课件13张PPT。章末整合提升y0＋y专题一圆的切线方程 求过定点 P(x0，y0)的圆的切线方程：
(1)点 P(x0，y0)在圆上：则圆 x2＋y2＝r2 的切线方程为 x0x＋
y0y ＝r2 ，圆 x2 ＋y2 ＋Dx ＋Ey＋F ＝0 的切线方程为 x0x ＋y0y＋D·x＋x0
2＋E·2＋F＝0； (2)定点 P(x0，y0)在圆外：需采用求轨迹方程的方法求切线
方程，注意不要遗漏斜率不存在的切线方程． 例 1：(天津)已知圆 C 的圆心是直线 x－y＋1＝0 与
x 轴的交点，且圆 C 与直线 x＋y＋3＝0 相切．则圆 C 的方程为
____________________．答案：(x＋1)2＋y2＝2的切线方程的是()AA．x＝0
C．x＝y B．y＝0
D．x＝－y可得形如 x2＋px＋q＝0 的方程，
反之，可根据直线与圆的位置关系得到直线或圆的方程及
相关性质．有公共点，则 b 的取值范围是()答案：D2－1.(山东)已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：y＝x－1 被圆 C 所截得的弦长为，则圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为___________.x＋y－3＝0专题三弦长问题 计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)运用弦心距(即圆
心到直线的距离)、弦半径及半径构成直角三角形计算．(2)运用
例 3：已知圆 C∶x2＋y2＋x－6y＋m＝0 和直线 x＋2y－3＝0
相交于 P、Q 两点，若 OP⊥OQ，求 m 的值． 点评：求解本题时，应避免去求 P、Q 两点的坐标的具体
数值．除此之外，还应对求出的 m 值进行必要的检验，因为在
求解过程中并没有确保有交点存在，这一点很容易被忽略．3－1.(江西)直线 y＝kx＋3 与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于 M、N 两点，若|MN|≥，则 k 的取值范围是()A习题课 圆与方程
【课时目标】 1．巩固圆的方程的两种形式，并熟练应用圆的方程解决有关问题．2．熟练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用．
1．圆的方程
2．直线与圆的位置关系的判定(d表示圆心到直线的距离，r表示圆半径)
3．圆与圆的位置关系(d表示两圆圆心距，R、r表示两圆半径且
R≥r)
一、选择题
1．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(1，－2)，5 B．(1，－2)，
C．(－1,2)，5 D．(－1,2)，
2．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8
D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
3．直线x－y＝0绕原点按逆时针方向旋转30°所得直线与圆x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系是( )
A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心
C．相切 D．相离
4．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．直线l与直线3x＋4y－15＝0垂直，与圆x2＋y2－18x＋45＝0相切，则直线l的方程是( )
A．4x－3y－6＝0
B．4x－3y－66＝0
C．4x－3y－6＝0或4x－3y－66＝0
D．4x－3y－15＝0
6．方程＝k(x－2)＋3有两个不等实根，则k的取值范围为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
7．过点M(0,4)，且被圆(x－1)2＋y2＝4截得的线段长为2的直线方程为____________．
8．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程为________．
9．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________．
三、解答题
10．有一圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的标准方程．
11．已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．
能力提升
12．已知曲线C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－1,0)及点B(2，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C拦住，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
13．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．
初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆有关问题时收到意想不到的效果．
圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：
(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．
(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．
(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．
习题课 圆与方程 答案
知识梳理
1．(1)(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (a，b) (2)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F
2．d>r d＝r
作业设计
1．D
2．B [线段AB两端点为(0,2)、(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径r＝，∴选B．]
3．C [直线旋转后为y＝x，圆心(2,0)到该直线距离d＝r．∴选C．]
4．D [圆的标准方程为(x－a)2＋2＝a2＋b2．
圆心为．∴a<0，b>0．∴y＝－x－不过第四象限．]
5．C [设直线方程为4x－3y＋m＝0，由直线与圆相切得m＝－6或－66．]
6．A [
在同一平面直角坐标系中分别画出y＝(就是x2＋y2＝4，y≥0)和y＝k(x－2)＋3的图象．如图所示，问题就转化为两条曲线有两个交点的问题，需kPAkPB＝＝，对于k(x－2)－y＋3＝0，因为直线与圆相切，所以d＝r，即＝2，解得kPA＝．
所以k的取值范围为．]
7．x＝0或15x＋8y－32＝0
解析 设直线方程为x＝0或kx－y＋4＝0．当直线方程为x＝0时，弦长为2符合题意；当直线方程为kx－y＋4＝0时，d＝＝＝1，解得k＝－，因此直线方程为15x＋8y－32＝0．
8．4
解析 点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，转化为求A′(－1，－1)到圆上的点的距离的最小值问题，其最小值为－1＝4．
9．3或7
解析 这是以集合为载体考查两圆位置关系．
∵A∩B中有且仅有一个元素，
∴两圆x2＋y2＝4与(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切，
O(0,0)，C(3,4)，|OC|＝5，r1＝2，r2＝r，
故2＋r＝5，或r－2＝5，∴r＝3或7．
10．解 设所求圆的圆心为O，则OA⊥l，又设直线OA与圆的另一交点为P．所以直线OA的斜率为－．故直线OA的方程为y－6＝－(x－3)，即3x＋4y－33＝0．又因为kAB＝＝－2，从而由平面几何知识可知kPB＝，则直线PB的方程为x－2y－1＝0．
解方程组得
即点P的坐标为(7,3)．因为圆心为AP的中点，
半径为OA＝，
故所求圆的标准方程为(x－5)2＋2＝．
11．(1)证明 把直线l的方程改写成(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，
由方程组，解得，
所以直线l总过定点(3,1)．
圆C的方程可写成(x－1)2＋(y－2)2＝25，所以圆C的圆心为(1,2)，半径为5．
定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为＝<5，即点(3,1)在圆内．所以过点(3,1)的直线总与圆相交，即不论m取什么实数，直线l与圆C总相交．
(2)解 设直线与圆交于A、B两点．当直线l过定点M(3,1)且垂直于过点M的圆C的半径时，l被截得的弦长|AB|最短．
因为|AB|＝2
＝2＝2＝4，此时kAB＝－＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0．
故直线l被圆C截得的弦长最小值为4，此时直线l的方程为2x－y－5＝0．
12．B
解析 视线即切线，切线与直线x＝2交点以下部分和以上部分即为视线看得见的部分，圆的切线方程为y＝±(x＋1)．当x＝2时，y＝±，所以a∈(－∞，－)∪(，＋∞)，故选B．
13．解 方法一 从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝＝3，
从而|PA|＝＝2．
∴(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2．
方法二 利用等价转化的思想，设点P坐标为(x，y)，则
|PC|＝，由勾股定理及|AC|＝1，得
|PA|＝＝，从而S四边形PACB＝2S△PAC＝2·|PA|·|AC|＝|PA|＝，从而欲求S四边形PACB的最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2＝(x－1)2＋(y－1)2的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x＋4y＋8＝0的距离的平方，这个最小值d2＝()2＝9，
∴(S四边形PACB)min＝＝2．
第四章 章末检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于y轴对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
2．方程y＝－表示的曲线( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
3．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
4．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
5．已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是( )
A．3x＋2y－7＝0
B．2x＋y－4＝0
C．x－2y－3＝0
D．x－2y＋3＝0
6．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为( )
A．－3或7 B．－2或8
C．0或10 D．1或11
7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A．5 B．10
C． D．
9．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为，则x的值为( )
A．2 B．－8
C．2或－8 D．8或－2
10．与圆C：x2＋(y＋5)2＝9相切，且在x轴与y轴上的截距都相等的直线共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
11．直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是原点)的面积为( )
A． B． C．2 D．
12．从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为( )
A． B．
C． D．－1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在空间直角坐标系Oxyz中，点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的正射影，则OB＝______．
14．动圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心的轨迹方程是______________．
15．若x∈R，有意义且满足x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________．
16．对于任意实数k，直线(3k＋2)x－ky－2＝0与圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的位置关系是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知一个圆和直线l：x＋2y－3＝0相切于点P(1,1)，且半径为5，求这个圆的方程．
18．(12分)求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．
19．(12分)圆x2＋y2＝8内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
20．(12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
21．(12分)求与两平行直线x＋3y－5＝0和x＋3y－3＝0相切，圆心在2x＋y＋3＝0上的圆的方程．
22．(12分)已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5．
(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．
第四章 圆与方程(A) 答案
1．A [(x，y)关于y轴的对称点坐标(－x，y)，则得(－x＋2)2＋y2＝5．]
2．D [化简整理后为方程x2＋y2＝25，但还需注意y≤0的隐含条件．]
3．B [将两圆化成标准方程分别为x2＋y2＝1，(x－2)2＋(y＋1)2＝9，可知圆心距d＝，由于24．C [圆心为(2，－3)，半径为2，故方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4．]
5．D [化成标准方程(x－2)2＋y2＝9，过点P(1,2)的最短弦所在直线l应与PC垂直，故有kl·kPC＝－1，由kPC＝－2得kl＝，进而得直线l的方程为x－2y＋3＝0．]
6．A [直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位得2x－y＋λ＋2＝0，
圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为C(－1,2)，r＝，d＝＝，λ＝－3，或λ＝7．]
7．A [将两方程联立消去y后得(k2＋1)x2＋2kx－9＝0，由题意此方程两根之和为0，故k＝0．]
8．D [因为点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，故过点A的圆的切线方程为x＋2y＝5，令x＝0得y＝．
令y＝0得x＝5，故S△＝××5＝．]
9．C [由距离公式得(x＋3)2＋52＋62＝86，解得x＝2或－8．]
10．D [依题意画图如图所示，可得有4条．
]
11．D [弦长为4，S＝×4×＝．]
12．B [当圆心到直线距离最短时，可得此时切线长最短．d＝，切线长＝＝．]
13．
解析 易知点B坐标为(0,2,3)，故OB＝．
14．x－2y－1＝0(x≠1)
解析 圆心为(2m＋1，m)，r＝|m|，(m≠0)，令x＝2m＋1，y＝m消去m即得方程．
15．
解析 x2＋y2－4x＋1＝0(y≥0)表示的图形是位于x轴上方的半圆，而的最大值是半圆上的点和原点连线斜率的最大值，结合图形易求得最大值为．
16．相切或相交
解析 直线恒过(1,3)，而(1,3)在圆上．
17．解 设圆心坐标为C(a，b)，
则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25．
∵点P(1,1)在圆上，
∴(1－a)2＋(1－b)2＝25．
又∵CP⊥l，
∴＝2，
即b－1＝2(a－1)．
解方程组
得或
故所求圆的方程是
(x－1－)2＋(y－1－2)2＝25或(x－1＋)2＋(y－1＋2)2＝25．
18．解 由于过P(3，－2)垂直于切线的直线必定过圆心，故该直线的方程为
x－y－5＝0．
由得
故圆心为(1，－4)，r＝＝2，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8．
19．解 (1)∵α＝，k＝tan＝－1，AB过点P，
∴AB的方程为y＝－x＋1．
代入x2＋y2＝8，得2x2－2x－7＝0，
|AB|＝＝．
(2)∵P为AB中点，∴OP⊥AB．
∵kOP＝－2，∴kAB＝．
∴AB的方程为x－2y＋5＝0．
20．解 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∵圆上的点A(2,3)关于x＋2y＝0的对称点仍在圆上，∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上，
即a＋2b＝0． ①
圆被直线x－y＋1＝0截得的弦长为2，
∴2＋()2＝r2． ②
由点A(2,3)在圆上得(2－a)2＋(3－b)2＝r2． ③
由①②③解得或
∴圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244．
21．解 设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由题意知，两平行线间距离d＝＝，
且(a，b)到两平行线x＋3y－5＝0和x＋3y－3＝0的距离相等，即＝，
∴a＋3b－5＝－(a＋3b－3)或a＋3b－5＝a＋3b－3(舍)．
∴a＋3b－4＝0． ①
又圆心(a，b)在2x＋y＋3＝0上，
∴2a＋b＋3＝0． ②
由①②得a＝－，b＝．
又r＝d＝．
所以，所求圆的方程为2＋2＝．
22．解 (1)由题意，得＝5．
＝5，
化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0．
即(x－1)2＋(y－1)2＝25．
∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，
轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．
(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，
此时所截得的线段的长为2＝8，
∴l：x＝－2符合题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为
y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，
圆心到l的距离d＝，
由题意，得2＋42＝52，
解得k＝．
∴直线l的方程为x－y＋＝0．
即5x－12y＋46＝0．
综上，直线l的方程为
x＝－2，或5x－12y＋46＝0．
第四章 章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是( )
A．k>2 B．－3C．k<－3或k>2 D．以上都不对
2．点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是( )
A．(－3,4，－10) B．(－3,2，－4)
C． D．(6，－5,11)
3．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m间的距离为( )
A．4 B．2 C． D．
4．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是( )
A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0
C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0
5．直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M在同一坐标系中的图形可能是( )
6．若圆C1：(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则实数a，b应满足的关系式是( )
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
7．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是( )
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2
C．y2＝2x D．y2＝－2x
8．设直线2x－y－＝0与y轴的交点为P，点P把圆(x＋1)2＋y2＝25的直径分为两段，则这两段之比为( )
A．或 B．或
C．或 D．或
9．若x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是( )
A．－5 B．5－
C．30－10 D．无法确定
10．过圆x2＋y2－4x＝0外一点(m，n)作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m、n满足的关系式是( )
A．(m－2)2＋n2＝4 B．(m＋2)2＋n2＝4
C．(m－2)2＋n2＝8 D．(m＋2)2＋n2＝8
11．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0
C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0
12．直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个公共点，则b的取值范围是( )
A．|b|＝
B．－1C．－1D．－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．点M(1,2，－3)关于原点的对称点是________．
14．两圆x2＋y2＋4y＝0，x2＋y2＋2(a－1)x＋2y＋a2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a的值为________．
15．已知P(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，则过点P的最短弦所在直线方程是________，过点P的最长弦所在直线方程是________．
16．已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．
18．(12分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．
19．(12分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．
20．(12分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．
(1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．
(2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．
21．(12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程．
22．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
第四章 圆与方程(B) 答案
1．C [由题意知点在圆外，故12＋22＋k＋2×2＋k2－15>0，解得k<－3或k>2．]
2．A [设点A关于点(0,1，－3)的对称点为A′(x，y，z)，则(0,1，－3)为线段AA′的中点，即＝0，＝1，＝－3，
∴x＝－3，y＝4，z＝－10．∴A′(－3,4，－10)．]
3．A [根据题意，知点P在圆上，
∴切线l的斜率k＝－＝－＝．
∴直线l的方程为y－4＝(x＋2)．
即4x－3y＋20＝0．
又直线m与l平行，
∴直线m的方程为4x－3y＝0．
故直线l与m间的距离为d＝＝4．]
4．A [设两切线切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两切线方程为x1x＋y1y＝4，
x2x＋y2y＝4．
又M(4，－1)在两切线上，∴4x1－y1＝4,4x2－y2＝4．
∴两切点的坐标满足方程4x－y＝4．]
5．B [由直线的斜率a与在y轴上的截距b的符号，可判定圆心位置，又圆过原点，所以只有B符合．]
6．B [圆C1与C2方程相减得两圆公共弦方程，当圆C2的圆心在公共弦上时，圆C1始终平分圆C2的周长，所以选B．]
7．B [由题意知，圆心(1,0)到P点的距离为，所以点P在以(1,0)为圆心，以为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2，故选B．]
8．A [由题意知P(0，－)．P到圆心(－1,0)的距离为2，
∴P分直径所得两段为5－2和5＋2，即3和7．
选A．]
9．C [配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－，故可求x2＋y2的最小值为30－10．]
10．C [由勾股定理，得(m－2)2＋n2＝8．]
11．D [l为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2,2)的中点为(－1,1)，kl＝1，
∴y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0．]
12．D [
如图，由数形结合知，选D．]
13．(－1，－2,3)
14．－2
解析 两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a＝－2．
15．x＋y－3＝0，x－y－3＝0
解析 点P为弦的中点，即圆心和点P的连线与弦垂直时，弦最短；过圆心即弦为直径时最长．
16．(x＋2)2＋y2＝2
解析 设圆心坐标为(a,0)(a<0)，则由圆心到直线的距离为知＝，故a＝－2，因此圆O的方程为(x＋2)2＋y2＝2．
17．解
l2平行于x轴，l1与l3互相垂直．三交点A，B，C构成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆．
解方程组得
所以点A的坐标是(－2，－1)．
解方程组得
所以点B的坐标是(1，－1)．
线段AB的中点坐标是，又|AB|＝＝3．
所求圆的标准方程是2＋(y＋1)2＝．
18．解
如图所示，
以三棱原点，以OA、OB、OO′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz．
由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)、B(0,2,0)、O(0,0,0)，A′(2,0,2)、B′(0,2,2)、O′(0,0,2)．
由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)，设E点坐标为(0,2，z)，
∴|EC|＝
＝．
故当z＝1时，|EC|取得最小值为．
此时E(0,2,1)为线段BB′的中点．
19．解 ∵点O、M、N分别为AB、BC、CA的中点且A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)，
∴O(1,4)，M(－2,2)，N(0,3)．
∵所求圆经过点O、M、N，
∴设△OMN外接圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
把点O、M、N的坐标分别代入圆的方程得
，
解得．
∴△OMN外接圆的方程为x2＋y2＋7x－15y＋36＝0，
圆心为，半径r＝．
20．(1)证明 直线l变形为m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0．
令解得
如图所示，故动直线l恒过定点A(2,3)．
而|AC|＝＝<3(半径)．
∴点A在圆内，故无论m取何值，直线l与圆C总相交．
(2)解 由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC垂直直线l时，弦长最小，
此时kl·kAC＝－1，即·＝－1，∴m＝－．
最小值为2＝2．
故m为－时，直线l被圆C所截得的弦长最小，最小值为2．
21．解 (1)∵AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为－3．
又∵点T(－1,1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0．
(2)由得
∴点A的坐标为(0，－2)，
∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，
∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|＝＝2，
∴矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8．
22．解 (1)将圆C整理得(x＋1)2＋(y－2)2＝2．
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y＝kx，
∴圆心到切线的距离为＝，即k2－4k－2＝0，解得k＝2±．
∴y＝(2±)x；
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x＋y－a＝0，
∴圆心到切线的距离为＝，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1．
∴x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．综上所述，所求切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．
(2)∵|PO|＝|PM|，
∴x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．
当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为：2x＋y＝0，
解得方程组得
∴P点坐标为．
章末检测
一、选择题
1．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是 ( )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
2．点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为 ( )
A．点在圆外 B．点在圆内
C．点在圆上 D．与m的值有关
3．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为，则x的值为 ( )
A．2 B．－8
C．2或－8 D．8或－2
4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是 ( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
5．设A、B是直线3x＋4y＋2＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的两个交点，则线段AB的垂直平分线的方程是 ( )
A．4x－3y－2＝0 B．4x－3y－6＝0
C．3x＋4y＋6＝0 D．3x＋4y＋8＝0
6．圆x2＋y2－4x＝0过点P(1，)的切线方程为 ( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
7．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是 ( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
8．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ( )
A．5 B．10 C. D.
9．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为 ( )
A．－3或7 B．－2或8 C．0或10 D．1或11
10．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则 ( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
11．若直线mx＋2ny－4＝0(m、n∈R，n≠m)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是 ( )
A．(0,1) B．(0，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
12．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为 ( )
A．4 B．2 C. D.
二、填空题
13．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程为________．
14．过点P(－2,0)作直线l交圆x2＋y2＝1于A、B两点，则|PA|·|PB|＝________.
15．若垂直于直线2x＋y＝0，且与圆x2＋y2＝5相切的切线方程为ax＋2y＋c＝0，则ac的值为________．
16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
三、解答题
17．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．
18． 已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，若OP⊥OQ，求实数m的值．
19．已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．
(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；
(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；
(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．
20．如图，已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，
且有|PQ|＝|PA|.
(1)求a、b间关系；
(2)求|PQ|的最小值；
(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最
小的圆的方程．
答案
章末检测
1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．A 10．A 11．C 12．A
13．2x＋3y＋8＝0
14．3
15．±5
16.
17．解 如图所示，已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．设l的方程为y－3＝k(x＋3)，
即kx－y＋3＋3k＝0.
则＝1，即12k2＋25k＋12＝0.
∴k1＝－，k2＝－.
则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.
18．解 设P，Q两点坐标为(x1，y1)和(x2，y2)，由OP⊥OQ可得
x1x2＋y1y2＝0，
由
可得5y2－20y＋12＋m＝0.①
所以y1y2＝，y1＋y2＝4.
又x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)
＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2
＝9－24＋(12＋m)，
所以x1x2＋y1y2＝9－24＋(12＋m)＋＝0，
解得m＝3.
将m＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知m＝3满足题意，即3为所求m的值．
19．(1)证明 配方得：(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25，设圆心为(x，y)，
则，
消去m得x－3y－3＝0，
则圆心恒在直线l：x－3y－3＝0上．
(2)解 设与l平行的直线是l1：x－3y＋b＝0，
则圆心到直线l1的距离为
d＝＝.
∵圆的半径为r＝5，
∴当d当d＝r，即b＝±5－3时，直线与圆相切；
当d>r，即b<－5－3或b>5－3时，直线与圆相离．
(3)证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x－3y＋b＝0，由于圆心到直线l1的距离d＝，
弦长＝2且r和d均为常量．
∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．
20．解 (1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，
又|PQ|＝|PA|，
所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|PA|2，
所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.
(2)由|PQ|2＝|OP|2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－
12a＋8＝5(a－1.2)2＋0.8，
得|PQ|min＝.
(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点且与l垂直的直线l′与l的交点P0，所以r＝－1＝－1，
又l′：x－2y＝0，联立l：2x＋y－3＝0得P0(，)．
所以所求圆的方程为
(x－)2＋(y－)2＝(－1)2.
