4.5 相似三角形判定定理的证明学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第四章　图形的相似
5　相似三角形判定定理的证明
要 点 讲 解
要点　相似三角形判定的综合应用
1. 判定定理：如图所示，
(1)相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.如?△ABC∽△DEF.
(2)相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.如?△ABC∽△DEF.
(3)相似三角形的判定定定理3：三边成比例的两个三角形相似.如＝＝?△ABC∽△DEF.
2. 常见相似三角形的类型：
(1)平行线型：如图(1)，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
(2)相交线型：如图(2)，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC.
(3)“子母”型：如图(3)，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.

经典例题1　依据下列各组条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，为什么？
(1)∠A＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，∠A′＝45°，A′B′＝16cm，A′C′＝20cm；
(2)∠B＝∠B′＝75°，∠C＝50°，∠A′＝55°；
(3)AB＝10，AC＝8，BC＝6，A′B′＝15，B′C′＝9，A′C′＝11.
解：(1)相似.理由如下：∵∠A＝∠A′，＝＝，＝＝，且∠A与∠A′分别是AB与AC，A′B′与A′C′的夹角，由相似三角形的判定定理2，知△ABC∽△A′B′C′.
(2)相似.理由如下：∵在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝50°，∴∠A＝180°－75°－50°＝55°.又∵在△ABC与△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝75°，∠A′＝∠A＝55°，即△ABC与△A′B′C′有两角分别相等，∴△ABC∽△A′B′C′.
(3)不相似.理由如下：∵在△ABC与△A′B′C′中，AB>AC>BC，A′B′>A′C′>B′C′，＝＝，＝，＝＝，∴＝≠，∴△ABC与△A′B′C′不相似.
易错易混警示　错误理解相似三角形中的对应关系
经典例题2　△ABC和△A′B′C′的各角的度数与各边的长度如图所示，那么△ABC和△A′B′C′相似吗？为什么？
解：相似.因为∠A＝75°，∠A′＝75°，∠B＝60°，∠B′＝45°，所以∠C＝180°－75°－60°＝45°，∠C′＝180°－75°－45°＝60°.同时＝，＝＝，＝＝，即△ABC与△A′B′C′的对应角相等，对应边成比例，所以△ABC∽△A′C′B′.
点拨：相似三角形中的对应关系以图形的形状为依据，不能随意对应.
当 堂 检 测
1. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是(　　)
A. ∠AED＝∠B B. ∠ADE＝∠C
C. ＝ D. ＝

第1题 第2题
2. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有(　　)
A. △ADE∽△AEF B. △ECF∽△AEF
C. △ADE∽△ECF D. △AEF∽△ABF
3. 如图，在?ABCD中，E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于(　　)
A. 3∶2 B. 3∶1 C. 1∶1 D. 1∶2

第3题 第4题
4. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠ACD，AB＝6，BC＝4，CA＝5，DC＝7.5，则AD的长为　 　.
5. 在如图所示的正方形网格中，△ABC与△FDE的关系是 ，∠A＝ 度.
6. 如图，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，P在BC上，＝，那么请你判断△APB与△PCE是否相似，并写出你的理由.

7. 如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB，延长AD，BC相交于点E.
求证：(1)△ACE∽△BDE；
(2)BE·CD＝AB·DE.
当堂检测参考答案
1. D 2. C 3. D
4. 
5. 相似 45
6. 解：△APB与△PCE相似.理由如下：设正方形ABCD的边长为3a，∴AB＝BC＝CD＝3a.∵＝，∴PB＝2a，PC＝a，∴＝＝2.∵E是CD的中点，∴EC＝a.∴＝＝2，∴＝.又∵∠B＝∠C＝90°，∴△APB∽△EPC.
7. 证明：(1)∵∠ADB＝∠ACB，∴∠BDE＝∠ACE.又∵∠E＝∠E，∴△ACE∽△BDE.
(2)由(1)可知△ACE∽△BDE，∴＝，∴＝.又∵∠E＝∠E.∴△ABE∽△CDE，∴＝，∴＝，∴BE·CD＝AB·DE.