第五章 平面向量 ４９
§ ５．２ 平面向量的数量积及其应用
对应学生用书起始页码 Ｐ７９
考 点 平面向量的数量积 高频考点
１．两个向量的夹角
（１）定义和范围
（２）两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件
２．平面向量的数量积
３．向量数量积的性质
设 ａ、ｂ 都是非零向量，ｅ 是与 ｂ 方向相同的单位向量，θ 是 ａ
与 ｅ 的夹角，则
（１）ｅ·ａ＝ａ·ｅ＝ ｜ ａ ｜ ｃｏｓ θ．
（２）ａ⊥ｂ?ａ·ｂ＝ ０．
（３）当 ａ 与 ｂ 同向时，ａ·ｂ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ；
当 ａ 与 ｂ 反向时，ａ·ｂ＝－ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ．
特别地，ａ·ａ＝ ｜ ａ ｜ ２ ．
（４）ｃｏｓ θ＝
ａ·ｂ
｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜
．
（５） ｜ ａ·ｂ ｜≤ ｜ ａ ｜· ｜ ｂ ｜ ．
４．向量数量积的应用
已知 ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），则
（１）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，ａ⊥ｂ?ａ·ｂ
＝ ０?ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２ ＝ ０．
（２） 求解夹角问题，常利用夹角公式： ｃｏｓ θ ＝
ａ·ｂ
｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜
＝
ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２
ｘ２１＋ｙ２１ · ｘ２２＋ｙ２２
（其中 θ 为 ａ 与 ｂ 的夹角） ．
（３）求线段长度问题，常利用向量的长度公式： ｜ ａ ｜ ＝ ａ２ ＝
ｘ２１＋ｙ２１ 或 ｜ ＡＢ
→ ｜ ＝ （ｘＢ－ｘＡ） ２＋（ｙＢ－ｙＡ） ２ ．
５．向量中常用的结论
在△ＡＢＣ 中，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ 所对的边分别为 ａ，ｂ，ｃ．
（１）在ＡＩ→＝λ
ＡＢ→
｜ ＡＢ→ ｜
＋ ＡＣ
→
｜ ＡＣ→ ｜
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è
?
?
?
÷ 的条件下，存在 λ 使得 Ｉ 为△ＡＢＣ
的内心；
ａ ＰＡ→＋ｂ ＰＢ→＋ｃ ＰＣ→＝ ０?Ｐ 为△ＡＢＣ 的内心．
（２） ｜ＰＡ→ ｜ ＝ ｜ＰＢ→ ｜ ＝ ｜ＰＣ→ ｜?Ｐ 为△ＡＢＣ 的外心．
（３）ＧＡ→＋ＧＢ→＋ＧＣ→＝ ０?Ｇ 为△ＡＢＣ 的重心．
（４）ＰＡ→·ＰＢ→＝ＰＢ→·ＰＣ→＝ＰＣ→·ＰＡ→?Ｐ 为△ＡＢＣ 的垂心．
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对应学生用书起始页码 Ｐ８０
一、求解平面向量模的方法
利用向量数量积求解长度问题是向量数量积的重要应用，
求解平面向量模的常用方法：
（１） ｜ ａ ｜ ＝ ａ·ａ ．
（２） ｜ ａ±ｂ ｜ ＝ （ａ±ｂ） ２ ＝ ａ２±２ａ·ｂ＋ｂ２ ．
（３）若 ａ＝（ｘ，ｙ），则 ｜ ａ ｜ ＝ ｘ２＋ｙ２ 或 ｜ ａ ｜ ２ ＝ ｘ２＋ｙ２ ．
已知 Ａ，Ｂ 是半径为 ２的☉Ｏ 上的两个点，ＯＡ→·ＯＢ→＝ １，
☉Ｏ 所在平面上有一点 Ｃ 满足 ｜ＯＡ→＋ＯＢ→－ＯＣ→ ｜ ＝ １，则向量ＯＣ→的模
的取值范围是 ．
解题导引
建系设点，由题意
得∠ＡＯＢ＝
π
３
→
得点 Ｃ 的
轨迹方程
→
利用点与圆的位
置关系得结论
解析 以 Ｏ 为原点，ＯＡ 为 ｘ 轴建立平面直角坐标系，
如图．
由ＯＡ→·ＯＢ→＝ １，得∠ＡＯＢ＝ π
３
，于是 Ａ（ ２ ，０），Ｂ ２
２
，
６
２
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è
?
?
?
÷ ，
设 Ｃ（ｘ，ｙ），则 ｘ－
３ ２
２
?
è
?
?
?
÷
２
＋ ｙ－
６
２
?
è
?
?
?
÷
２
＝ １．
问题转化为求圆 ｘ－
３ ２
２
?
è
?
?
?
÷
２
＋ ｙ－
６
２
?
è
?
?
?
÷
２
＝ １ 上一点到原点距
离的取值范围．原点到圆心 ３ ２
２
，
６
２
?
è
?
?
?
÷ 的距离为 ６ ，又圆的半径
为 １，所以 ｜ＯＣ→ ｜的取值范围为［ ６ －１， ６ ＋１］ ．
答案 ［ ６ －１， ６ ＋１］
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５０ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
１－１ （２０１７ 江苏如皋中学学情检测）设向量 ａ ＝ （ｃｏｓ ２５°，
ｓｉｎ ２５°），ｂ＝（ｓｉｎ ２０°，ｃｏｓ ２０°），若 ｔ 是实数，且 ｕ＝ａ＋ｔｂ，则 ｜ ｕ ｜的
最小值为 ．
１－１ 答案
２
２
解析 ｕ２ ＝（ａ＋ｔｂ） ２ ＝ａ２＋ｔ２ｂ２＋２ｔａ·ｂ ＝ １＋ｔ２ ＋２ｔｓｉｎ ４５° ＝ ｔ２
＋ ２ ｔ＋１＝ ｔ＋
２
２
?
è
?
?
?
÷
２
＋ １
２
≥
１
２
，所以 ｜ ｕ ｜的最小值为
２
２
．
１－２ 已知直角梯形 ＡＢＣＤ 中，ＡＤ∥ＢＣ，∠ＡＤＣ ＝ ９０°，ＡＤ ＝
２，ＢＣ ＝ １， Ｐ 是 腰 ＤＣ 上 的 动 点， 则 ｜ ＰＡ→ ＋ ３ ＰＢ→ ｜ 的 最 小 值
为 ．
１－２ 答案 ５
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则 Ａ（２，０），设
Ｐ（０，ｙ），Ｃ（０，ｂ）（０≤ｙ≤ｂ），则 Ｂ（１，ｂ），则ＰＡ→＋３ ＰＢ→ ＝ （２，－ｙ） ＋
３（１，ｂ－ｙ）＝ （５，３ｂ－４ｙ），所以 ｜ ＰＡ→＋３ ＰＢ→ ｜ ＝ ２５＋（３ｂ－４ｙ） ２ （０≤
ｙ≤ｂ） ．当 ｙ＝
３
４
ｂ 时， ｜ＰＡ→＋３ ＰＢ→ ｜ ｍｉｎ ＝ ５．
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二、求解平面向量夹角的方法
１．定义法，即利用向量数量积的定义 ｃｏｓ θ ＝
ａ·ｂ
｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜
（ θ 为 ａ
与 ｂ 的夹角）进行求解，在求解时，要注意 θ 的取值范围是［０，
π］ ．
２．坐标法，即利用 ｃｏｓ θ＝
ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２
ｘ２１＋ｙ２１ · ｘ２２＋ｙ２２
进行求解，其中 ａ
＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２）（θ 为 ａ 与 ｂ 的夹角） ．
３．解三角形法，即将两个向量的夹角转化为一个三角形的
内角，利用正弦定理、余弦定理或三角形的面积公式等进行求解．
（１）（２０１６ 课标全国Ⅲ改编，３，５ 分） 已知向量ＢＡ→ ＝
１
２
，
３
２
?
è
?
?
?
÷ ，ＢＣ→＝ ３
２
，
１
２
?
è
?
?
?
÷ ，则∠ＡＢＣ＝ ．
（２）（２０１５ 重庆改编，６，５ 分）若非零向量 ａ，ｂ 满足 ｜ ａ ｜ ＝
２ ２
３
｜ ｂ ｜ ，且（ａ－ｂ）⊥（３ａ＋２ｂ），则 ａ 与 ｂ 的夹角为 ．
解析 （ １） ｃｏｓ∠ＡＢＣ ＝
ＢＡ→·ＢＣ→
｜ＢＡ→ ｜· ｜ＢＣ→ ｜
＝
３
２
１×１
＝ ３
２
，所以
∠ＡＢＣ＝ ３０°．
（２）∵ （ａ－ｂ）⊥（３ａ＋２ｂ），∴ （ａ－ｂ）·（３ａ＋２ｂ）＝ ０?３｜ａ ｜ ２－ａ
·ｂ－２ ｜ｂ ｜ ２ ＝０?３｜ａ ｜ ２－ ｜ａ ｜·｜ｂ ｜·ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉－２ ｜ｂ ｜ ２ ＝０．
又∵ ｜ ａ ｜ ＝
２ ２
３
｜ ｂ ｜ ，∴
８
３
｜ ｂ ｜ ２－
２ ２
３
｜ ｂ ｜ ２·ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉－２ ｜ ｂ ｜ ２ ＝
０．∴ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉 ＝
２
２
．∵ 〈ａ，ｂ〉∈［０，π］，∴ 〈ａ，ｂ〉 ＝
π
４
．
答案 （１）３０° （２）
π
４
２－１ 平面向量 ａ＝（１，２），ｂ＝（４，２），ｃ＝ｍａ＋ｂ（ｍ∈Ｒ），且 ｃ
与 ａ 的夹角等于 ｃ 与 ｂ 的夹角，则 ｍ＝ ．
２－１ 答案 ２
解析 解法一：由 ｃ 与 ａ 的夹角等于 ｃ 与 ｂ 的夹角，可设 ｃ
＝λ
ａ
｜ ａ ｜
＋ ｂ
｜ ｂ ｜( ) ＝ λ５ ａ＋
λ
２ ５
ｂ（λ∈Ｒ），
∵ ｃ＝ｍａ＋ｂ，∴
ｍ＝
λ
５
，
１＝
λ
２ ５
ì
?
í
?
?
?
?
?ｍ＝ ２．
解法二：ｃ＝ｍａ＋ｂ＝（ｍ＋４，２ｍ＋２），∵ ｃ 与 ａ 的夹角等于 ｃ 与
ｂ 的夹角，且向量夹角的取值范围是［０，π］，
∴
ａ·ｃ
｜ ａ ｜· ｜ ｃ ｜
＝ ｂ·ｃ
｜ ｂ ｜· ｜ ｃ ｜
，∴ ２（ａ·ｃ）＝ ｂ·ｃ?２（ｍ＋４＋４ｍ＋４）
＝ ４ｍ＋１６＋４ｍ＋４?ｍ＝ ２．
２－２ 已知 ａ，ｂ 是非零向量，若 ａ＋３ｂ 与 ７ａ－５ｂ 垂直，ａ－４ｂ
与 ７ａ－２ｂ 垂直．试求 ａ 与 ｂ 的夹角．
２－２ 解析 设 ａ 与 ｂ 的夹角为 θ．
由题意知
（ａ＋３ｂ）·（７ａ－５ｂ）＝ ０，
（ａ－４ｂ）·（７ａ－２ｂ）＝ ０，{
∴
７ａ２＋１６ａ·ｂ－１５ｂ２ ＝ ０， ①
７ａ２－３０ａ·ｂ＋８ｂ２ ＝ ０， ②{
由①－②得 ４６ａ·ｂ－２３ｂ２ ＝ ０，所以 ｂ２ ＝ ２ａ·ｂ． ③
将③代入②得 ａ２ ＝ ２ａ·ｂ，∴ ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ，
由 ｂ２ ＝ ２ａ·ｂ 可知 ｜ ｂ ｜ ２ ＝ ２ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ θ，
∴ ｃｏｓ θ＝
１
２
，∵ ０°≤θ≤１８０°，∴ θ＝ ６０°，
即向量 ａ 与 ｂ 的夹角为 ６０°．
２－３ （２０１９ 连云港期中，６）已知向量 ａ＝（１，２），ｂ ＝ （ｍ－１，
ｍ），若 ａ·ｂ＝ ２，则向量 ａ 与 ｂ 夹角的余弦值为 ．
２－３ 答案
２ ５
５
解析 因为 ａ·ｂ＝ ２，
所以（１，２）·（ｍ－１，ｍ）＝ ２，即（ｍ－１）＋２ｍ＝ ２，解得 ｍ＝ １，
所以 ｂ＝（ｍ－１，ｍ）＝ （０，１） ．
设 ａ 与 ｂ 的夹角为 θ，因为 ａ·ｂ＝ ｜ ａ ｜· ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ θ＝ ５ ×１×ｃｏｓ
θ＝ ２，所以 ｃｏｓ θ＝
２ ５
５
．
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三、平面向量的数量积及其应用
平面向量的数量积通常可以从两个角度来求解：
１．基底法求解，即选择两个不共线的向量作为基底，将所要
研究的向量用基底的形式表示出来加以研究，一般地，基底要选
择长度或角度已知的向量．
２．坐标法求解，即通过建立直角坐标系，将所要研究的向量
转化为坐标来加以研究．一般地，若所要研究的问题是一些特殊
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????
第五章 平面向量 ５１
的几何图形，如矩形、正方形、直角三角形、等腰三角形、正三角
形等，往往这些图形能很方便地建立直角坐标系．
如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ 中，已知 ＡＢ＝ ８，ＡＤ＝ ５，ＣＰ→＝
３ ＰＤ→，ＡＰ→·ＢＰ→＝ ２，则ＡＢ→·ＡＤ→的值是 ．
解析 解法一：ＡＰ→·ＢＰ→＝（ＡＤ→＋ＤＰ→）·（ＢＣ→＋ＣＰ→）
＝ ＡＤ→＋ １
４
ＡＢ→( ) · ＡＤ→－ ３４ ＡＢ→( )
＝ＡＤ→２－ ３
１６
ＡＢ→２＋ １
４
－ ３
４( ) ＡＢ→·ＡＤ→
＝ ２５－
３
１６
×６４－
１
２
ＡＢ→·ＡＤ→＝ １３－ １
２
ＡＢ→·ＡＤ→＝ ２，
故ＡＢ→·ＡＤ→＝ ２２．
解法二：以 Ａ 为坐标原点，ＡＢ 边所在直线为 ｘ 轴，建立直角
坐标系，则 Ｂ（８，０），设∠ＤＡＢ＝ θ，则 Ｄ（５ｃｏｓ θ，５ｓｉｎ θ），
因为ＣＰ→＝ ３ ＰＤ→，所以 Ｐ（５ｃｏｓ θ＋２，５ｓｉｎ θ），
从而ＡＰ→＝（５ｃｏｓ θ＋２，５ｓｉｎ θ），ＢＰ→＝（５ｃｏｓ θ－６，５ｓｉｎ θ），
因为ＡＰ→·ＢＰ→＝ ２，
所以（５ｃｏｓ θ＋２，５ｓｉｎ θ）·（５ｃｏｓ θ－６，５ｓｉｎ θ）＝ ２，
解得 ｃｏｓ θ＝
１１
２０
，因此ＡＢ→·ＡＤ→＝ ８×５×１１
２０
＝ ２２．
答案 ２２
３－１ （２０１８ 徐州期中，１０）如图，在半径为 ２ 的扇形 ＯＡＢ
中，∠ＡＯＢ＝ ９０°，点 Ｐ 是ＡＢ
(
上一点，若ＯＰ→·ＯＡ→ ＝ ２，则ＯＰ→·ＡＢ→的
值为 ．
３－１ 答案 －２＋２ ３
解析 以 ＯＡ，ＯＢ 所在直线为 ｘ 轴，ｙ 轴建立直角坐标系，
则 Ａ（２，０），Ｂ（０，２），则ＡＢ→＝（－２，２），
设∠ＡＯＰ＝ θ θ∈ ０，
π
２( )( ) ，则 Ｐ（２ｃｏｓ θ，２ｓｉｎ θ），
因为ＯＰ→·ＯＡ→＝ ２，所以 ４ｃｏｓ θ＝ ２，即 ｃｏｓ θ＝ １
２
，
因为 θ∈ ０，
π
２( ) ，所以 ｓｉｎ θ＝ ３２ ，
所以ＯＰ→·ＡＢ→＝－４ｃｏｓ θ＋４ｓｉｎ θ＝－２＋２ ３ ．
３－２ 如图，Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠Ｃ ＝ ９０°，其内切圆切 ＡＣ 边于 Ｄ
点，Ｏ 为圆心．若 ｜ ＡＤ→ ｜ ＝ ２ ｜ＣＤ→ ｜ ＝ ２，则 ＢＯ→·ＡＣ→＝ ．
３－２ 答案 －３
解析 以 ＣＡ 所在的直线为 ｘ 轴，ＣＢ 所在的直线为 ｙ 轴，
建立平面直角坐标系（分别以射线 ＣＡ、ＣＢ 的方向为 ｘ 轴、ｙ 轴的
正方向），则 Ｃ（０，０），Ｏ（１，１），Ａ（３，０） ．
设直角三角形的内切圆与 ＡＢ 边切于点 Ｅ，与 ＣＢ 边切于点
Ｆ，则由圆的切线长定理可得 ＢＥ＝ＢＦ，ＡＤ＝ＡＥ＝ ２，ＣＤ ＝ＣＦ ＝ １，设
ＢＥ＝ＢＦ＝ ｘ（ｘ＞０），在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，有 ＣＢ２＋ＣＡ２ ＝ＡＢ２，即（ ｘ＋１） ２＋
９＝（ｘ＋２） ２，解得 ｘ＝ ３，故Ｂ（０，４） ．
∴ ＢＯ→·ＡＣ→＝（１，－３）·（－３，０）＝ －３．
３－３ （２０１７ 南京、盐城二模，１３）已知平面向量 ＡＣ→ ＝（１，２），
ＢＤ→＝（－２，２），则 ＡＢ→·ＣＤ→ 的最小值为 ．
３－３ 答案 －
９
４
解析 设ＣＢ→＝（ｘ，ｙ），从而ＡＢ→＝ＡＣ→＋ＣＢ→＝ （１＋ｘ，２＋ｙ），ＣＤ→＝
ＣＢ→＋ＢＤ→＝（ｘ－２，ｙ＋２），
则ＡＢ→·ＣＤ→＝（ｘ＋１，ｙ＋２）·（ ｘ－２，ｙ＋２）＝ ｘ２ －ｘ－２＋（ｙ＋２） ２ ＝
ｘ－
１
２( )
２
＋（ｙ＋２） ２－
９
４
，
所以ＡＢ→·ＣＤ→的最小值为－ ９
４
．
????
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????
(共83张PPT)
五年高考
A组????自主命题·江苏卷题组
1.(2019江苏,12,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若
?·?=6?·?,则?的值是 ????.
?
答案?????
解析 本题考查平面向量基本定理、向量的线性运算、平面向量的数量积等有关知识,考查
学生的抽象概括能力和运算求解能力,考查的核心素养为数学运算.
过D作DF∥EC,交AB于F.
∵D为BC的中点,∴F为BE的中点,
?
又BE=2EA,
∴EF=EA,
又DF∥EO,
∴AO=?AD,
∴?=??=?×?(?+?).
∴?·?=?(?+?)·?
=??.
∵?·?=6?·?,
∴?·?=??-??+?·?,
∴?=3?,
∴|?|=?|?|,
∴?=?.
一题多解 由于题目中对∠BAC没有限制,所以不妨设∠BAC=90°,AB=c,AC=b,建立如图所示
的平面直角坐标系.
?
则E?,D?,易得lAD:y=?x,lEC:?+?=1,
联立得?解得?则O?.
由?·?=6?·?得6?·?=0,
∴c2=3b2,∴c=?b,∴?=?.
2.(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,?·?=4,?
·?=-1,则?·?的值是 ????.
?
答案?????
解析 解法一:?·?=?·?
=(?+?)·(?-?)
=?-?,①
同理,?·?=?-?,②
?·?=?-?,③
因为E,F是AD上的两个三等分点,
所以?=9?,?=4?,
由①-③可得8?=5,即?=?.
由②③可得?·?=?·?+3?=-1+?=?.
解法二:由已知可得?=?+?=??+??=??-??=?(?-?)-?(?+?)=??-?
?,
?=?+?=??+??
=??-??=?(?-?)-?(?+?)
=??-??,
?=?+?=??+??
=?(?-?)-?(?+?)
=??-??,
?=?+?=??+??
=?(?-?)-?(?+?)
=??-??,
因为?·?=4,所以?·?=4,
则?·?=???-???·?
=??·?-??-??+??·?
=??·?-?(?+?)
=?×4-?(?+?)=-1,
所以?+?=?,
从而?·?=???-???·?
=-??-??+??·?
=-?(?+?)+??·?
=-?×?+?×4=?=?.
解后反思 求解平面向量的有关问题,通常有两种处理方法:一是通过建立直角坐标系,转化为
向量的坐标运算来加以解决,二是选择两个不共线的向量作为基底,通过将所求的向量转化为
用基底表示的形式来加以解决.一般情况下,运用向量的坐标运算时可操作性强,而运用向量的
基底时对思维的要求较高.
方法总结 应用基底来处理相关的向量问题时,要注意合理选择向量的基底.一般地,我们在选
择基底时,要注意充分利用图形的“对称性”进行选择.
3.(2015江苏,14,5分)设向量ak=?(k=0,1,2,…,12),则?(ak·ak+1)的值为 ????
????.
答案 9?
解析????ak·ak+1=?·?cos?,sin?+cos??
=cos?cos?+?·?
=cos?cos?+sin?sin?+sin?cos?+cos?sin?+cos?cos?
=cos?+sin?+cos?cos?
=?+sin?+?cos2?-?cos?sin?
=?+sin?+??-?sin?
=?+sin?+?cos?.
因为y=sin?,y=?cos?的周期皆为6,一个周期内的函数值和皆为零,
因此?(ak·ak+1)=?×12=9?.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 平面向量的数量积
1.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m= ????.
答案 8
解析 本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法.
∵a⊥b,∴a·b=(-4,3)·(6,m)=-24+3m=0,∴m=8.
易错警示 容易把两向量平行与垂直的条件混淆.
2.(2019课标全国Ⅱ理改编,3,5分)已知?=(2,3),?=(3,t),|?|=1,则?·?= ????.
答案 2
解析 本题考查了平面向量的坐标表示以及数量积和模的求解;通过模的运算,考查了方程的
思想方法.考查的核心素养为数学运算.
∵?=?-?=(1,t-3),
∴|?|=?=1,∴t=3,
∴?·?=(2,3)·(1,0)=2.
思路分析 先利用|?|=1求出t的值,再利用数量积的坐标运算求出数量积.
3.(2019课标全国Ⅰ理改编,7,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为????
????.
答案?????
解析????本题考查向量的运算及向量的夹角;考查学生的运算求解能力;考查了数形结合思想;
考查的核心素养是数学建模和数学运算.
解法一:因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos
-|b|2=0,即cos
=?,又知∈[0,π],所以=?.
解法二:如图,令?=a,?=b,则?=?-?=a-b,因为(a-b)⊥b,所以∠OBA=90°,又|a|=2|b|,所以
∠AOB=?,即=?.
?
思路分析????本题可由两向量垂直的充要条件建立方程求解;也可以将两向量放在直角三角形
中,由题设直接得到两向量的夹角.
4.(2019课标全国Ⅲ理,13,5分)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-?b,则cos= ????.
答案?????
解析 本题主要考查平面向量的数量积、模长及平面向量夹角的计算;通过向量的数量积、
夹角的求解考查学生运算求解的能力,体现了数学运算的核心素养.
∵|a|=|b|=1,a·b=0,
∴a·c=a·(2a-?b)=2a2-?a·b=2,
|c|=|2a-?b|=?=?=3.
∴cos=?=?.
小题巧解 不妨设a=(1,0),b=(0,1),则c=2(1,0)-?(0,1)=(2,-?),∴cos=?=?.
方法总结 利用数量积求解向量模的处理方法:
①a2=a·a=|a|2或|a|=?;
②|a±b|=?.
5.(2018课标全国Ⅱ理改编,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= ????.
答案 37
解析 因为|a|=1,a·b=-1,
所以a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3.
6.(2017课标全国Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= ????.
答案 2?
解析 本题考查平面向量的模与数量积的计算,考查学生的运算求解能力.
解法一(公式法):由题意知a·b=|a|·|b|cos 60°=2×1×?=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4
=12.所以|a+2b|=2?.
解法二(坐标法):根据已知条件建立恰当的坐标系,由题意,不妨取a=(2,0),b=?,则a+2b=
(3,?),所以|a+2b|=?=2?.
7.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤?,则a·b的最
大值是 ????.
答案?????
解析 对任意单位向量e,均有?≥|a·e|+|b·e|≥|a·e+b·e|=|(a+b)·e|,∴|a+b|≤?,当且仅当a+b与e
共线时,等号成立.∴a2+2a·b+b2≤6,又|a|=1,|b|=2,∴a·b≤?,即a·b的最大值为?.
考点二 数量积的综合应用
1.(2019课标全国Ⅱ文改编,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= ????.
答案?????
解析 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养.
∵a=(2,3),b=(3,2),∴a-b=(-1,1),∴|a-b|=?=?.
一题多解 ∵a=(2,3),b=(3,2),∴|a|2=13,|b|2=13,a·b=12,则|a-b|=?=?=
?.
2.(2019天津理,14,5分)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2?,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延
长线上,且AE=BE,则?·?= ????.
答案 -1
解析 本题主要考查平面几何知识的应用、解三角形、向量的坐标运算及数量积的求解;考
查学生数形结合思想的应用以及运算求解能力;通过向量的不同表现形式更全面地考查了学
生逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.
解法一:∵∠BAD=30°,AD∥BC,∴∠ABE=30°,
又EA=EB,∴∠EAB=30°,
在△EAB中,AB=2?,∴EA=EB=2.
以A为坐标原点,AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示.
?
则A(0,0),D(5,0),E(1,?),B(3,?),
∴?=(2,-?),?=(1,?),
∴?·?=(2,-?)·(1,?)=-1.
解法二:同解法一,得AB=2?,
以?,?为一组基底,
则?=?-?,?=?+?=?-??,
∴?·?=(?-?)·?
=?·?-?+??·?-??
=??·?-?-??
=?×5×2?×?-12-?×25=-1.
3.(2018北京理改编,6,5分)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的 ????
????.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”或“既不充分又不必要
条件”)
答案 充分必要条件
解析 本题主要考查平面向量的数量积的应用以及充分、必要条件的判断.
|a-3b|=|3a+b|?|a-3b|2=|3a+b|2?a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2?2a2+3a·b-2b2=0,又∵|a|=|b|=1,∴a·b=0
?a⊥b.
方法总结 1.平面向量模的问题的处理方法:
通常是进行平方,转化成平面向量的数量积问题解决.
2.充分条件与必要条件的判断方法:
(1)直接法:分别判断命题“若p,则q”和“若q,则p”的真假.
(2)集合法:设p、q对应的集合分别为P,Q,利用集合间的包含关系进行判断.
(3)利用原命题与其逆否命题同真假来判断.
4.(2018天津文改编,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,?=2?,?
=2?,则?·?的值为 ????.
答案 -6
解析 本题考查向量的运算.
解法一:连接OA.∵?=?-?=3?-3?=3(?-?)-3(?-?)=3(?-?),
∴?·?=3(?-?)·?=3(?·?-|?|2)=3×(2×1×cos 120°-12)=3×(-2)=-6.
解法二:在△ABC中,不妨设∠A=90°,取特殊情况ON⊥AC,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分
别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,因为∠MON=120°,ON=2,OM=1,所以O?,C
?,M?,B?.
故?·?=?·?=-?-?=-6.
?
5.(2018天津理改编,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD
=1.若点E为边CD上的动点,则?·?的最小值为 ????.
?
答案?????
解析 本题主要考查数量积的综合应用.
解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),
B?,C(0,?),令E(0,t),t∈[0,?],∴?·?=(-1,t)·?=t2-?t+?,∵t∈[0,?],∴当t
=-?=?时,?·?取得最小值,(?·?)min=?-?×?+?=?.
?
解法二:令?=λ?(0≤λ≤1),由已知可得DC=?,
∵?=?+λ?,∴?=?+?=?+?+λ?,
∴?·?=(?+λ?)·(?+?+λ?)
=?·?+|?|2+λ?·?+λ2|?|2
=3λ2-?λ+?.
当λ=-?=?时,?·?取得最小值?.
方法总结 向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解,建立函数关系时,可
用平面向量基本定理,也可利用向量的坐标运算.
6.(2018浙江改编,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为?,向量b
满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是 ????.
答案?????-1
解析 本题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离.
设?=a,?=b,?=e,以O为原点,?的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0).不妨
设A点在第一象限,∵a与e的夹角为?,∴点A在从原点出发,倾斜角为?,且在第一象限内的射
线上.设B(x,y),由b2-4e·b+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.而?=
a-b,∴|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y=?x(x≥0)的距
离减去圆的半径,所以|a-b|min=?-1.
一题多解 将b2-4e·b+3=0转化为b2-4e·b+3e2=0,
即(b-e)·(b-3e)=0,∴(b-e)⊥(b-3e).
设?=e,?=a,?=b,?=3e,?=2e,则?⊥?,
∴点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图.
?
∵|a-b|=|?|,∴|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心M到射线OA的距离
减去圆的半径.
∵|?|=2,∠AOM=?,∴|a-b|min=2sin?-1=?-1.
7.(2017课标全国Ⅱ理改编,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,
则?·(?+?)的最小值是 ????.
答案 -?
设BC的中点为D,AD的中点为E,则有?+?=2?,
则?·(?+?)=2?·?
=2(?+?)·(?-?)
=2(?-?).
解析????
而?=?=?,
当P与E重合时,?有最小值0,故此时?·(?+?)取最小值,
最小值为-2?=-2×?=-?.
方法总结 在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用?·?=?-?可快
速求出最值.
一题多解 以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,
?
则A(-1,0),B(1,0),C(0,?),设P(x,y),取BC的中点D,则D?.?·(?+?)=2?·?=2(-1-x,-y)
·?=2?=2?.
因此,当x=-?,y=?时,?·(?+?)取得最小值,为2×?=-?.
8.(2015福建改编,9,5分)已知?⊥?,|?|=?,|?|=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且?
=?+?,则?·?的最大值等于 ????.
答案 13
解析 以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B?(t>0),C
(0,t),P(1,4),?·?=?·(-1,t-4)=17-?≤17-2×2=13?,故?·
?的最大值为13.
9.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别
在线段BC和DC上,且?=λ?,?=??,则?·?的最小值为 ????.
答案?????
解析 如图,以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则B(2,0),C?,D?.
由?=λ?得E?,由?=??得F?.
从而?·?=?·?=?+?+?≥?+2×?=??当且仅当λ=?时,取等号?.
C组 教师专用题组
考点一 平面向量的数量积
1.(2014课标全国Ⅱ改编,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=?,|a-b|=?,则a·b= ????.
答案 1
解析 由|a+b|=?得a2+b2+2a·b=10,?①
由|a-b|=?得a2+b2-2a·b=6,?②
①-②得4a·b=4,∴a·b=1.
思路分析 分别对|a+b|=?和|a-b|=?两边平方,然后作差即可求得a·b.
一题多解 设m=a+b,n=a-b,则|m|=?,|n|=?,且a=?(m+n),b=?(m-n).
则a·b=?(m+n)·(m-n)=?(m2-n2)=1.
2.(2013课标全国Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t= ????
????.
答案 2
解析 解法一:∵b·c=0,
∴b·[ta+(1-t)b]=0,ta·b+(1-t)·b2=0,
又∵|a|=|b|=1,=60°,∴?t+1-t=0,t=2.
解法二:由题意作?=a,?=b,=60°,|?|=|?|=1,设?=c,则由c=ta+(1-t)b及b·c=0,知
A、B、C三点共线且∠BOC=90°,如图,可知C在BA的延长线上,所以A为BC的中点,即a=?b+
?c,所以c=2a-b,所以t=2.
思路分析 可以利用向量的数量积运算列方程求得t值;也可以将题中满足条件的向量用共起
点的有向线段表示,从而画出符合条件的几何图形,通过分析图形中向量终点间的位置关系求
得t的值.
3.(2013课标全国Ⅱ,14,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则?·?= ????.
答案 2
解析 解法一:?·?=?·(?-?)=?-??+0=22-?×22=2.
解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图).则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2).
?
∴?=(1,2),?=(-2,2).
从而?·?=(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.
评析 本题考查了向量的基本运算.向量的运算可以利用运算法则也可以利用坐标运算.
4.(2012江苏,9,5分)如图,在矩形ABCD中,AB=?,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若?·
?=?,则?·?的值是 ????.
?
答案?????
解析 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,设F(x,2),
∴?=(x,2),?=(?,0),
∴?·?=?x=?,
∴F(1,2),∴?·?=?.
5.(2012课标,13,5分)已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=?,则|b|= ????.
答案 3?
解析 ∵|2a-b|=?,(2a-b)2=10,∴4+|b|2-4|a||b|·cos 45°=10,∴|b|=3?.
6.(2011课标全国Ⅰ文改编,3,5分)设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-?,则|a+2b|= ????.
答案?????
解析 因为|a|=|b|=1,a·b=-?,所以|a+2b|=?=?=?.
考点二 数量积的综合应用
1.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|?+?
+?|的最大值为 ????.
答案 7
解析 解法一:由圆周角定理及AB⊥BC,知AC为圆的直径.
故?+?=2?=(-4,0)(O为坐标原点).
设B(cos α,sin α),∴?=(cos α-2,sin α),
∴?+?+?=(cos α-6,sin α),|?+?+?|=?=?≤?=7,当
且仅当cos α=-1时取等号,此时B(-1,0),故|?+?+?|的最大值为7.
解法二:同解法一得?+?=2?(O为坐标原点),又?=?+?,∴|?+?+?|=|3?+?|≤
3|?|+|?|=3×2+1=7,当且仅当?与?同向时取等号,此时B点坐标为(-1,0),故|?+?+?|
max=7.
评析 本题考查向量的坐标运算,向量的模等基础知识,对能力要求较高.
2.(2009江苏,15,14分)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).
(1)若a与(b-2c)垂直,求tan(α+β)的值;
(2)求|b+c|的最大值;
(3)若tan α·tan β=16,求证:a∥b.
解析 (1)∵a与(b-2c)垂直,
∴a·(b-2c)=a·b-2a·c=0,
即4cos αsin β+4sin αcos β-8cos αcos β+8sin αsin β=0,
即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,∴tan(α+β)=2.
(2)b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),
|b+c|2=sin2β+2sin βcos β+cos2β+16cos2β-32cos βsin β+16sin2β=17-30sin βcos β=17-15sin 2β,其最
大值为32,所以|b+c|的最大值为4 ?.
(3)证明:由tan αtan β=16,得sin αsin β=16cos αcos β,
即4cos α·4cos β-sin αsin β=0,
所以a∥b.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点一 平面向量的数量积
1.(2019无锡期中,5)已知向量a,b的夹角为120°,|a|=4,|b|=3,则|2a+b|的值为 ????.
答案 7
解析 因为a·b=|a|·|b|×cos 120°=-6,
所以|2a+b|=?=?=?=7.
2.(2019南通基地学校3月联考,10)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(?,1)在以原点O为圆心
的圆上.已知圆O与y轴正半轴的交点为P,延长AP至点B,使得∠AOB=90°,则?·?= ????.
?
答案 2
解析 由题意可知圆的半径为r=?=2,则P(0,2),由∠AOB=90°可得?·?=0,故?·?
=(?+?)·?=?·?+?·?=(0,2)·(?,1)=2.
3.(2019连云港期中,12)在三角形ABC中,AB=3,AC=1,∠A=?,AD是∠A的平分线,则?·?=????
????.
答案?????
解析 如图所示,∵AD是∠A的平分线,
∴?=?=3,
∴?=?+?=?+??=?+?(?-?)=??+??,
∴?·?=?·?=??+??·?=?+?×3×1×cos?=?.
?
一题多解 ∵AD为∠A的平分线,∠A=?,
∴∠BAD=∠CAD=?,
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC,
∴?AB·ADsin∠BAD+?AC·ADsin∠CAD=?AB·AC·sin∠BAC,
∴3AD+AD=3,∴AD=?,
∴?·?=3×?×cos ?=?.
4.(2019靖江检测,11)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=1,∠DAB=60°,若?=3?,?=λ
?,且?·?=-1,则实数λ的值为 ????.
答案?????
解析 解法一:?·?=(?+?)·(?+?)
=?·(?+?)
=?·(?+?)
=?·(λ?-?)
=?|?|2-?|?|2+?|?|·|?|·cos 60°
=?-?+?=-1.
解得λ=?.
解法二:如图,建立平面直角坐标系,则E?,F(2λ,0),D?,
?
则?=?,?=?,
所以?·?=?×?+?×?=-1.
解得λ=?.
评析 基底法与建系法是解决向量问题的两种常用方法,要会根据条件选择合适的方法,简化
解题过程.
5.(2019南京、盐城二模,12)已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高,点P在DA的延长线上,
且满足(?+?)·?=4?.若AD=?,则?·?的值为 ????.
答案 2
解析 由AD⊥BC,得?·?=?·?=0,
因为(?+?)·?=4?,所以(2?+?+?)·?=4?,
所以?·?=2?,即|?|·|?|cos 0=2?,所以|?|=2,
所以?·?=(?+?)·(?+?)=?+?·?=?+|?|·|?|cos π=?-|?|·|?|=|?|2-|
?|2=4-2=2.
?
考点二 数量积的综合应用
1.(2017江苏六校联考,12)在△ABC中,已知AB=8,AC=6,点O为三角形的外心,则?·?= ????
????.
答案 14
解析 设AB,AC的中点分别为M,N,连接OM,ON,
由题意知MO⊥AB,ON⊥AC,
从而(?-?)·?=0,(?-?)·?=0,
即?·?=0,?·?=0,
所以?·?=??=32,
?·?=??=18,
所以?·?=(?-?)·?=?·?-?·?=-18+32=14.
2.(2019如皋期末,12)如图,在四边形ABCD中,已知AB=2,CD与以AB为直径的半圆O相切于点D,
且BC∥AD,若?·?=-1,则?·?= ????.
?
答案?????
解析 因为?·?=-1,所以(?+?)·?=-1,所以?·?+?·?=-1,因为AB为直径,BC∥
AD,所以BD⊥BC,所以?·?=0,所以?·?=-1,
所以|?|·|?|cos(π-∠ABD)=-1,
可得|?|=1,在Rt△ABD中,易得AD=?,∠OBD=?,又OB=OD,所以△OBD为等边三角形,所以
∠BOD=?,所以∠ADO=?,
所以?·?=|?|·|?|cos ?=?×1×?=?.
思路分析 根据题意以及圆的直径所对的圆周角为直角,可得?·?=-1,求得|?|=1,然后求
得△OBD为等边三角形,求出∠BOD=?,得∠ADO=?,再利用数量积求得结果.
3.(2019海安高级中学检测,13)如图,已知AC=8,B为AC的中点,分别以AB,AC为直径在AC的同侧
作半圆,M,N分别为两半圆上的动点(不含端点A,B,C),且BM⊥BN,则?·?的最大值为 ????
????.
?
答案 4
解析 设∠NBC=θ,θ∈?,因为BM⊥BN,所以∠MBA=?-θ,则BM=ABcos?=4sin θ,
则?·?=(?-?)·(?-?)
=?·?-?·?-?·?+?·?
=-?·?-?·?-16=-16+?·?+?·?
=16sin2θ+16cos θ-16=-16?+4≤4,
所以?·?的最大值为4.
一题多解 以BC所在直线为x轴,AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,设∠NBC=θ,θ∈
?,
因为BM⊥BN,所以∠MBA=?-θ,
则BM=ABcos?=4sin θ,
则A(-4,0),C(4,0),N(4cos θ,4sin θ),
所以M(2cos 2θ-2,2sin 2θ),
?=(2cos 2θ+2,2sin 2θ),?=(4cos θ-4,4sin θ),
则?·?=(2cos 2θ+2)(4cos θ-4)+2sin 2θ·4sin θ
=8cos 2θcos θ+8sin 2θsin θ+8cos θ-8cos 2θ-8
=-16?+4≤4,
所以?·?的最大值为4.
4.(2019扬州期中,12)在△ABC中,AH是边BC上的高,点G是△ABC的重心,若△ABC的面积为?
+1,AC=?,tan C=2,则(?+?)·(?+?)= ????.
答案 1
解析 在Rt△AHC中,tan C=2,AC=?,
所以?解得AH=2,HC=1,
故△AHC的面积为1,又△ABC的面积为?+1,
所以△ABH的面积为?,所以BH=?.
延长BG交AC于点D,因为G为△ABC的重心,所以D为AC的中点,以H为原点建立平面直角坐标
系,如图.
?
则H(0,0),A(0,2),C(1,0),B(-?,0),
由中点坐标公式,得D?,设G(x,y),
由?=??,得(x+?,y)=??,
所以x=?,y=?,所以G?.
则?+?=(0,-2)+(1+?,0)=(1+?,-2),
?+?=?+?=?,
所以(?+?)·(?+?)=(1+?,-2)·?=?+?=1.
5.(2019南京、盐城二模,15)设向量a=(cos α,λsin α),b=(cos β,sin β),其中λ>0,0<α<βa-b相互垂直.
(1)求实数λ的值;
(2)若a·b=?,且tan β=2,求tan α的值.
解析 (1)由a+b与a-b互相垂直,可得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,
所以cos2α+λ2sin2α-1=0.?(2分)
又因为sin2α+cos2α=1,所以(λ2-1)sin2α=0.?(4分)
因为0<α又因为λ>0,所以λ=1.?(6分)
(2)由(1)知a=(cos α,sin α).
由a·b=?得cos αcos β+sin αsin β=?,即cos?=?.?(8分)
因为0<α<β所以sin(α-β)=-?=-?.?(10分)
所以tan(α-β)=?=-?,?(12分)
因此tan α=tan[(α-β)+β]=?=?.?(14分)
6.(2019苏锡常镇四市教学情况调查一,16)已知向量a=(2cos α,2sin α),b=(cos α-sin α,cos α+sin
α).
(1)求向量a与b的夹角;
(2)若(λb-a)⊥a,求实数λ的值.
解析 (1)设向量a与b的夹角为θ,
因为|a|=2,|b|=?=?,?(4分)
所以cos θ=?
=?
=?=?.?(7分)
考虑到0≤θ≤π,则向量a与b的夹角为?.?(9分)
(2)若(λb-a)⊥a,则(λb-a)·a=0,即λb·a-a2=0,?(12分)
因为b·a=2,a2=4,
所以2λ-4=0,解得λ=2.?(14分)
一、填空题(每小题5分,共40分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：40分钟 分值：55分)
1.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二,13)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠CAB=90°,AB=2,以
AB为直径在△ABC外作半圆O,P为半圆弧AB上的动点,点Q在斜边BC上,若?·?=?,则?·
?的最小值为 ????.
?
答案 -?
解析 以O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),C(-1,-2),设P
(cos θ,sin θ),Q(x,y),
∵?·?=?,即(2,0)·(x+1,y)=?,∴Q?,
则?=?,?=(cos θ+1,sin θ+2),
故?·?=?cos θ+?-?sin θ-?=?cos θ-?sin θ=?sin(φ-θ),其中tan φ=2,
∵θ∈[0,π],∴?·?的最小值为-?.
2.(2019宿迁期末,12)如图所示,矩形ABCD的边AB=4,AD=2,以点C为圆心,CB为半径的圆与CD
交于点E,若点P是圆弧EB(含端点B、E)上的一点,则?·?的取值范围是 ????.
?
答案 [8-8?,0]
解析 以C为原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
?
点P的轨迹方程为x2+y2=4(x≤0,y≤0),设P(2cos θ,2sin θ)?,又A(-4,-2),B(0,-2),
则?=(-4-2cos θ,-2-2sin θ),?=(0-2cos θ,-2-2sin θ),
所以?·?=8cos θ+8sin θ+8=8?sin?+8,
因为θ∈?,
所以θ+?∈?,
sin?∈?,则?·?∈[8-8?,0].
所以?·?的取值范围是[8-8?,0].
3.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,12)如图,在△ABC中,a、b、c分别是
角A、B、C所对的边,E,F是AB上的两个三等分点,G,H是AC上的两个三等分点,(?+?)·(?
-?)=-?,则bcos C的最小值为 ????.
?
答案 1
解析 因为?=??-?,?=??-?,?=??-?,?=??-?,
所以(?+?)·(?-?)=?·?=-?(?+?)·(?-?)=-?,
所以AC2-AB2=1,作AM⊥BC,垂足为M,
则AC2-AB2=MC2-BM2=1,则bcos C=CM=?≥1.
?
所以bcos C的最小值为1.
思路分析 从条件看,考虑用基底法去研究,因为等分点在AB,AC上,所以考虑用?,?作为基
底表示其余向量,找到两边关系,然后构造直角三角形,去转化理解bcos C的意义,题目就能够顺
利解决.
4.(2019如皋检测,10)在平行四边形ABCD中,∠A=?,AB=2,AD=1,若M、N分别是边BC、CD上
的点,且满足?=?,则?·?的取值范围是 ????.
答案 [2,5]
解析 以AB所在直线为x轴,过A点且垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的直角坐标系,过D
点作DE垂直于x轴,垂足为E,
?
则A(0,0),D?,B(2,0),C?.
设?=?=λ,λ∈[0,1],
∴M?,N?,
故?·?=-λ2-2λ+5=-(λ+1)2+6∈[2,5].
5.(2019南通、扬州、泰州、苏北四市七市一模,12)在平面四边形ABCD中,AB=1,DA=DB,?·
?=3,?·?=2,则|?+2?|的最小值为 ????.
答案 2?
解析 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
则A(0,0),B(1,0),
?
又DA=DB,所以设D?,
因为?·?=|?|cos∠CAB=3,所以设C(3,n),
又?·?=2,所以mn=?,
故|?+2?|=?=?=?≥?=2?.
当且仅当?即?或?时,取“=”.
故|?+2?|的最小值为2?.
6.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,14)如图,在△ABC中,?=??,?=??,CD与BE交于点P,
AP=1,BC=4,?·?=2,则?·?的值为 ????.
?
答案?????
解析 设?=λ?=λ?,
∴?=?+?=(1-λ)?+??=(2-2λ)?+??.
∵D,P,C三点共线,∴2-2λ+?=1,解得λ=?.
∴?=??+??.
∵AP=1,BC=4,?·?=2,
∴?
解得?·?=?.
7.(2018南通第一次调研,12)如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,AD=1.点P,Q分别在边BC,CD上,
且∠PAQ=45°,则?·?的最小值为 ????.
?
答案 4?-4
解析 解法一:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A
(0,0),B(2,0),D(0,1).设∠PAB=θ,则?=(2,2tan θ),?=?tan?,1??,
因为?·?=(2,2tan θ)·?
=2tan?+2tan θ=?+2tan θ
=?+2tan θ-2=?+2(tan θ+1)-4≥4?-4,当且仅当tan θ=?-1时“=”成立,
所以?·?的最小值为4?-4.
解法二:设∠PAB=θ?,
则∠DAQ=?-θ,
则AP=?,AQ=?,
∴?·?=|?||?|cos ?=?·?·?
=?·?
=?=?
=?≥4?-4.
所以?·?的最小值为4?-4.
评析 第一种解法是建立坐标系,第二种解法是求出两个向量的模,然后利用数量积转化为三
角函数求最值的问题进行求解.
8.(2018苏北四市一模,14)如图,在△ABC中,已知AB=3,AC=2,∠BAC=120°,D为边BC的中点.若
CE⊥AD,垂足为E,则?·?的值为 ????.
?
答案 -?
解析 解法一:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(-1,?),D?.
则直线AD的方程为y=?x,直线CE的方程为y=-?(x+1)+?.
联立?解得点E的坐标为?,
故?·?=?·?=-?.
?
解法二:|?|=?|?+?|=??=?.
由S△ABC=2S△ADC得?×2×3×?=2×?×?CE,∴CE=?,
∴?·?=?=?-?=-?=-?.
解法三:由S△BAD=S△CAD=?BA·AD·sin(120°-∠CAD)=?CA·AD·sin∠CAD,
可得sin∠CAD=?,则CE=?,
所以?·?=?-??=?-?=-?=-?.
解法四:如图,作CF∥AD,与BA的延长线交于F,则AD为△BCF的中位线,设∠DAC=θ,则∠ACF=
θ,
?
|?|=?|?+?|=??=?,
则|?|=?.
在△ACF中,可得cos θ=?,则在Rt△AEC中可求得AE=?,
所以?·?=?-??=?-?=-?=?-?=-?.
二、解答题(共15分)
9.(2018江阴开学检测,16)已知向量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为?,且m·n=-1.
(1)求向量n;
(2)若向量n与q=(1,0)共线,向量p=?,其中A,C为△ABC的内角,且A,B,C依次成等差
数列,求|n+p|的取值范围.
解析 (1)设n=(x,y),由m·n=-1,得x+y=-1. ①
因为向量n与m的夹角为?,
所以x2+y2=1. ②
由①②解得?或?
所以n=(-1,0)或n=(0,-1).
(2)由向量n与q=(1,0)共线知n=(-1,0).
由2B=A+C知B=?,
所以A+C=?,故0n+p=?=(cos C,cos A),
所以|n+p|2=cos2C+cos2A
=?+?=1+??=1+?cos?.
因为0所以-1≤cos?得?≤1+?cos?即|n+p|2∈?,所以|n+p|∈?.
C组 2017—2019年高考模拟·应用创新题组
1.(2019 5·3原创预测卷三文改编,4)定义:|a×b|=|a|·|b|·sin.已知向量a=(1,?),a,b的夹角为3
0°,|a×b|=1,则|a+2b|2的值为 ????.
答案 8+4?
解析 由a=(1,?),得|a|=2,因为a,b的夹角为30°,|a×b|=1,所以|a×b|=|a|·|b|·sin=2|b|·sin 30°=
1,所以|b|=1,故|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=4+4×2×1×?+4=8+4?.
创新点 本题打破了以往向量的命题模式,设置了向量的新定义问题,需要在明确新运算的基
础上进行答题.
2.(2019 5·3原创预测卷七文改编,8)在直角△ABC中,分别以直角边AB,斜边BC为边向三角形外
部作正方形ABDE和正方形BCFG,则向量?和?的夹角为 ????.
答案 90°
解析 解法一:以A为原点,AC,AB所在直线为x轴,y轴建立直角坐标系,设C(b,0)(b>0),B(0,c)(c>
0),斜边长为a,则D(-c,c),?=(b+c,-c).设G(x,y)(x>0,y>0),由GB⊥BC得?·?=-1,即y-c=?①.
由GB=a得x2+(y-c)2=a2②,将①代入②得x=c,即G(c,c+b),?=(-c,-b-c),从而得?·?=0,∴?⊥
?,故填90°.
解法二(特殊值法):以A为原点,AC,AB所在直线为x轴,y轴建立直角坐标系,设AB=AC=1,则A(0,
0),C(1,0),B(0,1).
则D(-1,1),?=(2,-1).易得CG⊥x轴且CG=2,所以G点坐标为(1,2),?=(-1,-2),
从而得?·?=0,∴?⊥?,故填90°.
?
第五章 平面向量
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
２０１９ 江苏，１２ ５ 分 填空题 中 数量积的综合应用
①平面向量基本定理
②线性运算、数量积运算
公式法、特殊化、
数形结合
数学运算
数学抽象
２０１７ 江苏，１２ ５ 分 填空题 中
①平面向量基本定理
②平面向量的数量积
①用基底表示向量
②向量夹角及应用
公式法
数形结合
直观想象
数学运算
２０１７ 江苏，１６ １４ 分 解答题 易 平面向量的数量积
①向量平行的坐标表示
②向量数量积的坐标运算
公式法 数学运算
２０１６ 江苏，１３ ５ 分 填空题 难 平面向量的数量积 利用基底求数量积 公式法 数学运算
２０１５ 江苏，６ ５ 分 填空题 易
①平面向量的基本概念
②平面向量基本定理
及坐标运算
①向量相等求参数值
②平面向量的线性
坐标运算
公式法 数学运算
２０１５ 江苏，１４ １５ 分 解答题 难 平面向量的数量积 数量积的坐标运算 公式法 数学运算
命题规律与趋势
０１ 考查内容
１．平面向量线性运算的几何意义、数量积
的定义、长度、角度问题、平面向量数量
积的坐标表示及运算是常考内容．
２．有时向量也会作为解答题的一个条件出
现，如与解析几何、三角函数等结合考查．
０２ 考频赋分
直接考查，分值为 ５ 分．
０３ 题型难度
直接考查向量的试题一般为中等难度．有
时作为一个已知条件在解答题中出现，要
求能读懂向量的含义，这种情况我们一般
利用向量的几何意义来做，也可以转化为
向量的代数运算．
０４ 命题特点
高考对本章内容的考查以基础题为主．主
要考查三块内容：（１）平面向量的线性运算
及几何意义；（２）平面向量的数量积的定义
及长度、角度问题；（３）平面向量的数量积
的坐标表示，一般以填空题的形式直接进
行考查，难度属中等．解答题中有时与三角
函数、解析几何等内容综合考查，以一个已
知条件的形式出现．
０５ 解题方法
直接法、公式法、转化法、数形结合法、坐标
法等．
０６ 核心素养
数学运算与逻辑推理．
０７ 备考建议
１．从近五年江苏高考试题分析，以考查数
量积的综合应用为主，同时考查平面向
量基本定理、线性运算．
２．可以从两个方面加以解决：一是利用数
量积运算，用基底法解决；二是坐标法，
能建系的尽量建系，然后利用坐标法
解决．
３．预计 ２０２０ 年仍然沿用这种考试形式，在
复习中要多从通性、通法复习，以不变应
万变．
最新真题示例
４６ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§ ５．１ 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算
对应学生用书起始页码 Ｐ７４
２ ０ １ ５ — ２ ０ １ ９
对应学生用书起始页码 Ｐ７４
Ａ组 自主命题·江苏卷题组
对应学生用书起始页码 Ｐ７４
考点一
平面向量的线性运算及几何意义
高频考点
１．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量
既有大小又有方向的量叫做向量；
向量的大小叫做向量的长度（或
模）
平面向量是自由
向量
零向量 长度为 ０ 的向量；其方向是任意的 记作 ０
单位向量 长度等于 １ 个单位的向量
与非零向量 ａ 共
线的单位向量为
±
ａ
｜ ａ ｜
平行向量
（共线向量）
方向相同或相反的非零向量
０ 与任一向量平
行（或共线）
相等向量 长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等
或不等，不能比较
大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 ０ 的相反向量为 ０
２．向量的线性运算
向量
运算
定义 法则（或几何意义） 运算律
加法
求两个向量和
的运算
（１）交换律：
ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ．
（２）结合律：
（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）
减法
求 ａ 与 ｂ 的相
反向 量 －ｂ 的
和的运算
三角形法则
续表
向量
运算
定义 法则（或几何意义） 运算律
数乘
求实 数 λ 与
向量 ａ 的积的
运算
（１） ｜λａ ｜ ＝ ｜λ ｜ ｜ ａ ｜ ．
（２）当 λ＞０ 时，λａ 与 ａ
的方向相同；
当 λ＜０ 时，λａ 与 ａ 的
方向相反；
当 λ＝０时，λａ＝０
λ（μａ）＝ （λμ）ａ；
（λ＋μ）ａ＝λａ＋μａ；
λ（ａ＋ｂ）＝ λａ＋λｂ
３．共线向量定理
向量 ａ（ａ≠０）与向量 ｂ 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，
使 ｂ＝λａ．
考点二 平面向量基本定理及坐标表示 高频考点
１．平面向量基本定理：如果 ｅ１、 ｅ２ 是同一平面内的两个
不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ａ，有且只有一对实
数 λ１、λ２，使 ａ＝λ１ｅ１＋λ２ｅ２，其中 ｅ１、ｅ２ 是一组基底．
２．平面向量的坐标运算
（１）若 ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），则 ａ±ｂ＝（ｘ１±ｘ２，ｙ１±ｙ２）；
（２）若 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ＡＢ
→＝（ｘ２－ｘ１，ｙ２－ｙ１）；
（３）若 ａ＝（ｘ，ｙ），λ∈Ｒ，则 λａ＝（λｘ，λｙ） ．
３．向量平行的坐标表示
（１）如果 ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２）（ｂ≠０），那么 ａ∥ｂ 的充要
条件为 ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１ ＝ ０；
（２）Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ ｘ２，ｙ２），Ｃ（ｘ３，ｙ３）三点共线的充要条件为
（ｘ２－ｘ１）（ｙ３－ｙ１）－（ｘ３－ｘ１）（ｙ２－ｙ１）＝ ０．
４．几个重要结论：如图．
（１）若 ａ、ｂ 为不共线向量，则 ａ＋ｂ、ａ－ｂ 是以 ａ、ｂ 为邻边的平
行四边形的对角线向量；
（２） ｜ ａ＋ｂ ｜ ２＋ ｜ ａ－ｂ ｜ ２ ＝ ２（ ｜ ａ ｜ ２＋ ｜ ｂ ｜ ２）；
（３）Ｇ 为△ＡＢＣ 的重心?ＧＡ→＋ＧＢ→＋ＧＣ→＝ ０
?Ｇ
ｘＡ＋ｘＢ＋ｘＣ
３
，
ｙＡ＋ｙＢ＋ｙＣ
３
?
è
?
?
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÷ ．
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第五章 平面向量 ４７
对应学生用书起始页码 Ｐ７５
一、平面向量线性运算的解题策略
用已知向量来表示另外一些向量时要尽可能地转化到平行
四边形或三角形中，利用三角形中位线平行于第三边，且等于第
三边的一半，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未
知向量转化为与已知有直接关系的向量进行求解．
（１）在△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ ２，ＡＣ ＝ ３，∠ＢＡＣ 的平分线 ＡＤ 与
ＡＢ 边上的中线 ＣＥ 交于点 Ｏ，若ＡＯ→＝ ｘ ＡＢ→＋ｙ ＡＣ→（ｘ，ｙ∈Ｒ），则 ｘ＋ｙ
的值为 ．
（２）已知平行四边形 ＡＢＣＤ 中，点 Ｅ，Ｆ 满足 ＡＥ→＝ ２ ＥＣ→，ＢＦ→ ＝
３ ＦＤ→，则 ＥＦ→＝ （用 ＡＢ→，ＡＤ→ 表示） ．
解析 （１）如图，在△ＡＥＯ 中，由正弦定理得
ＡＥ
ｓｉｎ∠ＡＯＥ
＝
ＥＯ
ｓｉｎ∠ＥＡＯ
，在△ＡＣＯ 中，由正弦定理得
ＡＣ
ｓｉｎ∠ＡＯＣ
＝ ＣＯ
ｓｉｎ∠ＣＡＯ
，两式
相除得
ＡＥ
ＡＣ
＝ＥＯ
ＯＣ
，因为 ＡＥ＝
１
２
ＡＢ＝ １，ＡＣ＝ ３，所以
ＥＯ
ＯＣ
＝ １
３
．所以 ＣＯ→
＝ ３ ＯＥ→，即 ＡＯ→－ＡＣ→＝ ３（ＡＥ→－ＡＯ→），即 ４ ＡＯ→ ＝ ３ ＡＥ→＋ＡＣ→，所以 ４ ＡＯ→ ＝
３
２
ＡＢ→＋ＡＣ→，从而ＡＯ→＝ ３
８
ＡＢ→＋ １
４
ＡＣ→，因为ＡＯ→ ＝ ｘ ＡＢ→＋ｙ ＡＣ→，所以 ｘ ＝
３
８
，ｙ＝
１
４
，于是 ｘ＋ｙ＝
５
８
．
（２）ＡＥ→＝ ２
３
ＡＣ→＝ ２
３
（ＡＢ→＋ＡＤ→），ＢＦ→ ＝ ３
４
ＢＤ→ ＝ ３
４
（ＡＤ→－ＡＢ→），所
以 ＥＦ→＝ＥＡ→＋ＡＢ→＋ＢＦ→＝－ ２
３
（ＡＢ→＋ＡＤ→） ＋ＡＢ→＋ ３
４
（ＡＤ→－ＡＢ→）＝ － ５
１２
ＡＢ→＋
１
１２
ＡＤ→．
答案 （１）
５
８
（２）－
５
１２
ＡＢ→＋ １
１２
ＡＤ→
１－１ 如图，直角梯形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ∥ＣＤ，∠ＤＡＢ ＝ ９０°，ＡＤ ＝
ＡＢ＝ ４，ＣＤ＝ １，动点 Ｐ 在边 ＢＣ 上，且满足ＡＰ→ ＝ｍ ＡＢ→＋ｎ ＡＤ→（ｍ，ｎ
均为正实数），则
１
ｍ
＋ １
ｎ
的最小值为 ．
１－１ 答案
７＋４ ３
４
解析 解法一：建立如图所示的平面直角坐标系，
则 Ａ（０，０），Ｂ（４，０），Ｄ（０，４），Ｃ（１，４） ．易求得 ｋＢＣ ＝ －
４
３
，故
直线 ＢＣ 的方程为 ｙ＝－
４
３
（ｘ－４） ．又ＡＰ→＝ｍ ＡＢ→＋ｎ ＡＤ→，ＡＢ→＝（４，０），
ＡＤ→＝（０，４），所以ＡＰ→＝（４ｍ，４ｎ），故 Ｐ（４ｍ，４ｎ），又点 Ｐ 在直线 ＢＣ
上，所以 ３ｎ＋４ｍ＝ ４，所以４
１
ｍ
＋ １
ｎ( ) ＝（３ｎ＋４ｍ）· １ｍ ＋ １ｎ( ) ＝ ７＋
３ｎ
ｍ
＋４ｍ
ｎ
≥７＋２ １２ ＝ ７＋４ ３ ，当且仅当
３ｎ２ ＝ ４ｍ２，
３ｎ＋４ｍ＝ ４{ 即 ｍ ＝ １２－６ ３３
＝ ４－２ ３ ，ｎ＝
８ ３ －１２
３
时取等号．所以
１
ｍ
＋ １
ｎ( ) ｍｉｎ ＝
７＋４ ３
４
．
解法二：因为ＡＰ→＝ｍ ＡＢ→＋ｎ ＡＤ→，所以ＡＰ→ ＝ｍ ＡＢ→＋ｎ（ＡＣ→＋ＣＤ→）＝
ｍ ＡＢ→＋ｎ ＡＣ→－ ｎ
４
ＡＢ→＝ ｍ－ ｎ
４( ) ＡＢ→＋ｎ ＡＣ→．又 Ｃ，Ｐ，Ｂ 三点共线，故 ｍ
－ ｎ
４
＋ｎ＝ １，即 ｍ＋
３ｎ
４
＝ １，亦即 ４ｍ＋３ｎ＝ ４．以下同解法一．
１－２ 如图所示，在△ＡＢＣ 中，点 Ｏ 是 ＢＣ 的中点，过点 Ｏ 的
直线分别交直线 ＡＢ、ＡＣ 于不同的两点 Ｍ、Ｎ，若ＡＢ→ ＝ｍ ＡＭ→，ＡＣ→ ＝
ｎ ＡＮ→，则 ｍ＋ｎ 的值为 ．
１－２ 答案 ２
解析 解法一：连接 ＡＯ，由于 Ｏ 为 ＢＣ 的中点，
故 ＡＯ→＝ １
２
（ＡＢ→＋ＡＣ→），
ＭＯ→＝ＡＯ→－ＡＭ→＝ １
２
（ＡＢ→＋ＡＣ→）－ １
ｍ
ＡＢ→＝ １
２
－ １
ｍ( ) ＡＢ→＋ １２ ＡＣ→，
同理 ＮＯ→＝ １
２
ＡＢ→＋ １
２
－ １
ｎ( ) ＡＣ→．
由于向量 ＭＯ→，ＮＯ→ 共线，故存在实数 λ 使得 ＭＯ→＝λ ＮＯ→，
即
１
２
－ １
ｍ( ) ＡＢ→＋ １２ ＡＣ→＝λ １２ ＡＢ→＋ １２ － １ｎ( ) ＡＣ→[ ] ，
由于 ＡＢ→，ＡＣ→ 不共线，故 １
２
－ １
ｍ
＝ １
２
λ 且
１
２
＝λ
１
２
－ １
ｎ( ) ，
消去 λ，得（ｍ－２）（ｎ－２）＝ ｍｎ，化简即得 ｍ＋ｎ＝ ２．
解法二：连接 ＡＯ，∵ Ｏ 是 ＢＣ 的中点，
∴ ＡＯ→＝ １
２
（ＡＢ→＋ＡＣ→） ．
又∵ ＡＢ→＝ｍ ＡＭ→，ＡＣ→＝ｎ ＡＮ→，
∴ ＡＯ→＝ ｍ
２
ＡＭ→＋ ｎ
２
ＡＮ→．
∵ Ｍ、Ｏ、Ｎ 三点共线，
∴
ｍ
２
＋ ｎ
２
＝ １．∴ ｍ＋ｎ＝ ２．
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４８ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
二、平面向量坐标运算的解题策略
引进向量的坐标运算可以使向量的线性运算用坐标来表
示，从而实现向量运算的代数化，使几何问题转化成数量运算
问题．
利用平面向量的坐标运算来解题有两种情形：一是本身就
是坐标关系，此时，只需应用向量的坐标运算法则进行求解；二
是通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算把几何问题转化
为代数问题求解．
（１）在矩形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ ＝ ５ ，ＢＣ ＝ ３ ，Ｐ 为矩形内一
点，且 ＡＰ＝
５
２
，ＡＰ→＝λ ＡＢ→＋μ ＡＤ→（λ，μ∈Ｒ），则 ５λ＋ ３μ 的最大值
为 ．
（２）如图，已知平面内有三个向量ＯＡ→、ＯＢ→、ＯＣ→，其中ＯＡ→与ＯＢ→的
夹角为 １２０°，ＯＡ→与ＯＣ→的夹角为 ３０°，且 ｜ＯＡ→ ｜ ＝ ｜ＯＢ→ ｜ ＝１，｜ＯＣ→ ｜ ＝２ ３ ．若
ＯＣ→＝λ ＯＡ→＋μ ＯＢ→（λ，μ∈Ｒ），则 λ＋μ 的值为 ．
解析 （１）以矩形相邻两边所在直线为坐标轴建立直角
坐标系，如图，
则 Ａ （ ０， ０ ）， Ｂ （ ５ ， ０ ）， Ｄ （ ０， ３ ）， 设 ∠ＰＡＢ ＝ α， 则
Ｐ ５
２
ｃｏｓ α，
５
２
ｓｉｎ α?
è
?
?
?
÷ ，
因为ＡＰ→＝λ ＡＢ→＋μ ＡＤ→，
所以 ５
２
ｃｏｓ α，
５
２
ｓｉｎ α?
è
?
?
?
÷ ＝λ（ ５ ，０）＋μ（０， ３ ），
所以 ５λ＝
５
２
ｃｏｓ α， ３μ＝
５
２
ｓｉｎ α，
故 ５λ＋ ３ μ ＝
５
２
ｃｏｓ α＋
５
２
ｓｉｎ α ＝
１０
２
ｓｉｎ α＋
π
４( ) ，由已知
得 ０＜α＜
π
２
，所以
π
４
＜α＋
π
４
＜
３
４
π，所以
２
２
＜ｓｉｎ α＋
π
４( ) ≤１，所以
５λ＋ ３μ 的最大值为
１０
２
．
（２）以 Ｏ 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 Ａ（１，
０），Ｂ － １
２
，
３
２
?
è
?
?
?
÷ ，Ｃ（３， ３ ） ．
由 ＯＣ→＝λＯＡ→＋μＯＢ→，得
３＝λ－
１
２
μ，
３ ＝
３
２
μ，
ì
?
í
?
?
??
解得
λ＝ ４，
μ＝ ２．{
所以 λ＋μ＝ ６．
答案 （１）
１０
２
（２）６
２－１ 如图，在正方形 ＡＢＣＤ 中，Ｍ，Ｎ 分别是 ＢＣ，ＣＤ 的中
点，若 ＡＣ→＝λ ＡＭ→＋μ ＢＮ→，则 λ＋μ＝ ．
２－１ 答案
８
５
解析 解法一：以 ＡＢ，ＡＤ 所在直线分别为 ｘ 轴，ｙ 轴建立
平面直角坐标系，如图所示，
设正方形的边长为 １，则 ＡＭ→＝ １， １
２( ) ，ＢＮ→＝ － １２ ，１( ) ，ＡＣ→＝
（１，１） ．
∵ ＡＣ→＝λ ＡＭ→＋μ ＢＮ→＝ λ－ １
２
μ，
λ
２
＋μ( ) ，
∴
λ－
１
２
μ＝ １，
λ
２
＋μ＝ １，
ì
?
í
??
??
解得
λ＝
６
５
，
μ＝
２
５
，
ì
?
í
??
??
∴ λ＋μ＝
８
５
．
解法二：由题意得 ＡＭ→＝ＡＢ→＋ １
２
ＡＤ→，ＢＮ→＝ － １
２
ＡＢ→＋ＡＤ→，则 ＡＣ→ ＝
λ ＡＭ→ ＋ μ ＢＮ→ ＝ λ－ μ
２( ) ＡＢ→ ＋ λ２ ＋μ( ) ＡＤ→， 又 ＡＣ→ ＝ ＡＢ→ ＋ ＡＤ→，
∴
λ－
μ
２
＝ １，
λ
２
＋μ＝ １，
ì
?
í
??
??
解得
λ＝
６
５
，
μ＝
２
５
．
ì
?
í
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∴ λ＋μ＝
８
５
．
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(共49张PPT)
五年高考
A组????自主命题·江苏卷题组
1.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量?,?,?的模分别为1,1,?,?与?的夹角
为α,且tan α=7,?与?的夹角为45°.若?=m?+n?(m,n∈R),则m+n= ????.
?
答案 3
解析 本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的夹角及其应用等知识.
解法一:∵tan α=7,α∈[0,π],
∴cos α=?,sin α=?,
∵?与?的夹角为α,
∴?=?,
∵?=m?+n?,|?|=|?|=1,|?|=?,
∴?=?,①
又∵?与?的夹角为45°,
∴?=?=?,②
又cos∠AOB=cos(45°+α)=cos αcos 45°-sin αsin 45°
=?×?-?×?=-?,
∴?·?=|?|·|?|·cos∠AOB=-?,
将其代入①②得m-?n=?,
-?m+n=1,
两式相加得?m+?n=?,
所以m+n=3.
解法二:过C作CM∥OB,CN∥OA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N,
则?=m?,?=n?,
由正弦定理得?=?=?,
∵|?|=?,由解法一知,sin α=?,cos α=?,
∴|?|=?=?=?,
|?|=?=?=?,
又?=m?+n?=?+?,|?|=|?|=1,
∴m=?,n=?,
∴m+n=3.
方法总结 对于所给出的向量等式的处理可以从以下三个方面进行:一是通过向量的平行四
边形法则,转化为三角形中的边角的关系,应用正弦定理、余弦定理来加以解决;二是通过向量
的线性运算来进行求解;三是通过乘相同的向量,从而将向量等式转化为数量等式来加以解决.
2.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为 ????.
答案 -3
解析 由a=(2,1),b=(1,-2),
可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),
由已知可得?解得?
从而m-n=-3.
名师点睛 明确两向量相等的充要条件,它们的对应坐标相等,其实质为平面向量基本定理的
应用.向量共线的充要条件的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?x1y2-x2y1=0.向量垂直的充
要条件的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 向量的线性运算与几何意义
1.(2018课标全国Ⅰ理改编,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则下列正确
的是 ????.
①?=??-??;②?=??-??;
③?=??+??;④?=??+??.
答案 ①
解析 本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义.
∵E是AD的中点,∴?=-??,∴?=?+?=-??+?,又∵D为BC的中点,∴?=?(?+
?),因此?=-?(?+?)+?=??-??.
题型归纳 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)考查向量加法或减法的几何意义.
(2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;求首
尾相连的向量的和用三角形法则.
(3)与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知条件中的式子比较,求得参数.
(4)与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向
量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
2.(2017天津文,14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若?=2?,?=λ?-?(λ∈R),且
?·?=-4,则λ的值为 ????.
答案?????
解析 本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积运算.
由?=2?得?=??+??,
所以?·?=?·(λ?-?)=?λ?·?-??+?λ?-??·?,
又?·?=3×2×cos 60°=3,?=9,?=4,
所以?·?=λ-3+?λ-2=?λ-5=-4,
解得λ=?.
?
思路分析 根据?=2?得?=??+??,利用?·?=-4以及向量的数量积建立关于λ的
方程,从而求得λ的值.
一题多解 以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,∠
BAC=60°,所以B(3,0),C(1,?),又?=2?,所以D?,所以?=?,而?=λ?-?=
λ(1,?)-(3,0)=(λ-3,?λ),因此?·?=?(λ-3)+?×?λ=?λ-5=-4,解得λ=?.
?
3.(2017课标全国Ⅱ文改编,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下列正确的是 ????.
①a⊥b;②|a|=|b|;③a∥b;④|a|>|b|.
答案 ①
解析 本题考查向量加法的几何意义,向量模的概念.
解法一:由向量加法的几何意义知,|a+b|=|a-b|等价于以向量a,b为邻边的平行四边形的对角线
相等,则该平行四边形是矩形,所以a⊥b.
解法二:由|a+b|=|a-b|得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,则a⊥b.
4.(2017浙江,15,6分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ????,最大值是????
????.
答案 4;2?
解析 本题考查向量的线性运算、坐标运算,向量的几何意义,向量绝对值不等式,利用基本不
等式求最值,利用三角代换求最值,考查逻辑推理能力和运算求解能力.
解法一:∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2,
且|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4,
∴|a+b|+|a-b|≥4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最小值4.
∵?≤?=?=?,
∴|a+b|+|a-b|≤2?.
当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时a·b=0.
故当a⊥b时,|a+b|+|a-b|有最大值2?.
解法二:设x=|a+b|,由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,
得1≤x≤3.
设y=|a-b|,同理,1≤y≤3.
而x2+y2=2a2+2b2=10,
故可设x=?cos θ,?≤cos θ≤?,
y=?sin θ,?≤sin θ≤?.
设α1,α2为锐角,且sin α1=?,sin α2=?,
则有α1≤θ≤α2,又0<α1则x+y=?(cos θ+sin θ)=2?sin?,
α1+?≤θ+?≤α2+?,而?<α1+?故当θ+?=?,即θ=?时,x=y,此时|a+b|=|a-b|,
所以当a⊥b时,x+y=|a+b|+|a-b|有最大值2?.
又sin?=sin?=??=?,
故当θ=α1或θ=α2时,x=3,y=1或x=1,y=3,此时a∥b,
x+y=|a+b|+|a-b|有最小值4.
解法三:设b=(2,0),a=(x,y),则x2+y2=1.
则|a+b|+|a-b|=?+?
=?+?=?+?
=?=?,
∵0≤x2≤1,故当x=0,即a⊥b时,
|a+b|+|a-b|有最大值2?,
当x2=1,即a∥b时,|a+b|+|a-b|有最小值4.
解法四:设x=|a+b|,由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,
得1≤x≤3.设y=|a-b|,同理可得1≤y≤3.
又x2+y2=2a2+2b2=10.
故可转化为线性规划问题“已知?求x+y的最大值和最小值.”
其可行域为图中弧AB,平移直线x+y=0,显然过A、B点时,x+y有最小值4.
与圆弧相切时,切点为C(?,?),x+y有最大值2?,则|a+b|+|a-b|的最小值为4,最大值为2?.
5.(2015北京,13,5分)在△ABC中,点M,N满足?=2?,?=?.若?=x?+y?,则x= ????
????,y= ????.
答案?????;-?
解析 由?=2?知M为AC上靠近C的三等分点,由?=?知N为BC的中点,作出草图如下:
?
则有?=?(?+?),所以?=?-?=?(?+?)-?·?=??-??,
又因为?=x?+y?,所以x=?,y=-?.
考点二 平面向量基本定理及坐标表示
1.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B
上方,M为抛物线上一点,?=λ?+(λ-2)?,则λ= ????.
答案 3
解析 由题意可得A(1,2),B(1,-2),设M的坐标为(x,y),由?=λ?+(λ-2)?得(x,y)=λ(1,2)+(λ-2)
(1,-2)=(2λ-2,4),因为M在抛物线上,所以16=4(2λ-2),解得λ=3.
2.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1?+λ2?
+λ3?+λ4?+λ5?+λ6?|的最小值是 ????,最大值是 ????.
答案 0;2?
解析 本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以
此来考查学生的数据处理能力,数学运算及数据分析的核心素养.
如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
?
∴?=(1,0),?=(0,1),?=(-1,0),?=(0,-1),?=(1,1),?=(-1,1),
故|λ1?+λ2?+λ3?+λ4?+λ5?+λ6?|
=|(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6)|
=?.(*)
显然(*)式中第一个括号中的λ1,λ3与第二个括号中的λ2,λ4的取值互不影响,∴只需讨论λ5与λ6的
取值情况即可,
当λ5与λ6同号时,不妨取λ5=1,λ6=1,
则(*)式即为?,
∵λ1,λ2,λ3,λ4∈{-1,1},∴λ1=λ3,λ2-λ4=-2(λ2=-1,λ4=1)时,(*)式取最小值0,当|λ1-λ3|=2(如λ1=1,λ3=-1),λ2-
λ4=2(λ2=1,λ4=-1)时,(*)式取最大值2?,
当λ5与λ6异号时,不妨取λ5=1,λ6=-1,则(*)式即为?.
同理可得最小值仍为0,最大值仍为2?,
综上,最小值为0,最大值为2?.
解题关键 本题未知量比较多,所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为规则的正
方形,λi(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有两种可能(1和-1),这就给建系及讨论λi的值创造了条件,也是求
解本题的突破口.
3.(2018课标全国Ⅲ理,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= ????.
答案?????
解析 本题考查向量的坐标运算.
由已知得2a+b=(4,2).因为c=(1,λ),c∥(2a+b),所以4λ-2=0,解得λ=?.
4.(2017课标全国Ⅲ理改编,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD
相切的圆上.若?=λ?+μ?,则λ+μ的最大值为 ????.
答案 3
解析 本题考查向量的运算.
分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).∵点P在以C为
圆心且与BD相切的圆上,∴可设P?.
则?=(0,-1),?=(-2,0),?=?.
又?=λ?+μ?,
∴λ=-?sin θ+1,μ=-?cos θ+1,
∴λ+μ=2-?sin θ-?cos θ=2-sin(θ+φ),
其中tan φ=?,∴(λ+μ)max=3.
方法指导 研究平面向量问题有两种基本策略:一是找基底,通过向量的加、减法法则将所求
向量用基底的形式表示出来;二是坐标法,将所要研究的向量用坐标的形式表示出来.一般地,
若问题中有点在某条曲线上,则宜采用坐标法加以研究.
5.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= ????.
答案 -6
解析 因为a∥b,所以?=?,解得m=-6.
易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.
考点一 向量的线性运算与几何意义
C组 教师专用题组
1.(2014课标全国Ⅰ,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若?=?(?+?),则?与?的夹角
为 ????.
答案 90°
解析 由?=?(?+?)可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为
直角,所以∠BAC=90°,所以?与?的夹角为90°.
思路分析 根据?=?(?+?)知O为BC的中点,进而得BC为圆O的直径,然后利用直径所对
圆周角为直角即可得到结果.
解后反思 在解决与共起点的向量加法有关的问题时,注意平行四边形法则的运用,熟记
“?+?=2??D为BC的中点”是解决此类问题的关键.
2.(2014课标全国Ⅰ改编,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则?+?= ????
????.
答案?????
解析 设?=a,?=b,则?=-?b+a,?=-?a+b,从而?+?=?+?=?(a+b)=
?.
3.(2013江苏,10,5分)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=?AB,BE=?BC.若?=λ1?+λ2
?(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 ????.
答案?????
解析?????=?+?=??+??=??+?(?-?)=-??+??,
∵?=λ1?+λ2?,
∴λ1=-?,λ2=?,
故λ1+λ2=?.
4.(2011课标全国,12,5分)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=-?,=60°,则|c|的最大值等于????
????.
答案 2
解析 由a·b=-?得=120°,
如图,设?=a,?=b,?=c,
则∠AOB=120°,?=a-c,?=b-c,
∵=60°,∴∠ACB=60°,
∴O、A、C、B四点共圆.|c|的最大值应为圆的直径2R,
在△AOB中,OA=OB=1,∠AOB=120°,
所以AB=?,
由正弦定理得2R=?=2.
?
评析 本题主要考查向量的基本运算和数形结合的思想方法.得到O、A、C、B四点共圆是
解题关键,属难题.
考点二 平面向量基本定理及坐标表示
1.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ= ????.
答案 -3
解析 本题考查向量平行的条件.
∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b,
∴2λ-6×(-1)=0,
∴λ=-3.
2.(2015课标全国Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= ????.
答案?????
解析 ∵向量λa+b与向量a+2b平行,
∴存在实数k使得λa+b=k(a+2b),
即(λ-k)a+(1-2k)b=0,
∵a,b不平行,
∴?
∴k=?,λ=?.
故答案为?.
思路分析 由向量λa+b与a+2b平行知存在实数k使得λa+b=k(a+2b),整理得(λ-k)a+(1-2k)b=0,再
利用平面向量基本定理列方程组,由此可得出λ值.
3.(2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|= ????.
答案?????
解析 ∵λa+b=0,即λa=-b,∴|λ||a|=|b|.
∵|a|=1,|b|=?,∴|λ|=?.
4.(2014陕西,13,5分)设0<θ答案?????
解析 ∵a∥b,∴sin 2θ×1-cos2θ=0,
∴2sin θcos θ-cos2θ=0,
∵0<θ∴cos θ>0,∴2sin θ=cos θ,
∴tan θ=?.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点一 向量的线性运算与几何意义
1.(2019无锡期末,7)在四边形ABCD中,已知?=a+2b,?=-4a-b,?=-5a-3b,其中a,b是不共线
的向量,则四边形ABCD的形状是 ????.
答案 梯形
解析?????=?+?+?=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b=2(-4a-b),所以?=2?,即AD∥BC,且AD=
2BC,又?、?不共线,所以四边形ABCD是梯形.
2.(2019无锡期中,11)在△ABC中,点D是线段BC上任意一点,M是线段AD的中点,且?=λ?+μ
?,则λ+μ= ????.
答案 -?
解析 解法一:如图所示:
∵M为AD的中点,
∴?=?(?+?),
∵点D在线段BC上,
∴设?=k?=k(?-?)(k∈[0,1]),
∴?=?[k(?-?)+?]=??+??,
∵?=λ?+μ?,
∴??λ+μ=-?.
解法二:(特殊位置法)当D与B重合时,?=-??,λ=-?,μ=0,∴λ+μ=-?.
3.(2019泰州期末,12)已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点,且满足?+?+2?=0,λ
?+μ?+?=0,则λμ= ????.
答案 -?
解析 因为?+?+2?=0,
所以?+?+2(?+?)=0,即?+?+2(?+?)=0,
即?+?+2(?+?-?)=0,
所以3?-?+2?=0,即??-??+?=0,
所以λ=?,μ=-?,则λμ=-?.
4.(2019海安高级中学期中,11)设x>0,y>0,向量a=(1-x,4),b=(x,-y),若a∥b,则x+y的最小值为 ????
????.
答案 9
解析 因为a∥b,所以4x+(1-x)y=0,
又x>0,y>0,所以?+?=1,
故x+y=?(x+y)=5+?+?≥9.
当且仅当x=3,y=6时,等号成立.
则(x+y)min=9.
考点二 平面向量基本定理及坐标表示
1.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,5)已知向量a=(1,2),b=(m-1,m)且a∥b,则m= ????.
答案 2
解析 ∵a∥b,∴1·m-2·(m-1)=0,解得m=2.
2.(2019扬州中学检测,5)已知向量?=(k,12),?=(4,5),?=(10,k),当A,B,C三点共线时,实数k的
值为 ????.
答案 -2或11
解析 由题意可得?=(4-k,-7),?=(6,k-5),由于?和?共线,故有(4-k)(k-5)+42=0,解得k=11
或k=-2.
3.(2017扬州期中,7)已知向量a=(1,m+1),b=(m,2),则a∥b的充要条件是m= ????.
答案 -2或1
解析 因为a∥b,所以2=m(m+1),解得m=1或-2.
易错警示 本题很容易将m=1舍去,误认为两个向量相等时它们不平行.
4.(2019扬州中学检测,15)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π.
(1)若a⊥b,求|a-b|的值;
(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.
解析 (1)由题意得(a-b)2=a2-2a·b+b2=2,
故|a-b|=?.
(2)a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),
∴?由此得cos α=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β,代入sin α+sin β
=1可得sin α=sin β=?,∵α>β,∴α=?,β=?.
5.(2018无锡期中,15)已知三点A(1,-1),B(3,0),C(2,1),P为平面ABC上的一点,?=λ?+μ?,且
?·?=0,?·?=3.
(1)求?·?;
(2)求λ+μ的值.
解析 (1)因为?=(2,1),?=(1,2),
所以?·?=2+2=4.
(2)因为?·?=0,所以?⊥?.
因为?=(2,1),所以可设?=(a,-2a),
因为?·?=3,所以(a,-2a)·(1,2)=3,
所以a-4a=3,所以a=-1,所以?=(-1,2),
因为?=λ?+μ?,
所以(-1,2)=λ(2,1)+μ(1,2)=(2λ+μ,λ+2μ),
所以?解得?
所以λ+μ=?.
一、填空题(每小题5分,共25分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：35分钟 分值：55分)
1.(2019七大市三模,11)如图,正六边形ABCDEF中,若?=λ?+μ?(λ,μ∈R),则λ+μ的值为????
????.
?
答案?????
解析 连接CE交AD于G点,易得?=??=?×?(?+?)=?(?+?),∴λ+μ=?.
?
一题多解 以AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立直角坐标系,设AB=1,则A(0,0),B(1,0),E
(0,?),C?,D(1,?),∵?=λ?+μ?,
∴(1,?)=λ?+μ(0,?),
∴???故λ+μ=?.
2.(2019南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学联考,14)在平面四边形ABCD中,已知△
ABC的面积是△ACD的面积的3倍,若存在正实数x,y使得?=??+??成立,则x+y
的最小值为 ????.
答案?????
解析 如图,分别过点B,D作BG⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为G,F,
?
∵S△ABC=3S△ACD,∴BG=3DF,
易得△BGE与△DFE相似,
∴?=?=?,∴?=??+??,
又∵?=??+??,
∴1-?=3?,即?+?=10,
∴x+y=?(x+y)?=??
≥?(4+2?)=?,当且仅当x=?,y=?时,取“=”.
3.(2019淮安五校联考,11)△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若?+?+?=0,且|?|=|?|,
则?·?等于 ????.
答案 3
解析 因为?+?+?=0,所以?+?=0,故O为BC中点,由O为△ABC的外接圆的圆心得OA
=OB=OC=1,所以△ABC为直角三角形,又|?|=|?|,所以△ABO为等边三角形,所以?·?=|
?|·|?|cos C=|?|2=3.
解题关键 将?+?+?=0转化为?+?=0,得到O为BC中点是解题关键.
4.(2018泰州中学期初,11)在△ABC中,AB=BC=2,AC=3,设O是△ABC的内心,若?=p?+q?,
则?的值为 ????.
答案?????
解析 如图,因为O为△ABC的内心,AB=BC,取AC的中点D,则O在线段BD上.
从而cos∠DAO=cos∠BAO=?=?,
由余弦定理得cos∠BAC=?=?,
由?=p?+q?得?·?=p?+q?·?,
所以|?||?|cos∠BAO=p?+q|?||?|cos∠BAC,
故3=4p+?q①,
?
同理?·?=p?·?+q?,所以?=?p+9q②,
①②联立可求得p=?,q=?,从而?=?.
一题多解 如图,设D为AC的中点,
?
∵△ABC为等腰三角形,
∴O在BD上,AO为∠A的平分线,
∴?=?=?,
∴?=??+??=??+??,
∴p=?,q=?,∴?=?.
5.(2018泰州中学期中,13)在△ABC中,过BC边的中线AD上一点E作直线分别交AB,AC于M,N两
点,且?=2?,设?=x?,?=y?(xy≠0),则9x+y的最小值为 ????.
?
答案?????
解析 因为D是BC的中点,?=2?,所以?=??=?(?+?),又?=??,?=??,所
以?=??+??,因为M,E,N三点共线,所以?+?=1,从而(9x+y)·?=?
?≥?×(10+6)=?,当且仅当y=3x时等号成立.
二、解答题(共30分)
6.(2019泰州期末,15)已知向量a=(sin x,1),b=?,其中x∈(0,π).
(1)若a∥b,求x的值;
(2)若tan x=-2,求|a+b|的值.
解析 (1)因为a∥b,所以sin xcos x=?,即sin 2x=1,
因为x∈(0,π),所以x=?.
(2)因为tan x=?=-2,所以sin x=-2cos x,
又因为a+b=?,
所以|a+b|=?=?=?.
评析 本题考查向量平行的概念及运算,利用坐标求向量的模,难度不大.
7.(2018南通调研,15)在平面直角坐标系xOy中,设向量a=(cos α,sin α),b=(-sin β,cos β),c=
?.
(1)若|a+b|=|c|,求sin(α-β)的值;
(2)设α=?,0<β<π,且a∥(b+c),求β的值.
解析 (1)因为a=(cos α,sin α),b=(-sin β,cos β),c=?,
所以|a|=|b|=|c|=1,
且a·b=-cos αsin β+sin αcos β=sin(α-β).?(2分)
因为|a+b|=|c|,所以|a+b|2=|c|2,即a2+2a·b+b2=1,?(4分)
所以1+2sin(α-β)+1=1,即sin(α-β)=-?.?(6分)
(2)因为α=?,所以a=?.
依题意得b+c=?.?(8分)
因为a∥(b+c),所以-??-??=0.?(10分)
化简得?sin β-?cos β=?,所以sin?=?.?(12分)
因为0<β<π,
所以-?<β-?所以β-?=?,所以β=?.?(15分)
