的最大值是?.
易错警示 本题易忽略a>0,导致a的范围扩大而失分.
9.(2018北京理,11,5分)设函数f(x)=cos?(ω>0).若f(x)≤f?对任意的实数x都成立,则ω的
最小值为 ????.
答案?????
解析 本题主要考查三角函数的性质及其应用.
∵f(x)≤f?对任意的实数x都成立,
∴f?=1,∴?·ω-?=2kπ,k∈Z,整理得ω=8k+?,k∈Z.
又ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值?.
名师点睛 由题意知函数f(x)在x=?处取得最大值,从而得出答案.
10.(2018课标全国Ⅲ文改编,6,5分)函数f(x)=?的最小正周期为 ????.
答案????π
解析 本题考查三角函数的周期.
解法一: f(x)的定义域为?.
f(x)=?=sin x·cos x=?sin 2x,
∴f(x)的最小正周期T=?=π.
解法二: f(x+π)=?=?=f(x),∴π是f(x)的周期. f?=?,而tan
?=?=?=-?,∴f?=-?≠f(x),
∴?不是f(x)的周期,∴?也不是f(x)的周期.
方法总结 函数周期的求法:
(1)定义法:若f(x+T)=f(x),T≠0,则T是f(x)的一个周期.
(2)若T是函数y=f(x)的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是y=f(x)的周期.
(3)若定义域内都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=?(f(x)≠0)或f(x+a)=-?(a是常数且a≠0, f(x)≠0),
则f(x)是以2|a|为周期的周期函数.
(4)若f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则2|a-b|是f(x)的一个周期;若f(x)的图象关于点(a,0),(b,
0)对称,则2|a-b|是f(x)的一个周期;若f(x)关于点(a,0)和直线x=b对称,则4|a-b|是f(x)的一个周期.
11.(2017课标全国Ⅱ文改编,3,5分)函数f(x)=sin?的最小正周期为 ????.
答案????π
解析 本题考查三角函数的性质.
由题意得ω=2,所以函数f(x)=sin?的最小正周期T=?=π.
12.(2017山东文改编,7,5分)函数y=?sin 2x+cos 2x的最小正周期为 ????.
答案????π
解析 本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质.
y=?sin 2x+cos 2x=2sin?,
从而最小正周期T=?=π.
13.(2016课标全国Ⅱ理改编,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移?个单位长度,则平移后
图象的对称轴为 ????.
答案????x=?+?(k∈Z)
解析 将函数y=2sin 2x的图象向左平移?个单位长度得到函数y=2sin?=2sin
?的图象,由2x+?=kπ+?(k∈Z),可得x=?+?(k∈Z).则平移后图象的对称轴为x=?+
?(k∈Z).
易错警示 本题易犯的错误是将原函数的图象平移后得到函数y=2sin?的图象.
14.(2019浙江,18,14分)设函数f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
(2)求函数y=?+?的值域.
解析 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.考查的数学
素养是逻辑推理及数学运算,考查了化归与转化思想.
(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,
故2sin xcos θ=0,
所以cos θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=?或?.
(2)y=?+?
=sin2?+sin2?
=?+?
=1-??
=1-?cos?.
因此,函数的值域是?.
思路分析 (1)根据偶函数的定义,知f(-x+θ)=f(x+θ)恒成立,利用三角恒等变换,得出cos θ=0,从
而求出θ的值.
(2)将函数解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,利用三角函数的性质求值
域.
考点三????y=Asin(ωx+φ)的图象和性质
1.(2019课标全国Ⅱ文改编,8,5分)若x1=?,x2=?是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω
= ????.
答案 2
解析 本题主要考查了三角函数的图象和性质;渗透了数学运算的核心素养;体现了创新意识.
由x1=?,x2=?是f(x)=sin ωx两个相邻的极值点,可得?=?-?=?,则T=π=?,得ω=2.
2.(2019上海,15,5分)已知ω∈R,函数f(x)=(x-6)2·sin(ωx),存在常数a∈R,使得f(x+a)为偶函数,则ω
的值可能为 ????.
答案?????
解析????f(x+a)=(x+a-6)2sin(ωx+ωa),因为f(x+a)为偶函数,所以y1=(x+a-6)2与y2=sin(ωx+ωa)都为偶
函数,由于y1=x2+2(a-6)x+(a-6)2,所以可得a-6=0,即a=6,此时y2=sin(ωx+6ω)为偶函数,则6ω=?+kπ
(k∈Z),则ω=?+?(k∈Z),当k=1时,ω=?.所以ω的值可能为?.
3.(2017天津理改编,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f ?=2, f ?=0,
且f(x)的最小正周期大于2π,则ω= ????,φ= ????.
答案?????;?
解析 本题考查三角函数的图象和性质.
∵f?=2, f?=0, f(x)的最小正周期大于2π,
∴?=?-?=?,得T=3π,则ω=?=?,
又f?=2sin?=2,
∴sin?=1.
∴?+φ=2kπ+?,k∈Z,
∴φ=2kπ+?,k∈Z.
∵|φ|<π,∴φ=?.
易错警示 根据f(x)的最小正周期T>2π,可知?T=?-?=?,得T=3π.若不注意已知条件,则容
易出现?T=?,得T=π,从而造成错误.
思路分析????由三角函数的图象(图略)可知?=?-?=?,得T=3π,ω=?,然后将?代入y=f
(x)中,结合|φ|<π解出φ的值即可.
4.(2016课标全国Ⅱ改编,3,5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数的表达式为????
????.
?
答案????y=2sin?
解析 由题图可知A=2,?=?-?=?,
则T=π,所以ω=2,
则y=2sin(2x+φ),
因为题图经过点?,
所以2sin?=2,
所以?+φ=2kπ+?,k∈Z,
即φ=2kπ-?,k∈Z,当k=0时,φ=-?,
所以y=2sin?.
评析 本题考查由三角函数的图象确定函数的解析式,其中A由函数最值确定,ω由周期确定,
相邻的最高点与最低点之间的水平距离为半个周期,φ通过点的坐标来求.
5.(2016课标全国Ⅰ改编,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)?,x=-?为f(x)的零点,x=?
为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在?单调,则ω的最大值为 ????.
答案 9
解析 由f(x)在?上单调,得?≥?-?,∴ω≤12,依题意,有?(m、n∈Z),
∴?
又|φ|≤?,∴m+n=0或m+n=-1.
当m+n=0时,ω=4n+1,φ=?,取n=2,得ω=9,
f(x)=sin?符合题意.
当m+n=-1时,φ=-?,ω=4n+3,取n=2,得ω=11, f(x)=sin?,此时,当x∈?时,11x-?∈
?, f(x)不单调,不合题意.
解后反思 本题要求ω的最大值,正面入手难度较大,故对ω取特殊值进行检验.
评析 本题考查三角函数的图象与性质,对运算能力、逻辑思维能力都有较高的要求.
6.(2017山东理,16,12分)设函数f(x)=sin?+sin?,其中0<ω<3.已知f ?=0.
(1)求ω;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左
平移?个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在?上的最小值.
解析 本题考查了y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及最值.
(1)因为f(x)=sin?+sin?,
所以f(x)=?sin ωx-?cos ωx-cos ωx
=?sin ωx-?cos ωx=??
=?sin?.
由题设知f?=0,所以?-?=kπ,k∈Z.
故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.
(2)由(1)得f(x)=?sin?,
所以g(x)=?sin?=?sin?.
因为x∈?,所以x-?∈?,
当x-?=-?,即x=-?时,g(x)取得最小值-?.
7.(2016山东,17,12分)设f(x)=2?sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平
移?个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g?的值.
解析 (1)f(x)=2?sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2
=2?sin2x-(1-2sin xcos x)
=?(1-cos 2x)+sin 2x-1
=sin 2x-?cos 2x+?-1
=2sin?+?-1.
由2kπ-?≤2x-?≤2kπ+?(k∈Z),
得kπ-?≤x≤kπ+?(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是?(k∈Z).
?
(2)由(1)知f(x)=2sin?+?-1.
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin?+?-1的
图象,
再把得到的图象向左平移?个单位,
得到y=2sin x+?-1的图象,
即g(x)=2sin x+?-1.
所以g?=2sin?+?-1=?.
方法总结 研究三角函数的单调性,首先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h(或y=Acos(ωx+φ)+h)的形
式,要视“ωx+φ”为一个整体,另外注意A的正负.
评析 本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质,考查三角函数图象变换.(1)将函数化为
y=Asin(ωx+φ)+h的形式是解题的关键,要视“ωx+φ”为一个整体.(2)三角函数图象变换仅对
“x”而言.
考点一 三角函数的图象及其变换
(2014安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin?的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则
φ的最小正值是 ????.
C组 教师专用题组
答案?????
解析 根据题意设g(x)=f(x-φ)=sin?,
由g(x)的图象关于y轴对称,得g(0)=±1,
即sin?=±1,
∴-2φ+?=kπ+?(k∈Z),∴φ=-?-?(k∈Z).
∴当k=-1时,φ取最小正值,为?.
考点二 三角函数的性质及其应用
1.(2016天津改编,8,5分)已知函数f(x)=sin2?+?sin ωx-?(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有
零点,则ω的取值范围是 ????.
答案?????∪?
解析????f(x)=?+?sin ωx-?=?(sin ωx-cos ωx)=?sin?,∵x∈(π,2π),ω>0,∴ωx-?∈
?,∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点,∴有以下两种情况:
①??(2kπ,2kπ+π),k∈Z,
则有?k∈Z,
得ω∈?,k∈Z,
当k=0时,ω∈?;
②??(2kπ+π,2kπ+2π),k∈Z,
则有?k∈Z,
得ω∈?,k∈Z,
当k=-1时,ω∈?,
又ω>0,∴ω∈?.
综上,ω∈?∪?.
疑难突破 将函数化简为f(x)=?sin?,将ωx-?看作一个整体,借助函数y=sin x的图象
得出f(x)在(π,2π)内没有零点时需满足的条件,建立不等式组求解.
2.(2015湖南改编,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ?个单位后得到函数g(x)
的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=?,则φ= ????.
答案?????
解析????g(x)=sin[2(x-φ)]=sin(2x-2φ).
∵|f(x)|≤1,|g(x)|≤1,
∴|f(x1)-g(x2)|≤2,
当且仅当f(x1)=1,g(x2)=-1或f(x1)=-1,g(x2)=1时,满足|f(x1)-g(x2)|=2.
不妨设A(x1,-1)是函数f(x)图象的一个最低点,B(x2,1)是函数g(x)图象的一个最高点,于是x1=k1π+
?(k1∈Z),x2=k2π+?+φ(k2∈Z),
∴|x1-x2|≥?=?.
∵φ∈?,
∴|x1-x2|≥?-φ.
又∵|x1-x2|min=?,
∴?-φ=?,即φ=?.
评析 本题考查三角函数的图象与性质,对逻辑思维能力与数形结合能力要求较高,要求考生
能准确地画图并理解题意.属中等难度题.
3.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是 ????,单调递减区间是????
????.
答案????π;?(k∈Z)
解析????f(x)=sin2x+sin xcos x+1=?+?sin 2x+1=?(sin 2x-cos 2x)+?=?sin?+?.易
知最小正周期T=?=π.当?+2kπ≤2x-?≤?+2kπ(k∈Z),即?+kπ≤x≤?+kπ(k∈Z)时, f(x)
单调递减,所以f(x)的单调递减区间为?(k∈Z).
4.(2014辽宁改编,9,5分)将函数y=3sin?的图象向右平移?个单位长度,所得图象对应的
函数在区间 ????上单调递增.
答案?????(k∈Z)
解析 函数y=3sin?的图象向右平移?个单位长度所得图象对应的函数为y=3sin
?=3sin?.由2kπ-?≤2x-?≤2kπ+?,k∈Z,得该函数的递增区间为?kπ+
?,kπ+??(k∈Z).
评析 本题主要考查三角函数图象变换及正弦函数性质,难度不大.
5.(2014江苏,5,5分)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为?的
交点,则φ的值是 ????.
答案?????
解析 显然交点为?,故有sin?=?,
∴?π+φ=2kπ+?,k∈Z或?π+φ=2kπ+?π,k∈Z,
∴φ=2kπ-?或φ=2kπ+?,k∈Z,又0≤φ<π,故φ=?.
6.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin?.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角, f?=?cos?cos 2α,求cos α-sin α的值.
解析 (1)因为函数y=sin x的单调递增区间为?,k∈Z,
所以有-?+2kπ≤3x+?≤?+2kπ,k∈Z,
得-?+?≤x≤?+?,k∈Z.
所以,函数f(x)的单调递增区间为?,k∈Z.
(2)由已知,有sin?=?cos?(cos2α-sin2α),
所以sin αcos?+cos αsin?
=??(cos2α-sin2α).
即sin α+cos α=?(cos α-sin α)2(sin α+cos α).
当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=?+2kπ,k∈Z.
此时,cos α-sin α=-?.
当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2=?.
由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-?.
综上所述,cos α-sin α=-?或-?.
评析 本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知
识,考查运算求解能力,考查分类与整合、化归与转化等数学思想.
考点三????y=Asin(ωx+φ)的图象和性质
1.(2015课标全国Ⅰ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为????
????.
?
答案?????,k∈Z
解析 不妨令ω>0,由函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象,可得函数的周期T=2?=2,由T=?
得ω=π,∴f(x)=cos(πx+φ),再根据函数的图象可得?+φ=?+2kπ,k∈Z,∴φ=?+2kπ(k∈Z),∴f(x)=
cos?,由2kπ<πx+?<2kπ+π(k∈Z),得2k-??(k∈Z).
思路分析 令ω>0,根据函数图象求出函数f(x)的解析式,再根据余弦函数的单调性求得f(x)的
单调递减区间.
一题多解 由题图可知?=?-?=1,所以T=2.结合题图可知,在?(f(x)的一个周期)内,函数f
(x)的单调递减区间为?.由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为
?,k∈Z.
2.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间?上具有
单调性,且f?=f?=-f?,则f(x)的最小正周期为 ????.
答案????π
解析 记f(x)的最小正周期为T.
由题意知?≥?-?=?,
由f?=f?=-f?,且?-?=?,
可作出示意图如图所示(一种情况):
?
∴x1=?×?=?,
x2=?×?=?,
∴?=x2-x1=?-?=?,
∴T=π.
3.(2015福建,19,13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)
图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移?个单位
长度.
(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;
(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.
(i)求实数m的取值范围;
(ii)证明:cos(α-β)=?-1.
解析 解法一:(1)将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=
2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移?个单位长度后得到y=2cos?的图象,故f(x)=
2sin x.
从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+?(k∈Z).
(2)(i)f(x)+g(x)=2sin x+cos x=??=?sin(x+φ)?.
依题意知,sin(x+φ)=?在[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当?<1,故m的取值范围是(-?,
?).
(ii)证明:因为α,β是方程?sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=?,sin(β+φ)=
?.
当1≤m当-?所以cos(α-β)=-cos[2(β+φ)]=2sin2(β+φ)-1=2?-1=?-1.
解法二:(1)同解法一.
(2)(i)同解法一.
(ii)证明:因为α,β是方程?sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=?,sin(β+φ)=
?.
当1≤m当-?所以cos(α+φ)=-cos(β+φ).
于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]
=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)
=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)
=-?+?=?-1.
评析 本题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能
力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思
想、数形结合思想.
4.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)=?sin(ωx+φ)?的图象关于直线x=?对称,
且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f?=??,求cos?的值.
解析 (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω=?=
2.
又因为f(x)的图象关于直线x=?对称,
所以2·?+φ=kπ+?,k∈Z.
由-?≤φ所以φ=?-?=-?.
(2)由(1)得f?=?sin?=?,
所以sin?=?.
由?<α所以cos?=?=?=?.
因此cos?=sin α=sin?
=sin?cos?+cos?sin?
=?×?+?×?=?.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点一 三角函数的图象及其变换
1.(2019海安期中,6)将函数f(x)的图象向右平移?个单位后得到函数y=4sin?的图象,则f
?的值为 ????.
答案 4
解析 根据题意知,把函数y=4sin?的图象向左平移?个单位后得到函数f(x)的图象,
故f(x)=4sin?=4sin 2x,则f?=4sin ?=4.
2.(2019南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学联考,8)若将函数y=cos x-?sin x的图象向
左平移m(m>0)个单位后,所得图象关于y轴对称,则实数m的最小正值为 ????.
答案?????
解析????y=cos x-?sin x=2cos?,将其图象向左平移m个单位后得到y=2cos?的图
象,关于y轴对称,所以x=0时,y=±2,所以m+?=kπ(k∈Z),故m=-?+kπ(k∈Z).所以m的最小正值为
?.
3.(2019七市第二次调研,7)将函数y=2sin 3x的图象向左平移?个单位长度得到y=f(x)的图象,则
f?的值为 ????.
答案 -?
解析????y=f(x)=2sin?=2sin?,
则f?=2sin?=-2sin?=-?.
考点二 三角函数的性质及其应用
1.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二,8)函数f(x)=cos?(ω>0)的图象关于直线x=?对称,
则ω的最小值为 ????.
答案?????
解析 因为函数f(x)=cos?(ω>0)的图象关于直线x=?对称,
所以f?=cos?=±1,所以?-?=kπ(k∈Z)?ω=2k+?(k∈Z),又ω>0,所以满足条件的ω
的最小值为?.
2.(2019南京三模,9)函数f(x)=2sin?,其中ω>0.若x1,x2是方程f(x)=2的两个不同的实数根,
且|x1-x2|的最小值为π.则当x∈?时, f(x)的最小值为 ????.
答案 -1
解析 由|x1-x2|的最小值为π可知f(x)的最小正周期T=π,则ω=?=?=2.当x∈?时,2x+?∈
?,sin?∈?,则f(x)min=2×?=-1.
3.(2019南通基地学校3月联考,9)已知角φ的终边经过点P(1,-2),函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的
相邻两条对称轴之间的距离等于?,则f?的值为 ????.
答案 -?
解析 根据题意知sin φ=-?,cos φ=?,并且ω=?=3,那么f?=sin?=??=
-?.
4.(2019盐城期中,10)若函数f(x)=|sin 3x|-m(00)的等差数
列,则d= ????.
答案?????
解析 画出y=|sin 3x|,y=m(0?
由题意知两图象交点的正的横坐标成等差数列,
依次设为x1,x2,x3,…,
由函数图象的对称性得x1+x2=?×2,①
x2+x3=?×2,②
②-①得2d=?,故公差d=?.
考点三????y=Asin(ωx+φ)的图象和性质
1.(2019南京、盐城二模,8)若函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象经过点?,且相邻两
条对称轴间的距离为?,则f?的值为 ????.
答案?????
解析 因为相邻两条对称轴间的距离为?,所以T=?=π,所以ω=2,由图象经过点?,得2sin
?=2,从而?+φ=?+2kπ,k∈Z,
因为0<φ<π,所以φ=?,
所以f(x)=2sin?,
所以f?=2sin?=2cos?=?.
2.(2019扬州中学检测,7)函数f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ| ????.
?
答案?????
解析 根据题图知A=1,?T=?-?=π,
∴T=2π,∴ω=1.
当x=?时, f(x)=1,∴sin?=1,
∴?+φ=2kπ+?,k∈Z,∴φ=2kπ+?,k∈Z,
又|φ|3.(2019盐城期中,15)已知函数f(x)=sin?+b(a>0,b>0)的图象与x轴相切,且图象上相邻两
个最高点之间的距离为π.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)在?上的最大值和最小值.
解析 (1)因为图象与x轴相切,且b>0,所以f(x)的最小值为0,即b=1.由图象上相邻两个最高点之
间的距离为π,知?=π,即a=2.?(4分)
(2)由(1)得f(x)=sin?+1,
当x∈?时,2x+?∈?,?(8分)
当2x+?=?,即x=?时, f(x)有最大值2;
当2x+?=?,即x=?时, f(x)有最小值?.?(14分)
(求最值时不交代x的值,各扣1分)
4.(2019扬州期末,15)已知函数f(x)=cos2x+2?sin xcos x-sin2x,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)求方程f(x)=0在(0,π]内的所有解.
解析????f(x)=cos2x+2?sin xcos x-sin2x=?sin 2x+cos 2x=2sin?.?(4分)
(1)由-?+2kπ≤2x+?≤?+2kπ,k∈Z,解得-?+kπ≤x≤?+kπ,k∈Z,
∴函数f(x)的单调增区间为?,k∈Z.?(8分)
(2)由f(x)=0得2sin?=0,解得2x+?=kπ,k∈Z,即x=-?+?,k∈Z,
∵x∈(0,π],∴x=?或x=?.?(14分)
评析 复杂的三角函数问题遵循先化简后求解的原则.本题先通过恒等变形化简三角函数,再
求解.属于基础题.
一、填空题(每小题5分,共45分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：40分钟 分值：60分)
1.(2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,6)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象
如图所示,则f(x)的单调递减区间为 ????.
?
答案?????,k∈Z
解析 由题图得?T=?-?=1,∴T=2,∴ω=π.
函数图象关于直线x=?×?=?对称,
结合图象知,当x=?时,ymin=-1,∴-1=sin?,
∴?+φ=2kπ-?,∴φ=2kπ-?,k∈Z,
∴f(x)=sin?=sin?.
∴2kπ+?<πx+?<2kπ+?,k∈Z,
∴2k-?∴函数f(x)的单调递减区间为?,k∈Z.
2.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,10)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)?的部分图象如
图所示,其中f(0)=1,|MN|=?,则f(1)= ????.
?
答案 -1
解析 由题图得f(0)=2sin φ=1,∴sin φ=?,
又∵φ∈?,∴φ=?.
|MN|=?=?,∴ω=?,
∴函数f(x)=2sin?,∴f(1)=2sin?=-1.
3.(2019常州期末,11)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数,点(1,0)是函数y=f(x)图象的
对称中心,则ω的最小值为 ????.
答案?????
解析 ∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数,
∴φ=k1π+?,k1∈Z.
∵点(1,0)是函数y=f(x)图象的对称中心,
∴sin(ω+φ)=0,可得ω+φ=k2π,k2∈Z,
∴ω=k2π-φ=(k2-k1)π-?,k1,k2∈Z.
又ω>0,所以当k2-k1=1时,ω有最小值,为?.
思路分析 由函数是偶函数得到φ的可能取值,再由函数过点(1,0)得到ω+φ的可能取值,从而得
出ω的表达式,再对参数赋值即可得出所求最小值.
4.(2019苏北三市(徐州、连云港、淮安)期末,11)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移?个单位得
到函数g(x)的图象,则以函数f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 ????
????.
答案?????
解析 将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移?个单位得到函数g(x)=sin?的图象,如图所示,
点A的坐标为?,BC=π.
所以三角形ABC的面积为?×π×?=?.
?
5.(2019南京、盐城期末,11)设函数f(x)=sin?,其中ω>0.若函数f(x)在[0,2π]上恰有2个零
点,则ω的取值范围是 ????.
答案?????
解析 令f(x)=0,得x=-?+?(k∈Z),则正的零点从小到大依次为x1=?,x2=?,x3=?,……所
以?解得ω∈?.
6.(2019徐州期中,8)已知函数f(x)=2sin?,若f(x1)·f(x2)=-4,且x1,x2∈[-π,π],则x1-x2的最大值为
????.
答案?????
解析????f(x1)·f(x2)=2sin?·2sin?=-4,
即sin?·sin?=-1.
不妨令sin?=1,sin?=-1,则
x1=??,k∈Z,x2=??,n∈Z,
则x1-x2=?(2kπ-2nπ+π)=?[2π(k-n)+π]=?(2mπ+π),m,n,k都是整数,
因为x1,x2∈[-π,π],所以x1-x2∈[-2π,2π],
所以x1-x2的最大值为?(2π+π)=?.
7.(2019苏锡常镇四市教学情况调查一,10)设定义在区间?上的函数y=3?sin x的图象与y
=3cos 2x+2的图象交于点P,则点P到x轴的距离为 ????.
答案 3
解析 3?sin x=3cos 2x+2=3(1-2sin2x)+2
?6sin2x+3?sin x-5=0,∵sin x∈(0,1),∴sin xP=?,
∴yP=3?sin xP=3.
8.(2019扬州中学检测,10)若函数g(x)=sin ωx+cos?(ω>0)的图象关于点(2π,0)对称,且在
区间?上是单调函数,则ω的值为 ????.
答案?????或?
解析????g(x)=sin ωx+cos?=sin?,
∵g(x)的图象关于(2π,0)对称,
∴sin?=0,∴2πω+?=kπ,k∈Z,
解得ω=-?+?,k∈Z.
∵函数g(x)在区间?上是单调函数,
∴最小正周期T≥2?,即?≥π,
∴0<ω≤2,∴ω=?或?或?或?.
经检验,?,?符合题意.
9.(2018常熟期中,13)已知函数f(x)=sin?,若对任意的α∈?,都存在唯一的β∈
[0,m],使f(α)+f(β)=0,则实数m的最小值是 ????.
答案?????
解析 ∵α∈?,∴f(α)∈?,
∵f(α)+f(β)=0,∴f(β)∈?.
即sin?∈?,∴2kπ≤β-?≤?+2kπ,k∈Z,
即?+2kπ≤β≤?+2kπ,k∈Z.∴实数m的最小值是?.
解题关键 理解角α∈?的任意性是解题关键,就是求f(β)的取值范围,然后再求m的最
小值.
二、解答题(共15分)
10.(2019海安中学检测,16)已知函数f(x)=4tan xsin?·cos?-?.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间?上的单调性.
解析 (1)f(x)的定义域为?.
f(x)=4tan xcos xcos?-?=4sin xcos?-?
=4sin x?-?=2sin xcos x+2?sin2x-?
=sin 2x-?cos 2x=2sin?.
所以f(x)的最小正周期T=?=π.
(2)由-?+2kπ≤2x-?≤?+2kπ,k∈Z,得-?+kπ≤x≤?+kπ,k∈Z.
设A=?,B=?,易知A∩B=?.
所以,当x∈?时,f(x)在区间?上单调递增,在区间?上单调递减.
第四章 三角函数 ３７
§ ４．２ 三角恒等变换
对应学生用书起始页码 Ｐ５８
考 点 三角恒等变换 高频考点
１．两角和与差的三角函数公式
ｔａｎ（α－β）＝ ｔａｎ α
－ｔａｎ β
１＋ｔａｎ αｔａｎ β
← ｔａｎ（α＋β）＝
ｔａｎ α＋ｔａｎ β
１－ｔａｎ αｔａｎ β
↑ ↑
ｓｉｎ（α－β）＝ ｓｉｎ αｃｏｓ β－ｃｏｓ αｓｉｎ β
ｃｏｓ（α－β）＝ ｃｏｓ αｃｏｓ β＋ｓｉｎ αｓｉｎ β
←
ｓｉｎ（α＋β）＝ ｓｉｎ αｃｏｓ β＋ｃｏｓ αｓｉｎ β
ｃｏｓ（α＋β）＝ ｃｏｓ αｃｏｓ β－ｓｉｎ αｓｉｎ β
２．有关公式的逆用、变形
（１）ｔａｎ α±ｔａｎ β＝ ｔａｎ（α±β）（１?ｔａｎ αｔａｎ β） ．
（２）函数 ｆ（α）＝ ａｓｉｎ α＋ｂｃｏｓ α（ａ，ｂ 为常数）可以化为 ｆ（α）
＝ ａ２＋ｂ２ ｓｉｎ （ α ＋ φ） 其中 ｓｉｎ φ＝
ｂ
ａ２＋ｂ２
，ｃｏｓ φ＝
ａ
ａ２＋ｂ２
?
è
?
?
?
÷ 或
ｆ（α） ＝ ａ２＋ｂ２ ｃｏｓ （ α － φ） ( 其 中 ｃｏｓ φ ＝ ｂ
ａ２＋ｂ２
， ｓｉｎ φ ＝
ａ
ａ２＋ｂ２
) ．
３．二倍角公式
ｔａｎ（α ＋ β） ＝
ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β
１ － ｔａｎ αｔａｎ β
ｔａｎ ２α ＝ ２ｔａｎ α
１ － ｔａｎ２α
→
????
ｓｉｎ ２α ＝ ２ｓｉｎ αｃｏｓ α
ｃｏｓ ２α ＝ ｃｏｓ２α － ｓｉｎ２α
????????????????????????????????????????
???? ????????????????????????????????????
????
????ｃｏｓ ２α ＝ １ － ２ｓｉｎ２α
ｃｏｓ ２α ＝ ２ｃｏｓ２α － １
ｓｉｎ２ α
２
＝ １ － ｃｏｓ α
２
ｃｏｓ２ α
２
＝ １ ＋ ｃｏｓ α
２
→
４．几个常用结论
（１）１＋ｓｉｎ ２α＝（ｓｉｎ α＋ｃｏｓ α） ２；
（２）１－ｓｉｎ ２α＝（ｓｉｎ α－ｃｏｓ α） ２；
（３）１＋ｃｏｓ ２α＝ ２ｃｏｓ２α；
（４）１－ｃｏｓ ２α＝ ２ｓｉｎ２α．
????
????
????
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????
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????
????
????
????
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????
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????
????
对应学生用书起始页码 Ｐ５８
三角函数式的化简与求值
１．三角函数式的化简原则
（１）一看“角”：通过看角之间的差别与联系，把角进行合理
拆分，从而正确应用公式．
（２）二看“函数名称”：看函数名称的差异，从而正确选用公
式，常用的有“切化弦”“正、余弦互化” ．
（３）三看“结构特征”：分析结构特征，可以找到变形的方
向，如遇到分式要通分．
２．三角函数式求值的基本类型
（１）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来
看较难，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角总有一定关系，解
题时，要利用得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式
转化为特殊角并消去非特殊角．
（２）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角
的三角函数值，解题关键在于“变角”，使角相同或具有某种
关系．
（３）“给值求角”：实质上也可转化为“给值求值”，关键是
“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合
该函数的单调区间求得角．
（１） （ ２０１７ 江苏四校联考，１０） 已知 ｔａｎ （ α ＋ β） ＝ ２，
ｔａｎ（α－β）＝ ３，则
ｓｉｎ ２α
ｃｏｓ ２β
的值为 ．
（２）（２０１７ 江苏如东高级中学第二次学情调研）已知 α 为锐
角，若 ｓｉｎ α＋
π
６( ) ＝ ３５ ，则 ｃｏｓ ２α－ π６( ) ＝ ．
（３）已知 α，β∈ ０，
π
２( ) ，ｔａｎ（α＋β）＝ ９ｔａｎ β，则 ｔａｎ α 的最大
值为 ．
解 析 （ １ ）
ｓｉｎ ２α
ｃｏｓ ２β
＝ ｓｉｎ［（α
＋β）＋（α－β）］
ｃｏｓ［（α＋β）－（α－β）］
＝ ｓｉｎ（α
＋β）ｃｏｓ（α－β）＋ｃｏｓ（α＋β）ｓｉｎ（α－β）
ｃｏｓ（α＋β）ｃｏｓ（α－β）＋ｓｉｎ（α＋β）ｓｉｎ（α－β）
＝ ｔａｎ（α
＋β）＋ｔａｎ（α－β）
１＋ｔａｎ（α＋β）ｔａｎ（α－β）
．
将 ｔａｎ（α＋β）＝ ２，ｔａｎ（α－β）＝ ３ 代入，得原式＝
２＋３
１＋２×３
＝ ５
７
．
（２） 由 ｓｉｎ α＋
π
６( ) ＝ ３５ ， 可 得 ｃｏｓ α＋ π６( ) ＝ ± ４５ ， 当
ｃｏｓ α＋
π
６( ) ＝－ ４５ 时，ｃｏｓ α＝ ｃｏｓ α＋ π６( ) － π６[ ] ＝ ３－４ ３１０ ＜０，与 α
是锐角矛盾，所以 ｃｏｓ α＋
π
６( ) ＝ ４５ ，
从而 ｃｏｓ ２α－
π
６( ) ＝ ｃｏｓ ２ α＋ π６( ) － π２[ ] ＝ ２ｓｉｎ α＋ π６( ) ·
ｃｏｓ α＋
π
６( ) ＝ ２× ３５ × ４５ ＝ ２４２５ ．
（３）∵ α，β∈ ０，
π
２( ) ，∴ ｔａｎ α＞０，ｔａｎ β＞０，
∴ ｔａｎ α ＝ ｔａｎ（α＋ β － β） ＝
ｔａｎ（α＋β）－ｔａｎ β
１＋ｔａｎ（α＋β）·ｔａｎ β
＝ ８ｔａｎ β
１＋９ｔａｎ２β
＝
８
１
ｔａｎ β
＋９ｔａｎ β
≤
８
２×３
＝ ４
３ (当且仅当 １ｔａｎ β＝ ９ｔａｎ β 时等号成立 ) ，
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
３８ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
∴ （ｔａｎ α） ｍａｘ ＝
４
３
．
答案 （１）
５
７
（２）
２４
２５
（３）
４
３
方法总结 解决三角函数的求值问题的关键是把“所求
角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表
示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，
应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导
公式把“所求角”变成“已知角” ．
１－１ ４ｃｏｓ ５０°－ｔａｎ ４０° ＝ ．
１－１ 答案 ３
解析 ４ｃｏｓ ５０°－ｔａｎ ４０° ＝ ４ｓｉｎ ４０°－
ｓｉｎ ４０°
ｃｏｓ ４０°
＝ ４ｃｏｓ ４０°ｓｉｎ ４０°
－ｓｉｎ ４０°
ｃｏｓ ４０°
＝ ２ｓｉｎ ８０°
－ｓｉｎ ４０°
ｃｏｓ ４０°
＝ ２ｓｉｎ（１２０°
－４０°）－ｓｉｎ ４０°
ｃｏｓ ４０°
＝ ３ ｃｏｓ ４０°
＋ｓｉｎ ４０°－ｓｉｎ ４０°
ｃｏｓ ４０°
＝ ３ ｃｏｓ ４０°
ｃｏｓ ４０°
＝ ３ ．
１－２ 已知 α，β∈（０，π），且 ｔａｎ（α－β）＝
１
２
，ｔａｎ β ＝ －
１
７
，则
２α－β 的值为 ．
１－２ 答案 －
３π
４
解析 ∵ ｔａｎ（α－β）＝
１
２
，ｔａｎ β＝－
１
７
，
∴ ｔａｎ α ＝ ｔａｎ ［（α－β） ＋β］ ＝
ｔａｎ（α－β）＋ｔａｎ β
１－ｔａｎ（α－β）ｔａｎ β
＝
１
２
－ １
７
１＋
１
２
× １
７
＝
１
３
＞０，
又 α∈（０，π），∴ ０＜α＜
π
２
，
又∵ ｔａｎ ２α＝
２ｔａｎ α
１－ｔａｎ２α
＝
２×
１
３
１－
１
３( )
２ ＝
３
４
＞０，∴ ０＜２α＜
π
２
，
∴ ｔａｎ（２α－β）＝
ｔａｎ ２α－ｔａｎ β
１＋ｔａｎ ２αｔａｎ β
＝
３
４
＋ １
７
１－
３
４
× １
７
＝ １．
∵ ｔａｎ β＝－
１
７
＜０，∴
π
２
＜β＜π，
∴ －π＜２α－β＜０，∴ ２α－β＝－
３π
４
．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
(共46张PPT)
A组????自主命题·江苏卷题组
五年高考
1.(2019江苏,13,5分)已知?=-?,则sin?的值是 ????.
答案?????
解析 本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式等知识,考查学生的运算求
解能力,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算.
∵?=-?,
∴tan α=-?tan?=-?·?,
整理得3tan2α-5tan α-2=0,
∴tan α=-?或tan α=2.
sin?=?(sin 2α+cos 2α)
=?·?
=?·?.
当tan α=-?时,sin?=?;
当tan α=2时,sin?=?.
所以答案为?.
一题多解 ∵?=-?,
∴?=-?.
∴?=-?.
∴?=-?.
∴sin?=?.
2.(2017江苏,5,5分)若tan?=?,则tan α= ????.
答案?????
解析 本题考查两角和的正切公式.
因为tan?=?,
所以tan α=tan ?=?
=?=?.
3.(2015江苏,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=?,则tan β的值为 ????.
答案 3
解析 解法一:tan β=tan[(α+β)-α]=?=?=3.
解法二:tan(α+β)=?=?=?,解得tan β=3.
4.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tan α=?,cos(α+β)=-?.
(1)求cos 2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
解析 本题主要考查同角三角函数关系、两角差及二倍角的三角函数,考查运算求解能力.
(1)因为tan α=?,tan α=?,所以sin α=?cos α.
因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=?,
所以cos 2α=2cos2α-1=-?.
(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).
又因为cos(α+β)=-?,
所以sin(α+β)=?=?,
因此tan(α+β)=-2.
因为tan α=?,所以tan 2α=?=-?.
因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]
=?=-?.
方法提炼 应用三角公式解决问题的三个变换角度:
(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.
(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”“升幂与降
幂”等.
(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常
有“常值代换”“逆用变形用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
1.(2019课标全国Ⅲ文改编,5,5分)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为 ????.
答案 3
解析 本题考查函数零点个数的判断,以三角函数为背景同时考查三角函数式的求值与化简,
以及学生的运算求解能力和函数与方程思想的应用,考查了数学运算的核心素养.
由f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x·(1-cos x)=0得sin x=0或cos x=1,
∴x=kπ,k∈Z,又∵x∈[0,2π],∴x=0,π,2π,即零点有3个.
解题关键 遵循角度统一原则,利用二倍角的正弦公式展开计算是解决本题的关键.
2.(2019课标全国Ⅱ理改编,10,5分)已知α∈?,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α= ????.
答案?????
解析????本题考查了三角恒等变换以及同角三角函数的基本关系;考查了学生对方程的思想方
法的综合运用,以及运算求解能力;通过三角恒等变换考查了逻辑推理、数学运算的核心素养.
由二倍角公式可知4sin αcos α=2cos2α.
∵α∈?,∴cos α≠0,
∴2sin α=cos α,∴tan α=?,∴sin α=?.
技巧点拨 常见与“1”有关的三角恒等变换:①1+sin 2α=(sin α+cos α)2;②1-sin 2α=(sin α-cos
α)2;③1+cos 2α=2cos2α;④1-cos 2α=2sin2α;⑤?=?;⑥?=?.
3.(2018课标全国Ⅲ理改编,4,5分)若sin α=?,则cos 2α= ????.
答案?????
解析 由sin α=?,得cos 2α=1-2sin2α=1-2×?=1-?=?.
4.(2018课标全国Ⅱ文,15,5分)已知tan?=?,则tan α= ????.
答案?????
解析 本题主要考查两角差的正切公式.
tan?=?=?=?,
解得tan α=?.
5.(2017山东文改编,4,5分)已知cos x=?,则cos 2x= ????.
答案?????
解析 本题考查二倍角的余弦公式.
因为cos x=?,所以cos 2x=2cos2x-1=2×?-1=?.
6.(2017课标全国Ⅰ文,15,5分)已知α∈?,tan α=2,则cos?= ????.
答案?????
解析 因为α∈?,且tan α=?=2,所以sin α=2cos α,又sin2α+cos2α=1,所以sin α=?,cos α
=?,则cos?=cos αcos ?+sin αsin ?=?×?+?×?=?.
易错警示 在求三角函数值时,常用到sin2α+cos2α=1和tan α=?,同时要注意角的范围,以确
定三角函数值的正负.
7.(2016课标全国Ⅱ理改编,9,5分)若cos?=?,则sin 2α= ????.
答案 -?
解析 解法一:∵cos?=?,
∴sin 2α=cos?=cos?
=2cos2?-1=2×?-1=-?.
解法二:cos?=?(cos α+sin α)=??cos α+sin α=??1+sin 2α=?,∴sin 2α=-?.
导师点睛 求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示:
(1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差;
(2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关
系”.
8.(2016课标全国Ⅱ改编,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cos?的最大值为 ????.
答案 5
解析????f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2?+?,当sin x=1时, f(x)取得最大值5.
思路分析 利用二倍角余弦公式及诱导公式将f(x)=cos 2x+6cos?转化为关于sin x的二次
函数,通过配方法来求最值,注意不要忘记sin x∈[-1,1].
9.(2016课标全国Ⅲ改编,6,5分)若tan θ=-?,则cos 2θ= ????.
答案?????
解析 解法一:因为tan θ=-?,所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ=?=?=?.
解法二:由tan θ=-?,可得sin θ=±?,
因而cos 2θ=1-2sin2θ=?.
评析 本题考查化归与转化的能力.属中档题.
10.(2016四川理,11,5分)cos2?-sin2?= ????.
答案?????
解析 由二倍角公式易得cos2?-sin2?=cos?=?.
1.(2015四川,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是 ????.
C组 教师专用题组
答案?????
解析????sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=?sin(15°+45°)=?sin 60°=?.
2.(2015重庆改编,9,5分)若tan α=2tan?,则?= ????.
答案 3
解析?????=?=?=?=?,
∵tan α=2tan?,∴?=?=3.
3.(2014课标全国Ⅰ改编,8,5分)设α∈?,β∈?,且tan α=?,则2α-β= ????.
答案?????
解析 由tan α=?得?=?,即sin αcos β=cos α+sin βcos α,所以sin(α-β)=cos α,又cos
α=sin?,所以sin(α-β)=sin?,又因为α∈?,β∈?,所以-?<α-β因此α-β=?-α,所以2α-β=?.
4.(2013课标全国Ⅰ理,15,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ= ????.
答案 -?
解析 由辅助角公式得f(x)=??=?sin(x-φ),其中sin φ=?,cos φ=?,由x
=θ时,
f(x)取得最大值得:sin(θ-φ)=1,∴θ-φ=2kπ+?,k∈Z,即θ=φ+?+2kπ,k∈Z,∴cos θ=cos?=-sin
φ=-?.
评析 本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键.
5.(2014江苏,15,14分)已知α∈?,sin α=?.
(1)求sin?的值;
(2)求cos?的值.
解析 (1)因为α∈?,sin α=?,
所以cos α=-?=-?.
故sin?=sin?cos α+cos?sin α
=?×?+?×?=-?.
(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2×?×?=-?,
cos 2α=1-2sin2α=1-2×?=?,
所以cos?=cos?cos 2α+sin?sin 2α
=?×?+?×?=-?.
思路分析 (1)先根据α的范围及sin α的值求出cos α,然后用两角和的正弦公式求解即可.(2)出
现二倍角,联想到利用二倍角公式求解
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
1.(2019扬州中学检测,7)已知α∈?,β∈?,sin(α+β)=-?,cos β=-?,则sin α的值等于 ????
????.
答案?????
解析 由0<α∴cos(α+β)<0,sin β>0,
∴cos(α+β)=-?=-?,
sin β=?=?.
∴sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=?×?-?×?=?.
2.(2019南京六校联合体联考,9)已知tan?=-?,α∈?,则sin?的值是 ????.
答案?????
解析 ∵tan?=-?,α∈?,
∴tan α=tan?=?=?,
故sin α=?,cos α=?,
∴sin?=?sin α+?cos α=?.
评析 本题考查了两角和的正弦、正切公式,同角三角函数的基本关系式,考查了计算能力,属
于基础题.
3.(2019扬州中学检测,8)已知tan(α+β)=1,tan(α-β)=2,则?的值为 ????.
答案 1
解析 ∵tan(α+β)=1,tan(α-β)=2,
∴?=?
=?
=?=?=1.
思路分析 分析条件与结论中角之间的关系发现:2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),这样就可以
将?用条件中的角表示出来.
4.(2019海安期末,10)已知sin(2α+β)=psin β,tan(α+β)=ptan α,其中p为正的常数,且p≠1,则p的值
为 ????.
答案?????+1
解析 由sin(2α+β)=psin β得sin(α+α+β)=psin(α+β-α),
即sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=p[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α],
即(p+1)sin αcos(α+β)=(p-1)sin(α+β)cos α,
即?·tan α=tan(α+β),
所以?=p,即p2-2p-1=0,解得p=1±?.
又p为正的常数,所以p=?+1.
思路分析 三角函数的变换可以从角的关系入手找思路,第一个条件是2α与β的关系,第二个
条件是α+β与α的关系,只需把前面的角用α+β与α表示即可.于是就有了以下处理方法:由sin(2α
+β)=psin β得sin(α+α+β)=psin(α+β-α),然后左右展开,弦化切,从而得到关于p的方程,解得常数p
的值.
5.(2019江都中学、华罗庚中学等13校联考,9)已知cos?=-?,θ∈?,则sin?=
????.
答案?????
解析 ∵cos?=-?,
∴?(cos θ-sin θ)=-?,∴cos θ-sin θ=-?,
∵θ∈?,∴?<θ则1-2sin θcos θ=?,∴sin 2θ=?,
又∵?<2θ<π,∴cos 2θ=-?.
∴sin?=sin 2θcos?-cos 2θsin?
=?×?-?×?=?.
6.(2019海安中学检测,9)若cos xcos y+sin xsin y=?,sin 2x+sin 2y=?,则sin(x+y)= ????.
答案?????
解析 ∵cos xcos y+sin xsin y=?,∴cos(x-y)=?.
又sin 2x+sin 2y=?,
∴sin[(x+y)+(x-y)]+sin[(x+y)-(x-y)]
=2sin(x+y)cos(x-y)=?,
∴sin(x+y)=?.
7.(2019海安高级中学检测,9)若cos α=2cos?,则tan?= ????.
答案?????
解析 ∵cos α=2cos?,
∴cos?=2cos?,
展开得cos?cos?+sin?sin?
=2?,
所以有cos?cos?=3sin?sin?,
∴tan?=?=?=?=?·?=?.
8.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,15)已知a=(cos α,1),b=(1,sin α),α∈?,若a·b=?.
(1)求sin α的值;
(2)求cos?的值.
解析 (1)由题意知a·b=cos α+sin α=?sin?=?,所以sin?=?.?(2分)
因为α∈?,所以α+?∈?,
所以cos?=-?=-?.?(5分)
所以sin α=sin?
=?sin?-?cos?
=?×?-?×?=?.?(7分)
(2)由(1)知sin?=?,cos?=-?,
所以cos?=1-2sin2?=?,
sin?=2sin?·cos?=-?,?(10分)
所以cos?=cos?
=?cos?+?sin?
=-?.?(14分)
评分细则 第(1)问角的范围不写扣1分,结果多解扣1分;第(2)问其他方法酌情给分,整个解答
过程无公式的展示扣2分,但不重复扣分.
一、填空题(每小题5分,共35分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：25分钟 分值：50分)
1.(2019无锡期中,9)已知sin?=?,则sin?+sin?的值为 ????.
答案?????
解析????sin?=sin?=sin?=?,
sin?=sin?=cos?
=cos?=1-2sin2?=1-2×?=?,
所以sin?+sin?=?.
2.(2017苏锡常镇四市高三教学情况调研(一),12)已知sin α=3sin?,则tan?= ????
????.
答案 2?-4
解析 由sin α=3sin?,可得
sin?=3sin?,
整理可得sin?cos?=-2cos?sin ?,
所以tan?=-2tan?=-2tan?
=-2×?=2?-4.
解后反思 本题的求解关键是将sin α=3sin?变形为sin?=3sin?.
3.(2019扬州期末,12)设a,b是非零实数,且满足?=tan?,则?= ????.
答案?????
解析????tan?=tan?
=?=?,
tan?=?=?,所以?=?.
4.(2017扬州期末,10)已知θ∈?,?+?=2?,则sin?= ????.
答案?????
解析 由?+?=2?得sin θ+cos θ=2?sin θcos θ,两边平方得1+sin 2θ=2sin22θ,
解得sin 2θ=-?或sin 2θ=1,
∵θ∈?,∴2θ∈(π,2π),
∴-1≤sin 2θ<0,∴sin 2θ=-?,
∴sin θ-cos θ=?=?,sin θ+cos θ=-?,
∴cos 2θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=?,
则sin?=sin 2θ·cos?+cos 2θ·sin?
=-?×?+?×?=?.
5.(2019海安高级中学期中,14)在△ABC中,已知sin A=13sin Bsin C,cos A=13cos Bcos C,则tan A
+tan B+tan C的值为 ????.
答案 196
解析 ∵cos A,cos B,cos C均不为0,sin A=13sin Bsin C①,cos A=13cos Bcos C②,
∴tan A=tan Btan C,
∵cos A=13cos Bcos C,且cos A=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C,
∴sin Bsin C=14cos Bcos C,∴tan Btan C=14,
∵tan B+tan C=tan(B+C)(1-tan Btan C)
=-tan A(1-tan Btan C)=-tan A+tan Atan Btan C,
∴tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C=196.
名师点睛 三角形中的常见结论是tan A+tan B+tan C=tan A·tan Btan C,于是本题就把条件与
正切联系去寻找解题思路.
6.(2019南京、盐城二模,14)在△ABC中,若sin C=2cos Acos B,则cos2A+cos2B的最大值为 ????
????.
答案?????
解析????因为sin C=2cos Acos B,所以sin(A+B)=2cos Acos B,
化简,得tan A+tan B=2.
cos2A+cos2B=?+?=?+?
=?
=?
=?.
易知(tan Atan B)2-2tan Atan B+5>0,
令6-2tan Atan B=t(t>0),
cos2A+cos2B=?=?≤?(当且仅当t=4?时取等).
7.(2019泰州期末,14)在△ABC中,已知sin Asin Bsin(C-θ)=λsin2C,其中tan θ=??,若?
+?+?为定值,则实数λ= ????.
答案?????
解析 由tan θ=??,得sin θ=?,cos θ=?,
由sin Asin Bsin(C-θ)=λsin2C,得
sin Asin B?=λsin2C,
即?=??.
?+?+?=?+?+?
=?+?
=?+?
=?·??+?
=?·?-?·?·?+?,
设?+?+?=k(k为定值),
即2?sin C-?cos C+10λcos C=5kλsin C,
即?(2sin C-cos C)=10λ?恒成立,
所以k=4,10λ=?,∴λ=?.
二、解答题(共15分)
8.(2019苏北三市(徐州、连云港、淮安)期末,15)在△ABC中,sin A=?,A∈?.
(1)求sin 2A的值;
(2)若sin B=?,求cos C的值.
解析 (1)由sin A=?,A∈?,得cos A=-?=-?=-?,
所以sin 2A=2sin Acos A=-?.
(2)在△ABC中,由A∈?,得B为锐角,
又sin B=?,所以cos B=?=?,
所以cos C=-cos(A+B)=-(cos Acos B-sin Asin B)
=-?=?.
C组 2017—2019年高考模拟·应用创新题组
(2019宿迁期末,13)已知函数f(x)=3?cos x·(cos x+sin x)-?(x∈R),设点P1(x1,y1),P2(x2,y2),……,
Pn(xn,yn)都在函数y=f(x)图象上,且满足x1=?,xn+1-xn=?(n∈N*),则y1+y2+…+y2 019的值为 ????.
答案?????
解析 因为xn+1-xn=?(n∈N*),所以{xn}为等差数列,又x1=?,所以xn=?n-?.
f(x)=3?cos x·(cos x+sin x)-?
=3?(cos2x+sin xcos x)-?
=?(1+cos 2x+sin 2x)-?=3sin?,
f(xn+4)=3sin?
=3sin?=f(xn),
∴y1,y2,…,y2 019的值是以4为周期的数,
又y1=3sin?=3sin?π,
y2=3sin?=3sin?,
y3=3sin?=3sin?,
y4=3sin?=3sin?,
∴y1+y2+y3+y4=0,
∴y1+y2+…+y2 019=y2 017+y2 018+y2 019=y1+y2+y3=y2=3cos?π=3cos?=3×?=?.
第四章 三角函数
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
２０１９ 江苏，１３ ５ 分 填空题 中 三角恒等变换
①两角和的正切
②二倍角的正弦
直接法、公式法
推理分析法
数学运算
２０１９ 江苏，１５ １４ 分 解答题 易 解三角形及应用
①利用余弦定理求边
②利用正弦定理求角
公式法 数学运算
２０１８ 江苏，７ ５ 分 填空题 易 三角函数的图象和性质 根据图象的对称性求初相
直接法
数形结合
直观想象
数学运算
２０１８ 江苏，１６ １４ 分 解答题 易
①同角三角函数的
基本关系
②三角恒等变换
①利用同角三角函数的
基本关系求三角函数值
②利用三角恒等变换求值
公式法 数学运算
２０１８ 江苏，１７ １４ 分 解答题 中 三角函数应用
利用导数解决
实际优化问题
数形结合
直观想象
数学建模
２０１７ 江苏，５ ５ 分 填空题 易 三角函数的求值与化简
利用两角和的
正切公式求值
公式法 数学运算
２０１７ 江苏，１６ １４ 分 解答题 易
①三角恒等变换
②三角函数的性
质及其应用
①同角三角函数
基本关系式
②求三角函数的最值
公式法 数学运算
２０１７ 江苏，１８ １６ 分 解答题 中
①解三角形
②三角恒等变换
①三角函数的定义
②利用正弦定理求边长
③两角和的正弦公式
公式法
直接法
数学运算
直观想象
２０１６ 江苏，９ ５ 分 填空题 易 三角函数的图象和性质 求图象交点个数
数形结合
公式法
数学运算
２０１６ 江苏，１４ ５ 分 填空题 难 三角恒等变换 两角和差公式及变形 公式法 数学运算
２０１６ 江苏，１５ １４ 分 解答题 易
①三角恒等变换
②解三角形
①同角三角函数的
基本关系、诱导公式
②两角和（差）
的余弦公式
③正弦定理及其应用
公式法 数学运算
２０１５ 江苏，８ ５ 分 填空题 易 三角函数的求值与化简 两角和差的三角函数 公式法 数学运算
２０１５ 江苏，１５ １４ 分 解答题 易
①解三角形
②三角恒等变换
①同角三角函数
的基本关系
②正、余弦定理及其应用
公式法 数学运算
命题规律与趋势
０１ 考查内容
１．以三角函数为背景，考查图象的变换、性
质的应用以及三角恒等变换．
２．以解三角形为载体，考查正弦、余弦定理
以及三角形面积公式的应用．
３．以函数、不等式、向量为载体，考查与三
角函数有关的综合性问题．
０２ 命题特点
从近 ５ 年高考情况来看，本章内容为高考
必考内容，难度中等，填空题、解答题均有
可能出现，分值约为 １９ 分．
０３ 解题方法
直接法、公式法、分析法、数形结合法、整体
换元法．
０４ 核心素养
本章考查的核心素养以数学运算、逻辑推
理为主，同时兼顾考查直观想象．
０５ 备考建议
１．在复习备考中注意基础知识的积累，对
于基础概念、定义，要弄清楚．
２．切实掌握三角函数的图象、性质以及恒
等变换思想．
３．对于三角函数与解三角形的综合性问
题，灵活运用正弦定理或余弦定理，注意
方程思想与函数思想的应用．
４．关注解题的规范性．
０６ 命题趋势
１．填空题考一题，主要考查三角恒等变换，
其中以两角和差正切公式为主，考查二
倍角公式，有时与不等式联系．
２．解答题一般在第 １５ 题出现，考查正弦定
理、余弦定理或三角函数的图象、性质．
３．有时在应用题也出现三角函数问题，常
与导数相联系，构建三角函数关系，用导
数解决．
第四章 三角函数 ３５
§ ４．１ 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式
对应学生用书起始页码 Ｐ５４
考 点
三角函数的概念、同角三角函数的
关系及诱导公式 高频考点
１．三角函数的概念
（１）象限角
第一象限角的集合 α ２ｋπ＜α＜
π
２
＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ{ }
第二象限角的集合 α ２ｋπ＋
π
２
＜α＜２ｋπ＋π，ｋ∈Ｚ{ }
第三象限角的集合 α ２ｋπ＋π＜α＜２ｋπ＋
３
２
π，ｋ∈Ｚ{ }
第四象限角的集合 α ２ｋπ＋
３
２
π＜α＜２ｋπ＋２π，ｋ∈Ｚ{ }
（２）终边相同的角
所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成的角的集合
是｛β ｜ β＝ ｋ·３６０°＋α，ｋ∈Ｚ｝或｛β ｜ β＝α＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ｝ ．
（３）弧长与扇形面积公式
①弧长公式：ｌ＝ ｜α ｜·ｒ；
②扇形面积公式：Ｓ＝
１
２
ｌ·ｒ＝
１
２
｜α ｜ ｒ２ ．（其中 ｌ 为扇形弧长，
α 为圆心角，ｒ 为扇形半径）
（４）任意角的三角函数的定义
①定义：设角 α 的终边与单位圆交于点 Ｐ（ ｘ，ｙ），则 ｓｉｎ α ＝
ｙ，ｃｏｓ α＝ ｘ，ｔａｎ α＝
ｙ
ｘ
（ｘ≠０） ．
②三角函数线
三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线
段的方向表示三角函数值的正负；线段的长度是三角函数值的
绝对值．
２．同角三角函数的基本关系
（１）平方关系：ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝ １．
（２）商数关系：
ｓｉｎ α
ｃｏｓ α
＝ ｔａｎ α． α≠
π
２
＋ｋπ，ｋ∈Ｚ( )
３．诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 ２ｋπ＋α（ｋ∈Ｚ） π＋α －α π－α
π
２
－α
π
２
＋α
正弦 ｓｉｎ α －ｓｉｎ α －ｓｉｎ α ｓｉｎ α ｃｏｓ α ｃｏｓ α
余弦 ｃｏｓ α －ｃｏｓ α ｃｏｓ α －ｃｏｓ α ｓｉｎ α －ｓｉｎ α
正切 ｔａｎ α ｔａｎ α －ｔａｎ α －ｔａｎ α
口诀 函数名不变，符号看象限
函数名改变，
符号看象限
若把 α 看成锐角，则角 ２ｋπ＋α（ ｋ∈Ｚ），π－α，π＋α，－α 分别
可看成第一、二、三、四象限的角，这几组角的三角函数公式的记
忆口诀：函数名不变，符号看象限．
若把 α 看成锐角，则角
π
２
－α，
π
２
＋α，
３π
２
－α，
３π
２
＋α 分别可看
成第一、二、三、四象限的角，这几组角的三角函数公式的记忆口
诀：函数名改变，符号看象限．
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对应学生用书起始页码 Ｐ５５
同角三角函数的基本关系的应用
１．知弦求弦．利用诱导公式及平方关系 ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝ １ 求解．
２．知弦求切．常通过平方关系，将对称式 ｓｉｎ α±ｃｏｓ α，ｓｉｎ α·
ｃｏｓ α建立联系，注意 ｔａｎ α＝
ｓｉｎ α
ｃｏｓ α
的灵活应用．
３．知切求弦．先利用商数关系得出 ｓｉｎ α ＝ ｔａｎ α·ｃｏｓ α 或
ｃｏｓ α＝
ｓｉｎ α
ｔａｎ α
，然后利用平方关系求解．
已知 ３ｓｉｎ α＋４ｃｏｓ α＝ ５，则 ｔａｎ α＝ ．
解题导引
导 引 一：
把等式变形后两边平方，
得关于 ｃｏｓ α 的方程
→
解方程求得 ｃｏｓ α，
进而得 ｓｉｎ α 的值
→
由商数关
系得结论
导 引 二：
等式两边平方，逆用 ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２α＝ １，
化为 ｃｏｓ α，ｓｉｎ α 的齐次式
→
利用“弦化切”，
得关于 ｔａｎ α 的方程
→
解方程
得结论
导引三：
构造“对偶式”
４ｓｉｎ α－３ｃｏｓ α＝ ｘ
→
两式平方相
加，求得 ｘ
→ 结论
导 引 四：
引入辅助角 φ，得
到 α 与 φ 的关系
→
利用诱导公式求
出 ｓｉｎ α，ｃｏｓ α 的值
→
由商数关
系得结论
导 引 五：
利用三角函数定义转化为求
角 α 的终边所在直线的斜率
→
利用平方关系和已知条件
转化为直线与圆的关系
→
由直线与圆
相切得结论
解析 解法一：由题意知 ３ｓｉｎ α＝ ５－４ｃｏｓ α，两边平方得
９ｓｉｎ２α＝ ２５－４０ｃｏｓ α＋１６ｃｏｓ２α，
即 ２５ｃｏｓ２α－４０ｃｏｓ α＋１６＝ ０，得 ｃｏｓ α＝
４
５
，
则 ｓｉｎ α＝
３
５
，故 ｔａｎ α＝
３
４
．
解法二：等式两边平方得（３ｓｉｎ α＋４ｃｏｓ α） ２ ＝ ２５，
即 ９ｓｉｎ２α＋２４ｓｉｎ αｃｏｓ α＋１６ｃｏｓ２α＝ ２５（ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α），
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３６ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
两边同时除以 ｃｏｓ２α，
整理得 １６ｔａｎ２α－２４ｔａｎ α＋９＝ ０，
解得 ｔａｎ α＝
３
４
．
解法三：设 ４ｓｉｎ α－３ｃｏｓ α＝ ｘ，则
ｘ２＋２５＝（４ｓｉｎ α－３ｃｏｓ α） ２＋（３ｓｉｎ α＋４ｃｏｓ α） ２ ＝ ２５，
从而有 ｘ＝ ０，则 ｔａｎ α＝
３
４
．
解法四：因为 ３ｓｉｎ α＋４ｃｏｓ α＝ ５ｓｉｎ（α＋φ），
其中 ｃｏｓ φ＝
３
５
，ｓｉｎ φ＝
４
５
．
易知 ｓｉｎ（α＋φ）＝ １，则有 α＋φ＝ ２ｋπ＋
π
２
（ｋ∈Ｚ），
则 ｓｉｎ α＝ｓｉｎ ２ｋπ＋
π
２
－φ( ) ＝ｃｏｓ φ＝ ３５ ，
ｃｏｓ α＝ｃｏｓ ２ｋπ＋
π
２
－φ( ) ＝ｓｉｎ φ＝ ４５ ，
故 ｔａｎ α＝
３
４
．
解法五：设 ｘ＝ｃｏｓ α，ｙ＝ｓｉｎ α，则有 ４ｘ＋３ｙ＝ ５，且 ｘ２＋ｙ２ ＝ １，从
而角 α 终边上的点 Ｐ（ ｘ，ｙ）在单位圆上，且在直线 ｌ：４ｘ＋３ｙ ＝ ５
上．又直线 ｌ 与单位圆相切，故直线 ｌ 与角 α 的终边所在直线垂
直，所以角 α 的终边所在直线的斜率为
３
４
，故 ｔａｎ α＝
ｙ
ｘ
＝ ３
４
．
答案
３
４
１－１ 已 知
ｓｉｎ α＋３ｃｏｓ α
３ｃｏｓ α－ｓｉｎ α
＝ ５， 则 ｃｏｓ２α ＋
１
２
ｓｉｎ ２α 的 值
是 ．
１－１ 答案
３
５
解析 由
ｓｉｎ α＋３ｃｏｓ α
３ｃｏｓ α－ｓｉｎ α
＝ ５ 得
ｔａｎ α＋３
３－ｔａｎ α
＝ ５，可得 ｔａｎ α＝ ２，则
ｃｏｓ２α＋
１
２
ｓｉｎ ２α ＝ ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝
ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ αｃｏｓ α
ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２α
＝ １
＋ｔａｎ α
１＋ｔａｎ２α
＝ ３
５
．
１－２ （１）已知
３ｓｉｎ α－ｃｏｓ α
２ｓｉｎ α＋３ｃｏｓ α
＝ ８
９
，求 ｔａｎ α 的值；
（２）已知 ０＜α＜
π
２
，ｓｉｎ α＝
４
５
，求
ｓｉｎ２α＋２ｓｉｎ αｃｏｓ α
ｃｏｓ２α＋１－２ｓｉｎ２α
的值．
１－２ 解析 （１）∵
３ｓｉｎ α－ｃｏｓ α
２ｓｉｎ α＋３ｃｏｓ α
＝ ３ｔａｎ α
－１
２ｔａｎ α＋３
＝ ８
９
，∴ ｔａｎ α＝ ３．
（２）∵ ０＜α＜
π
２
，ｓｉｎ α＝
４
５
，∴ ｃｏｓ α＝
３
５
，ｔａｎ α＝
４
３
，
∴
ｓｉｎ２α＋２ｓｉｎ αｃｏｓ α
ｃｏｓ２α＋１－２ｓｉｎ２α
＝ ｓｉｎ
２α＋２ｓｉｎ αｃｏｓ α
２ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α
＝ ｔａｎ
２α＋２ｔａｎ α
２－ｔａｎ２α
＝ ２０．
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(共25张PPT)
1.(2019课标全国Ⅰ文改编,7,5分)tan 255°= ????.
统一命题、省(区、市)卷题组
五年高考
答案 2+?
解析 本题考查三角函数的求值与化简;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.
tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(30°+45°)=?=?=2+?.
技巧点拨 利用诱导公式将大角化小角,再进一步转化为特殊角的和.
2.(2018课标全国Ⅰ文改编,11,5分)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终
边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=?,则|a-b|= ????.
答案?????
解析 本题主要考查三角函数的定义及三角恒等变换.
由题可知tan α=?=b-a,又cos 2α=cos2α-sin2α=?=?=?=?,
∴5(b-a)2=1,得(b-a)2=?,即|b-a|=?.
方法归纳 三角函数求值与化简的常用方法:
(1)弦切互化法:主要利用tan α=?化成正弦、余弦;
(2)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ进行变形、转化;
(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan ?.
3.(2018课标全国Ⅱ理,15,5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= ????.
答案 -?
解析 由sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,
两式平方相加,得2+2sin αcos β+2cos αsin β=1,
整理得sin(α+β)=-?.
解题技巧 利用平方关系:sin2α+cos2α=1进行整体运算是求解三角函数问题时常用的技巧,应
熟练掌握.
4.(2017北京理改编,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于
y轴对称.若sin α=?,则cos(α-β)= ????.
答案 -?
解析 本题考查同角三角函数的基本关系式,诱导公式,两角差的余弦公式.
解法一:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z).
∵sin α=?,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α=?(k∈Z).
当cos α=?=?时,cos β=-?,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=?×?+?×?=-?.
当cos α=-?=-?时,cos β=?,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=?×?+?×?=-?.
综上,cos(α-β)=-?.
解法二:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z).
∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α,cos β=cos[(2k+1)π-α]=-cos α,k∈Z.
当sin α=?时,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-cos2α+sin2α=-(1-sin2α)+sin2α=2sin2α-1=2×?-1=-?.
5.(2016课标全国Ⅲ理改编,5,5分)若tan α=?,则cos2α+2sin 2α= ????.
答案?????
解析 当tan α=?时,原式=cos2α+4sin αcos α=?=?=?=?.
6.(2015福建改编,6,5分)若sin α=-?,且α为第四象限角,则tan α的值等于 ????.
答案 -?
解析 ∵sin α=-?,α为第四象限角,
∴cos α=?=?,∴tan α=?=-?.
1.(2014大纲全国改编,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则a,b,c的大小关系为 ????.
教师专用题组
答案????c>b>a
解析 ∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a.
又∵c=tan 35°=?>sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.
2.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P
?.
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=?,求cos β的值.
解析 (1)由角α的终边过点P?得sin α=-?,
所以sin(α+π)=-sin α=?.
(2)由角α的终边过点P?得cos α=-?,
由sin(α+β)=?得cos(α+β)=±?.
由β=(α+β)-α得
cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,
所以cos β=-?或cos β=?.
思路分析 (1)由三角函数的定义得sin α的值,由诱导公式得sin(α+π)的值.
(2)由三角函数的定义得cos α的值,由同角三角函数的基本关系式得cos(α+β)的值,由两角差的
余弦公式得cos β的值.
3.(2014广东,16,12分)已知函数f(x)=Asin?,x∈R,且f?=?.
(1)求A的值;
(2)若f(θ)+f(-θ)=?,θ∈?,求f?.
解析 (1)f?=Asin?=?,
∴A·?=?,A=?.
(2)f(θ)+f(-θ)=?sin?+?sin?=?,
∴??=?,
∴?cos θ=?,cos θ=?,
又 θ∈?,∴sin θ=?=?,
∴f?=?sin(π-θ)=?sin θ=?.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
1.(2019盐城期中,3)若钝角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P?,则tan
α= ????.
答案 -?
解析 因为点P在单位圆上,所以m2+?=1,因为α是钝角,所以m=-?,则tan α=?=-?.
2.(2019苏州期中,5)已知扇形的半径为6,圆心角为?,则扇形的面积为 ????.
答案 6π
解析 扇形的面积为?×62×?=6π.
评析 本题考查扇形的面积公式,属于应知应会的内容,是容易题.
3.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,6)已知角α的终边经过点(-2,1),则tan(π-α)的值为 ????.
答案?????
解析 因为角α的终边经过点(-2,1),所以tan(π-α)=-tan α=-?=?.
评析 本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式,属于基础题.
4.(2019苏州期末,5)已知3sin(α-π)=cos α,则tan(π-α)的值是 ????.
答案?????
解析 3sin(α-π)=cos α化为-3sin α=cos α,得tan α=-?,故tan(π-α)=-tan α=?.
5.(2019如皋检测,5)已知角θ的终边经过点P(-x,-6),且cos θ=-?,则tan?= ????.
答案 -?
解析????cos θ=?=-?,解得x=?,
所以P?,则tan θ=?,
故tan?=?=-?.
6.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,9)在平面直角坐标系xOy中,已知角α的终
边经过点A(1,2),将角α的终边绕原点按逆时针方向旋转?与角β的终边重合,则sin(α+β)的值为
????.
答案 -?
解析 根据题意得cos α=?,β=α+?,
所以sin(α+β)=sin?=cos 2α=2cos2α-1=-?.
7.(2018泰州中学月考,7)已知sin?=?,则sin?+cos?= ????.
答案?????
解析????sin?=cos?=cos?=?,sin?=sin?=?,∴sin?+cos
?=?+?=?.
方法总结 求解本题的关键是寻找角的关系:?+?=π和?-?=?.解三角
函数题时,角的关系是利用公式的前提,所以一般都从角的关系入手寻找解题方法.
8.(2018淮安、宿迁期中,7)已知sin α=cos?,0<α<π,则α的取值集合为 ????.
答案?????
解析 ∵sin α=cos?=sin?=sin?=sin?=sin?,又0<α<π,∴α=?或?,∴α的取
值集合为?.
方法点拨 本题考查诱导公式,把左右两边变成同角的三角函数之后,利用正弦值相等,容易得
到角的终边有两种关系:互补或相等,从而得解.
9.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,15)已知向量a=(2cos θ,1),b=(1,2sin θ)且θ
∈(0,π).
(1)若a∥b,求θ的值;
(2)若a·b=?,求|a+b|.
解析 (1)因为a∥b,所以4sin θcos θ=1,所以sin 2θ=?.?(3分)
又因为θ∈(0,π),所以2θ∈(0,2π),
所以2θ=?或?,所以θ=?或?.?(7分)
(漏1解扣2分)
(2)因为a·b=?,所以2cos θ+2sin θ=?,
所以cos θ+sin θ=?,?(10分)
所以|a+b|=?=?.?(14分)
(忘记开根号扣2分)
一、填空题(每小题5分,共25分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：30分钟 分值：55分)
1.(2018常州武进期中,8)已知锐角α的终边上一点P(1+cos 80°,sin 80°),则锐角α= ????.
答案 40°
解析 已知锐角α的终边上一点P(1+cos 80°,sin 80°),
∴tan α=?=?=tan 40°,
∴α=40°.
评析 本题考查三角函数定义及二倍角公式,不要被已知角迷惑.题目本质是已知角α的终边
上一点的坐标求角α.
2.(2019徐州检测,10)已知cos4α-sin4α=?,α∈?,则cos?= ????.
答案 -?
解析????cos4α-sin4α=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)=cos2α-sin2α=cos 2α=?,
因为α∈?,所以2α∈(0,π),
所以sin 2α=?=?,
所以cos?=cos 2αcos ?-sin 2αsin ?=?×?-?×?=-?.
思路点拨 本题考查二倍角公式、两角和的余弦公式以及同角三角函数的基本关系.首先由
条件得到cos 2α的值,解出sin 2α的值,再利用两角和的余弦公式得到结果.
3.(2019连云港期中,10)若函数f(x)=3sin?与g(x)=8tan x的图象在区间?上交点的横坐
标为x0,则cos 2x0的值为 ????.
答案?????
解析????f(x)=3sin?=3cos x,联立得?
即3sin2x+8sin x-3=0,解得sin x=?(sin x=-3舍去),
即sin x0=?,所以cos 2x0=1-2sin2x0=?.
4.(2019无锡期末,11)已知θ是第四象限角,且cos θ=?,那么?的值为 ????.
答案?????
解析 依题意,有sin θ=-?,
则原式=?=?=?.
5.(2018镇江期末,8)已知锐角θ满足tan θ=?cos θ,则?= ????.
答案 3+2?
解析 因为锐角θ满足tan θ=?cos θ,
所以tan2θ=6cos2θ=?=?,
即tan4θ+tan2θ-6=0,解得tan2θ=2或tan2θ=-3,
由于θ为锐角,所以tan θ=?,
故?=?=?=3+2?.
二、解答题(共30分)
6.(2019江都中学、华罗庚中学等13校联考,15)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)
和点B(-1,0),|?|=1,且∠AOC=x,其中O为坐标原点.
?
(1)若x=?π,设点D为线段OA上的动点,求|?+?|的最小值;
(2)若x∈?,向量m=?,n=(1-cos x,sin x-2cos x),求m·n的最小值及相应的x值.
解析 (1)设D(t,0)(0≤t≤1),易知C?,
所以?+?=?,
所以|?+?|2=?+?(0≤t≤1),?(3分)
所以当t=?时,|?+?|有最小值,为?.?(6分)
(2)由题意得C(cos x,sin x),m=?=(cos x+1,sin x),
则m·n=1-cos2x+sin2x-2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x
=1-?sin?.?(9分)
因为x∈?,所以?≤2x+?≤?.?(10分)
所以当2x+?=?,即x=?时,sin?取得最大值1,
所以x=?时,m·n=1-?sin?取得最小值1-?,
所以m·n的最小值为1-?,此时x=?.?(14分)
7.(2019南通、如皋二模,16)如图,在平面直角坐标系xOy中,点P,Q是以AB为直径的上半圆弧上
两点(点P在Q右侧),点O为半圆的圆心,已知AB=2,∠BOP=θ,∠POQ=α.
(1)若点P的横坐标为?,点Q的纵坐标为?,求cos α的值;
(2)若PQ=1,求?·?的取值范围.
?
解析 (1)依题意,得半圆O的半径为1,因为点P的横坐标为?,点Q的纵坐标为?,点P,Q在x轴上
方,所以cos θ=?,sin(θ+α)=?,
所以sin θ=?=?=?,
cos(θ+α)=±?=±?=±?.
因为点Q在点P的左侧,所以cos(θ+α)故cos(θ+α)=-?,
故cos α=cos [(θ+α)-θ]=cos(θ+α)cos θ+sin(θ+α)sin θ=-?×?+?×?=?.
(2)因为PQ=OP=OQ=1,所以△POQ是正三角形,故α=?.
点P的坐标为(cos θ,sin θ),点Q的坐标为?,
又点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0),
故?=?,?=(cos θ-1,sin θ).
所以?·?=?(cos θ-1)+sin?sin θ
=cos?cos θ+sin?sin θ+cos θ-cos?-1
=cos?+cos θ-?cos θ+?sin θ-1
=?cos θ+?sin θ-?=sin?-?,其中θ∈?.
因为0≤θ≤?π,所以?≤θ+?≤?π,
所以sin?∈?,
所以?·?=sin?-?∈?.
