§3.1.1. 随机事件的概率
一、教材分析
在现实世界中，随机现象是广泛存在的，而随机现象中存在着数量规律性，从而使我们可以运用数学方法来定量地研究随机现象；本节课正是引导学生从数量这一侧面研究随机现象的规律性。随机事件的概率在实际生活中有着广泛的应用，诸如自动控制、通讯技术、军事、气象、水文、地质、经济等领域的应用非常普遍；通过对这一知识点的学习运用，使学生了解偶然性寓于必然之中的辩证唯物主义思想，学习和体会数学的奇异美和应用美.
二、教学目标
1．（1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；（2）正确理解事件A出现的频率的意义，明确事件A发生的频率fn（A）与事件A发生的概率P（A）的区别与联系
2．发现法教学，通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高。
3．（1）通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；（2）培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识．
三、教学重点难点
重点：事件的分类；概率的定义以及和频率的区别与联系；
难点：随机事件发生存在的统计规律性.
四、学情分析
求随机事件的概率主要要用到排列、组合知识，学生没有基础，但学生在初中已经接触个类似的问题，所以在教学中学生并不感到陌生，关键是引导学生对“随机事件的概率”这个重点、难点的掌握和突破，以及如何有具体问题转化为抽象的概念。
五、教学方法
1．引导学生对身边的事件加以注意、分析，结果可定性地分为三类事件：必然事件，不可能事件，随机事件；指导学生做简单易行的实验，让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
多媒体课件，硬币数枚
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标
日常生活中，有些问题是能够准确回答的.例如，明天太阳一定从东方升起吗？
明天上午第一节课一定是八点钟上课吗？等等，这些事情的发生都是必然的.同时也
有许多问题是很难给予准确回答的.例如，你明天什么时间来到学校？明天中午12：10
有多少人在学校食堂用餐？你购买的本期福利彩票是否能中奖？等等，这些问题的
结果都具有偶然性和不确定性
设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。
（三）合作探究、精讲点拨
1、必然事件、不可能事件和随机事件
思考1：考察下列事件：
（1）导体通电时发热；
（2）向上抛出的石头会下落；
（3）在标准大气压下水温升高到100°C会沸腾.
这些事件就其发生与否有什么共同特点？
思考2：我们把上述事件叫做必然事件，你指出必然事件的一般含义吗？
在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件.
让学生列举一些必然事件的实例
思考3：考察下列事件：
（1）在没有水分的真空中种子发芽；（2）在常温常压下钢铁融化；
（3）服用一种药物使人永远年轻.
这些事件就其发生与否有什么共同特点？
思考4：我们把上述事件叫做不可能事件，你指出不可能事件的一般含义吗？
在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件
让学生列举一些不可能事件的实例
思考5：考察下列事件：
（1）某人射击一次命中目标；
（2）马林能夺取北京奥运会男子乒乓球单打冠军；
（3）抛掷一个骰字出现的点数为偶数. 这些事件就其发生与否有什么共同特点？
思考6：我们把上述事件叫做随机事件，你指出随机事件的一般含义吗？
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件.
让学生列举一些随机事件的实例
思考7：必然事件和不可能事件统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为
事件，一般用大写字母A，B，C，…表示.对于事件A，能否通过改变条件，使事件A
在这个条件下是确定事件，在另一条件下是随机事件？你能举例说明吗？
2、事件A发生的频率与概率
物体的大小常用质量、体积等来度量，学习水平的高低常用考试分数来衡量.对于随机
事件，它发生的可能性有多大，我们也希望用一个数量来反映.
思考1：在相同的条件S下重复n次试验，若某一事件A出现的次数为nA，则称nA为
事件A出现的频数，那么事件A出现的频率fn(A)等于什么？频率的取值范围是什么？
思考2：历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示：
抛掷次数
正面向上次数
频率０.５
2 02048
1061
0.5181
4 04040
2048
0.5069
12000
6019
0.5016
24000
12012
0.5005
30000
14984
0.4996
72088
36124
0.5011
在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的频率的稳定值为多少？
思考3：上述试验表明，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量
复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？
事件A发生的频率较稳定，在某个常数附近摆动.
思考4：既然随机事件A在大量重复试验中发生的频率fn(A)趋于稳定，在某个常数附近摆动，那我们就可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小，并把这个常数叫做事件A发生的概率，记作P（A）.那么在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的概率是多少？在上述油菜籽发芽的试验中，油菜籽发芽的概率是多少？
思考5：在实际问题中，随机事件A发生的概率往往是未知的（如在一定条件下射击命中目标的概率），你如何得到事件A发生的概率？
通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳定值，即概率.
思考6：在相同条件下，事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否一定相等？事件A在先后两次试验中发生的概率P（A）是否一定相等？
频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件A发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关.
思考7：必然事件、不可能事件发生的概率分别为多少？概率的取值范围是什么？
（四）、典型例题
例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）如果a＞b，那么a一b＞0；
（2）在标准大气压下且温度低于0°C时，冰融化；
（3）从分别标有数字l，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签;
（4）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
〈5）手电筒的的电池没电，灯泡发亮；
（6）随机选取一个实数x，得|x|≥0.
例2某射手在同一条件下进行射击，结果如下表：
射击次数数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
93
178
453
击中靶心频率
0.8
0.95
0.88
0.93
0.89
0.90
（1）计算表中击中靶心的各个频率；如上表
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？0.90
（五）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
（六）发导学案、布置预习。
我们已经学习了随机事件的概率，概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索。那么，如何正确理解概率的意义呢？在下一节课我们一起来学习概率的意义。这节课后大家可以先预习这一部分，如何得出恰当的结论的。并完成本节的课后练习及课后延伸拓展作业。
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计
§3.1.1.1 随机事件的概率
一、（1）必然事件 例题讲解
（2）不可能事件
（3）随机事件
二、概率定义 课堂小结
十、教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
本节课本节课需掌握的知识：
①了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念；
②理解随机事件的发生在大量重复试验下，呈现规律性；
③理解概率的意义及其性质。
本节课时间45分钟，其中情景导入、展示目标、检查预习5分钟，讲解随机事件的概率7分钟，学生分组实验10分钟左右，反思总结当堂检测5分钟左右，其余环节18分钟，能够完成教学内容。
在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!
十一、学案设计(见下页)
§ 3.1.1. 随机事件的概率
课前预习学案
一、预习目标
1. 了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；
2. 正确理解事件A出现的频率的意义；
二、预习内容
问题情境：日常生活中，有些问题是很难给予准确的回答的, 例如，
①抛一枚硬币,它将正面朝上还是反面朝上?
②购买本期福利彩票是否能中奖？
③7：20在某公共汽车站候车的人有多少？
④你购买本期体育彩票是否能中奖？等等。
但当我们把某些事件放在一起时, 会表现出令人惊奇的规律性. 这其中蕴涵什么?
知识生成：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的 事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的 事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的 事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的 事件；
（5）频数与频率：对于给定的随机事件A, 在相同的条件S下重复n次试验，观察事件A 是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 ；
称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的 ；
对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的 。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，是指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1. 了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；
2. 正确理解事件A出现的频率的意义；
3. 正确理解概率的概念，明确事件A发生的频率fn(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系；
学习重难点：
重点：对概率意义的正确理解.
难点：对随机现象的统计规律性的深刻认识。
二、学习过程
例1. 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）“抛一石块，下落”. （2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；
（3）“某人射击一次，中靶”； （4）“如果实数a＞b,那么a－b＞0”;
（5）“掷一枚硬币，出现正面”；（6）如果都是实数，；
（7）“导体通电后，发热”； （8） “在常温下，焊锡熔化”．
（9）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；
（10） “某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
（11） “没有水份，种子能发芽”；
答：根据定义，事件 是必然事件；
事件 是不可能事件；
事件 是随机事件．
实验（1）：把一枚硬币抛多次，观察其出现的结果，并记录各结果出现的频数，然后计算各频率。
上课前一天事先布置作业,要求学生每人完成50次,并完成下表（一）：
然后请同学们再以小组为单位,统计好数据,完成表格。
投掷一枚硬币，出现正面可能性究竟有多大？
例2. 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
思悟：概率实际上是频率的科学抽象，
求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。
（三）反思总结
概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索。
(四)当堂检测
1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（ ）
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
2．下列说法正确的是（ ）
A．任一事件的概率总在（0.1）内
B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1 D．以上均不对
3．下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1500
2000
3000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
282
639
1339
2715
发芽的频率
（1）完成上面表格：
（2）该油菜子发芽的概率约是多少？
参考答案
1．B[提示：正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件。]
2．C[提示：任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.]
3．解：（1）填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.（2）该油菜子发芽的概率约为0.897。
课后练习与提高
1.下列试验能够构成事件的是
A.掷一次硬币 B.射击一次
C.标准大气压下，水烧至100℃ D.摸彩票中头奖
2. 在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6这一事件是
A.必然事件 B.不可能事件
C.随机事件 D.以上选项均不正确
3. 随机事件A的频率满足
A. =0 B. =1 C.0<<1 D.0≤≤1
4. 下面事件是必然事件的有
①如果a、b∈R，那么a·b=b·a ②某人买彩票中奖 ③3+5>10
A.① B.② C.③ D.①②
5. 下面事件是随机事件的有
①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面朝上 ②异性电荷，相互吸引 ③在标准大气
压下，水在1℃时结冰
A.② B.③ C.① D.②③
6. 某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表（结果保留两位有效数
字）：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5544
9013
13520
17191
男婴数
2716
4899
6812
8590
男婴出生频率
（1）填写表中的男婴出生频率；
（2）这一地区男婴出生的概率约是_______.
7. 某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵出8513尾鱼苗，根据概率
的统计定义解答下列问题：
（1）求这种鱼卵的孵化概率（孵化率）；
（2）30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
（3）要孵化5000尾鱼苗，大概得备多少鱼卵？（精确到百位）
课件25张PPT。3-1-1随机事件的概率
一、选择题
1．下列现象中，是随机现象的有( )
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆．
②若a为整数，则a＋1为整数．
③发射一颗炮弹，命中目标．
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] 当a为整数时，a＋1一定为整数，是必然现象，其余3个均为随机现象．
2．下列事件中，不可能事件为( )
A．钝角三角形两个小角之和小于90°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
[答案] C
[解析] 若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件．
3．12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽出3个，必然事件是( )
A．3个都是正品 B．至少有一个是次品
C．3个都是次品 D．至少有一个是正品
[答案] D[来源:Zxxk.Com]
[解析] A，B都是随机事件，因为只有2个次品，所以“抽出的三个全是次品”是不可能事件，“至少有一个是正品”是必然事件．
4．某人连续抛掷一枚均匀硬币30000次，则正面向上的次数最有可能的是( )
A．13000 B．16201
C．11702 D．15000
[答案] D
5．先从一副扑克牌中抽取5张红桃，4张梅花，3张黑桃，再从抽取的12张牌中随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这种事情( )
A．可能发生 B．不可能发生
C．必然发生 D．无法判断
[答案] C
[解析] 因为12张牌中，红桃、梅花、黑桃中任两种的张数之和都小于10，故从12张扑克中抽取10张，三种牌一定都有．
6．下列事件：
①如果a>b，那么a－b>0.
②任取一实数a(a>0且a≠1)，函数y＝logax是增函数．
③某人射击一次，命中靶心．
④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球．
其中是随机事件的为( )
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
[答案] D
[解析] ①是必然事件；②中a>1时，y＝logax单调递增，0
7．在抛掷一枚硬币的试验中共抛掷100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数是( )
A．0.49 B．49
C．0.51 D．51
[答案] D
[解析] 由条件可知，“正面朝下”的频率为0.51，又共抛掷100次，所以“正面朝下”的次数是0.51×100＝51.
8．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )
A．概率为 B．频率为
C．频率为6 D．概率接近0.6
[答案] B
[解析] 抛掷一次即进行一次试验，抛掷10次，正面向上6次，即事件A的频数为6，∴A的频率为＝.∴选B.
9．下列说法中，不正确的是( )
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心5次
D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心的次数应为4
[答案] B
10．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
[答案] A
[解析] 取到号码为奇数的卡片共有13＋5＋6＋18＋11＝53(次)，所以取到号码为奇数的频率为＝0.53.
二、填空题[来源:学*科*网]
11．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
[答案] 500
[解析] 设共进行了n次试验，
则＝0.02，解得n＝500.
12．一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为________．
[答案] 0.03
[解析] 在一年里汽车的挡风玻璃破碎的频率为＝0.03，所以估计其破碎的概率约为0.03.
13．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是____，中9环的概率是________．
[答案] 0.9 0.3
[解析] 打靶10次，9次中靶，故中靶的概率为＝0.9，其中3次中9环，故中9环的频率是＝0.3.
14．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最小值为________．
[答案] 16
[解析] 至少需摸完黑球和白球共15个．
三、解答题
15．设集合M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个基本事件．
(1)“a＋b＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“a<3且b>1”呢？
(2)“ab＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“a＝b”呢？
(3)“直线ax＋by＝0的斜率k>－1”这一事件包含哪几个基本事件？
[解析] 这个试验的基本事件构成集合Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(1)“a＋b＝5”包含以下4个基本事件：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
“a<3且b>1”包含以下6个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
(2)“ab＝4”这一事件包含以下3个基本事件：(1,4)，(2,2)，(4,1)；
“a＝b”这一事件包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
(3)直线ax＋by＝0的斜率k＝－>－1，
∴a16．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A；
(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，请你回答上述两个问题．
[解析] (1)这个试验的所有可能结果Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)，(a2，a1)，(b，a1)，(b，a2)}．
(2)A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
(3)①这个试验的所有可能结果Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}．②A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
17．某企业生产的乒乓球被2008年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：
抽取球数n[来源:学科网ZXXK]
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数m
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
(1)计算表中乒乓球为优等品的频率；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，检测出为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)
[解析] (1)依据公式fn(A)＝，可以计算表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970，0.940，0.954,0.951.
(2)由(1)知抽取的球数n不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽球数的增多，都在常数0.950的附近摆动，所以任意抽取一个乒乓球检测时，质量检测为优等品的概率约为0.950.
18．在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：
分组
频数
[1.30,1.34)
4
[1.34,1.38)
25
[1.38,1.42)
30
[1.42,1.46)
29
[1.46,1.50)
10
[1.50,1.54)
2
合计
100
(1)请作出频率分布表，并画出频率分布直方图；
(2)估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？
[解析] (1)频率分布表如下表.
分组[来源:学科网]
频数
频率
[1.30,1.34)
4
0.04
[1.34,1.38)
25
0.25
[1.38,1.42)
30
0.30
[1.42,1.46)
29
0.29
[1.46,1.50)
10
0.10
[1.50,1.54)
2
0.02
合计
100
1.00
频率分布直方图如图所示．
(2)纤度落在[1.38,1.50)中的频数是30＋29＋10＝69，
则纤度落在[1.38,1.50)中的频率是＝0.69，
所以估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率为0.69.
纤度小于1.40的频数是4＋25＋×30＝44，
则纤度小于1.40的频率是＝0.44，
所以估计纤度小于1.40的概率是0.44.
3.1随机事件的概率（一）
问题提出
日常生活中，有些问题是能够准确回答的.
例如: 明天太阳一定从东方升起吗？ 明天上午第一节课一定是八点钟上课吗？
这些事情的发生都是必然的.
2.从辨证的观点看问题，事情发生的偶然性与必然性之间往往存在有某种内在联系.
例如:
长沙地区一年四季的变化有着确定的、必然的规律，但长沙地区一年里哪一天最热，哪一天最冷，哪一天降雨量最大，那一天下第一场雪等，都是不确定的、偶然的.
3.数学理论的建立，往往来自于解决实际问题的需要.对于事情发生的必然性与偶然性，及偶然性事情发生的可能性有多大，我们将从数学的角度进行分析与探究.
知识探究（一）：必然事件、不可能事件和随机事件
思考1：考察下列事件：
（1）导体通电时发热；
（2）向上抛出的石头会下落；
（3）在标准大气压下水温升高到100°C会沸腾.
这些事件就其发生与否有什么共同特点？
思考2：我们把上述事件叫做必然事件，你指出必然事件的一般含义吗？
在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件.
你能列举一些必然事件的实例吗？
思考3：考察下列事件：
（1）在没有水分的真空中种子发芽；
（2）在常温常压下钢铁融化；
（3）服用一种药物使人永远年轻.
这些事件就其发生与否有什么共同特点？
思考4：我们把上述事件叫做不可能事件，能指出不可能事件的一般含义吗？
在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件
你能列举一些不可能事件的实例吗？
思考5：考察下列事件：
（1）某人射击一次命中目标；
（2）马琳能夺取伦敦奥运会男子乒乓球单打冠军；
（3）抛掷一个骰字出现的点数为偶数. 这些事件
就其发生与否有什么共同特点？
思考6：我们把上述事件叫做随机事件，你指出随机事件的一般含义吗？
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件.
你能列举一些随机事件的实例吗？
归纳：
必然事件和不可能事件统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示.
思考7:对于事件A，能否通过改变条件，使事件A在这个条件下是确定事件，在另一条件下是随机事件？
你能举例说明吗？
知识探究（二）：事件A发生的频率与概率
物体的大小常用质量、体积等来度量，学习水平的高低常用考试分数来衡量.对于随机事件，它发生的可能性有多大，我们也希望用一个数量来反映.
思考1：在相同的条件S下重复n次试验，若某一事件A出现的次数为nA，则称nA为事件A出现的频数，那么事件A出现的频率fn(A)等于什么？频率的取值范围是什么？
思考2：历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示
在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的频率的稳定值为多少？
思考3：某农科所对某种油菜籽在相同条件下的发芽情况进行了大量重复试验，结果如下表所示：
在上述油菜籽发芽的试验中，每批油菜籽发芽的频率的稳定值为多少？0.9
思考4：上述试验表明，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？
事件A发生的频率较稳定，在某个常数附近摆动.
思考5：既然随机事件A在大量重复试验中发生的频率fn(A)趋于稳定，在某个常数附近摆动，那我们就可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小，并把这个常数叫做事件A发生的概率，记作P（A）.那么在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的概率是多少？在上述油菜籽发芽的试验中，油菜籽发芽的概率是多少？
思考6：在实际问题中，随机事件A发生的概率往往是未知的（如在一定条件下射击命中目标的概率），你如何得到事件A发生的概率？
通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳定值，即概率.
思考7：在相同条件下，事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否一定相等？事件A在先后两次试验中发生的概率P（A）是否一定相等？
频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件A发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关.
思考8：必然事件、不可能事件发生的概率分别为多少？概率的取值范围是什么？
思考9：概率为1的事件是否一定发生？概率为0的事件是否一定不发生？
思考10：怎样理解“4月3号长沙地区的降水概率为0.6”的含义？
例题讲解
例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）如果a＞b，那么a一b＞0；
（2）在标准大气压下且温度低于0°C时，冰融化；
（3）从分别标有数字l，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签;
（4）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（5）手电筒的的电池没电，灯泡发亮；
（6）随机选取一个实数x，得|x|≥0.
例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
课堂小结
1. 概率是频率的稳定值，根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值.
2. 随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率逐渐稳定在区间
[0，1]内的某个常数上（即事件A的概率），这个常数越接近于1，事件A发生的概率就越大，也就是事件A发生的可能性就越大；反之，概率越接近于0，事件A发生的可能性就越小．因此，概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.
3. 任何事件的概率是0～1之间的一个确定的数，小概率（接近0）事件很少发生，大概率（接近1）事件则经常发生，知道随机事件的概率的大小有利于我们作出正确的决策.
作业：
《习案》：作业二十九
课件45张PPT。3.1.1随机事件的概率随机事件的概率第三章 概 率
3.1.1 随机事件的概率
课时目标 在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
1．事件的概念及分类
事
件
确定
事件
不可
能事
件
在条件S下，______________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件
必然
事件
在条件S下，________的事件，叫做相对于条件S的必然事件
随机
事件
在条件S下______________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件
2.频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中______________为事件A出现的频数，称______________________为事件A出现的频率．
3．概率
(1)含义：概率是度量随机事件发生的________的量.
(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于________，因此可以用__________来估计概率P(A)．
一、选择题
1．有下列事件：
①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；
②异性电荷相互吸引；
③在标准大气压下，水在1℃结冰；
④买了一注彩票就得了特等奖．
其中是随机事件的有( )
A．①② B．①④
C．①③④ D．②④
2．下列事件中，不可能事件是( )
A．三角形的内角和为180°
B．三角形中大角对大边，小角对小边
C．锐角三角形中两内角和小于90°
D．三角形中任两边之和大于第三边
3．有下列现象：
①掷一枚硬币，出现反面；②实数的绝对值不小于零；③若a>b，则bA．② B．①
C．③ D．②③
4．先后抛掷一枚均匀硬币三次，至多有一次正面向上是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．确定事件 D．随机事件
5．下列说法正确的是( )
A．某厂一批产品的次品率为5%，则任意抽取其中20件产品一定会发现一件次品．
B．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨．
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈．
D．掷一枚均匀硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为50%.
6．在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与的关系是( )
A．P(A)≈ B．P(A)<
C．P(A)> D．P(A)＝
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是________事件．
8．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；
②“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”；
③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”．
其中________是随机事件；________是不可能事件．(填上事件的编号)
9．在一篇英文短文中，共使用了6 000个英文字母(含重复使用)，其中字母“e”共使用了900次，则字母“e”在这篇短文中的使用的频率为________．
三、解答题
10．判断下列事件是否是随机事件．
①在标准大气压下水加热到100℃，沸腾；
②在两个标准大气压下水加热到100℃，沸腾；
③水加热到100℃，沸腾．
11．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心的次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
(1)计算表中击中靶心的各个频率；
(2)这个射手射击一次击中靶心的概率约是多少？
能力提升
12．将一骰子抛掷1 200次，估计点数是6的次数大约是______次；估计点数大于3的次数大约是______次．
13．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：
直径
个数
直径
个数
6.881
6.9326
6.892
6.9415
6.9010
6.958
6.9117
6.962
6.9217
6.972
从这100个螺母中任意抽取一个，求
(1)事件A(6.92(2)事件B(6.90(3)事件C(d>6.96)的频率；
(4)事件D(d≤6.89)的频率．
1．随机试验
如果一个试验满足以下条件：
(1)试验可以在相同的条件下重复进行；
(2)试验的所有结果是明确可知的，但不止一个；
(3)每次试验总是出现这些结果中的一个，但在试验之前却不能确定会出现哪一个结果．
则这样的试验叫做随机试验．
2．频数、频率和概率之间的关系：
(1)频数是指在n次重复试验中事件A出现的次数，频率是频数与试验总次数的比值，而概率是随机事件发生的可能性的规律体现．
(2)随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的结果，但它具有一定的稳定性，概率是频率的稳定值，是频率的科学抽象，不会随试验次数的变化而变化．
3．辩证地看待“确定事件”、“随机事件”和“概率”．一个随机事件的发生，既有随机性(对一次试验来说)，又存在着统计规律性(对大量重复试验来说)，这是偶然性和必然性的统一．就概率的统计定义而言，必然事件U的概率为1，P(U)＝1；不可能事件V的概率为0，P(V)＝0；而随机事件A的概率满足0≤P(A)≤1.从这个意义上讲，必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端情况．
答案：
3．1.1 随机事件的概率
知识梳理
1．一定不会发生 一定会发生 可能发生也可能不发生 2.事件A出现的次数nA 事件A出现的比例fn(A)＝ 3.(1)可能性 (2)概率P(A) 频率fn(A)
作业设计
1．B [①、④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件．]
2．C [锐角三角形中两内角和大于90°.]
3．B [①是随机现象；②③是必然现象．]
4．D 5.D 6.A
7．随机
8．①③ ②
解析 因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以②是不可能事件．
9．0.15
解析 频率＝＝0.15.
10．解 在①、②、③中“沸腾”是试验的结果，称为事件，但在①的条件下是必然事件，在②的条件下是不可能事件，在③的条件下则是随机事件．
11．解 (1)由公式可算得表中击中靶心的频率依次为0.8，0.95，0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由(1)可知，射手在同一条件下击中靶心的频率虽然各不相同，但都在常数0.9左右摆动，所以射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.
12．200 600
解析 一粒骰子上的6个点数在每次掷出时出现的可能性(即概率)都是，而掷出点数大于3包括点数为4,5,6三种．故掷出点数大于3的可能性为＝，故N1＝×1 200＝200，N2＝×1 200＝600.
13．解 (1)事件A的频率f(A)＝＝0.43.
(2)事件B的频率
f(B)＝＝0.93.
(3)事件C的频率f(C)＝＝0.04.
(4)事件D的频率f(D)＝＝0.01.
