22.2二次函数与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1.把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度 （米）与所经过的时间 （秒）之间的关系为 . 若存在两个不同的 的值，使足球离地面的高度均为 （米），则 的取值范围（?? ）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
2.用“描点法”画二次函数 的图像时.列了如下表格:
根据表格上的信息回答问题:一元二次方程 的解为（ ??）
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?
3.如图，一次函数y=﹣x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c=0的根的情况是（?? ）
A.?有两个不相等的实数根???????????B.?有两个相等的实数???????????C.?没有实数根???????????D.?以上结论都正确
4.抛物线y＝kx 2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( ??)
A.?k>－ ?????????????????????B.?k≥－ 且k≠0?????????????????????C.?k≥－ ?????????????????????D.?k>－ 且k≠0
5.如图，抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝kx+b都经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴为x＝1，那么下列说法正确的是（?? ）
A.?ac＞0???????????????B.?b2﹣4ac＜0???????????????C.?k＝2a+c???????????????D.?x＝4是ax2+（b﹣k）x+c＜b的解
6.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c<0：③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为-1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有(??? )
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
7.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（?? ）
A.?无解????????????????????????????????B.?x=1????????????????????????????????C.?x=﹣4????????????????????????????????D.?x=﹣1或x=4
8.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
－1
0
1
3
y
－3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x<1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（?? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
二、填空题
9.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是________
10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c的两个根分别是x1=1.3和x2=________。
11.已知二次函数y=x2+2x﹣7的一个函数值是8，那么对应的自变量x的值是________．
12.二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有实数根，则m的最小值为________．
13.抛物线y=x2-4x-10与x轴的两交点间的距离为________．
14.如图，二次函数 的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ ，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c﹣4；④方程 有两个相等的实数根，其中正确的结论是________．（只填序号即可）．
三、解答题
15.画出函数 ?的图像，观察函数图像，请直接写出方程 ?的根.
16.图中是抛物线形拱桥，当水面宽AB＝8米时，拱顶到水面的距离CD＝4米．如果水面上升1米，那么水面宽度为多少米？
17.已知二次函数y=x2﹣4x．
（1）在给出的直角坐标系内用描点法画出该二次函数的图象；
（2）根据所画的函数图象写出当x在什么范围内时，y≤0？
（3）根据所画的函数图象写出方程：x2﹣4x=5的解．
18.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).
（1）求点D的坐标(用含m的代数式表示);
（2）若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;
（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.
22.2二次函数与一元二次方程 同步练习
参考答案与解析
一、单选题
1.把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度 （米）与所经过的时间 （秒）之间的关系为 . 若存在两个不同的 的值，使足球离地面的高度均为 （米），则 的取值范围（?? ）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
解：∵a≥0，由题意得方程
10t- t2=a有两个不相等的实根
∴△=b2-4ac=102+4× ×a＞0得0≤a＜50
又∵0≤t≤14
∴当t=14时，a=h=10×14- ×142=42
所以a的取值范围为：42≤a＜50
故答案为：C.
2.用“描点法”画二次函数 的图像时.列了如下表格:
根据表格上的信息回答问题:一元二次方程 的解为（ ??）
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?
解：由??得： ?, 由列表可知，当x=4时，y=5, 又由列表可知：当x=0或x=2时，都有y=-3, 所以的图像关于x=1对称， ∴4-1=1-x2 解得：x2=-2, 故答案为：A. 3.如图，一次函数y=﹣x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c=0的根的情况是（?? ）
A.?有两个不相等的实数根???????????B.?有两个相等的实数???????????C.?没有实数根???????????D.?以上结论都正确
解：把y=-x代入y=ax2+bx+c得ax2+(b+1)x+c=0，因为一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，所以方程ax2+(b+1)x+c=0有两个不相等的实数根，故答案为：A.
4.抛物线y＝kx 2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( ??)
A.?k>－ ?????????????????????B.?k≥－ 且k≠0?????????????????????C.?k≥－ ?????????????????????D.?k>－ 且k≠0
解：因为 y=kx2-7x-7为抛物线，所以k≠0； 因为y=kx2-7x-7和图像有交点， 所以b2-4ac≥0 即(-7)2-4k·(-7)≥0 所以k≥- 。 综上，k≥- 且k≠0。 故答案为：B。
5.如图，抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝kx+b都经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴为x＝1，那么下列说法正确的是（?? ）
A.?ac＞0???????????????B.?b2﹣4ac＜0???????????????C.?k＝2a+c???????????????D.?x＝4是ax2+（b﹣k）x+c＜b的解
解：由图象可知a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故A不符合题意；
由图象得知抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△＞0，故B不符合题意；
∵y=ax2+bx+c过点（-1，0），
∴a-b+c=0，
∵y=kx+b过点（-1，0），
∴b=k，
∴k=a+c，故C不符合题意；
∵对称轴为x=1，
，
∴b=-2a，
∴k=-2a，
当x=4时， ，
由图象可知，k＞0，
，即ax2+（b-k）x+c＜b；
故D符合题意.
6.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c<0：③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为-1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有(??? )
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
解：∵抛物线经过点（-3,0），（1,0），（0,3） 设函数解析式为：y=a（x+3）（x-1） ∴-3a=3 解之：a=-1 ∴y=-（x+3）（x-1）=-（x+1）2+4 ∴抛物线的顶点坐标为(?1,4)， ∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，故①正确； ∵x=2时，y<0， ∴4a+2b+c<0，②正确； 根据抛物线的对称性可知,一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为?2，③错误； 使y?3成立的x的取值范围是x?0或x??2，④错误； 正确的个数有2个 故答案为：B
7.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（?? ）
A.?无解????????????????????????????????B.?x=1????????????????????????????????C.?x=﹣4????????????????????????????????D.?x=﹣1或x=4
解：如图，
∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0），
∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．
故答案为：D．
?
8.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
－1
0
1
3
y
－3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x<1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（?? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
解：依题可得： 函数对称轴为：x==， 故②错误； 当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确； ∵函数有最大值，且在对称轴取得最大值， ∴抛物线开口向下， 故①正确； 由表可知：方程ax2+bx+c=0的一个根在-1＜x＜0，对称轴为， ∴方程ax2+bx+c=0的另一个根在3＜x＜4， 故④错误； ∴正确的结论有：①③. 故答案为：B.
二、填空题
9.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是________
解：将原方程转化为：a（x?1）2＋b（x?1）＋c＝0， 把抛物线y＝ax2＋bx＋c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x?1）2＋b（x?1）＋c， 因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（?3，0）、B（4，0）， 所以抛物线y＝a（x?1）2＋b（x?1）＋c与x轴的两交点坐标为（?2，0），（5，0）， 所以一元二方程a（x?1）2＋b（x?1）＋c＝0的解为x1＝?2，x2＝5． 故答案为：x1＝?2，x2＝5．
10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c的两个根分别是x1=1.3和x2=________。
解：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（-1，-3.2），
则对称轴为x=-1；
所以 =-1，
又因为x1=1.3，
所以x2=-2-x1=-2-1.3=-3.3
11.已知二次函数y=x2+2x﹣7的一个函数值是8，那么对应的自变量x的值是________．
解：y=8时，x2+2x﹣7=8，
整理得，x2+2x﹣15=0，
解得x1=﹣5，x2=3，
所以，对应的自变量x的值是﹣5或3．
故答案为：﹣5或3．
?
12.二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有实数根，则m的最小值为________．
解：由图象可知二次函数y=ax2+bx的最小值为﹣3，
∴ ，解得b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx=m有实数根，
∴△≥0，即b2+4am≥0，
∴12a+4am≥0，
∵a＞0，
∴12+4m≥0，
∴m≥﹣3，即m的最小值为﹣3，
故答案为：﹣3．
13.抛物线y=x2-4x-10与x轴的两交点间的距离为________．
解：当y=0时，有x2-4x-10=0，
解得：x1=2- ，x2=2+ ，
∴2+ -（2- ）=2 ．
故答案为：2 ．
14.如图，二次函数 的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ ，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c﹣4；④方程 有两个相等的实数根，其中正确的结论是________．（只填序号即可）．
解：①∵根据图示知，抛物线开口方向向下，∴a＜0．
由对称轴在y轴的右侧知b＞0，∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，∴abc＜0．故①错误；
②∵抛物线的对称轴直线x= ，∴a=﹣b．故②错误；
③∵该抛物线的顶点坐标为（ ，1），∴1= ，∴b2﹣4ac=﹣4a．∵b=﹣a，∴a2﹣4ac=﹣4a，∵a≠0，等式两边除以a，得a﹣4c=﹣4，即a=4c﹣4．故③正确；
④∵二次函数 的最大值为1，即 ，∴方程 有两个相等的实数根．故④正确．
综上所述，正确的结论有③④．
故答案为：③④．
三、解答题
15.画出函数 ?的图像，观察函数图像，请直接写出方程 ?的根.
解：y=x2+2x-3=（x+1）2-4， ∴图象的顶点为（-1，-4）， 当y=0，则0=（x+1）2-4， 解得：x1=1，x2=-3， ∴图象与x轴交点坐标为：（1，0），（-3，0）， 故函数图形如图所示，
观察图象，方程x2+2x-3=0的解为：x1=1，x2=-3.
?
16.图中是抛物线形拱桥，当水面宽AB＝8米时，拱顶到水面的距离CD＝4米．如果水面上升1米，那么水面宽度为多少米？
解：如图所示建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为y=ax2 ， 由已知抛物线过点B（4，-4），则-4=a×42 ， 解得：a=-， ∴抛物线解析式为：y=-x2 ， 当y=-3，则-3=-x2 ， 解得：x1=2， x2=-2， ∴EF=4， 答：水面宽度为4米．
17.已知二次函数y=x2﹣4x．
（1）在给出的直角坐标系内用描点法画出该二次函数的图象；
（2）根据所画的函数图象写出当x在什么范围内时，y≤0？
（3）根据所画的函数图象写出方程：x2﹣4x=5的解．
解：（1）y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，则抛物线的对称轴为直线x=﹣2，顶点坐标为（2，﹣4），
如图，
（2）当0≤x≤4时，y≤0．
（3）由图象可知，x2﹣4x=5的解为x1=﹣1，x2=5．
18.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).
（1）求点D的坐标(用含m的代数式表示);
（2）若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;
（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.
解：（1）∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2,∴D点的坐标为(m,-m+2). （2）∵抛物线经过点B(1,m),∴m=1-2m+m2-m+2,解得m=3或m=1. （3）根据题意,∵A点的坐标为(-3,m),B点的坐标为(1,m),∴线段AB为y=m(-3≤x≤1),与y=x2-2mx+m2-m+2联立得x2-2mx+m2-2m+2=0,令y'=x2-2mx+m2-2m+2,若抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段AB只有1个公共点,即函数y'在-3≤x≤1范围内只有一个零点,当x=-3时,y'=m2+4m+11<0,
∵Δ>0,∴此种情况不存在,当x=1时,y'=m2-4m+3≤0,解得1≤m≤3.
