2.1.2 指数函数及其性质 学案

中小学教育资源及组卷应用平台


2.1.2　指数函数及其性质
1.指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
2.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 R
值域[来源:学科网] (0，＋∞)
性质 过定点 过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
函数值 的变化 当x＞0时，y＞1； 当x<0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1
单调性 在R上的增函数 在R上的减函数

3.比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断.
4.简单指数不等式的解法
形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；
(1)当0ag(x)?f(x)(2)当a>1时，af(x)>ag(x)?f(x)>g(x).
5.形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.
(2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反.



类型一　指数函数的概念
【例1】 在下列的关系式中，哪些是指数函数，
(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；
(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a＞1，且a≠2).
解　只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b＝a－1，则y＝bx，b＞0且b≠1，所以是.
【训练1】 函数y＝(2a－3)x是指数函数，则实数a的取值范围是________.
解析　由题意知解得a>且a≠2.
答案　∪(2，＋∞)
类型二　指数函数的图象
【例2】 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)

A.aC.1解析　在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大.由指数函数图象的升降，知c>d>1，bZXXK]【训练2】 函数y＝|2x－2|的图象是(　　)

解析　y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的.
故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分对折到x轴的上方得到的.所以选项B满足函数y＝|2x－2|的图象特征.
答案　B
类型三　求指数型函数的定义域、值域
【例3】 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝.
解　(1)由x－4≠0，得x≠4，
故y＝2的定义域为{x|x∈R，且x≠4}.
又≠0，即2≠1，
故y＝2的值域为{y|y＞0，且y≠1}.
(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，
∴y＝的定义域为(－∞，0].
由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1，
∴y＝的值域为[0，1).
(3)y＝的定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴≤＝16.
又∵＞0，
故函数y＝的值域为(0，16].
【训练3】 (1)函数y＝的定义域是________.
(2)已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象过点(2，1)，则f(x)的值域为(　　)
A.[9，81] B.[3，9] C.[1，9] D.[1，＋∞)
解析　(1)要使函数有意义，则有1－≥0，即≤1＝.解得x≥0.故函数的定义域为[0，＋∞).
(2)∵y＝f(x)的图象过点(2，1)，∴32－b＝1，∴b＝2，则f(x)＝3x－2，由于2≤x≤4，
知0≤x－2≤2.故f(x)的值域是[1，9].
答案　(1)[0，＋∞)　(2)C
类型四　利用函数的单调性比较大小
【例4】 比较下列各组数的大小：
(1)与；(2)与1；
(3)(0.8)－2与.
解　(1)考查函数y＝，且0<<1.
∴函数y＝在(－∞，＋∞)上是减函数，又－0.24>－，∴＜.
(2)考查函数y＝，且0＜＜1，∴函数y＝在(－∞，＋∞)上是减函数，
又－π＜0，∴＞＝1.
(3)(0.8)－2＝＝.函数y＝在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴＜，即＜(0.8)－2.
【训练4】 (1)下列判断正确的是(　　)
A.2.82.6>2.82.9 B.0.52<0.53
C.π2<π D.0.9－0.3>0.9－0.2
(2)已知a＝，函数f(x) ＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系是________.
解析　(1)函数y＝0.9x在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.9－0.3>0.9－0.2.
(2)因为f(x)＝ax＝在R上是减函数，又f(m)>f(n)，因此m答案　(1)D　(2)m类型五　解简单的指数不等式
【例5】 (1)解不等式≤2.
(2)已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，求x的取值范围.
解　(1)＝22－x2，所以原不等式等价于22－x2≤21.
因为y＝2x在R是的增函数，所以2－x2≤1，所以x2≥1，即x≤－1或x≥1.
所以≤2的解集为{x|x≤－1或x≥1}.
(2)因为a2＋a＋2＝＋>1，
所以y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数.
所以x>1－x，解得x>.
所以x的取值范围是.
【训练5】 设0＜a＜1，解关于x的不等式a2x2－3x＋2＞a2x2＋2x－3.
解　∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，
又∵a2x2－3x＋2＞a2x2＋2x－3，
∴2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1.
∴不等式的解集是(1，＋∞).
类型六　指数型函数的单调性
【例6】 判断f(x)＝的单调性，并求其值域.
解　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝，u∈[－1，＋∞)，
∴0＜≤＝3，
∴原函数的值域为(0，3].
【训练6】 求函数y＝2－x2＋2x的单调区间.
解　函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数.
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数.
综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].
课时同步训练
1.函数f(x)＝的定义域是(　　)
A.(5，＋∞) B.[5，＋∞)
C.(－∞，5) D.(－∞，5]
解析　依题意2x－32≥0，即2x≥25，解得x≥5.所以函数y＝的定义域为[5，＋∞).
答案　B[来源:Z,xx,k.Com]
2.函数y＝5－|x|的图象是(　　)

解析　当x＞0时，y＝5－|x|＝5－x＝，又原函数为偶函数，选项D的图象满足要求.
答案　D
3.函数y＝2x＋1的图象是(　　)

解析　当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A.
答案　A
4.若函数f(x)＝(a－1)x在R上是指数函数，那么实数a的取值范围是(　　)
A.(0，1)∪(1，＋∞) B.(1，2)
C.(1，2)∪(2，＋∞) D.(0，＋∞)
解析　由题意得a－1>0且a－1≠1，所以a>1且a≠2.
答案　C
5.函数y＝ax＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点(　　)
A.(0，1) B.(1，0) C.(2，1) D.(0，2)
解析　因为y＝ax的图象一定经过点(0，1)，将y＝ax的图象向上平移1个单位得到函数y＝ax＋1的图象，所以，函数y＝ax＋1的图象经过点(0，2).
答案　D
6.若a＝0.5，b＝0.5，c＝0.5，则a、b、c的大小关系是(　　)
A.a＞b＞c B.a＜b＜c
C.a＜c＜b D.b＜c＜a
解析　∵y＝0.5x在R上是减函数，而＞＞，
∴0.5＜0.5＜0.5，即a＜b＜c.
答案　B
7.若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域都为R，则(　　)
A.f(x)与g(x)均为偶函数
B.f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C.f(x)与g(x)均为奇函数[来源:Z|xx|k.Com]
D.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数[来源:Z。xx。k.Com]
解析　f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，f(x)为偶函数，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，g(x)为奇函数.
答案　B
8.已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)
A.是奇函数，且在R上是增函数
B.是偶函数，且在R上是增函数
C.是奇函数，且在R上是减函数
D.是偶函数，且在R上是减函数
解析　f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，则f(x)为奇函数.y＝3x为增函数，y＝为减函数，则f(x)＝3x－为增函数，故选A.
答案　A
9.已知函数f(x)＝ax(00，则0a；③若f(x1)>f(x2)，则x1A.0 B.1 C.2 D.3
解析　根据指数函数的性质知①②③都正确.
答案　D
10.已知f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是(　　)
A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(0，1)
解析　∵－2＞－3，f(－2)＞f(－3)，又f(x)＝a－x＝，∴＞，
∴＞1，∴0＜a＜1.
答案　D
11.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A. B. C.[0，1] D.(0，1]
解析　依题意－≤1且a＋1>1，解得0答案　D


12.已知函数f(x)＝则f ＝(　　)
A.4 B. C.－4 D.－
解析　因为f ＝1－＝－2，所以f ＝f(－2)＝2－2＝.
答案　B
13.已知集合A＝{x|1≤2x<16}，B＝{x|0≤x<3，x∈N}，则A∩B＝________.
解析　由1≤2x<16得0≤x<4，即A＝{x|0≤x<4}，又B＝{x|0≤x<3，x∈N}，所以A∩B＝{0，1，2}.
答案　{0，1，2}
14.方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是______.
解析　作出y＝|2x－1|的图象(如图)，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.
答案　{a|a≥1或a＝0}
15.若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
解析　当a>1时，依题意有a2＝4，a－1＝m，解得a＝2，m＝，此时g(x)＝－是减函数，不符合题意；
当0答案　
16.已知函数f(x)是定义域在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)＜－的解集是________.
解析　当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1－2x＝－f(x)，
则f(x)＝2x－1，当x＝0时，f(0)＝0，
由f(x)<－，得2x－1<－，解得x<－1.
答案　(－∞，－1)
17.已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域.
解　(1)∵f(x)的图象过点，
∴a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝，x≥0.
由x≥0，得x－1≥－1，
于是0＜≤＝2，
所以函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0，2].
18.若y＝(a－3)(a－2)x是指数函数，求函数f(x)＝a的定义域与值域.
解　因为y＝(a－3)(a－2)x是指数函数，所以解得a＝4.
所以f(x)＝4
由x＋2≠0，知f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠－2}.
令t＝，则t≠0，所以4t>0且4t≠1，故f(x)的值域为{y|y>0且y≠1}.

19.已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值.
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，
y＝在R上是减函数，
∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞).
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
20.设函数f(x)＝2x，g(x)＝＋2.
(1)求函数g(x)的值域；
(2)若g(x)≤，求实数x的取值范围；
(3)当f(x)＝g(x)时，求2x的值.
解　(1)因为|x|≥0，所以2|x|≥1，所以0<≤1，
所以2即函数g(x)的值域为(2，3].
(2)由g(x)≤，得2－|x|＋2≤，
∴2－|x|≤，∴|x|≥1，∴x≥1或x≤－1，
∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞).
(3)当f(x)＝g(x)时，有2x＝＋2，
当x≥0时，得2x＝＋2，即(2x)2－2·2x＋1＝2，所以(2x－1)2＝2，
得2x－1＝(舍去2x－1＝－)，
所以2x＝1＋.当x<0时，得2x＝＋2，
即1＝1＋2·2－x，该方程无解.综上知2x＝1＋.




























21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）



HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)