北师大版数学九年级上册同步学案
第四章 图形的相似
6 利用相似三角形测高
要 点 讲 解
要点 利用相似三角形测高
1. 利用阳光下的影子
方法:如图,身高为a的小明直立于旗杆AB的影子的顶端D处,测量小明的影长DE=b,同一时刻测量旗杆AB的影长BD=c.
原理:因为CE∥AD,所以∠CED=∠ADB.
又因为CD⊥BE,AB⊥BE,
所以△CDE∽△ABD,所以=,
即=,所以AB=.
即旗杆的高度为.
总结:基本思路是利用太阳光是平行光线以及人、旗杆与地面垂直构造相似三角形,通过相似三角形的对应边成比例列出关系式求解.
2. 利用标杆
方法:如图,人的眼睛到地面的高度CD=m,标杆GF的高度为n,人与标杆的水平距离DF=a,旗杆与标杆的水平距离BF=b.
原理:过点C作CE⊥AB于点E,交GF于点H.
因为GF⊥BD,AB⊥BD,所以GH∥AB,所以∠GHC=∠AEC.
又因为∠GCH=∠ACE,
所以△CGH∽△CAE,所以=.
因为CH=DF=a,GH=GF-HF=GF-CD=n-m,CE=BD=DF+BF=a+b,
所以=,所以AE=.
所以AB=AE+BE=+m
即旗杆的高度为+m.
总结:借助标杆测量旗杆的高度,思路是从人眼所在的部位向旗杆作垂线,根据人、标杆、旗杆与地面垂直构造相似三角形,利用相似三角形对应边成比例列出关系式求解.
3. 利用镜子的反射
方法:如图,测得人的眼睛与地面的距离CD=a,测量人的脚部与镜子的距离DE=b,旗杆的底端B与镜子的距离BE=c.
原理:因为CD⊥BD,AB⊥BD,所以∠CDE=∠ABE=90°.
又根据“入射角等于反射角”可得∠CED=∠AEB.
所以△CDE∽△ABE,所以=,
即=,所以AB=.
即旗杆的高度为.
总结:利用镜子的反射测量旗杆的高度,思路是根据“入射角等于反射角”,人、旗杆与地面垂直,构造相似三角形,根据对应边成比例列出关系式求解.
经典例题1 如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=0.7m,BP=0.9m,PD=15m,那么该古城墙的高度是多少米?
解析:小明和古城墙都与地面垂直,∠APB=∠CPD,则△ABP∽△CDP,由此列比例式求解.
解:在△APB和△CPD中,AB⊥BD,CD⊥BD,
∴∠ABP=∠CDP=90°.又∵∠APB=∠CPD,∴△ABP∽△CDP,∴=,即=,解得CD=(m).即古城墙的高度是m.
易错易混警示 影子不在同一平面时,用错影子的长度导致计算错误
经典例题2 如图,某时刻大树AB的影子一部分在BD上,另一部分都在墙上的CD处,同时1.2m的标杆影长3m,已知CD=4m,BD=6m,求大树的高度.
解:设大树高度为xm,过点D作DF∥AC,交AB于点F.
又∵AB∥CD.∴四边形AFDC为平行四边形,∴AF=CD,则BF=AB-AF=AB-CD=(x-4)m.∴=,即=.解得 x=6.4.即大树的高是为6.4m.
当 堂 检 测
1. 要测量出一棵树的高度,除了测量出人高与人的影长外,还需要测出( )
A. 仰角 B. 树的影长
C. 标杆的影长 D. 都不需要
2. 小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图),然后在A处竖立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC为3米,则楼高为( )
A. 10米 B. 12米
C. 15米 D. 22.5米
第2题 第3题
3. 如图,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点,此时,竹竿与这一点相距8m,与旗杆相距22m,则旗杆的高为( )
A. 12m B. 10m
C. 8m D. 7m
4. 如图,利用标杆BE测量建筑物的高度.若标杆BE的高为1.5m,测得AB=2m,BC=14m,则楼高CD为 m.
第4题 第5题
5. 为了测量校园内一棵大树的高度,学校数学兴趣小组做了如下的探索:根据《科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如图所示的测量方案:把一面很小的镜子放在离树底(B)8.4m的E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子上看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.4m,观察者自身高度CD=1.6m,则树(AB)的高度为 m.
6. 如图,为了测量山的高度,小明在山前的平地上先竖一根已知长度的木棒O′B′,比较木棒的影长A′B′与山的影长AB,即可近似求出山的高度OB.如果O′B′=1m,A′B′=2m,AB=270m,求山的高度.
7. 如图,王芳同学跳起来把一个排球打在离她2m远的地上,排球反弹碰到墙上,如果她跳起击球时的高度是1.8m,排球落地点离墙的距离是6m,假设球一直沿直线运动,球能碰到墙面离地多高的地方?
当堂检测参考答案
1. B 2. A 3. A
4. 12
5. 5.6
6. 解:∵太阳光线是平行线,∴∠OAB=∠O′A′B′.∵OB⊥AB,O′B′⊥A′B′,∴∠ABO=∠A′B′O′=90°,∴△OAB∽△O′A′B′,∴=,∵O′B′=1m,A′B′=2m,AB=270m,∴=,∴OB=135m.答:山的高度为135m.
7. 解:∵排球反弹原路线与反弹后路线与地面所成的角相等,∴∠ACB=∠DCE,又∵∠ABC=∠DEC=90°,∴△ABC∽△DEC,∴=,即=,∴DE=5.4m.答:球能碰到墙面离地5.4m高的地方.