4.6 利用相似三角形测高学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第四章　图形的相似
6　利用相似三角形测高
要 点 讲 解
要点　利用相似三角形测高
1. 利用阳光下的影子
方法：如图，身高为a的小明直立于旗杆AB的影子的顶端D处，测量小明的影长DE＝b，同一时刻测量旗杆AB的影长BD＝c.
原理：因为CE∥AD，所以∠CED＝∠ADB.
又因为CD⊥BE，AB⊥BE，
所以△CDE∽△ABD，所以＝，
即＝，所以AB＝.
即旗杆的高度为.
总结：基本思路是利用太阳光是平行光线以及人、旗杆与地面垂直构造相似三角形，通过相似三角形的对应边成比例列出关系式求解.
2. 利用标杆
方法：如图，人的眼睛到地面的高度CD＝m，标杆GF的高度为n，人与标杆的水平距离DF＝a，旗杆与标杆的水平距离BF＝b.
原理：过点C作CE⊥AB于点E，交GF于点H.
因为GF⊥BD，AB⊥BD，所以GH∥AB，所以∠GHC＝∠AEC.
又因为∠GCH＝∠ACE，
所以△CGH∽△CAE，所以＝.
因为CH＝DF＝a，GH＝GF－HF＝GF－CD＝n－m，CE＝BD＝DF＋BF＝a＋b，
所以＝，所以AE＝.
所以AB＝AE＋BE＝＋m
即旗杆的高度为＋m.
总结：借助标杆测量旗杆的高度，思路是从人眼所在的部位向旗杆作垂线，根据人、标杆、旗杆与地面垂直构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出关系式求解.
3. 利用镜子的反射
方法：如图，测得人的眼睛与地面的距离CD＝a，测量人的脚部与镜子的距离DE＝b，旗杆的底端B与镜子的距离BE＝c.
原理：因为CD⊥BD，AB⊥BD，所以∠CDE＝∠ABE＝90°.
又根据“入射角等于反射角”可得∠CED＝∠AEB.
所以△CDE∽△ABE，所以＝，
即＝，所以AB＝.
即旗杆的高度为.
总结：利用镜子的反射测量旗杆的高度，思路是根据“入射角等于反射角”，人、旗杆与地面垂直，构造相似三角形，根据对应边成比例列出关系式求解.
经典例题1　如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝0.7m，BP＝0.9m，PD＝15m，那么该古城墙的高度是多少米？
解析：小明和古城墙都与地面垂直，∠APB＝∠CPD，则△ABP∽△CDP，由此列比例式求解.
解：在△APB和△CPD中，AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°.又∵∠APB＝∠CPD，∴△ABP∽△CDP，∴＝，即＝，解得CD＝(m).即古城墙的高度是m.
易错易混警示　影子不在同一平面时，用错影子的长度导致计算错误
经典例题2　如图，某时刻大树AB的影子一部分在BD上，另一部分都在墙上的CD处，同时1.2m的标杆影长3m，已知CD＝4m，BD＝6m，求大树的高度.
解：设大树高度为xm，过点D作DF∥AC，交AB于点F.
又∵AB∥CD.∴四边形AFDC为平行四边形，∴AF＝CD，则BF＝AB－AF＝AB－CD＝(x－4)m.∴＝，即＝.解得 x＝6.4.即大树的高是为6.4m.
当 堂 检 测
1. 要测量出一棵树的高度，除了测量出人高与人的影长外，还需要测出(　　)
A. 仰角　 B. 树的影长
C. 标杆的影长 D. 都不需要
2. 小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处竖立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(　　)
A. 10米 B. 12米
C. 15米 D. 22.5米

第2题 第3题
3. 如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为(　　)
A. 12m B. 10m
C. 8m D. 7m
4. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.若标杆BE的高为1.5m，测得AB＝2m，BC＝14m，则楼高CD为 m.

第4题 第5题
5. 为了测量校园内一棵大树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底(B)8.4m的E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子上看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.4m，观察者自身高度CD＝1.6m，则树(AB)的高度为 m.
6. 如图，为了测量山的高度，小明在山前的平地上先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与山的影长AB，即可近似求出山的高度OB.如果O′B′＝1m，A′B′＝2m，AB＝270m，求山的高度.

7. 如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离她2m远的地上，排球反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的距离是6m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？

当堂检测参考答案
1. B 2. A 3. A
4. 12
5. 5.6
6. 解：∵太阳光线是平行线，∴∠OAB＝∠O′A′B′.∵OB⊥AB，O′B′⊥A′B′，∴∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，∴△OAB∽△O′A′B′，∴＝，∵O′B′＝1m，A′B′＝2m，AB＝270m，∴＝，∴OB＝135m.答：山的高度为135m.
7. 解：∵排球反弹原路线与反弹后路线与地面所成的角相等，∴∠ACB＝∠DCE，又∵∠ABC＝∠DEC＝90°，∴△ABC∽△DEC，∴＝，即＝，∴DE＝5.4m.答：球能碰到墙面离地5.4m高的地方.