4.7.1 相似三角形中特殊线段的性质学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第四章　图形的相似
7　相似三角形的性质
第1课时　相似三角形中特殊线段的性质
要 点 讲 解
要点　对应高、对应角平分线、对应中线的比
定理1：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比.
用图形表示，如图，已知△ABC∽△A′B′C′，线段AD，AE，AF分别是BC边上的中线、∠BAC的平分线、BC边上的高，线段A′D′，A′E′，A′F′分别是B′C′边上的中线、∠B′A′C′的平分线、B′C′边上的高，则＝＝＝.
经典例题1　如果两个相似三角形的相似比是3∶5，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是多少？
解：∵两个三角形的相似比为3∶5，小三角形一边上的中线长是12cm，设大三角形对应边上的中线长为xcm，∴＝，解得x＝20.∴大三角形对应边上的中线长是20cm.
经典例题2　如图所示，在△ABC中，AD是高，AD交EH于点M，矩形EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1∶2.若BC＝30cm，AD＝10cm，求矩形EFGH的面积.
解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD＝EF.∵矩形两邻边之比为1∶2，∴设EF＝xcm，则EH＝2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得＝，即＝.∴20x＝300－30x，解得x＝6.∴EF＝6cm，EH＝12cm.∴S矩形EFGH＝6×12＝72(cm2).
当 堂 检 测
1. 如图，已知△ADE∽△ABC，相似比为2∶5，则AF∶AG的值为(　　)
A. 2∶5 B. 5∶2 C. 5∶1 D. 1∶5
2. △ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是两个三角形对应角的平分线，且AC∶A′C′＝2∶3，若BD＝4cm，则B′D′的长是(　　)
A. 3cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm
3. 如果两个相似三角形的对应高的比为4∶5，那么这两个三角形的相似比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 .
4. 已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，已知AD＝8cm，A′D′＝3cm，则△ABC与△A′B′C′的对应高的比为 .
5. 如图，在△ABC中，EF∥BC，AD⊥BC于EF于点G，EF＝4，BC＝5，AD＝3，则AG＝　 　.
6. 小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5m，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是 cm.
7. 如图，△ABC∽△A′B′C′，AB＝15cm，A′B′＝10cm，AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线.AD与A′D′的和为15cm，分别求AD和A′D′的长.

8. 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC，垂足为点E.已知CD＝2，AB＝6，AC＝4，求DE的长.

当堂检测参考答案
1. A 2. C
3. 4∶5 4∶5 4∶5
4. 8∶3
5. 
6. 50
7. 解：∵△ABC∽△A′B′C′，且AB＝15cm，A′B′＝10cm，∴＝.∵AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且△ABC∽△A′B′C′，∴＝.∵AD＋A′D′＝15.∴AD＝9cm，A′D′＝6cm.
8. 解：在Rt△ABC与Rt△ACD中，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ABC∽△ACD. 又∵CD，DE分别为它们斜边上的高，∴＝. 又∵CD＝2，AB＝6，AC＝4，∴DE＝.