4.4.4 黄金分割学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第四章　图形的相似
4　探索三角形相似的条件
第4课时　黄金分割
要 点 讲 解
要点　黄金分割
1. 定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，其中AC∶AB＝≈0.618.
2. 黄金分割
方法一：如图(1)，已知线段AB，按照如下方法作图：
(1)经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB；
(2)连接AD，在DA上截取DE＝DB；
(3)在AB上截取AC＝AE，则点C就是线段AB的黄金分割点.
方法二：如图(2)，已知线段AB，按照如下方法作图：
(1)在AB上作正方形ABCD；
(2)取AD的中点E，连接BE；
(3)延长DA至点F，使EF＝EB；
(4)以线段AF为边作正方形AFGH，则点H就是线段AB的黄金分割点.
3. 黄金分割点：
(1)黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有两个.
(2)由比例式可知AC2＝AB·BC.
(3)把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段中只要知道其中一条线段的长度，就可以求出另外两条线段的长度.?
4. 黄金比是指分得的较长线段与原线段的比.
经典例题　定义：如图(1)所示，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点.如图(2)所示的△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.
(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；
(2)求出线段AD的长.
解析：(1)判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得出答案.(2)根据黄金比值即可求出AD的长度.
解：(1)证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°，∴AD＝BD，BC＝BD，∴△ABC∽△BDC，∴＝，即＝，∴AD2＝AC·CD.∴点D是线段AC的黄金分割点.
(2)∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD＝AC，∵AC＝1，∴AD＝.
当 堂 检 测
1. 已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是(　　)
A. 如果＝，那么线段AB被点C黄金分割
B. 如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割
C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比
D. 0.618是黄金比的近似值
2. 如图，点C是线段AB的黄金分割点，则下列等式不正确的是(　　)
A. ＝ B. ≈0.618
C. AC＝AB D. BC＝AB
3. 若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC>BC，则AC的长为(　　)
A. cm B. 2(－1)cm
C. 4(－1)cm D. 6(－1)cm
4. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是(　　)
A. ＝ B. AD，AE将∠BAC三等分
C. △ABE≌△ACD D. S△ADH＝S△CEG
5. 据有关试验测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，这个气温约为 ℃.(精确到1℃)
6. 如图，已知F是矩形ABCD的边CD的黄金分割点，ADFE为正方形，则矩形ABCD的长与宽的比为　 　.
7. 如图，线段AB的长为1，线段AB上的点C，D满足关系式AC2＝BC·AB，AD2＝DC·AC，则线段AD的长为　 　.
8. 如图所示，已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，设以AP为边的正方形ACDP的面积为S1，以BF，AB的长为邻边的矩形AEFB的面积为S2，BF＝PB，试问S1与S2有何关系？

当堂检测参考答案
1. C 2. D 3. C 4. A
5. 23
6. 
7. 
8. 解：S1＝S2. 理由：因为点P是线段AB的黄金分割点，所以＝.所以AP2＝AB·PB.又因为S1＝AP2，S2＝AB·BF＝AB·PB，所以S1＝S2.