课件37张PPT。3. 3.2几何概型及均匀随机数的产生
一、教材分析
1.几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，其概率计算原理通俗、简单，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积.
2.如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型.通过适当设置，将随机事件转化为几何问题，即可利用几何概型的概率公式求事件发生的概率.
二、教学目标
（1）正确理解几何概型的概念；
（2）掌握几何概型的概率公式；
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
（4）了解均匀随机数的概念；
（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；
（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．
三、教学重点难点
1、几何概型的概念、公式及应用；
2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．
四、学情分析
五、教学方法
1．自主探究，互动学习
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．七、课时安排：1课时
七、教学过程
1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．
3、例题分析：
课本例题略
例1 判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关。
解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；
（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．
例2 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．
分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．
小结：在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．
练习：1．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率。
2．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．
解：1．由几何概型知，所求事件A的概率为P(A)= ；
2．记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则P(A)= =．
例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积，有几何概型公式可以求得概率。
解：记“钻到油层面”为事件A，则P(A)= ==0.004．
答：钻到油层面的概率是0.004．
例4 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。
解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则
P(A)= ==0.01．
答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
例5 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A发生的概率。
解法1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1*3．
（3）统计出[1，2]内随机数的个数N1和[0，3] 内随机数的个数N．
（4）计算频率fn(A)=即为概率P（A）的近似值．
解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里3和0重合）．转动圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数N1及试验总次数N，则fn(A)=即为概率P（A）的近似值．
小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。解法2用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．
例6 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2?与81cm2之间的概率．
分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率．
解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1*12得到[0，12]内的均匀随机数．
（3）统计试验总次数N和[6，9]内随机数个数N1
?（4）计算频率．
记事件A={面积介于36cm2?与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间}，则P（A）的近似值为fn(A)=．
八、反思总结，当堂检测。
九、发导学案、布置预习。
完成本节的课后练习及课后延伸拓展作业。
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
十、板书设计
十一、教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；
2、均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数 ）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量。
在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!
十二、学案设计(见下页)
3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
课前预习学案
一、预习目标
1. 了解几何概型的概念及基本特点；
2. 掌握几何概型中概率的计算公式；
3. 会进行简单的几何概率计算．
二、预习内容
1. 基本事件的概念: 一个事件如果 事件，就称作基本事件.
基本事件的两个特点:
10.任何两个基本事件是 的；
20.任何一个事件(除不可能事件)都可以 .
2. 古典概型的定义：古典概型有两个特征：
10.试验中所有可能出现的基本事件 ；
20.各基本事件的出现是 ，即它们发生的概率相同．
具有这两个特征的概率称为古典概率模型. 简称古典概型.
3. 古典概型的概率公式, 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)定义为：
。
问题情境：
试验１．取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断．
试验２．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色．
奥运会的比赛靶面直径为，靶心直径为．运动员在外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．
问题：对于试验１：剪得两段的长都不小于的概率有多大？
试验２：射中黄心的概率为多少？
新知生成：
1.几何概型的概念：
2.几何概型的基本特点：
3.几何概型的概率公式：
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1. 了解几何概型的概念及基本特点；
2. 掌握几何概型中概率的计算公式；
3. 会进行简单的几何概率计算．
学习重难点：
重点：概率的正确理解
难点：用概率知识解决现实生活中的具体问题。
二、学习过程
例题学习：
例1判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如课本P135图中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
例2某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，
求此人等车时间不多于10分钟的概率．
例3在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，
假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？
例4在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，
则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？
例题参考答案：
例1分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关。
解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；
（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．
例2分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．
小结：在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．
例3分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的, 而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型公式可以求得概率。
解：记“钻到油层面”为事件A，则P(A)= ==0.004．
答：钻到油层面的概率是0.004．
例4
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。
解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则
P(A)= ==0.01．
答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
（三）反思总结
(四)当堂检测
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r
3．某班有45个，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲主机会有多大？
4．如图3-18所示，曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A，直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。
参考答案：
1．C（提示：由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出2ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比=0.004）
2．解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）==
3．提示：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验，请按照下面的步骤独立完成。
（1）用1~45的45个数来替代45个人；
（2）用计算器产生1~45之间的随机数，并记录；
（3）整理数据并填入下表
试 验
次 数
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
600
650
700
750
800
850
900
1000
1050
1出现
的频数
1出现
的频率
（4）利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。
4．解：如下表，由计算机产生两例0~1之间的随机数，它们分别表示随机点（x,y）的坐标。如果一个点（x,y）满足y≤-x2+1，就表示这个点落在区域A内，在下表中最后一列相应地就填上1，否则填0。
x
y
计数
0.598895
0.940794
0
0.512284
0.118961
1
0.496841
0.784417
0
0.112796
0.690634
1
0.359600
0.371441
1
0.101260
0.650512
1
…
…
…
0.947386
0.902127
0
0.117618
0.305673
1
0.516465
0.222907
1
0.596393
0.969695
0
课后练习与提高
1．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率
2．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率 。
3．在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？
4．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。
5.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
3-3-2均匀随机数的产生
一、选择题
1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D．几何概型中每个结果的发一都具有等可能性[来源:Z+xx+k.Com]
[答案] A
[解析] 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型．几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个．
2．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( )
A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题
B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积
C．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积
D．最适合估计古典概型的概率
[答案] C
[解析] 很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．
3．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则( )
A．m>n B．mC．m＝n D．m是n的近似值
[答案] D
4．如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位1)，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，则应选择的游戏盘是( )
[答案] A
[解析] P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝1－，P(D)＝.
5．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需实施的变换为( )
[答案] C
[解析] 将[0,1]内的随机数转化为[a，b]内的随机数，需进行的变换为a＝a1]
6．设x是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝对应变换成的均匀随机数是( )
A．0 B．2
C．4 D．5
[答案] C
[解析] 当x＝时，y＝2×＋3＝4.
7．在矩形ABCD中，长AB＝4，宽BC＝2(如图所示)，随机向矩形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
8．把[0,1]内的均匀随机数分别转化为[0,4]和[－4,1]内的均匀随机数，需实施的变换分别为( )
A．y＝－4x，y＝5－4 B．y＝4x－4，y＝4x＋3
C．y＝4x，y＝5x－4 D．y＝4x，y＝4x＋3
[答案] C
9．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30 s，黄灯亮的时间为5 s，绿灯亮的时间为40 s，当你到达路口时，事件A为“看见绿灯”、事件B为“看见黄灯”、事件C为“看见不是绿灯”的概率大小关系为( )
A．P(A)>P(B)>P(C) B．P(A)>P(C)>P(B)
C．P(C)>P(B)>P(A) D．P(C)>P(A)>P(B)
[答案] B
10．如图所示，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，
记事件A＝{投中大圆内}，
事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，
事件C＝{投中大圆之外}．
(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RNAD.
(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数．
(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2＋b2<36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4则概率P(A)、P(B)、P(C)的近似值分别是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
[答案] A
[解析] P(A)的近似值为，P(B)的近似值为，P(C)的近似值为.
二、填空题
11．设函数y＝f(x)在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f(x)及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得到S的近似值为________．
[答案]
[解析] 这种随机模拟的方法，是在[0,1]内生成了N个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是N1个，所以根据比例关系＝，而矩形的面积为1，所以随机模拟方法得到的面积为.
12．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A连接，则弦长超过半径倍的概率为________．
[答案]
[解析] 如图所示，在圆周上过定点A作弦AB＝AC＝r，则BC是圆的一条直径．
当取的点在BC上方时满足了弦长大于半径的倍，所以P＝.[来源:学科网ZXXK]
13．在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM>AC的概率是________．
[答案] 1－
[解析] 设CA＝CB＝m(m>0)，则AB＝m.
设事件M：AM>AC，即P(M)＝＝＝1－.
14．某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为________m.
[答案] 100
[解析] 已知河宽为xm，由题意得1－＝，则x＝100.
三、解答题
15．在长为14cm的线段AB上任取一点M，以A为圆心，以线段AM为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9πcm2到16πcm2之间的概率．
[分析] 圆的面积只与半径有关，故此题为与长度有关的几何概型．解答本题时只需产生一组均匀随机数．
[解析] 设事件A表示“圆的面积介于9π cm2到16π cm2之间”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换a＝14a1得到一组[0,14]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和[3,4]内的随机数个数N1(即满足3≤a≤4的个数)；
(4)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．[来源:学科网]
16．设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6
cm，现用直径等于2cm的硬币投掷到网格上，用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率．
[解析] 记事件A＝{硬币与格线有公共点}，
设硬币中心为B(x，y)．
步骤：(1)利用计算机或计算器产生两组0到1之间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.
(2)经过平移，伸缩变换，则x＝(x1－0.5)*6，y＝(y1－0.5)*6，得到两组[－3,3]内的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N及硬币与格线有公共点的次数N1(满足条件|x|≥2或|y|≥2的点(x，y)的个数)．
(4)计算频率，即为硬币落下后与格线有公共点的概率．
17．用随机模拟方法求函数y＝与x轴和直线x＝1围成的图形的面积．
[分析] 将问题转化为求在由直线x＝1，y＝1和x轴，y轴围成的正方形中任取一点，该点落在已知图形内的概率．用随机模拟方法来估计概率即可．
[解析] 如图所示，阴影部分是函数y＝的图象与x轴和直线x＝1围成的图形，设阴影部分的面积为S.
随机模拟的步骤：
(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND；
(2)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y<的点(x，y)的个数)；
(3)计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值；
(4)直线x＝1，y＝1和x，y轴围成的正方形面积是1，由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为＝S.[来源:学。科。网]
则S＝，即阴影部分面积的近似值为.
18．现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，用随机模拟的方法计算飞镖落在阴影部分的概率，阴影部分由直线6x－3y－4＝0和x＝1，y＝－1围成．
[分析] 要确定飞镖落点位置，需要确定两个坐标x、y，可用两组均匀随机数来表示点的坐标．
[解析] 记事件A＝{飞镖落在阴影部分}．
(1)用计算机或计算器产生两组[0,1]上的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.[来源:Z+xx+k.Com]
(2)经过平移和伸缩变换，x＝2(x1－0.5)，y＝2(y1－0.5)得到两组[－1,1]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N及落在阴影部分的点数N1(满足6x－3y－4>0的点(x，y)的个数)．
(4)计算频率fn(A)＝即为飞镖落在阴影部分的概率的近似值．
3.3几何概型（二）
一、概率与线性规划的交汇问题
1假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开
家去上班的时间在早上7:00～8:00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为
事件A，求P(A).
2. 甲乙两人相约上午8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去，求甲
乙两人能会面的概率.
3. 将一长为18cm的线段随机地分成三段，则这三段能够组成一三角形的概率是多少？
二、抽取与分组问题
2. 在一个盒中装有6支圆珠笔.其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，从中任取3支，
问下列事件的概率有多大？
(1) 恰有一支一等品；
(2) 恰有两支一等品；
(3) 没有三等品.
【答案】（1） （2） （3）
3. 柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，
试求下列事件的概率，并说明它们的关系：
(1) 取出的鞋不成对；
(2) 取出的鞋都是左脚的；
(3) 取出的鞋都是同一只脚的；
(4) 取出的鞋是一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对.
三、概率与方程、函数的交汇问题
作业
《习案》 作业：三十五
课件17张PPT。3.3.2 均匀随机数的产生 3.3 几何概型 问题提出1.几何概型的含义是什么？它有哪两个基本特点？含义：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型.特点:（1）可能出现的结果有无限多个;
（2）每个结果发生的可能性相等.2.在几何概型中，事件A发生的概率计算公式是什么？3.我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机数，还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近似值，对于几何概型，我们也可以进行上述工作.均匀随机数的产生知识探究（一）：均匀随机数的产生 思考1：一个人到单位的时间可能是8：00～9：00之间的任何一个时刻，若设定他到单位的时间为8点过X分种，则X可以是0～60之间的任何一刻，并且是等可能的.我们称X服从[0，60]上的均匀分布，X为[0，60]上的均匀随机数.一般地，X为[a，b]上的均匀随机数的含义如何？X的取值是离散的，还是连续的？X在区间[a，b]上等可能取任意一个值；X的取值是连续的.思考2：我们常用的是[0，1]上的均匀随机数，可以利用计算器产生（见教材P137）.如何利用计算机产生0～1之间的均匀随机数？用Excel演示.
（1）选定Al格，键人“＝RAND（）”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的[0，1]上的均匀随机数；（2）选定Al格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2～A100，点击粘贴，则在A1～A100的数都是[0，1]上的均匀随机数.这样我们就很快就得到了100个0～1之间的均匀随机数，相当于做了100次随机试验.思考3：计算机只能产生[0，1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何一个值，则需要产生[a，b]上的均匀随机数，对此，你有什么办法解决？ 首先利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀随机数X=RAND, 然后利用伸缩和平移变换： Y=X*(b—a)＋a计算Y的值，则Y为[a，b]上的均匀随机数.思考4：利用计算机产生100个[2，6]上的均匀随机数，具体如何操作？（1）在A1～A100产生100个0～1之间的均匀随机数；（2）选定Bl格，键人“＝A1*4+2”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的
[2，6]上的均匀随机数；（3）选定Bl格，拖动至B100，则在B1～B100的数都是[2，6]上的均匀随机数.知识探究（二）：随机模拟方法 思考1：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:00～8:00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，那么事件A是哪种类型的事件？随机事件思考2：设X、Y为[0，1]上的均匀随机数，6.5＋X表示送报人到达你家的时间，7＋Y表示父亲离开家的时间，若事件A发生，则X、Y应满足什么关系？ 7＋Y >6.5＋X，即Y>X－0.5. 思考3：如何利用计算机做100次模拟试验，计算事件A发生的频率，从而估计事件A发生的概率？（1）在A1～A100，B1～B100产生两组[0，1]上的均匀随机数；（2）选定D1格，键入“=A1-B1”，按Enter键. 再选定Dl格，拖动至D100，则在D1～D100的数为Y-X的值；（3）选定E1格，键入“=FREQUENCY（D1：D100，-0.5）”，统计D列中小于-0.5的数的频数；思考4：设送报人到达你家的时间为x，父亲离开家的时间为y，若事件A发生，则x、y应满足什么关系？ 6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. 思考5：你能画出上述不等式组表示的平面区域吗？思考6：根据几何概型的概率计算公式，事件A发生的概率为多少？理论迁移 例1 在下图的正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值. 例2 利用随机模拟方法计算由y=1和y=x2 所围成的图形的面积.以直线x=1，x=-1，y=0，y=1为边界作矩形，
用随机模拟方法计算落在抛物区域内的均匀
随机点的频率，则所求区域的面积=频率×2.小结作业1.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过上机实习才能掌握.3.3.2 均匀随机数的产生
课时目标 1.了解均匀随机数的产生方法与意义.2.会用模拟实验求几何概型的概率.3.能利用模拟实验估计不规则图形的面积．
1．均匀随机数的产生
(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是______________函数．
(2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”．
2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
(1)____________的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．
(2)____________的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．
3．[a，b]上均匀随机数的产生．
利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝x1*(b-a)+a就可以得到［a,b］内的均匀随机数，试验的结果是［a,b］上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的.
一、选择题
1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,4]内的均匀随机数，需要实施的变换为( )
2．在线段AB上任取三个点x1，x2，x3，则x2位于x1与x3之间的概率是( )
A. B.
C. D．1
3．与均匀随机数特点不符的是( )
A．它是[0,1]内的任何一个实数
B．它是一个随机数
C．出现的每一个实数都是等可能的
D．是随机数的平均数
4．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为( )
A. B.
C. D．无法计算
5．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为( )
A. B. C. D.
6．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是( )
A．一样大 B．蓝白区域大
C．红黄区域大 D．由指针转动圈数决定
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为______．
8．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
9．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
三、解答题
10．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝log3x与x＝3及x轴围成的图形)的面积．
11．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率：
(1)小燕比小明先到校；
(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．
能力提升
12．如图所示，曲线y＝x2与y轴、直线y＝1围成一个区域A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法)．
13．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率(用两种方法)．
1．[0,1]或[a，b]上均匀随机数的产生
利用计算器的RAND函数可以产生[0,1]的均匀随机数，试验的结果是区间[0,1]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此，可以用计算器产生的0到1之间的均匀随机数进行随机模拟．
计算器不能直接产生[a，b]区间上的随机数，但可利用伸缩和平移变换得到：如果Z是[0,1]区间上的均匀随机数，则a＋(b－a)Z就是[a，b]区间上的均匀随机数．
2．随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算机或计算器模拟试验，首先把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．我们可以从以下几个方面考虑：
(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的组数．如长度、角度型只用一组，面积型需要两组．
(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围．
(3)由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式．
答案：
3．3.2 均匀随机数的产生
知识梳理
1．(1)RAND 2.(1)试验模拟 (2)计算机模拟
作业设计
1．C [根据伸缩、平移变换a＝a1*［4-(-3)］+(-3)=a1*7-3.］
2．B [因为x1，x2，x3是线段AB上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是.]
3．D [A、B、C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．]
4．B [∵＝，∴S阴影＝S正方形＝.]
5．D [由题意知，66．B [指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然，蓝白区域大．]
7.
解析 作∠AOE＝∠BOD＝30°，如图所示，随机试验中，射线OC可能落在扇面AOB内任意一条射线上，而要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC落在扇面DOE内，
∴P(A)＝.
8.
解析 由|x|≤1，得－1≤x≤1.
由几何概型的概率求法知，所求的概率P＝＝.
9.
解析 以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，
当P落在其内时符合要求．
∴P＝＝.
10．解 设事件A：“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．
(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.
(2)经过伸缩变换x＝x1*3,y=y?1*3，得到两组［0,3］上的均匀随机数.
（3）统计出试验总次数N和满足条件y（4）计算频率fn(A)=，即为概率P(A)的近似值．
设阴影部分的面积为S，正方形的面积为9，由几何概率公式得P(A)＝，所以≈.
所以S≈即为阴影部分面积的近似值．
11．解 记事件A“小燕比小明先到校”；记事件B“小燕比小明先到校且小明比小军先到校”．
①利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a＝RAND，b＝RAND，c＝RAND分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；
②统计出试验总次数N及其中满足b③计算频率fn(A)＝，fn(B)＝，即分别为事件A，B的概率的近似值．
12．解 方法一 我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数出落在区域A内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据
，即可求区域A面积的近似值．例如，假设撒1 000粒豆子，落在区域A内的豆子数为700，则区域A的面积S≈＝0.7.
方法二 对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：
第一步，产生两组0～1内的均匀随机数，它们表示随机点(x，y)的坐标．如果一个点的坐标满足y≥x2，就表示这个点落在区域A内．
第二步，统计出落在区域A内的随机点的个数M与落在正方形内的随机点的个数N，可求得区域A的面积S≈.
13. 解 方法一 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x－y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．
由几何概型的概率公式得：
P(A)＝＝＝＝.
所以两人能会面的概率是.
方法二 设事件A＝{两人能会面}．
(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND；
(2)经过伸缩变换，x＝x1*60,y=y1*60，得到两组［0,60］上的均匀随机数；
（3）统计出试验总次数N和满足条件|x-y|≤15的点（x,y）的个数N1；
（4）计算频率fn(A)= ，即为概率P（A）的近似值.
