2.2.1 对数与对数运算 学案

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2.2.1　对数与对数运算
1.对数的概念
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg__N，logeN简记为ln__N.
3.对数与指数的关系
若a＞0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝x.
对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a＞0，且a≠1).
4.对数的性质
(1)零和负数没有对数.
(2)loga1＝0(a>0且a≠1).
(3)logaa＝1(a>0且a≠1).
5.对数的运算性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0.那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMn＝nlogaM，(n∈R).
6.换底公式
(1)logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0).
(2)几个重要推论
①loganbm＝logab(a>0，b>0，a≠1)
②logab·logba＝1(a>0，且a≠1；b>0且b≠1)
③logab·logbc·logcd＝logad.(a，b，c，d大于0，且a，b，c不为1).

类型一　指数式与对数式的互化
【例1】 将下列指数与对数式互化；
(1)2－2＝；(2)ea＝16；(3)log39＝2；(4)logxy＝z.
解　(1)∵2－2＝，∴log2＝－2.
(2)由ea＝16，得ln 16＝a.
(3)∵log39＝2，∴32＝9.
(4)由logxy＝z，得xz＝y.
【训练1】 将下列指数式与对数式互化：
(1)10－2＝0.01；(2)＝64；(3)log232＝5；(4)ln e＝1.
解　(1)∵10－2＝0.01，∴lg 0.01＝－2.
(2)∵＝64，∴log64＝－3.
(3)∵log232＝5，∴25＝32.
(4)∵ln e＝1，∴e＝e1.
类型二　利用指数与对数关系求值
【例2】 求下列各式中的x的值；
(1)log27x＝－；(2)logx16＝－4；(3)lg＝x；
解　(1)因为log27x＝－.所以x＝27－＝(33)－＝3－2＝；
(2)因为logx16＝－4，所以x－4＝16.即x－4＝24.
所以＝24，所以＝2，即x＝.
(3)因为lg＝x，所以10x＝10－3，
∴x＝－3.
【训练2】 求下列各式中的x值.
(1)logx3＝3；(2)logx2＝4.
解　(1)由logx3＝3，得x3＝3＝()3，
∴x＝.
(2)由logx2＝4，得x2＝()4＝22，则x＝±2.
类型三　对数的性质与对数恒等式的应用
【例3】 (1)求下列各式中x的值：
①6log6(5x＋1)＝36；②log(x＋1)(2x－3)＝1.
(2) log5(log3(log2a))＝0，计算6log6a的值.
解　(1)①由6log6(5x＋1)＝36，得5x＋1＝36，解之得x＝7.
②由log(x＋1)(2x－3)＝1，得x＋1＝2x－3，∴x＝4，代入检验满足x＋1>0且x＋1≠1，2x－3>0.
因此x的取值为4.
(2)因为log5(log3(log2a))＝0.所以log3(log2a)＝1，则log2a＝3，a＝8.
故原式＝6log6a＝a＝8
【训练3】.已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求·y的值.
解　∵log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝1，
∴log4x＝3，∴x＝43＝64.
由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，∴y＝24＝16.
因此·y＝×16＝8×8＝64.
类型四　对数运算的性质应用
【例4】 计算下列各式：
(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)；
(3)lg 25＋lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2.
解　(1)原式＝log535－log5＋log57－log5
＝log5＝log5(5×5)
＝2log55＝2.[来源:学科网ZXXK]
(2)原式＝＝
＝＝1.
(3)原式＝2lg 5＋lg 2＋lg 5·(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5＋lg 2·(lg 5＋lg 2)
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2
＝3(lg 5＋lg 2)＝3lg(5×2)＝3.
【训练4】 计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2).
解　(1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2)
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
(2)原式＝
＝
＝.
类型五　换底公式的应用
【例5】 (1)计算：(log43＋log83)log32；
(2)已知3a＝5b＝c，且＋＝2.求c的值.
解　(1)原式＝·log32
＝·log32＝＋＝.
(2)由3a＝5b＝c，得a＝log3c，b＝log5c.
∴＝logc3，＝logc5.又＋＝2，[来源:Zxxk.Com]
所以logc3＋logc5＝2，即logc15＝2，故c2＝15，又c>0且c≠1,∴c＝.
【训练5】计算log916·log881的值为(　　)
A.18 B. C. D.
解析　log916·log881＝·＝·＝.
答案　C
课时同步训练
1.若logab＝c，则a，b，c之间满足(　　)
A.ac＝b B.ab＝c C.ca＝b D.cb＝a
解析　由对数定义，ac＝b.
答案　A
2.设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
解析　取对数：xln 2＝yln 3＝zln 5，＝>(由ln 32>ln 23可得)，∴2x>3y.xln 2＝zln 5，则＝<，∴2x<5z，∴3y<2x<5z，故选D.
答案　D
3.计算log916·log881的值为(　　)
A.18 B. C. D.
解析　log916·log881＝·＝·＝.
答案　C
4.若lg x＝a，lg y＝b，则lg－lg的值为(　　)
A.a－2b－2 B.a－2b＋1
C.a－2b－1 D.a－2b＋2
解析　原式＝lg x－2lg＝lg x－2(lg y－1)
＝a－2(b－1)＝a－2b＋2.[来源:学§科§网Z§X§X§K]
答案　D
5.若a>0，a2＝，则loga＝________.
解析　由a>0，a2＝，可知a＝，所以loga＝log＝1.
答案　1来源:学科网ZXXK]
6.若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
解析　由log2(log3x)＝0，得log3x＝1，则x＝3.
同理y＝4，z＝2，所以x＋y＋z＝3＋4＋2＝9.
答案　A
7.有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若e＝ln x，则x＝e2，其中正确的是(　　)
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
解析　∵lg10＝1，ln e＝1，∴①②正确.
由10＝lg x得x＝1010，故③错；由e＝ln x得x＝ee，故④错.
答案　C
8.若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A.a＋＜＜log2(a＋b) B.＜log2(a＋b)＜a＋
C.a＋＜log2(a＋b)＜ D.log2(a＋b)＜a＋＜
解析　令a＝2，b＝，则a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2∈(1，2)，则＜log2(a＋b)＜a＋，故选B.
答案　B
9.对数式lg 14－2lg＋lg 7－lg 18的化简结果为(　　)
A.1 B.2 C.0 D.3
解析　lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg＋lg 7－lg 18＝lg＝lg 1＝0.
答案　C
10.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于(　　)
A.3 B.8 C.4 D.log48
解析　由2x＝3，得x＝log23.∴x＋2y＝log23＋2log4
＝log23＋2×＝log23＋log2
＝log2＝log28＝3.
答案　A
11.已知m>0，且10x＝lg(10m)＋lg，则x＝________.
解析　因为lg(10m)＋lg＝lg＝lg 10＝1，所以10x＝1，得x＝0.
答案　0
12.若x>0，且x2＝，则xlog＝________.
解析　由x>0，且x2＝，∴x＝，从而xlog＝＝.
答案　
13.已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值为________.
解析　由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，
得(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，且y＝1，
因此log2(yx)＝log212＝log21＝0.
答案　0
14.计算23＋log23＋32－log39＝________.
解析　原式＝23·2log23＋32－2＝23×3＋1＝25.
答案　25
15.将下列指数式与对数式互化.
(1)52＝25；(2)＝9；
(3)log28＝3；(4)lg 10 000＝4.
解　(1)∵52＝25，∴log525＝2.
(2)∵＝9，∴log9＝－2.
(3)∵log28＝3，∴23＝8.
(4)∵lg 10 000＝4，∴104＝10 000.
16.设f(x)＝求f(f(2))的值.
解　∵f(2)＝log3(22－1)＝1，
∴f(f(2))＝f(1)＝5e1－1＝5.[来源:学科网ZXXK]
17.设loga3＝m，loga5＝n.求a2m＋n的值.
解　由loga3＝m，得am＝3，
由loga5＝n，得an＝5，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.
18.计算：(1)lg－lg＋lg 12.5－log89·log34；
(2)4(log29－log25).
解　(1)lg－lg＋lg 12.5－log89·log34
＝lg－·＝1－＝－.
(2)原式＝＝2log2＝.
19.已知a2＝m，a3＝n(a>0且a≠1).求2logam＋logan的值.
解　因为a2＝m，a3＝n(a>0且a≠1)，所以logam＝2，logan＝3.∴2logam＋logan＝2×2＋3＝7.
20.计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋lg22；
(2).
解　(1)原式＝2lg 5＋lg 2·(1＋lg 5)＋lg22＝2lg 5＋lg 2·(1＋lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋2lg 2＝2.
(2)原式＝
＝＝－.










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