3-1-3概率的基本性质
一、选择题
1．给出以下结论：
①互斥事件一定对立．
②对立事件一定互斥．
③互斥事件不一定对立．
④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．
⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．
其中正确命题的个数为( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[答案] C
[解析] 对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；
又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；[]
只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，
∴⑤错．
2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A?B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
[答案] C
[解析] 设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，
∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.
3．抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件A＝{向上的点数是1}，事件B＝{向上的点数是2}，事件C＝{向上的点数是1或2}，则有( )
A．A∩B＝C
B．A∪B＝C
C．C?B
D．C?A
[答案] B
[解析] A∪B＝?，A∪B＝C，B?C，A?C，则仅有B项正确．
4．事件M?N，当N发生时，下列必发生的是( )
A．M
B．M∩N
C．M∪N
D．M的对立事件
[答案] C[]
[解析] 由于M?N，则当N发生时，M不一定发生，则MN和M∩N也不一定发生，而M∪N一定发生．
5．对于对立事件和互斥事件，下列说法正确的是( )
A．如果两个事件是互斥事件，那么这两个事件一定是对立事件
B．如果两个事件是对立事件，那么这两个事件一定是互斥事件
C．对立事件和互斥事件没有区别，意义相同
D．对立事件和互斥事件没有任何联系
[答案] B
[解析] 互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，则B项正确，A、C、D项不正确
6．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是( )
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
[答案] D
[解析] A项中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以A项不符合题意；B项中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，所以B项不符合题意；C项中，若取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以C项不符合题意；D项中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以D项符合题意．
7．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )
A．60%
B．30%
C．10%
D．50%
[答案] D
[解析] 甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.
8．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，且已知P(A)＝0.65，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.7
B．0.65
C．0.35
D．0.3
[答案] C
[解析] 设抽到的不是一等品为事件B，则A与B不能同时发生，且必有一个发生，则A与B是对立事件，故P(B)＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
9．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于( )
A．0.3
B．0.2
C．0.1
D．不确定
[答案] D
[解析] 由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定．
10．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为( )
A．0.65
B．0.55
C．0.35
D．0.75
[答案] C
[解析] 设该地6月1日下雨为事件A，阴天为事件B，晴天为事件C，则事件A，B，C两两互斥，且A∪B与C是对立事件，则P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.20＝0.35.
二、填空题
11．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则事件
A＝“在这200件产品中任意选出9件，全都是一级品”
B＝“在这200件产品中任意选出9件，全都是二级品”
C＝“在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品”
D＝“在这200件产品中任意选出9件，其中一定有一级品”
其中，
(1)________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．
(2)P(D)＝________，P(B)＝________，P(A)＋P(C)＝________.
[答案] (1)D B A，C (2)1 0 1
P(D)＝1；P(B)＝0；A与C是对立事件，
∴P(A)＋P(C)＝P(A＋C)＝1.
12．在10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3件．事件A＝“3件都是一级品”，则A的对立事件是________．
[答案] 三件中至少有一件是二级品
13．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．
[答案] 0.2
[解析] 由题意知A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，又P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”，也是对立事件．
∵P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38.
设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)
＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.
14．某地区年降水量在下列范围内的概率如下表如示：
年降水量(单位：mm)
[0,50)
[50,100)
概率P
0.14
0.30
0.32[]
则年降水量在[50,150)(mm)范围内的概率为________，年降水量不低于150mm的概率是________．
[答案] 0.62 0.24
[解析] 0.30＋0.32＝0.62；1－(0.14＋0.30＋0.32)＝0.24.
三、解答题
15．某商场有甲乙两种电子产品可供顾客选购．记事件A为“只买甲产品”，事件B为“至少买一种产品”，事件C为“至多买一种产品”，事件D为“不买甲产品”，事件E为“一种产品也不买”．判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；
(2)B与E；
(3)B与D；
(4)B与C；
(5)C与E.
[分析] 利用互斥事件和对立事件的概念进行判断．
[解析] (1)由于事件C“至多买一种产品”中有可能只买甲产品，故事件A与事件C有可能同时发生，故事件A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少买一种产品”与事件E“一种产品也不买”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．又由于事件B与E必有一个发生，所以事件B与E还是对立事件．
(3)事件B“至少买一种产品”中有可能买乙产品，即与事件D“不买甲产品”有可能同时发生，故事件B与D不是互斥事件．[]
(4)若顾客只买一种产品，则事件B“至少买一种产品”与事件C“至多买一种产品”就同时发生了，所以事件B与C不是互斥事件．
(5)若顾客一件产品也不买，则事件C“至多买一种产品”与事件E“一种产品也不买”就同时发生了，事实上事件C与E满足E?C，所以二者不是互斥事件．
16．向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中第二个军火库的概率为0.12，炸中第三个军火库的概率为0.28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．
[解析] 设A、B、C分别表示炸弹炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件，事件D表示军火库爆炸，已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.12，P(C)＝0.28.又因为只投掷了一枚炸弹，故不可能炸中两个及以上军火库，所以A、B、C是互斥事件，且D＝A∪B∪C，所以P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.12＋0.28＝0.6，即军火库发生爆炸的概率为0.6.
17．一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出1个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为.求：
(1)取出的1个球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率．
[解析] 记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意，知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．
由互斥事件的概率公式，得
(1)取出1球是红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)
＝＋＝.
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
18．在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算：
(1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率；
(2)小明考试及格的概率．
[分析] 小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80～89分”与“90分以上”的并事件，小明考试及格可看作是“60～69分”“70～79分”“80～89分”与“90分以上”这几个彼此互斥的事件的并事件，又可看作是事件“不及格”的对立事件．
[解析] 分别记小明的成绩“在90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”为事件B、C、D、E，这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在80分以上的概率是
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.[]
(2)方法一：小明考试及格的概率是
P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
方法二：小明考试不及格的概率是0.07，所以，小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93.3.
1.3概率的基本性质
【教学目标】
1.说出事件的包含,并,交,
相等事件,
以及互斥事件,
对立事件的概念；
2..能叙述互斥事件与对立事件的区别与联系
3.
说出概率的三个基本性质；会使用互斥事件、对立事件的概率性质求概率。
【教学重难点】
教学重点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。
教学难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算，概率的几个基本性质
【教学过程】
一、创设情境
1.
两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还
记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？
2
我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算，分析事件之间的关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识．
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二、新知探究
1.
事件的关系与运算
思考：在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：
C1＝｛出现1点｝，
C2＝｛出现2点｝，
C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，
C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，
D1＝｛出现的点数不大于1｝，
D2＝｛出现的点数大于4｝，
D3＝｛出现的点数小于6｝，
E＝｛出现的点数小于7｝，
F＝｛出现的点数大于6｝，
G＝｛出现的点数为偶数｝，
H＝｛出现的点数为奇数｝，等等.
你能写出这个试验中出现其它一些事件吗？类比集合与集合的关系，运算，你能发现
它们之间的关系和运算吗？
上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件?
(1)
显然，如果事件C1发生，
则事件H一定发生，这时我们说事件H包含事件C1，记作H
C1。
一般地，对于事件A与事件B，如何理解事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）？特别地，不可能事件用Ф表示，它与任何事件的关系怎样约定？
如果当事件A发生时，事件B一定发生，则BA
(
或AB
)；任何事件都包含不可能事件.
（2）分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关
系应怎样描述？
一般地，当两个事件A、B满足什么条件时，称事件A与事件B相等？
若BA，且AB，则称事件A与事件B相等，记作A=B.
（3）如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？
事件D2称为事件C5与事件C6的并事件（或和事件），一般地，事件A与
事件B的并事件（或和事件）是什么含义？
当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作
C=A∪B(或A+B).
（4）类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出这样的例子吗？
例如，在掷骰子的试验中D2∩D3=C4
（5）两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝Ф，此时，称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生
例如，上述试验中的事件C1与事件C2互斥，事件G与事件H互斥。
（6）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：
事件A与事件B有且只有一个发生.
思考：事件A与事件B的和事件、积事件，分别对应两个集合的并、交，那么事件A与事件B互为对立事件，对应的集合A、B是什么关系？
集合A与集合B互为补集.
思考：若事件A与事件B相互对立，那么事件A与事件B互斥吗？反之，若事件A与
事件B互斥，那么事件A与事件B相互对立吗？
2.概率的几个基本性质
思考1：概率的取值范围是什么？必然事件、不可能事件的概率分别是多少？
思考2：如果事件A与事件B互斥，则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系？fn(A∪B)与fn(A)、fn(B)有什么关系？进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？
若事件A与事件B互斥，则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和，且
P（A∪B）＝P（A）＋
P（B），这就是概率的加法公式.
思考3：如果事件A与事件B互为对立事件，则P(A∪B)的值为多少？P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？由此可得什么结论？
若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）＋P（B）＝1.
思考4：如果事件A与事件B互斥，那么P（A）＋P（B）与1的大小关系如何？
P（A）＋P（B）≤1.
三、典型例题
例1 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是0.25，取到方片（事件B）的概率是0.25，问：
（l）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
解：（1）因为C=
A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件，根据概率的加法公式，得
P（C）=P（A∪B）=
P（A）＋P（B）=0.5，
（2）C与D也是互斥事件，又由于C∪D为必然事件，所以C与D互为对立事件，所以
P（D）=1-
P（C）=0.5.
点评：利用互斥事件、对立事件的概率性质求概率
变式训练1：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是
1/3
，得到黑球或黄球的概率是
5/12，得到黄球或绿球的概率也是5/12
，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？
例2某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．
事件A与事件C互斥，事件B与事件C互斥，事件C与事件D互斥且对立.
点评：学会判断互斥、对立关系
变式训练2：．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断
下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品
四、课堂小结
1.事件的各种关系与运算，可以类比集合的关系与运算，互斥事件与对立事件的概念的外延具有包含关系，即{对立事件} {互斥事件}.
2.在一次试验中，两个互斥事件不能同时发生，它包括一个事件发生而另一个事件不发生，或者两个事件都不发生，两个对立事件有且仅有一个发生.
３.事件（A+B）或（A∪B），表示事件A与事件B至少有一个发生，事件（AB）或A∩B，表示事件A与事件B同时发生.
4.概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P（A∪B）≤P（A）＋P（B）.
五、反馈测评
1．某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率。
解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44。（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的
概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环
的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97=0.03。
2．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
解：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为+=
【板书设计】
略
【作业布置】课本121页1---5T
3.1.3概率的基本性质
课前预习学案
一、预习目标：
通过预习事件的关系与运算，初步理解事件的包含,并,交,
相等事件,
以及互斥事件,
对立事件的概念。
二、预习内容：
1、知识回顾：
（1）必然事件：在条件S下，
发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，
发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下
的事件，叫相对于条件S的随机事件；
2、事件的关系与运算
①对于事件A与事件B,
如果事件A发生,事件B一定发生,
就称事件
包含事件
.
(或称事件
包含于事件
).记作A
B,
或B
A.
如上面试验中
与
②如果B
A
且A
B,
称事件A与事件B相等.记作A
B.
如上面试验中
与
③如果事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生.
则称此事件为事件A与事件B的并.
(或称和事件),
记作A
B(或A
B).
如上面试验中
与
④如果事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生.
则称此事件为事件A与事件B的交.
(或称积事件),
记作A
B(或A
B).
如上面试验中
与
⑤如果A
B为不可能事件(A
B),
那么称事件A与事件B互斥.
其含意是:
事件A与事件B在任何一次实验中
同时发生.
⑥如果A
B为不可能事件,且A
B为必然事件，称事件A与事件B互为对立事件.
其含意是:
事件A与事件B在任何一次实验中
发生.
3.
概率的几个基本性质
(1).由于事件的频数总是小于或等于试验的次数.
所以,
频率在0~1之间,
从而任何事件的概率
在0~1之间.即
①必然事件的概率:
;
;
②不可能事件的概率:
.
(2)
当事件A与事件B互斥时,
A
B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和.
从而A
B的频率.
由此得
概率的加法公式:
(3).如果事件A与事件B互为对立,
那么,
A
B为必然事件,
即.
因而
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：
1.说出事件的包含,并,交,
相等事件,
以及互斥事件,
对立事件的概念；
2.能叙述互斥事件与对立事件的区别与联系
3.
说出概率的三个基本性质；会使用互斥事件、对立事件的概率性质求概率。
二、学习内容
1.
事件的关系与运算
(1)
显然，如果事件C1发生，
则事件H一定发生，这时我们说事件H包含事件C1，
记作H
C1
一般地，对于事件A与事件B，如何理解事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）？特别地，不可能事件用Ф表示，它与任何事件的关系怎样约定？
（2）分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关
系应怎样描述？
（3）如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？
事件D2称为事件C5与事件C6的并事件（或和事件），一般地，事件A与事件B的并事件（或和事件）是什么含义？
（4）类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出这样的例子吗？
（5）你能在探究试验中找出互斥事件吗？请举例。
（6）在探究试验中找出互斥事件
思考：事件A与事件B的和事件、积事件，分别对应两个集合的并、交，那么事件A与事件B互为对立事件，对应的集合A、B是什么关系？
思考：若事件A与事件B相互对立，那么事件A与事件B互斥吗？反之，若事件A与
事件B互斥，那么事件A与事件B相互对立吗？
2.概率的几个基本性质
思考1：概率的取值范围是什么？必然事件、不可能事件的概率分别是多少？
思考2：如果事件A与事件B互斥，则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系？fn(A∪B)与fn(A)、fn(B)有什么关系？进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？
思考3：如果事件A与事件B互为对立事件，则P(A∪B)的值为多少？P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？由此可得什么结论？
思考4：如果事件A与事件B互斥，那么P（A）＋P（B）与1的大小关系如何？
3、典型例题
例1 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是0.25，取到方片（事件B）的概率是0.25，问：
（l）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
例2某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．
三、反思总结
1.如何判断事件A与事件B是否为互斥事件或对立事件？
2.
如果事件A与事件B互斥，P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？
3.
如果事件A与事件B互为对立事件，则P(A∪B)的值为多少？P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？
四、当堂检测
1.
一个人打靶时连续射击两次
，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是
（
）
A.至多有一次中靶
B.两次都中靶
C.
只有一次中靶
D.
两次都不中靶
2.
把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲得红牌”与事件“乙分得红牌”是
(
)
A.对立事件
B.
互斥但不对立事件
C.必然事件
D.
不可能事件
3.
袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是
1/3
，得到黑球或黄球的概率是
5/12，得到黄球或绿球的概率也是5/12
，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？
课后练习与提高
1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断
下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品
2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，
已知P（A）=，P（B）=，
求出现奇数点或2点的概率。
3．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，
0.28，计算该射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率。
4．某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率。
5．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
参考答案：
1．解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：
（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，
又因为它们的并不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断：
（2）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件。
（3）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件。
2．解：“出现奇数点”的概率是事件A，“出现2点”的概率是事件B，
“出现奇数点或2点”的概率之和为P（C）=P（A）+P（B）=+=
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83.1.3 概率的基本性质
课时目标 1.了解事件间的相互关系.2.理解互斥事件、对立事件的概念.3.会用概率的加法公式求某些事件的概率．
1．事件的关系与运算
(1)包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A________，则事件B________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)．记作________________．不可能事件记作?，任何事件都包含____________．一般地，如果B?A，且A?B，那么称事件A与事件B________，记作________．
(2)并事件
若某事件发生当且仅当______________________，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．
(3)交事件
若某事件发生当且仅当______________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．
(4)互斥事件与对立事件
①互斥事件的定义
若A∩B为________________(A∩B＝__________)，则称事件A与事件B互斥．
②对立事件的含义
若A∩B为________________，A∪B是__________，则称事件A与事件B互为对立事件．
2．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围__________．
(2)________的概率为1，__________的概率为0.
(3)概率加法公式
如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝____________.
特殊地，若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
P(A∪B)＝____，P(A∩B)＝____.
一、选择题
1．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则( )
A．A?B
B．A?B
C．A与B互斥
D．A与B互为对立事件
2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A．A?D
B．B∩D＝?
C．A∪C＝D
D．A∪B＝B∪D
3．从1,2，…，9中任取两个数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述几对事件中是对立事件的是( )
A．①
B．②④
C．③
D．①③
4．下列四种说法：
①对立事件一定是互斥事件；
②若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；
④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．
其中错误的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
5．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8
g的概率为0.3，质量小于4.85
g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]g范围内的概率是( )
A．0.62
B．0.38
C．0.02
D．0.68
6．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )
A.
B.
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，则摸出黑球的概率是________．
8．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是，乙队胜的概率是，则甲队胜的概率是________．
9．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为，则至少有一个5点或6点的概率是________．
三、解答题
10．某射手射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16，计算这名射手射击一次．
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
11．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？
能力提升
12．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
13．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
年最高水位(单位：m)
[8,10)
[10,12)
[12,14)
[14,16)
[16,18)
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：
(1)[10,16)(m)；(2)[8,12)(m)；(3)水位不低于12
m.
1．互斥事件与对立事件的判定
(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，也即A＝?IB或B＝?IA；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.
2．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率然后用加法公式求出结果．
3．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
答案：
3．1.3 概率的基本性质
知识梳理
1．(1)发生 一定发生 B?A或A?B 不可能事件 相等 A＝B (2)事件A发生或事件B发生
(3)事件A发生且事件B发生 (4)①不可能事件 ? ②不可能事件 必然事件 2.(1)0≤P(A)≤1
(2)必然事件 不可能事件 (3)P(A)＋P(B) 1 0
作业设计
1．C
2．D [“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.]
3．C [从1,2，…，9中任取两个数，有以下三种情况：
(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．①中“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”是同一个事件，因此不互斥也不对立；②中“至少有一个奇数”包括“两个都是奇数”这个事件，可以同时发生，因此不互斥也不对立；④中“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”，可以同时发生，因此不互斥也不对立；③中是对立事件，故应选C.]
4．D [对立事件一定是互斥事件，故①对；
只有A、B为互斥事件时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故②错；
因A，B，C并不是随机试验中的全部基本事件，
故P(A)＋P(B)＋P(C)并不一定等于1，故③错；
若A、B不互斥，尽管P(A)＋P(B)＝1，
但A，B不是对立事件，故④错．]
5．C [设“质量小于4.8
g”为事件A，“质量小于4.85
g”为事件B，“质量在[4.8,4.85]g”为事件C，则A∪C＝B，且A、C为互斥事件，所以P(B)＝P(A∪C)＝P(A)＋P(C)，则P(C)＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.]
6．C [记录取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E概率的和．
∴P(B∪D∪E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)
＝＋＋＝.]
7．0.30
解析 P＝1－0.42－0.28＝0.30.
8.
解析 设甲队胜为事件A，
则P(A)＝1－－＝.
9.
解析 没有5点或6点的事件为A，则P(A)＝，至少有一个5点或6点的事件为B.
因A∩B＝?，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
故至少有一个5点或6点的概率为.
10．解 设“射中10环”，“射中9环”，“射中8环”，“射中7环”的事件分别为A、B、C、D，则A、B、C、D是互斥事件，
(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
＝0.24＋0.28＝0.52；
(2)P(A∪B∪C∪D)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.
答 射中10环或9环的概率是0.52，至少射中7环的概率为0.87.
11．解 记“响第1声时被接”为事件A，“响第2声时被接”为事件B，“响第3声时被接”为事件C，“响第4声时被接”为事件D.“响前4声内被接”为事件E，则易知A、
B、C、D互斥，且E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率的加法公式得
P(E)＝P(A∪B∪C∪D)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.
12．解 (1)记“他乘火车去”为事件A1，“他乘轮船去”为事件A2，“他乘汽车去”为事件A3，“他乘飞机去”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．
故P(A1∪A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.
所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P，
则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
13．解 设水位在[a，b)范围的概率为P([a，b))．
由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：
(1)P([10,16))＝P([10,12))＋P([12,14))＋P([14,16))
＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)P([8,12))＝P([8,10))＋P([10,12))
＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)记“水位不低于12
m”为事件A，
P(A)＝1－P([8,12))＝1－0.38＝0.62.(共30张PPT)
Q
D
LQ
QUANYOU
KETANG3.1随机事件的概率（三）
(?http:?/??/?www.?)
问题提出
(?http:?/??/?www.?)
1.
两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？
(?http:?/??/?www.?)
2.
我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算，分析事件之间的关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识．
(?http:?/??/?www.?)
知识探究（一）：事件的关系与运算
(?http:?/??/?www.?)
在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：
(?http:?/??/?www.?)
C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝，
(?http:?/??/?www.?)
C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，
(?http:?/??/?www.?)
C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，
(?http:?/??/?www.?)
D1＝｛出现的点数不大于1｝，
(?http:?/??/?www.?)
D2＝｛出现的点数大于4｝，
(?http:?/??/?www.?)
D3＝｛出现的点数小于6｝，
(?http:?/??/?www.?)
E＝｛出现的点数小于7｝，
(?http:?/??/?www.?)
F＝｛出现的点数大于6｝，
(?http:?/??/?www.?)
G＝｛出现的点数为偶数｝，
(?http:?/??/?www.?)
H＝｛出现的点数为奇数｝，等等.
(?http:?/??/?www.?)
思考1：上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件?
(?http:?/??/?www.?)
思考2：如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？
(?http:?/??/?www.?)
一般地，对于事件A与事件B，如果当事件A发生时，事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）记为:
BA(或AB)
(?http:?/??/?www.?)
特别地，不可能事件用Ф表示，它与任何事件的关系约定为:
(?http:?/??/?www.?)
任何事件都包含不可能事件.
(?http:?/??/?www.?)
思考3：分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述？
(?http:?/??/?www.?)
一般地，当两个事件A、B满足:
(?http:?/??/?www.?)
若B
A，且A
B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.
(?http:?/??/?www.?)
思考4：如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？
(?http:?/??/?www.?)
事件D2一定发生,
反之也成立.
(?http:?/??/?www.?)
事件D2为事件C5与事件C6的并事件(或和事件)
(?http:?/??/?www.?)
一般地,当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作
(?http:?/??/?www.?)
C=A∪B(或A+B).
(?http:?/??/?www.?)
思考5：类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出这样的例子吗？
(?http:?/??/?www.?)
思考6：两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝，此时，称事件A与事件B互斥，那么在一次试验中，事件A与事件B互斥的含义怎样理解？在上述事件中能找出这样的例子吗？
(?http:?/??/?www.?)
思考7：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，那么在一次试验中，事件A与事件B互为对立事件的含义怎样理解？在上述事件中能找出这样的例子吗？
(?http:?/??/?www.?)
事件A与事件B有且只有一个发生.
(?http:?/??/?www.?)
思考8：事件A与事件B的和事件、积事件，分别对应两个集合的并、交，那么事件A与事件B互为对立事件，对应的集合A、B是什么关系？
(?http:?/??/?www.?)
集合A与集合B互为补集.
(?http:?/??/?www.?)
思考9：若事件A与事件B相互对立，那么事件A与事件B互斥吗？反之，若事件A与事件B互斥，那么事件A与事件B相互对立吗？
(?http:?/??/?www.?)
知识迁移
(?http:?/??/?www.?)
例1
某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
(?http:?/??/?www.?)
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．
事件A与事件C互斥，事件B与事件C互斥，事件C与事件D互斥且对立.
例2
一个人打靶时连续射击两次事件“至少有一次中靶”的互斥事件是
（
D
）
A.至多有一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都不中靶
例3
把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是
(
B
)
A.
对立事件
B.
互斥但不对立事件
C.
必然事件
D.
不可能事件
知识探究（二）：概率的几个基本性质
思考1：概率的取值范围是什么？必然事件、不可能事件的概率分别是多少？
思考2：如果事件A与事件B互斥，则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系？fn(A∪B)与fn(A)、fn(B)有什么关系？进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？
若事件A与事件B互斥，则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,且
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这就是概率的加法公式.
思考3：如果事件A与事件B互为对立事件，
则P(A∪B)的值为多少？P(A∪B)与P(A)、
P(B)有什么关系？由此可得什么结论？
若事件A与事件B互为对立事件，则:
P(A)＋P(B)＝1.
思考4：如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)与1的大小关系如何？
P(A)＋P(B)≤1.
思考5：如果事件A1,A2，…，An中任何两个都互斥,那么事件（A1+A2+…+An）的含义如何?P(A1+A2+…+An)与P(A1)，P(A2)，…，P(An)有什么关系？
事件(A1
+
A2
+…+
An)表示事件A1,
A2,…,An中有一个发生；P(A1
+
A2
+…+
An)=
P(A1)+P(A2)+…+P(An).
例4
如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A）的概率是
,取到方片(事件B)的概率是 ,问：
(l)取到红色牌(事件C)的概率是多少?
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？
P(C)=P(A∪B)=
P(A)＋P(B)=0.5，
P(D)=1-
P(C)=0.5.
例5
袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是
，得到黑球或黄球的概率是
，得到黄球或绿球的概率也是
，
试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？
课堂小结
1.
事件的各种关系与运算，可以类比集合的关系与运算；
2.
在一次试验中，两个互斥事件不能同时发生，它包括一个事件发生而另一个事件不发生，或者两个事件都不发生，两个对立
事件有且仅有一个发生；
3.
事件(A+B)或(A∪B),表示事件A与事件B至少有一个发生,事件(AB)或A∩B,表事件A与事件B同时发生.
4.
概率加法公式是对互斥事件而言的，
一般地，P(A∪B)≤P(A)＋P(B).(共48张PPT)
3.1.3概率的基本性质
B?A(或A?B)
B?A(或A?B)
