2.2.2 对数函数及其性质 学案

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2.2.2　对数函数及其性质
1.对数函数的概念
一般地，把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
2.对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0
单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数
3.反函数的概念
对数函数y＝logax (a>0且a≠1)和指数函数y＝ax__(a>0且a≠1)互为反函数.
4.互为反函数的图象的关系
指数函数y＝3x的图象与对数函数y＝log3x(x>0)的图象关于直线y＝x对称.
5.y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定).


类型一　对数函数的概念
【例1】 (1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝log(－1)x；③y＝logax2(a>0，且a≠1)；④y＝logx(x>0，且x≠1).其中是对数函数的是________(填序号).
(2)若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为(　　)
A.y＝log2x B.y＝2log4x
C.y＝log2x或y＝2log4x D.不确定
解析　(1)由对数函数定义知，②y＝log(－1)x是对数函数.①中对数式log5x后又加1，不是对数函数.③中，真数为x2，不是“x”不是对数函数.④中自变量在底数位置上，不是对数函数.
(2)设对数函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)，由题意可知loga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2.∴该对数函数的解析式为y＝log2x
答案　(1)②　(2)A
【训练1】 (1)下列函数是对数函数的是(　　)
A.y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)
B.y＝loga(x2＋1)(a>0，且a≠1)
C.y＝logx(a>0，且a≠1)
D.y＝2lg x
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.
解　(1)由对数函数的特征，只有C，y＝logx是对数函数.
(2)由a2－5a＋4＝0，得a＝1或a＝4，又2a－1>0且2a－1≠1，∴a>，且a≠1，从而舍去a＝1，故a＝4.
答案　(1)C　(2)4
类型二　对数函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域：[来源:学科网ZXXK]
(1)y＝lg(x＋1)＋；(2)y＝log(2x－1).
解　(1)要使函数有意义，需即
∴－1(2)由解得x>，且x≠1.
所以函数的定义域为∪(1，＋∞).
【训练2】 求下列函数的定义域：
(1)y＝log(x－2)(5－x).(2)y＝.
解　(1)要使函数有意义，需∴
∴定义域为(2，3)∪(3，5).
(2)要使函数有意义，需log0.5(4x－3)≥0，
即log0.5(4x－3)≥log0.51，故0<4x－3≤1，
解得类型三　对数函数的图象问题
【例3】 已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示.
(1)求实数a与b的值；
(2)函数y＝loga(x＋b)与y＝logax的图象有何关系？
解　(1)由函数的图象知，图象过点(－3，0)与点(0，2)，
∴解得
(2)函数y＝loga(x＋4)的图象可由y＝logax的图象向左平移4个单位得到.
【训练3】 (1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)[来源:Z§xx§k.Com]
A.0C.a>b>1 D.b>a>1
(2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________.
解　(1)作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0(2)因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2).
答案　(1)B　(2)(0，－2)
类型四　对数值的大小比较
【例4】 比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
解　(1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，
所以ln 0.3＜ln 2.
(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
(3)　因为0＞log0.23＞log0.24，所以＜，即log30.2＜log40.2.
【训练4】 比较下列各组值的大小：
(1)log5与log5；(2)log2与log2；(3)log23与log54.
解　(1)　对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5(2)log2＝，log2＝，
因为对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，0<<<1，
所以log2(3)取中间值1，log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54.
类型五　解简单的对数不等式
【例5】 解不等式loga(2x－5)>log.
解　原不等式化为：loga(2x－5)>loga(x－1)，
当a>1时，由已知得解得x>4；
当0解得综上可知，当a>1时，原不等的解集为{x|x>4}，
当0【训练5】 设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)
A.[－1，2] B.[0，2]
C.[1，＋∞) D.[0，＋∞)
解析　当x≤1，f(x)＝21－x，由f(x)≤2，得21－x≤2，
得x≥0，∴0≤x≤1，
当x>1时，f(x)＝1－log2x，则1－log2x≤2，
∴log2x≥－1，不等式在x>1一定成立.
综上可知，f(x)≤2的解集为[0，＋∞).
答案　D
类型六　对数型函数的单调性及应用
【例6】 (1)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)[来源:学科网ZXXK]
A.f(x)在(0，2)上单调递增
B.f(x)在(0，2)上单调递减
C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a＝－f，b＝f，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.c解析　(1)由题意知，f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误；又f(x)＝ln(2x－x2)＝ln[－(x－1)2＋1]，0(2)由题意：a＝f＝f(log25)，
且log25>log24.1>2，1<20.8<2，[来源:学科网]
因此log25>log24.1>20.8，
结合函数的单调性有：f(log25)>f>f(20.8)，
所以a>b>c，即c答案　(1)C　(2)C
【训练6】 已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(其中0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值.
解　(1)要使函数有意义，则有
解得－3(2)f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga[4－(x＋1)2]
令t＝4－(x＋1)2，x∈(－3，1)
∴0∴当t＝4(即x＝－1)时，f(x)min＝loga4＝－4，则a－4＝4，∴a＝4－＝.
课时同步训练
1.下列函数是对数函数的是(　　)
A.y＝loga(2x) B.y＝log22x
C.y＝log2x＋1 D.y＝lg x
解析　选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a＞0且a≠1)”的形式，只有D选项符合.
答案　D
2.函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，－2) B.(－∞，1)
C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)
解析　要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，结合二次函数图象得：x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为(4，＋∞)，故选D.
答案　D
3.与函数y＝的图象关于直线y＝x对称的函数y＝f(x)是(　　)
A.y＝4x B.y＝4－x
C.y＝logx D.y＝log4x
解析　依题意，y＝f(x)是y＝的反函数.∴f(x)＝logx
答案　C
4.已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b
解析　a＝log23.6＝log43.62，∵y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，且3.62>3.6>3.2，[来源:Z_xx_k.Com]
∴a>c>b.
答案　B
5.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则(　　)
A.aC.a解析　∵1＝log55>log54>log53>log51＝0，
∴1>a＝log54>log53>b＝(log53)2.
又∵c＝log45>log44＝1，∴c>a>b.
答案　D
6.函数f(x)＝lg的奇偶性是(　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
解析　f(x)的定义域为R，且f(x)＋f(－x)＝lg＋lg
＝lg＝lg 1＝0，
∴f(x)为奇函数.
答案　A
7.若0＜x＜y＜1，则(　　)[来源:Z+xx+k.Com]
A.3y＜3x B.logx3＜logy3
C.ln x＜ln y D.＜
解析　A中，y＝3x是增函数，故3y＞3x；B中，利用换底公式转化为和，前者大于后者；C中，y＝ln x是增函数，故ln x＜ln y；D中，y＝是减函数，故＞.
答案　C
8.已知点(2，4)在函数f(x)＝logax的反函数的图象上，则f ＝(　　)
A.－2 B.2 C.－1 D.1
解析　因为点(2，4)在函数f(x)＝logax的反函数图象上，所以点(4，2)在函数f(x)＝logax的图象上，所以2＝loga4，即a2＝4，得a＝2，所以f ＝log2＝－1.
答案　C


9.如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是(　　)
A.a＞b＞c B.c＞b＞a
C.c＞a＞b D.a＞c＞b
解析　y＝logax的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b，c∈(0，1)，又易知c＞b，故a＞c＞b.
答案　D
10.下列函数中在(0，2)上为增函数的是(　　)
A.y＝log(x＋1) B.y＝log2
C.y＝log2 D.y＝log(x2－4x＋5)
解析　选项A，C中函数为减函数，(0，2)不在选项B中函数的定义域内.选项D中，函数y＝x2－4x＋5在(0，2)上为减函数，又<1，故y＝log(x2－4x＋5)在(0，2)上为增函数.
答案　D
11.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.b解析　因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以当x>0时，f(x)>0，
从而g(x)＝xf(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，
a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
20.8<2，又4<5.1<8，则2所以0<20.8g(20.8)所以b答案　C

12.函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
解析　由可得－答案　D
13.函数y＝ax与y＝－logax(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是(　　)

解析　函数y＝－logax恒过定点(1，0)，排除B项；当a>1时，y＝ax是增函数，y＝－logax是减函数，当0答案　A


14.若函数y＝loga＋3的图象恒过定点P，则P点坐标为________.
解析　依题意，令＝1，得x＝－2，当x＝－2时，y＝loga1＋3＝3.∴点P的坐标为(－2，3).
答案　(－2，3)
15.已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝________.
解析　设f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，则－3＝loga8，
∴a＝.∴f(x)＝logx，f(2)＝log(2)＝－log2(2)＝－.
答案　－
16.已知log0.68(x－2)≥log0.68(1＋2x)，则实数x的取值范围是________.
解析　原不等式等价于解得x>2.
答案　(2，＋∞)

17.函数y＝log2(x2－2x＋3)的值域是________.
解析　令u＝x2－2x＋3，则u＝(x－1)2＋2≥2，因为函数y＝log2u在(0，＋∞)上是增函数，所以y≥log22＝1，所以y∈[1，＋∞).
答案　[1，＋∞)
18.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f＝0，则不等式f(log4x)＜0的解集是________.
解析　由题意可知，f(log4x)＜0?－＜log4x＜?log44－＜log4x＜log44?＜x＜2.
答案　
19.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，求满足f(x)＞0的x的取值范围.
解　∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.
设x＜0，则－x＞0，
∴f(x)＝－f(－x)＝－lg(－x)，
∴f(x)＝
由f(x)＞0可得或
∴－1＜x＜0或x＞1.
故满足f(x)＞0的x的取值范围是{x|－1＜x＜0或x＞1}.
20.若函数y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0).
(1)求a的值.
(2)求函数f(x)＝loga(x＋a)＋x在x∈[0，2]上的值域.
解　 (1)将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a>0，a≠1)中，
有0＝loga(－1＋a)，
则－1＋a＝1.因此a＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝log2(x＋2)＋x，x∈[0，2]
∵y＝log2(x＋2)与y＝x在[0，2]上都是增函数.
∴f(x)在[0，2]上是增函数.∴f(x)min＝f(0)＝log22＋0＝1，f(x)max＝f(2)＝log24＋2＝4，故函数f(x)的值域为[1，4].
21.已知f(x)＝|log3x|.
(1)画出函数f(x)的图象；[来源:学科网]
(2)讨论关于x的方程|log3x|＝a(a∈R)的解的个数.
解　(1)函数f(x)＝对应的函数f(x)的图象为：

(2)设函数y＝|log3x|和y＝a.
当a＜0时，两图象无交点，原方程解的个数为0个.
当a＝0时，两图象只有1个交点，原方程只有1解.
当a＞0时，两图象有2个交点，原方程有2解.
22.已知函数f(x)＝＋的定义域为A.
(1)求集合A；
(2)若函数g(x)＝(log2x)2－2log2x－1，且x∈A，求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值.
解　(1)要使f(x)有意义，需满足所以 所以≤x≤4，所以集合A＝.
(2)设t＝log2x，因为x∈，
所以t∈[－1，2]，
所以y＝t2－2t－1，t∈[－1，2].
因为y＝t2－2t－1＝(t－1)2－2的对称轴为t＝1∈[－1，2]，
所以当t＝1时，y有最小值－2.
所以当t＝－1时，y有最大值2.
所以当x＝2时，g(x)的最小值为－2.
当x＝时，g(x)的最大值为2.



















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