3.
3.1几何概型
教材分析：和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型．教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整．这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．
教学目标：1.
通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．
2.
通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．
3.
通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平．
教学重点与难点：是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动．
教学过程：
一、问题情境
如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜．
问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．
二、建立模型
1.
提出问题
首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母B所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中B与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）．
题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型．
注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的．
（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）．
2.
引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
3.
再次提出问题，并组织学生讨论
（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？
（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．
（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率．
通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法．
三、典型例题
1.
假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．
分析：我们有两种方法计算事件的概率．
（1）利用几何概型的公式．
（2）利用随机模拟的方法．
解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以
解法2：设X，Y是0～1之间的均匀随机数．X＋6.5表示送报人送到报纸的时间，Y＋7表示父亲离开家去工作的时间．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到P（A）．
教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率．
2.
如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．
解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即
假设正方形的边长为2，则
由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以
这样就得到了π的近似值．
另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：
（1）产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；
（2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）
2，b＝（b1－0.5）
2；
（3）数出落在圆内a2＋b2＜1的豆子数N1，计算（N代表落在正方形中的豆子数）．
可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高．
本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积．
［练 习］
1.
如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域．
2.
利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y＝1和y＝x2围成的部分）的面积．
3.
画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积．
作业：课本
3.3.1几何概型
课前预习学案
一、预习目标
1.
了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．
2.
通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．
二、预习内容
1.
，简称为几何概型．
2.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
3.
讨论：
（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？
（
2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．
学习重点与难点：几何概型的计算方法．
二、学习过程：
例1.
假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．
分析：我们有两种方法计算事件的概率．
（1）利用几何概型的公式．
（2）利用随机模拟的方法．
解法1：
解法2：
例2.
如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．
解：
用计算器或计算机模拟，步骤如下：
（1）
（2）
（3）
三、反思总结
1、数学知识：
2、数学思想方法：
四、当堂检测
一、选择题
1.
取一根长度为3
m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长
都不小于1
m的概率是.
A.
B.
C.
D.不确定
2.
已知地铁列车每10
min一班，在车站停1
min.则乘客到达站台立即乘上
车的概率是
A.
B.
C.
D.
3.
在1万
km2的海域中有40
km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意
一点钻探，钻到油层面的概率是.
A.
B.
C.
D.
二、填空题
1.
如下图，在一个边长为3
cm的正方形内部画一个边长为2
cm的正方形，
向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.
2.
如下图，在一个边长为a、b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________.
三解答题
1在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.
答案一、选择题
1.
B
2.
A
3.
C
二、填空题
1.
2.
三、解答题
解：在AB上截取AC′=AC，于是P（AM＜AC）=P（AM＜）
=
答：AM的长小于AC的长的概率为.
课后练习与提高
1．两根相距6
m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2
m的概率是________.
2.
如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在∠xOT内的概率是________.
3.
如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________.
4.
在1
L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10
mL，含有麦锈病种子的概率是多少？
PAGE
7(共33张PPT)
3.3.1
几何概型
假设正方形边长为2，
正方形内豆子数为n,
圆内豆子数为m.(共37张PPT)
QD
ANYOU
KETANG
C
B
12
x
23.3几何概型（一）
( http: / / www. )
知识探究（一）：几何概型的概念
( http: / / www. )
思考1：
( http: / / www. )
某班公交车到终点站的时间可能是11:30～12:00之间的任何一个时刻；
往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.
( http: / / www. )
这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？
( http: / / www. )
思考2：下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率分别是多少？
( http: / / www. )
( http: / / www. )
思考3：上述每个扇形区域对应的圆弧的长度（或扇形的面积）和它所在位置都是可以变化的，从结论来看，甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关？
( http: / / www. )
与扇形的弧长（或面积）有关，与扇形区域所在的位置无关.
( http: / / www. )
思考4：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型.
参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？
( http: / / www. )
（1）可能出现的结果有无限多个；
( http: / / www. )
（2）每个结果发生的可能性相等.
( http: / / www. )
知识探究（二）：几何概型的概率
( http: / / www. )
对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，我们希望建立一个求几何概型的概率公式.
( http: / / www. )
思考1：有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少？你是怎样计算的？
( http: / / www. )
思考3：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？
( http: / / www. )
( http: / / www. )
思考4：在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？
( http: / / www. )
思考5：一般地，在几何概型中事件A发生的概率有何计算公式？
( http: / / www. )
P(A)=
( http: / / www. )
( http: / / www. )
理论迁移
( http: / / www. )
例1
某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.(假设电台整点报时)
( http: / / www. )
思考6：向边长为1的正方形内随机抛掷一粒芝麻，那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方形中心的概率分别是多少？由此能说明什么问题？
概率为0的事件可能会发生，概率为1的事件不一定会发生.
例2
在下图的正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.假设正方形边长为2，正方形内豆子数为n,圆内豆子数为m.
例3 利用随机模拟方法计算由y=1和y=x2
所围成的图形的面积.
以直线x=1，x=-1，y=0，y=1为边界作矩形，用随机模拟方法计算落在抛物区域内的均匀随机点的频率，则所求区域的面积=频率×2.
例4.在一边长为2的正六边形的纸片上，有一个半径为R的半圆孔，随机向该纸片投掷一粒芝麻，若芝麻恰好从半圆孔穿过的概率为，则R=_________.
小结
1.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.
2.
利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.
3.
用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.
4.
利用计算机和线性变换Y=X
(b-a)＋a，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过上机实习才能掌握.
5
如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型.
6
几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积.
P(A)=
《习案》
作业：三十四3.3.1 几何概型
课时目标 1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型.2.掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与____________________________________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
根据定义，向半径为r的圆内投针，落在圆心上的概率为0，因为点的面积为0，但此事件不一定不发生．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件总数)有____________个．
(2)每个基本事件出现的可能性________．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝
一、选择题
1．用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为( )
A.
B.
C.
D.
2．如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是( )
A.
B.
C.
D.
3．在1
L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10
mL，则含有麦锈病种子的概率是( )
A.
B.
C.
D.
4．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A.
B．1－
C.
D．1－
5．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y2<1”，则P(A)为( )
A.
B.
C．π
D．2π
6．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为( )
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看到的是绿灯的概率是________．
8．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．
9．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．
三、解答题
10．过等腰Rt△ABC的直角顶点C在∠ACB内部随机作一条射线，设射线与AB相交于点D，求AD
11．如图，在墙上挂着一块边长为16
cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2
cm，4
cm,6
cm，某人站在3
m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重投)，问：
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？
能力提升
12．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率为( )
A．1
B.
C.
D.
13．在转盘游戏中，假设有三种颜色红、绿、蓝．在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为，输的概率为，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)
处理几何概型问题就要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的长度(角度、面积或体积)，而这往往会遇到计算困难，这是本节难点之一．实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何概型把问题转化为各种几何概率问题．为此可参考如下办法：
(1)选择适当的观察角度；
(2)把基本事件转化为与之对应的几何区域；
(3)把随机事件A转化为与之对应的几何区域；
(4)利用概率公式计算；
(5)如果事件A对应的区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思维．
同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨的思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景出发去判断．
答案：
3．3.1 几何概型
知识梳理
1．构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例
2．(1)无限多 (2)相等
作业设计
1．B [P＝＝.]
2．A [由题意，P＝＝＝.]
3．D [取出10
mL麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A，则P(A)＝＝＝.]
4．B [当以O为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1，
故所求事件的概率为P(A)＝＝1－.]
5．A
[如图，集合S＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，则S中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A所对应的事件(x，y)与圆面x2＋y2<1内的点一一对应，
∴P(A)＝.]
6．A [A中P1＝，B中P2＝＝，
C中设正方形边长2，则P3＝＝，
D中设圆直径为2，则P4＝＝.
在P1，P2，P3，P4中，P1最大．]
7.
解析 P(A)＝＝.
8.
解析 由几何概型知所求的P＝＝.
9.
解析 设圆面半径为R，如图所示△ABC的面积S△ABC＝3·S△AOC＝3·AC·OD＝3·CD·OD
＝3·Rsin
60°·Rcos
60°
＝，
∴P＝＝＝.
10.
解 在AB上取一点E，使AE＝AC，连接CE(如图)，则当射线CD落在∠ACE内部时，AD11．解 整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积为S＝16×16＝256
(cm2)．记“投中大圆内”为事件A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B，“投中大圆之外”为事件C，则事件A所占区域面积为SA＝π×62＝36π(cm2)；事件B所占区域面积为SB＝π×42－π×22＝12π(cm2)；事件C所占区域面积为SC＝(256－36π)cm2.
由几何概型的概率公式，得(1)P(A)＝＝π；(2)P(B)＝＝π；(3)P(C)＝＝1－π.
12．C [令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，与x轴的交点为(－1,0)，(2,0)，图象在x轴下方，即f(x0)≤0的x0的取值范围为x0∈[－1,2]，∴P＝＝.]
13．解 由于转盘旋转停止位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周长问题．因为赢的概率为，
所以红色所占角度为周角的，
即α1＝＝72°.
同理，蓝色占周角的，
即α2＝＝120°，
所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°.
将α3分成四等份，
得α3÷4＝168°÷4＝42°.
即每个绿色扇形的圆心角为42°.3-3-1几何概型
一、选择题
1．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝＝.
2．某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 把汽车到站的间隔时间分为[0,5]上的实数，其中乘客候车时间不超过3分钟时应在[0,3]内取值，所以发生的概率为.
3．取一根长度为5
m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长度都不小于2
m的概率是( )
A.
B.
C.
D．不能确定
[答案] B
[解析] 如图所示，拉直后的绳子看成线段AB，且C、D是线段AB上的点，AC＝2m，BD＝2m，由于剪断绳子的位置是等可能的且有无限个位置，属于几何模型．
设剪得两段的长度都不小于2
m为事件E，设M是事件E的一个剪断点，则M∈CD，则事件E构成线段CD，则P(E)＝＝＝.
4．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )
A．7.68
B．8.68
C．16.32
D．17.32
[答案] C
[解析] 矩形的面积S＝6×4＝24，设椭圆的面积为S1，在矩形内随机地撒黄豆，黄豆落在椭圆内为事件A，则P(A)＝＝＝，解得S1＝16.32.
5．在区间上随机取一个数x，则事件“0≤sinx≤1”发生的概率为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 由于x∈，若0≤sinx≤1，则0≤x≤，设“0≤sinx≤1”为事件A，则P(A)＝＝＝.
6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A.
B．1－
C.
D．1－
[答案] B
[解析] 正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：×πr3＝×π×13＝π，则点P到点O的距离小于或等于1的概率为：＝，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－.
7．在△ABC中，E、F、G为三边的中点，若向该三角形内投点，且点不会落在三角形ABC外，则落在三角形EFG内的概率为( )
A.
B.
C.
D.[]
[答案] B
8．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C[]
9．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C[]
10．如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
二、填空题
11．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．
[答案]
[解析] [－1,2]的长度为3，[0,1]的长度为1，所以所求概率是.
12．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．
[答案] 0.005
[解析] 大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P(A)＝＝0.005.
13．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．[来源:Z
xx
k.Com]
[答案]
[分析] 解答本题从正面考试较繁琐，所以从反面来解答，先计算事件“使点P到三个顶点的距离都大于1”的概率，利用对立事件的概率公式计算．
[解析] 边长为2的正三角形ABC内，到顶点A的距离等于或小于1的点的集合为以点A为圆心，1为半径，圆心角为∠A＝60°的扇形内．同理可知到顶点B、C的距离等于或小于1的点的集合．故使点P到三个顶点的距离都大于1的概率为＝1－，
故所求的概率为1－(1－)＝.
14．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．
在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为______．
[答案]
[解析] 由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R＝5，圆柱底面半径r＝4，高h＝6，故球体积V＝πR3＝，圆柱体积V1＝πr2·h＝96π，[]
∴所求概率P＝＝.
三、解答题
15．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．
[解析] 在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝＝＝；
(2)P＝＝＝；
(3)P＝＝
＝＝.
16．在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏石油，假设在这个海域里随意选定一点钻探，则钻到油层面的概率是多少？
[分析] 石油在1万平方千米的海域大陆架中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作事件的区域面积，由几何概型公式可求得概率．
[解析] 记事件C＝{钻到油层面}，
在这1万平方千米的海域中任意一点钻探的结果有无限个，故属于几何概型．
事件C构成的区域面积是40平方千米，
全部试验结果构成的区域面积是1万平方千米，
则P(C)＝＝＝0.004.
17．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M为其内一点；
②求四棱锥M－ABCD的体积小于的概率．
解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．
[解析] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，设M－ABCD的高为h，
则×S四边形ABCD×h<，
又S四边形ABCD＝1，
则h<，即点M在正方体的下半部分．故所求概率P＝＝.
18．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？
(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？
(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长的概率是多少？
[解析] (1)设事件A＝“弦长超过”，弦长只与它跟圆心的距离有关，
∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于时才能满足条件，由几何概率公式知P(A)＝.
(2)设事件B＝“弦长超过”，弦被其中点惟一确定，当且仅当其中点在半径为的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知P(B)＝.
(3)设事件C＝“弦长超过”，固定一点A于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC，显然只有当弦的另一端点D落在上时，才有|AD|>|AB|＝，由几何概率公式知P(C)＝.