课件29张PPT。3-2-1古典概型
一、选择题
1．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中的2个，则基本事件有( )
A．1个 B．2个 [来源:Zxxk.Com]
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] 基本事件有{数学，计算机}，{数学，航空模型}，{计算机，航空模型}，共3个，故选C.
2．下列试验中，是古典概型的为( )
A．种下一粒花生，观察它是否发芽
B．向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合
C．从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率
D．在区间[0,5]内任取一点，求此点小于2的概率
[答案] C
[解析] 对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性；对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性，故选C.
3．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，不是基本事件的为( )
A．{正好2个红球} B．{正好2个黑球}
C．{正好2个白球} D．{至少1个红球}
[答案] D
[解析] 至少1个红球包含，一红一白或一红一黑或2个红球，所以{至少1个红球}不是基本事件，其他项中的事件都是基本事件．
4．在200瓶饮料中，有4瓶已过保质期，从中任取一瓶，则取到的是已过保质期的概率是( )
A．0.2 B．0.02
C．0.1 D．0.01
[答案] B
[解析] 所求概率为＝0.02.
5．下列对古典概型的说法中正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ②每个事件出现的可能性相等 ③每个基本事件出现的可能性相等 ④基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝
A．②④ B．①③④
C．①④ D．③④
[答案] B
[解析] ②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．
6．投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数，我们称其为正实验；若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数，我们称其为负实验；若两次面向上的点数相等，我们称其为无效．那么一个人投掷该骰子两次后出现无效的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 连续抛一枚骰子两次向上的点数记为(x，y)，则有
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
共有36个基本事件，设无效为事件A，则事件A有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6个基本事件，
则P(A)＝＝.
7．某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，现选出的两人中有中国人的概率为( )
A. B.
C. D．1
[答案] C
[解析] 用列举法可知，共6个基本事件，有中国人的基本事件有3个．
8．(2012·安徽卷)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 1个红球，2个白球和3个黑球记为a1，b1，b2，c1，c2，c3
从袋中任取两球共有a1，b1；a1，b2；a1，c1；a1，c2；a1，c3；b1，b2；b1，c1；b1，c2；b1，c3；b2，c1；b2；c2；b2，c3；c1，c2；c1，c3；c2，c315种；
满足两球颜色为一白一黑有6种，概率等于＝.
9．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 由题意知(m，n)的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)．共36种情况．而满足点P(m，n)在直线x＋y＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种情况，故所求概率为＝，故选D.[来源:学科网]
10．若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)产生进位现象，则称n为“先进数”．例如：4是“先进数”，因4＋5＋6产生进位现象.2不是“先进数”，因2＋3＋4不产生进位现象．那么，小于100的自然数是“先进数”的概率为( )
A．0.10 B．0.90
C．0.89 D．0.88
[答案] D
[解析] 一位数中不是“先进数”有0,1,2共3个；两位数中不是“先进数”其个位数可以取0,1,2，十位数可取1,2,3，共有9个，则小于100的数中不是“先进数”的数共有12个，所以小于100的“先进数”的概率为P＝1－≈0.88，故应选D.本题考查了新定义概念题及古典概型的求解问题，此题解决的关键在于找出所有的对立事件的个数．
二、填空题
11．袋子中有大小相同的四个小球，分别涂以红、白、黑、黄颜色．[来源:学科网]
(1)从中任取1球，取出白球的概率为________．
(2)从中任取2球，取出的是红球、白球的概率为________．
[答案] (1) (2)
[解析] (1)任取一球有4种等可能结果，而取出的是白球只有一个结果，
∴P＝.
(2)取出2球有6种等可能结果，而取出的是红球、白球的结果只有一种，∴概率P＝.
12．在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5和概率为________．
[答案]
[解析] 两个袋内分别任取一张卡片包含的基本事件有
(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，
(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，
(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，
(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，
(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，
(5,0)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，
共有36个基本事件，设两数之和等于5为事件A，则事件A包含的基本事件有(0,5)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(5,0)，共有6个基本事件，则P(A)＝＝.
13．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为a，b，则log2ab＝1的概率为________．
[答案]
[解析] 基本事件有36个，
当log2ab＝1时，有2a＝b，
则a＝1，b＝2或a＝2，b＝4或a＝3，b＝6.
所以log2ab＝1的概率为＝.
14．某学校共有2 000名学生，各年级男、女生人数如下表：
一年级
二年级
三年级
男生
369
370
y
女生
381
x
z
已知从全校学生中随机抽取1名学生，抽到二年级女生的概率是0.19，现拟采用分层抽样的方法从全校学生中抽取80名学生，则三年级应抽取的学生人数为________人．
[答案] 20
[解析] 由题意知，抽到二年级女生的概率为0.19，则＝0.19，解得x＝380，则y＋z＝2 000－(369＋381＋370＋380)＝500，则三年级学生人数为500，又分层抽样的抽样比为＝，所以从全校学生中抽取80名学生中，三年级应抽取的学生人数为500×＝20.
三、解答题
15．一枚硬币连掷3次，观察向上面的情况，(1)写出所有的基本事件，并计算总数；(2)求仅有2次正面向上的概率．
[解析] (1)所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个基本事件．
(2)由(1)知，仅有2次正面向上的有(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个．设仅有2次正面向上为事件A，则P(A)＝.
16．随意安排甲、乙、丙3人在3天假期中值班，每人值班1天，则：
(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法？[来源:学科网]
(2)这3人的值班顺序中，甲在乙之前的排法有多少种？
(3)甲排在乙之前的概率是多少？
[解析] (1)3个人值班的顺序所有可能的情况如下图所示．
甲乙丙丙乙 乙甲丙丙甲 丙甲乙乙甲
由图知，所有不同的排列顺序共有6种．
(2)由图知，甲排在乙之前的排法有3种．
(3)记“甲排在乙之前”为事件A，则P(A)＝＝.
17．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
[解析](1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为P＝.
(2)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为P＝.
18．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期
3月1日
3月2日
3月3日[来源:Z§xx§k.Com]
3月4日
3月5日
温差x(℃)
10
11
13
12
8
发芽数y(颗)
23
25
30
26
16
(1)求这5天发芽数的中位数；
(2)求这5天的平均发芽率；
(3)从3月1日至3月5日中任选2天，记前面一天发芽的种子数为m，后面一天发芽的种子数为n，用(m，n)的形式列出所有基本事件，并求满足“”的概率．
[解析] (1)因为16<23<25<26<30，所以这5天发芽数的中位数是25.
(2)这5天的平均发芽率为
×100%＝24%.
(3)用(x，y)表示所求基本事件，则有
(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)．共有10个基本事件．
记“”为事件A，
则事件A包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共有3个基本事件．所以P(A)＝，即事件“”的概率为.
3. 2.1古典概型
【教学目标】
1.能说出古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
2.会应用古典概型的概率计算公式：P（A）=
3.会叙述求古典概型的步骤；
【教学重难点】
教学重点：正确理解掌握古典概型及其概率公式
教学难点：会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率
【教学过程】
前置测评
1.两个事件之间的关系包括包含事件、相等事件、互斥事件、对立事件，事件之间
的运算包括和事件、积事件，这些概念的含义分别如何？
若事件A发生时事件B一定发生，则 .
若事件A发生时事件B一定发生，反之亦然，则A=B.若事件A与事件B不同时发
生，则A与B互斥.若事件A与事件B有且只有一个发生，则A与B相互对立.
2。概率的加法公式是什么？对立事件的概率有什么关系？
若事件A与事件B互斥，则 P（A+B）=P（A）+P（B）.
若事件A与事件B相互对立，则 P（A）+P（B）=1.
3.通过试验和观察的方法，可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，操作不方便，并且有些事件是难以组织试验的.因此，我们希望在某些特殊条件下，有一个计算事件概率的通用方法.
新知探究
我们再来分析事件的构成，考察两个试验：
(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验。
(2)掷一枚质地均匀的骰子的试验。
有哪几种可能结果？
在试验（1）中结果只有两个，即“正面朝上”或“反面朝上”它们都是随机的；在试验（2）中所有可能的试验结果只有6个，即出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”它们也都是随机事件。我们把这类随机事件称为基本事件
综上分析，基本事件有哪两个特征？
（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.
例1：从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
分析：为了得到基本事件，我们可以按照某种顺序，把所有可能的结果都列出来。
解：所求的基本事件有6个：A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，D={b，c}，E={b，d}，F={c，d}；A+B+C.
上述试验和例1的共同特点是：
（1）试验中有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等，
这有我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型
思考1：抛掷一枚质地均匀的骰子有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？
思考2：抛掷一枚质地不均匀的硬币有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？
思考3：从所有整数中任取一个数的试验中，其基本事件有多少个？无数个
思考4：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，利用基本事件的概率值和概率加法公式，“出现偶数点”的概率如何计算？“出现不小于2点” 的概率如何计算？
思考5：考察抛掷一枚质地均匀的骰子的基本事件总数，与“出现偶数点”、“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数之间的关系，你有什么发现？
P（“出现偶数点”）=“出现偶数点”所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数；
P（“出现不小于2点”）=“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数.
思考6：一般地，对于古典概型，事件A在一次试验中发生的概率如何计算？
P（A）=事件A所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数
典型例题
例2单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？
解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案是指选择A，B，C，D的可能性是相等的。
由古典概型的概率计算公式得P(“答对”)=1/4=0.25
点评：在4个答案中随机地选一个符合了古典概型的特点。
变式训练：在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有的正确答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？
例3 同时掷两个骰子，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
解：（1）掷一个骰子的结果有6种。把两个骰子标上记号1,2以便区分，由于1号投骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对，组成同时掷两个骰子的一个结果，因此同时掷两个骰子的结果共有36种。
（2）在上面的所有结果中，向上点数和为5的结果有如下4种
（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）
（3）由古典概型概率计算公式得
P（“向上点数之和为5”）=4/36=1/9
点评：通过本题理解掷两颗骰子共有36种结果
变式训练：一枚骰子抛两次，第一次的点数记为m ，第二次的点数记为n ，计算m-n<2的概率。
例4 假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？
解：一个密码相当于一个基本事件，总共有10000个基本事件，它们分别是0000,0001,0002，…
9998,9999。随机地试密码，相当于试到任何一个密码的可能性都时相等的，所以这是一个古典概型。事件“试一次密码就能取到钱”有一个基本事件构成，即由正确的密码构成。所以
P（“试一次密码就能取到钱”）=1/10000
点评：这是一个小概率事件在实际生活中的应用。
变式训练：在所有首位不为0的八位电话号码中，任取一个号码。求：头两位数码都是8的概率。
例5 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率.
解：合格的4听分别记作：1,2,3,4，不合格的2听分别记作：a.,b，只要检测的2听有1听不合格的，就表示查处了不合格产品。
依次不放回的取2听饮料共有如下30个基本事件：
（1,2），（1,3），（1,4），（1,a），（1,b），（2,1），（2,3）,（2,4），（2,a），（2,b），（3,1），（3,2），（3,4），（3,a），（3,b）,（4,1），（4,2），（4,3），（4,a），（4,b），（a,1），（a,2），（a,3），（a,4），（a,b），（b,1），（b,2），（b,3），（b,4），（b,a）
P（“含有不合格产品”）=18/30=0.6
点评：本题的关键是对依次不放回抽取总共列多少基本事件的考查。
变式训练：
一个盒子里装有标号为1,2，3,4,5的5张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：
标签的选取是无放回的：
标签的选取是有放回的：
归纳小结
1.基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥.试验中的事件A可以是基本事件，也可以是有几个基本事件组合而成的.
2.有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点，概率计算公式P（A）=事件A所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数，只对古典概型适用
反馈测评
1.在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是多少？
2.在夏令营的7名成员中，有3名同学已去过北京。从这7名同学中任取两名同学，选出的这两名同学恰是已去过北京的概率是多少？
3.5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率为多少？
〖板书设计〗
〖书面作业〗
课本P134，A组4,5,6 B组2
3.2.1古典概型
课前预习学案
一、预习目标：
通过实例，初步理解古典概型及其概率计算公式
二、预习内容：
1、知识回顾：
（1）随机事件的概念
①必然事件：每一次试验 的事件，叫必然事件；
②不可能事件：任何一次试验 的事件，叫不可能事件；
③随机事件：随机试验的每一种 或随机现象的每一种 叫的随机事件,简称为事件.
（2）事件的关系
①如果A B为不可能事件(A B ), 那么称事件A与事件B互斥.
其含意是: 事件A与事件B在任何一次实验中 同时发生.
②如果A B为不可能事件,且A B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件.其含意是: 事件A与事件B在任何一次实验中 发生.
2. 基本事件的概念: 一个事件如果 事件，就称作基本事件.
基本事件的两个特点: 10.任何两个基本事件是 的；
20.任何一个事件(除不可能事件)都可以 .
例如(1) 试验②中,随机事件“出现偶数点”可表示为基本事件 的和.
(2) 从字母中, 任意取出两个不同字母的这一试验中，
所有的基本事件是： ,共有 个基本事件.
3. 古典概型的定义
古典概型有两个特征：
10.试验中所有可能出现的基本事件 ；
20.各基本事件的出现是 ，即它们发生的概率相同．
将具有这两个特征的概率模型称为古典概型(classical models of probability).
4．古典概型的概率公式, 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个
基本事件，则事件A的概率P(A)定义为：
例如
随机事件A =“出现偶数点”包含有 基本事件.所以
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：
1. 通过实例，叙述古典概型定义及其概率计算公式；
2. 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率
二、学习内容
1.古典概型的定义
思考1：抛掷一枚质地均匀的骰子有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？
思考2：抛掷一枚质地不均匀的硬币有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？
思考3：从所有整数中任取一个数的试验中，其基本事件有多少个？无数个
结论：如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性），且每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），则具有这两个特点的概率模型称为古典概型.
2. 古典概型的概率计算公式
思考4：随机抛掷一枚质地均匀的骰子是古典概型吗？每个基本事件出现的概率是多少？你能根据古典概型和基本事件的概念，检验你的结论的正确性吗？
P（“1点”）= P（“2点”）= P（“3点”）= P（“4点”）=P（“5点”）= P（“6点”）
P（“1点”）+P（“2点”）+ P（“3点”）+ P（“4点”）+P（“5点”）+ P（“6点”）=1.
思考5：一般地，如果一个古典概型共有n个基本事件，那么每个基本事件在一次试验
中发生的概率为多少？
思考6：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，利用基本事件的概率值和概率加法公式，“出现偶数点”的概率如何计算？“出现不小于2点” 的概率如何计算？
思考7：考察抛掷一枚质地均匀的骰子的基本事件总数，与“出现偶数点”、“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数之间的关系，你有什么发现？
P（“出现偶数点”）=“出现偶数点”所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数；
P（“出现不小于2点”）=“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数.
思考8：一般地，对于古典概型，事件A在一次试验中发生的概率如何计算？
3.典型例题
例2单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？
例3 同时掷两个骰子，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
例4 假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？
例5 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率.
三、反思总结
1.基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥.试验中的事件A可以是基本事件，也可以是有几个基本事件组合而成的.
2.有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点，概率计算公式P（A）=事件A所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数，只对古典概型适用
四、当堂检测
1.在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是多少？
2.在夏令营的7名成员中，有3名同学已去过北京。从这7名同学中任取两名同学，选出的这两名同学恰是已去过北京的概率是多少？
3.5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率为多少？
课后练习与提高
1.从一副扑克牌(54张)中抽一张牌，抽到牌“K”的概率是 。
2.将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是 。
3.一个口袋里装有2个白球和2个黑球,这4 个球除颜色外完全相同,从中摸出2个球,则1个是白球,1个是黑球的概率是 。
4.先后抛3枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为 。
5．口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，试求“第二个人摸到白球”的概率。
6．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，写出所有的基本事件，并计算下列事件的概率：（1）三次颜色恰有两次同色； （2）三次颜色全相同；
（3）三次抽取的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。
7 .从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概 参考答案：
1、答案： 2、答案： 3、答案： 4、答案：
从上面的树形图可以看出，试验的所有可能结果数为24，第二人摸到白球的结果有12种，记“第二个人摸到白球”为事件A，则。
6、答案：（红红红）（红红白）（红白红）（白红红）（红白白）（白红白）（白白红）（白白白）
（1） （2） （3）
7、解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==
3.2古典概型（一）
问题提出
两个事件之间的关系包括包含事件、相等事件、互斥事件、对立事件，事件之间的运算包括和事件、积事件，这些概念的含义分别如何？
若事件A发生时事件B一定发生，则 A(B .
若事件A发生时事件B一定发生， 反之亦然，则A=B.
若事件A与事件B不同时发生，则A与B互斥.
若事件A与事件B有且只有一个发生， 则A与B相互对立.
2. 概率的加法公式是什么？对立事件的概率有什么关系？
若事件A与事件B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B).
若事件A与事件B相互对立，则 P(A)+P(B)=1.
3. 通过试验和观察的方法，可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，操作不方便，并且有些事件是难以组织试验的.因此，我们希望在某些特殊条件下，有一个计算事件概率的通用方法.
知识探究（一）：基本事件
思考1：抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？连续抛掷三枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？
（正，正），（正，反），
（反，正），（反，反）；
（正，正，正），（正，正，反），
（正，反，正），（反，正，正），
（正，反，反），（反，正，反），
（反，反，正），（反，反，反）.
思考2：上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类事件称为基本事件.在一次试验中，任何两个基本事件是什么关系？
互斥关系
思考3：在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“出现两次正面和一次反面”，“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成？
例1：从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
事件“取到字母a”是哪些基本事件的和？
解：所求的基本事件有6个，
A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，
D={b，c}，E={b，d}，F={c，d}；
“取到字母a”是A+B+C.
练习1、
把一枚骰子抛6次，设正面出现的点数为x
1. 求出x的可能取值情况
2. 下列事件由哪些基本事件组成
（1）x的取值为2的倍数（记为事件A）
（2）x的取值大于3（记为事件B）
（3）x的取值为不超过2（记为事件C）
知识探究（二）：古典概型
思考1：抛掷一枚质地均匀的骰子，每个基本事件出现的可能性相等吗？
思考2：抛掷一枚质地不均匀的硬币有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？
如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性），且每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），则具有这两个特点的概率模型称为古典概型.
练习2
（1）从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？
不是，因为有无数个基本事件.
（2）在射击练习中，“射击一次命中的环数”是古典概型吗？为什么？
不是，因为命中的环数的可能性不相等.
思考3：随机抛掷一枚质地均匀的骰子是古典概型吗？每个基本事件出现的概率是多少？你能根据古典概型和基本事件的概念，检验你的结论的正确性吗？
P(“1点”)= P(“2点”)= P(“3点”)= P(“4点”)=P(“5点”)= P(“6点”)
P(“1点”)+ P(“2点”)+ P(“3点”)+ P(“4点”)+P(“5点”)+ P(“6点”)=1
思考4：一般地，如果一个古典概型共有n个基本事件，那么每个基本事件在一次试验中发生的概率为多少？
思考5：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，利用基本事件的概率值和概率加法公式，“出现偶数点”的概率如何计算？“出现不小于2点” 的概率如何计算？
思考6：考察抛掷一枚质地均匀的骰子的基本事件总数，与“出现偶数点”、“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数之间的关系，你有什么发现？
P（“出现偶数点”）=“出现偶数点”所包含基本事件的个数”/基本事件的总数；
P（“出现不小于2点”）=“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数”/ 基本事件的总数.
知识探究（二）：古典概型
P（A）= 事件A所包含的基本事件的个数/ 基本事件的总数.
从集合的观点分析，如果在一次试验中，等可能出现的所有n个基本事件组成全集U，事件A包含的m个基本事件组成子集A，那么事件A发生的概率P（A）等于什么？特别地，当A=U，A=Ф时，P（A）等于什么？
例1 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？0.25]
例2 同时掷两个骰子，计算：
(1) 一共有多少种不同的结果？
(2) 其中向上的点数之和是7的结果有多少种？
(3) 向上的点数之和是5的概率是多少？
解（1）掷一个骰子的结果有6种。我们把两个标上记号1、2以便区分，由于1号骰子 的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对，组成同时掷两个骰子的一个结果，因此同时掷两个骰子的结果共有36种。
（2）在上面的所有结果中，向上的点数之和为5的结果有（1，4），（2，3）（3，2）（4，1）其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果。
（3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果（记为事件A）有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得
P（A）=4/36=1/9
例3 假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？0.00001
例4 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率.
解：只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品。分为两种情况，
1听不合格和2听都不合格。
1听不合格：A1={第一次抽出不合格产品}
A2={第二次抽出不合格产品}
2听都不合格：A12={两次抽出不合格产品}
而A1、A2、A12是互不相容事件，所以检测出不合格产品这个事件所包含的基本事件数为
16＋2＝18。因此检测出不合格产品的概率为8÷30+8÷30+2÷30=0.6
课堂小结
1. 基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥.试验中的事件A可以是基本事件，也可以是有几个基本事件组合而成的.
2. 有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点，概率计算公式P(A)=事件A所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数，只对古典概型适用
课后作业
《习案》作业三十二
3.2古典概型（二）
1. 抛硬币（骰子）问题
1. 抛掷两颗骰子，求：
(1)点数之和出现7点的概率；
(2)出现两个4点的概率；
(3)点数之积为奇数的概率；
(4)点数之积为偶数的概率.
2.甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)，求：
(1)平局的概率；
(2)甲赢的概率；
(3)乙赢的概率.
小结1
列举法
1.有序实数对；2.树图；3.坐标系；4.乘法
2.排列问题
1. A，B，C，D 4名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：
(1)A在边上；
(2)A和B都在边上；
(3)A或B在边上；
(4)A和B都不在边上．
(5)A、B相邻
(6)A、B不相邻
树图列举法
3. 涂色问题 树图列举法
1. 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率；
(3)相邻矩形颜色不同的概率．
4.抽取问题
1.在袋中有5个大小相同的球，2个是红球，3个是白球，从中任取2个，求
(1)恰好有1个红球的概率；
(2)至少有一个红球的概率；
(3)第一次取到的是红球，第二次取到的是白球；
(4)抽出1球，记录结果后放回再抽一次，两次都取到红球.
2.某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C； (2)B与E； (3)B与D；(4)B与C； (5)C与E.
3.一个盒子里装有标号为1，2，…，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：
(1)标签的选取是无放回的；
(2)标签的选取是有放回的．
4.甲袋中有1只白球、2只红球、3只黑球；乙袋中有2只白球、3只红球、1只黑球，现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率.
抽取问题常用方法小结
①重复型：树图法；
②依次型：树图 ,有序对(组)；
③一次型：树图，无序集合.
课件52张PPT。3.2.1古典概型 课件13张PPT。3.2.1古典概型1. 抛掷两颗骰子，求：
(1)点数之和出现7点的概率；
(2)出现两个4点的概率；
(3)点数之积为奇数的概率；
(4)点数之积为偶数的概率.2.甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、
布)，求：
(1)平局的概率；
(2)甲赢的概率；
(3)乙赢的概率.列举法
1.有序实数对；
2.树图；
3.坐标系；
4.乘法. 1. A，B，C，D 4名学生按任意次序
站成一排，试求下列事件的概率：
(1)A在边上；
(2)A和B都在边上；
(3)A或B在边上；
(4)A和B都不在边上．1. A，B，C，D 4名学生按任意次序
站成一排，试求下列事件的概率：
(1)A在边上；
(2)A和B都在边上；
(3)A或B在边上；
(4)A和B都不在边上；(5)A、B相邻；
(6)A、B不相邻. 树图列举法1. A，B，C，D 4名学生按任意次序
站成一排，试求下列事件的概率：
(1)A在边上；
(2)A和B都在边上；
(3)A或B在边上；
(4)A和B都不在边上；(5)A、B相邻；
(6)A、B不相邻. 1. 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图
中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一
种颜色，求：
(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率；
(3)相邻矩形颜色不同的概率．树图列举法1.在袋中有5个大小相同的球，2个是红球，
3个是白球，从中任取2个，求
(1)恰好有1个红球的概率；
(2)至少有一个红球的概率；
(3)第一次取到的是红球，第二次取到的
是白球；
(4)抽出1球，记录结果后放回再抽一次，
两次都取到红球.3.一个盒子里装有标号为1，2，…，5
的5张标签，随机地选取两张标签，根据
下列条件求两张标签上的数字为相邻整
数的概率：
(1)标签的选取是无放回的；
(2)标签的选取是有放回的．4.甲袋中有1只白球、2只红球、3只黑
球；乙袋中有2只白球、3只红球、1只黑
球，现从两袋中各取一球，求两球颜色
相同的概率.①重复型：树图法；
②依次型：树图 ,有序对(组)；
③一次型：树图，无序集合.3.2.1 古典概型
课时目标 1.了解基本事件的特点.2.理解古典概型的定义.3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题．
1．基本事件
(1)基本事件的定义：
一次试验中可能出现的试验结果称为一个基本事件．基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件．
(2)基本事件的特点：
①任何两个基本事件是__________；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成________的和．
2．古典概型
如果某类概率模型具有以下两个特点：
(1)试验中所有可能出现的基本事件__________．
(2)每个基本事件出现的__________．
将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型．
3．古典概型的概率公式
对于任何事件A，P(A)＝________________________________.
一、选择题
1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．下列是古典概型的是( )
(1)从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；
(2)同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
(3)近三天中有一天降雨的概率；
(4)10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
A．(1)、(2)、(3)、(4) B．(1)、(2)、(4)
C．(2)、(3)、(4) D．(1)、(3)、(4)
3．下列是古典概型的是( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止
4．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )
A. B.
C. D.
5．一袋中装有大小相同的八个球，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中有放回地每次取一个球，共取2次，记“取得两个球的编号和大于或等于14”为事件A，则P(A)等于( )
A. B.
C. D.
6．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9 (cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是( )
A. B. C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．
8．甲，乙两人随意入住三间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是________．
9．从1,2,3,4,5这5个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是________．
三、解答题
10．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．
11．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n能力提升
12．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P1，第10个人摸出黑球的概率是P10，则( )
A．P10＝P1 B．P10＝P1
C．P10＝0 D．P10＝P1
13．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜．若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A>a>B>b>C>c.
(1)正常情况下，求田忌获胜的概率；
(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．
1．判断一个概率问题是否为古典概型，关键看它是否同时满足古典概型的两个特征——有限性和等可能性．
2．古典概型的概率公式：如果随机事件A包含m个基本事件，则
P(A)＝＋＋…＋＝，
即P(A)＝.
3．应用公式P(A)＝求古典概型的概率时，应先判断它是否是古典概型，再列举、计算基本事件数代入公式计算，列举时注意要不重不漏，按一定顺序进行，或采用图表法、树图法进行．
答案：
3．2.1 古典概型
知识梳理
1．(2)①互斥的 ②基本事件 2.(1)只有有限个 (2)可能性相等 3.
作业设计
1．C [该生选报的所有可能情况是：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以基本事件有3个．]
2．B [(1)(2)(4)为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而(3)不适合等可能性，故不为古典概型．]
3．C [A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性．]
4．C [正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件，两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)包括10个基本事件，所以概率等于.]
5．C [事件A包括(6,8)，(7,7)，(7,8)，(8,6)，(8,7)，(8,8)这6个基本事件，由于是有放回地取，基本事件总数为8×8＝64(个)，∴P(A)＝＝.]
6．D [任取三根共有10种情况，构成三角形的只有3、5、7,5、7、9,3、7、9三种情况，故概率为.]
7.
解析 可重复地选取两个数共有4×4＝16(种)可能，
其中一个数是另一个数的2倍的有1,2；2,1；2,4；4,2共4种，故所求的概率为＝.
8.
解析 设房间的编号分别为A、B、C，事件甲、乙两人各住一间房包含的基本事件为：甲A乙B，甲B乙A，甲B乙C，甲C乙B，甲A乙C，甲C乙A共6个，基本事件总数为3×3＝9，所以所求的概率为＝.
9.
解析 基本事件(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，而两数都是奇数的有3种，
故所求概率P＝.
10．解 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．
(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
∴取出的两个球全是白球的概率为
P(A)＝＝.
(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．
∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B)＝.
11．解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．
从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率为P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.
故满足条件n1－P1＝1－＝.
12．D [摸球与抽签是一样的，虽然摸球的顺序有先后，但只需不让后人知道先抽的人抽出的结果，那么各个抽签者中签的概率是相等的，并不因抽签的顺序不同而影响到其公平性．所以P10＝P1.]
13．解 比赛配对的基本事件共有6个，它们是：(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)．
(1)经分析：仅有配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜，且获胜的概率为.
(2)田忌的策略是首场安排劣马c出赛，基本事件有2个：(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)，配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜且获胜的概率为.
答 正常情况下，田忌获胜的概率为，获得信息后，田忌获胜的概率为.
