课件22张PPT。第三章 概 率(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列事件中不是随机事件的是( )
A．某人购买福利彩票中奖
B．从10个杯子(8个正品，2个次品)中任取2个，2个均为次品
C．在标准大气压下，水加热到100℃沸腾
D．某人投篮10次，投中8次
2．某班有男生25人，其中1人为班长，女生15人，现从该班选出1人，作为该班的代表参加座谈会，下列说法中正确的是( )
①选出1人是班长的概率为；
②选出1人是男生的概率是；
③选出1人是女生的概率是；
④在女生中选出1人是班长的概率是0.
A．①② B．①③
C．③④ D．①④
3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
4．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不是对立事件 D．以上答案都不对
5．在2010年广州亚运会火炬传递活动中，在编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )
A. B.
C. D.
6．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
7．矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为( )
A．16 B．16.32
C．16.34 D．15.96
8．在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17
A. B .
C. D.
9．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( )
A．0.45 B．0.67
C．0.64 D．0.32
10．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )
A. B.
C. D.
11．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n的概率为( )
A. B.
C. D.
12．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )
A. B. C．1－ D．1－
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________．
14．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A＋发生的概率为________．(表示B的对立事件)
15．先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.将a，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．
16．设b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，则方程x2－bx＋c＝0有实根的概率为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
18．(12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．
(1)求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；
(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
19．(12分)在区间(0,1)上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实根的概率．
20．(12分)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x，y)表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．
(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；
(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；
(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．
21．(12分)在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写道：
摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
(1)摸出的3个球为白球的概率是多少？
(2)假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一天能赚多少钱？
22．(12分)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6，8.7，9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
第三章 概 率(A)
1．C
2．D [本班共有40人，1人为班长，故①对；而“选出1人是男生”的概率为＝；“选出1人为女生”的概率为＝，因班长是男生，∴“在女生中选班长”为不可能事件，概率为0.]
3．C [抛掷两枚质地均匀的硬币，可能出现“正、正”、“反、反”、“正、反”、“反、正”，因此两个正面朝上的概率P＝.]
4．C [由互斥事件的定义可知：甲、乙不能同时得到红牌，由对立事件的定义可知：甲、乙可能都得不到红牌，即“甲、乙分得红牌”的事件可能不发生．]
5．B [从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝.]
6．A [从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．]
7．B [由题意＝，∴S阴＝×24＝16.32.]
8．C [∵a∈(15,25]，∴P(179．D [摸出红球的概率为＝0.45，因为摸出红球，白球和黑球是互斥事件，因此摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.]
10．A [任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i)(i＝0,1,2，…，9)；(1，i)(i＝0,1,2，…，9)；(2，i)(i＝0,1,2，…，9)；…；(9，i)(i＝0,1,2，…，9)．
故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)．共有9种．故所求概率为.]
11．A
[建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m>n的点应在梯形OABD内，所以所求事件的概率为P＝＝.]
12．C [P＝＝＝1－.]
13．0.3
解析 所求的概率P＝1－0.2－0.5＝0.3.
14.
解析 事件A包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；表示“大于等于5的点数出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A与是互斥的，故P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
15.
解析 基本事件的总数为6×6＝36.
∵三角形的一边长为5，
∴当a＝1时，b＝5符合题意，有1种情况；
当a＝2时，b＝5符合题意，有1种情况；
当a＝3时，b＝3或5符合题意，即有2种情况；
当a＝4时，b＝4或5符合题意，有2种情况；
当a＝5时，b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意，
即有6种情况；
当a＝6时，b＝5或6符合题意，即有2种情况．
故满足条件的不同情况共有14种，
所求概率为＝.
16.
解析 基本事件总数为36个，
若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b2≥4c.
当c＝1时，b＝2,3,4,5,6；
当c＝2时，b＝3,4,5,6；
当c＝3时，b＝4,5,6；
当c＝4时，b＝4,5,6；
当c＝5时，b＝5,6；
当c＝6时，b＝5,6.
符合条件的事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，因此方程x2－bx＋c＝0有实根的概率为.
17．解 记“有0人等候”为事件A，“有1人等候”为事件B，“有2人等候”为事件C，“有3人等候”为事件D，“有4人等候”为事件E，“有5人及5人以上等候”为事件F，则易知A、B、C、D、E、F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，
则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)记“至少3人排队等候”为事件H，
则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
也可以这样解，G与H互为对立事件，
所以P(H)＝1－P(G)＝1－0.56＝0.44.
18．解 (1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为＝，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种．
随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝.
19.解 在平面直角坐标系中，以x轴和y轴分别表示m，n的值，因为m，n在(0,1)内与图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．
设事件A表示方程x2－x＋m＝0有实根，则事件A＝{(m，n)|}，所对应的区域为图中的阴影部分，且阴影部分的面积为，故P(A)＝＝，即关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实根的概率为.
20．解 (1)甲、乙两人下车的所有可能的结果为：
(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A，则P(A)＝.
(3)设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B，则P(B)＝1－3×＝.
21．解 把3只黄色乒乓球标记为A、B、C,3只白色的乒乓球标记为1、2、3.从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个．
(1)事件E＝{摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123，
P(E)＝1/20＝0.05.
(2)事件F＝{摸出的3个球为同一颜色}＝{摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P(F)＝2/20＝0.1，
假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件F发生有10次，不发生90次．
则一天可赚90×1－10×5＝40，每天可赚40元．
22．解 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得＝，所以n＝2 000.
则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意得＝，即a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7个．故P(E)＝，即所求概率为.
(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：
9．4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.
第三章 概 率(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( )
①恰好有1件次品和恰好有两件次品；
②至少有1件次品和全是次品；
③至少有1件正品和至少有1件次品；
④至少1件次品和全是正品．
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
2．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )
A. B. C. D.
3．某班有50名学生，其中男、女各25名，若这个班的一个学生甲在街上碰到一位同班同学，假定每两名学生碰面的概率相等，那么甲碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大( )
A．异性 B．同性
C．同样大 D．无法确定
4．在区间上随机取一个数x，cos x的值介于0到之间的概率为( )
A. B. C. D.
5．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 431 257 393 027 556 488
730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
6．12本相同的书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是( )
A．3本都是语文书 B．至少有一本是英语书
C．3本都是英语书 D．至少有一本是语文书
7．某人射击4枪，命中3枪，3枪中有且只有2枪连中的概率是( )
A. B.
C. D.
8．从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为( )
A. B.
C. D.
9．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A＝{点落在x轴上}与事件B＝{点落在y轴上}的概率关系为( )
A．P(A)>P(B) B．P(A)C．P(A)＝P(B) D．P(A)、P(B)大小不确定
10．如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AC＝BC，AB为圆O的直径，向该圆内随机投一点，则该点落在△ABC内的概率是( )
A. B.
C. D.
11．若以连续两次掷骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝25外的概率是( )
A. B.
C. D.
12．如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B. C. D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知半径为a的球内有一内接正方体，若球内任取一点，则该点在正方体内的概率为________．
14．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为________．
15．在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．
16．在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的概率是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.
若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率．
18．(12分)假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．
19．(12分)如右图所示，OA＝1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上任取一点B，求使△AOB的面积大于等于的概率．
20．(12分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．
21．(12分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
22．(12分)已知实数a，b∈{－2，－1,1,2}．
(1)求直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率；
(2)求直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率．
第三章 概 率(B)
1．D 2.B
3．A [记“甲碰到同性同学”为事件A，“甲碰到异性同学”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，故P(A)4．A [在区间[－，]，05．B [由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，故所求概率为＝＝0.25.]
6．D [由于只有2本英语书，从中任意抽取3本，其中至少有一本是语文书．]
7．D [4枪命中3枪共有4种可能，其中有且只有2枪连中有2种可能，所以P＝＝]
8．B [可能构成的两位数的总数为5×4＝20(种)，因为是“任取”两个数，所以每个数被取到的概率相同，可以采用古典概型公式求解，其中大于40的两位数有以4开头的：41,42,43,45共4种；以5开头的：51,52,53,54共4种，所以P＝＝.]
9．C [横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的．]
10．A [连接OC，设圆O的半径为R，记“所投点落在△ABC内”为事件A，则P(A)＝＝.]
11．B [本题中涉及两个变量的平方和，类似于两个变量的和或积的情况，可以用列表法，使x2＋y2>25的次数与总试验次数的比就近似为本题结果．即＝.]
12．A [可求得同时落在奇数所在区域的情况有4×4＝16(种)，而总的情况有6×6＝36(种)，于是由古典概型概率公式，得P＝＝.]
13.
解析 因为球半径为a，则正方体的对角线长为2a，设正方体的边长为x，则2a＝x，∴x＝，由几何概型知，所求的概率P＝＝＝.
14.
解析 如图所示，区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，
因此P＝＝.
15.
解析
记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得
P(A)＝＝.
16.
解析 由题意可知>，如图所示，三棱锥S－ABC与三棱锥S－APC的高相同，因此＝＝>(PM，BN为其高线)，又＝，故>，故所求概率为(长度之比)．
17．解 a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以事件“a2≥4b”的概率为P＝.
18．解 设A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件．
则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1，
设D表示军火库爆炸这个事件，则有
D＝A∪B∪C，其中A、B、C是互斥事件，
∴P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
19．解 如下图所示，作OC⊥OA，C在半圆弧上，过OC中点D作OA的平行线交半圆弧于E、F，所以在上取一点B，则S△AOB≥.
连结OE、OF，因为OD＝OC＝OF，
OC⊥EF，所以∠DOF＝60°，所以∠EOF＝120°，所以l＝π·1＝π.
所以P＝＝＝.
20．解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同情况．
(2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为.
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，故甲胜的概率P1＝，同理乙胜的概率P2＝.因为P1＝P2，所以此游戏公平．
21．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件为
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则
M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，
事件M由6个基本事件组成，因而P(M)＝＝.
(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件由3个基本事件组成，
所以P()＝＝，由对立事件的概率公式得：P(N)＝1－P()＝1－＝.
22．解 由于实数对(a，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16种．
设“直线y＝ax＋b不经过第四象限”为事件A，“直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点”为事件B.
(1)若直线y＝ax＋b不经过第四象限，则必须满足即满足条件的实数对(a，b)有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种．∴P(A)＝＝.故直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率为.
(2)若直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点，则必须满足≤1，即b2≤a2＋1.
若a＝－2，则b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a，b)有4种不同取值；
若a＝－1，则b＝－1,1符合要求，此时实数对(a，b)有2种不同取值；
若a＝1，则b＝－1,1符合要求，此时实数对(a，b)有2种不同取值，
若a＝2，则b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a，b)有4种不同取值．
∴满足条件的实数对(a，b)共有12种不同取值．∴P(B)＝＝.
故直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为.
§3.1 习题课
课时目标 1.进一步理解随机事件的有关概念；理解频率与概率的关系及概率的意义.2.会解决简单的有关概率的实际问题．
1．下面的事件：①掷一枚硬币，出现反面；②对顶角相等；③3＋5>10，是随机事件的有( )
A．② B．③ C．① D．②③
2．下面的事件：
①袋中有2个红球，4个白球，从中任取3个球，至少取到1个白球；
②某人买彩票中奖；
③实系数一次方程必有一实根；
④明天会下雨．
其中是必然事件的有( )
A．① B．④ C．①③ D．①④
3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]之间的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
4．若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B的关系是( )
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．对立且互斥 D．以上均不对
5．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只产品是正品(甲级品)的概率为________．
6．某射击运动员进行双向飞蝶射击训练，七次训练的成绩记录如下：
射击次数n
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数nA
81
95
123
82
119
127
121
(1)求各次击中飞碟的频率；
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？(保留3位小数)
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
2．下列事件中，随机事件是( )
A．向区间(0,1)内投点，点落在(0,1)区间
B．向区间(0,1)内投点，点落在(1,2)区间
C．向区间(0,2)内投点，点落在(0,1)区间
D．向区间(0,2)内投点，点落在(－1,0)区间
3．给出下列三个命题，其中正确的有( )
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面向上，因此正面出现的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如果事件A、B互斥，、分别为A、B的对立事件，则有( )
A．A＋B是必然事件
B.＋是必然事件
C.与一定互斥
D.与不互斥
5．关于互斥事件的理解，错误的是( )
A．若A发生，则B不发生；若B发生，则A不发生
B．若A发生，则B不发生，若B发生，则A不发生，二者必具其一
C．A发生，B不发生；B发生，A不发生；A、B都不发生
D．若A、B又是对立事件，则A、B中有且只有一个发生
6．考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于( )
A．1 B. C. D．0
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．下列说法：
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率；
③频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确的是________．
8．某人在一次射击中，命中9环的概率为0.28，命中8环的概率为0.19，不够8环的概率为0.29，则这人在一次射击中命中9环或10环的概率为________．
9．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)的值是________．(结果用最简分数表示)
三、解答题
10．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
11．我国已经正式加入WTO，包括汽车在内的进口商品将最多五年内把关税全部降到世贸组织所要求的水平，其中有21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年达到要求，其余的进口商品将在3年或3年内达到要求，求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率．
能力提升
12．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．
13．下表为某班英语及数学成绩的分布，学生共有50人，成绩分1～5五个档次，例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生为5人，将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一张，该张卡片对应学生的英语成绩为x，数学成绩为y，设x，y为随机变量．(注：没有重名学生)
(1)x＝1的概率为多少？x≥3且y＝3的概率为多少？
(2)a＋b等于多少？
1．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，概率是大次数地重复试验中频率的稳定值．
2．概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率．
3．复杂事件求概率时常用的两种转化方法：一是转化为彼此互斥的事件的概率；二是转化为求其对立事件发生的概率．
答案：
§3.1 习题课
双基演练
1．C 2.C
3．B [该同学身高超过175 cm(事件A)与该同学身高不超过175 cm是对立事件，而不超过175 cm的事件为小于160 cm(事件B)和[160,175](事件C)两事件的和事件，即
P(A)＝1－P()
＝1－[P(B)＋P(C)]
＝1－(0.2＋0.5)
＝0.3.]
4．C [∵P(A＋B)＝1，∴A＋B为必然事件．
又∵P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，∴A与B为互斥事件，因此有A∩B为不可能事件．A∪B为必然事件，所以A与B也是对立事件．]
5．92%
解析 记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级品)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%.
6．解 (1)计算得各次击中飞碟的频率依次为0.810，0.792,0.820,0.820,0.793,0.794,
0.807.
(2)由于这些频率非常接近0.810，在它附近摆动，所以运动员击中飞碟的概率约为0.810.
作业设计
1．C 2.C
3．A [由频率和概率的定义及频率与概率的关系可知①②③都不正确．]
4．B [A、B互斥，A、B可以不同时发生，即A∩B＝?，所以A∩B的对立事件＝∪是必然事件，即＋是必然事件．]
5．B [A、B互斥，A、B可以不同时发生，A、B也可以同时不发生，但只要一个发生，另一个一定不发生．对立事件是必定有一个发生的互斥事件，故只有B错．]
6．A [由正方体的对称性知其六个面的中心构成同底的两个四棱锥，且四棱锥的各个侧面是全等的三角形，底面四个顶点构成一个正方形，从这6个点中任选3个点构成的三角形可分为以下两类：第一类是选中相对面中心两点及被这两个平面所夹的四个面中的任意一个面的中心，构成的是等腰直角三角形，此时剩下的三个点也连成一个与其全等的三角形．第二类是所选三个点均为多面体的侧面三角形的三个点(即所选3个点所在的平面彼此相邻)此时构成的是正三角形，同时剩下的三个点也构成与其全等的三角形，故所求概率为1.]
7．①③④
8．0.52
解析 P＝1－P(x≤8)＝1－P(x<8)－P(x＝8)
＝1－0.29－0.19＝0.52.
9.
解析 一副扑克中有1张红桃K,13张黑桃，事件A与事件B为互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
10．解 设事件A、B、C、D分别表示“任取一球，得到红球”，“任取一球，得到黑球”，“任取一球，得到黄球”，“任取一球，得到绿球”，
则由已知得P(A)＝，
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，
P(B∪C∪D)＝1－P(A)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝1－＝.
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为，，.
11．解 方法一 设“进口汽车恰好4年关税达到要求”为事件A，“不到4年达到要求”为事件B，则“进口汽车不超过4年的时间内关税达到要求”就是事件A＋B，显然A与B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.
方法二 设“进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求”为事件M，则N为“进口汽车5年关税达到要求”，所以P(M)＝1－P(N)＝1－0.21＝0.79.
12．解 (1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为P＝1－－＝.
(2)方法一 设事件A为“甲不输”，看作是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝.
方法二 设事件A为“甲不输”，看作是“乙胜”的对立事件．所以P(A)＝1－＝.
所以甲不输的概率是.
13．解 (1)P(x＝1)＝＝，
P(x≥3，y＝3)＝＝.
(2)P(x＝2)＝1－P(x＝1)－P(x≥3)
＝1－－
＝＝，
∴a＋b＝3.
§3.2 习题课
课时目标 进一步理解古典概型的概念，学会判断古典概型．并会运用古典概型解决有关的生活实际问题．
1．集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{0,1,2,3,4}，点P的坐标为(m，n)，m∈A，n∈B，则点P在直线x＋y＝6上方的概率为( )
A. B.
C. D.
2．下列试验中，是古典概型的是( )
A．放飞一只信鸽观察它是否能够飞回
B．从奇数中抽取小于10的正奇数
C．抛掷一枚骰子，出现1点或2点
D．某人开车路过十字路口，恰遇红灯
3．袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是( )
A. B. C. D.
4．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“08”和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”，则他们就给婴儿奖励，假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是( )
A. B.
C. D.
5．下列试验中，是古典概型的有( )
A．种下一粒种子观察它是否发芽
B．连续抛一枚骰子，直到上面出现6点
C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
6．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
一、选择题
1．用1、2、3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是( )
A. B.
C. D.
2．某城市有相连接的8个商场A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O排成如图所示的格局，其中每个小方格为正方形，某人从网格中随机地选择一条最短路径，欲从商场A前往H，则他经过市中心O的概率为( )
A. B. C. D.
3．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回的抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )
A. B. C. D.
4．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天某人准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的发车情况．为了尽可能乘上上等车，他采用如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好，则上第二辆，否则上第三辆．那么他乘上上等车的概率是( )
A. B. C. D.
5．2010年世博会在中国举行，建馆工程有6家企业参与竞标，其中A企业来自陕西省，B，C两家企业来自天津市，D、E、F三家企业来自北京市，现有一个工程需要两家企业联合建设，假设每家企业中标的概率相同，则在中标企业中，至少有1家来自北京市的概率是( )
A. B.
C. D.
6．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A. B. C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．
8．在集合{x|x＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足log2x为整数的概率是________．
9．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．
三、解答题
10．把一个骰子抛1次，设正面出现的点数为x.
(1)求出x的可能取值情况(即全体基本事件)；
(2)下列事件由哪些基本事件组成(用x的取值回答)?
①x的取值是2的倍数(记为事件A)．
②x的取值大于3(记为事件B)．
③x的取值不超过2(记为事件C)．
(3)判断上述事件是否为古典概型，并求其概率．
11．某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；
(2)求中奖的概率．
能力提升
12．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b.求关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的概率．
13．班级联欢时，主持人拟出如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．
(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；
(2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．
在建立概率模型时，把什么看作一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．因此，我们必须选择恰当的观察角度，把问题转化为不同的古典概型(基本事件满足有限性和等可能性)来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解决就变得越简单．
答案：
§3.2 习题课
双基演练
1．D [点P在直线x＋y＝6上方，即指点P的坐标中的点满足m＋n>6，(m，n)的坐标可以是(3,4)，(4,3)，(4,4)，(5,2)，(5,3)，(5,4)共6种情况，所以点P在直线x＋y＝6上方的概率为＝.]
2．C [由于试验次数为一次，并且出现1点或2点的概率是等可能的，故选C.]
3．B [该试验中会出现(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共6种等可能的结果，所以属于古典概型．事件“至少摸出1个黑球”所含有的基本事件为(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共5种，据古典概型概率公式，得事件“至少摸出1个黑球”的概率是.]
4．C [3块字块共能拼排成以下6种情形：
2008北京，20北京08，北京2008，北京0820,08北京20,0820北京，即共有6个基本事件．其中这个婴儿能得到奖励的基本事件有2个：
2008北京，北京2008，故婴儿能得到奖励的概率为P＝＝.]
5．C [判断一个试验是否为古典概型的关键为：①对每次试验来说，只可能出现有限个试验结果；②对于试验中所有的不同试验结果而言，它们出现的可能性相等．]
6.
解析 从四条线段中任取三条的所有可能结果有4种，其中任取三条能构成三角形的可能有2,3,4；2,4,5；3,4,5三种，因此所求概率为.
作业设计
1．C
2．A [此人从小区B前往H的所有最短路径有
A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，
A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，
A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条，其中经过市中心O的有4条路径，所以其概率为.]
3．B [有放回地取球三次，假设第一次取红球共有如下所示9种取法．
同理，第一次取黄球，绿球分别也有9种情况，共计27种．而三次颜色全相同，共有3 种情况，故颜色全相同的概率为＝.]
4．A [基本事件空间中包括以下六个基本事件：
第一辆为上等车，若第二辆为中等车，则乘上下等车；若第二辆为下等车，则乘上中等车．
第一辆为中等车，若第二辆为上等车，则乘上上等车，若第二辆为下等车，则乘第三辆车，亦乘上上等车．
第一辆为下等车，若第二辆为上等车，则乘上上等车，若第二辆为中等车，则乘不上上等车．
所以，他乘上上等车的概率P＝＝.]
5．D [从这6家企业中选出2家的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共有15种．其中，在中标的企业中没有来自北京市的选法有：(A，B)，(A，C)，(B，C)共3种．所以“在中标的企业中，没有来自北京市”的概率为＝.所以“在中标的企业中，至少有一家来自北京市”的概率为1－＝.]
6．D [由袋中随机取出2个小球的基本事件总数为10，取出小球标注数字和为3的事件为1,2.取出小球标注数字和为6的事件为1,5或2,4.∴取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为P＝＝.]
7．120
解析 设男教师有n人，则女教师有(n＋12)人．
由已知从这些教师中选一人，选到男教师的概率
P＝＝，得n＝54，
故参加联欢会的教师共有120人．
8.
解析 当x＝1,2,4,8时，log2x分别为整数0,1,2,3.又因总体共有10个，其概率为＝.
9．0.2
解析 从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿共有10种抽取方法，而抽取的两根竹竿长度恰好相差0.3 m的情况是2.5和2.8,2.6和2.9两种，
∴概率P＝＝0.2.
10．解 (1)根据古典概型的定义进行判断得，x的可能取值情况为：1,2,3,4,5,6；
(2)事件A为2,4,6；事件B为4,5,6，事件C为1,2，
(3)由题意可知①②③均是古典概型．
其中P(A)＝＝；
P(B)＝＝；
P(C)＝＝.
11．解 设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B，从四个小球中有放回的取两个共有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)16种不同的方法．
(1)两个小球号码相加之和等于3的取法有4种：
(0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0)．
故P(A)＝＝.
(2)由(1)知，两个小球号码相加之和等于3的取法有4种．
两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：(1,3)，(2,2)，(3,1)，
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)，
P(B)＝＋＋＝.
12．解 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a>0，b>0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
基本事件共12个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含6个基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，
事件B发生的概率为P(A)＝＝.
13．解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．
由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．
用A1表示事件“连续抽取2人一男一女”，A2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A1与A2互斥，并且A1∪A2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A1的结果有12种，A2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.
(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.
第二次抽取
第一次抽取
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．
用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P(A)＝＝＝0.2.
章末复习课
课时目标 1.加深对事件、概率、古典概型、几何概型及随机模拟意义的理解.2.提高应用概率解决实际问题的能力．
1．抛掷两颗骰子，所得的两个点数中一个恰是另一个的两倍的概率为( )
A. B. C. D.
2．对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N的值为( )
A．120 B．200 C．150 D．100
3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为( )
A. B. C. D.
4．三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
5．在闭区间[－1,1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是________．
6．有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？
一、选择题
1．利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是( )
A. B. C. D.
2．若以连续掷两枚骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在x2＋y2＝9内的概率为( )
A. B. C. D.
3．某单位电话总机室内有2部外线电话：T1和T2，在同一时间内，T1打入电话的概率是0.4，T2打入电话的概率是0.5，两部同时打入电话的概率是0.2，则至少有一部电话打入的概率是( )
A．0.9 B．0.7 C．0.6 D．0.5
4．设A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,3,5,7,9}，集合C是从A∪B中任取2个元素组成的集合，则C?(A∩B)的概率是( )
A. B. C. D.
5．从数字1,2,3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为( )
A. B. C. D.
6．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )
A. B. C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．有1杯2 L的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1 L，这一小杯水中含有细菌的概率是________．
8．一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出绿球}，D＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B)＝________；P(C∪D)＝________.
9．一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖上的概率为________．
三、解答题
10．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例(%)
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
能力提升
11．将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率．
12．利用随机模拟方法计算图中阴影部分(y＝x3和x＝2以及x轴所围成的部分)的面积．
1．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．
若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，则
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：
①本试验是否是等可能的？
②本试验的基本事件有多少个？
③事件A是什么，它包含多少个基本事件？
只有回答好了这三方面的问题，解题才不会出错．
3．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．
4．关于随机数与随机模拟试验问题
随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，我们可以从以下几个方面考虑：
(1)确定产生随机数组数，如长度型、角度型(一维)一组，面积型(二维)二组．
(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式．
答案：
章末复习课
双基演练
1．B [抛掷两枚骰子出现的可能结果有6×6＝36(个)，所得的两个点数中一个恰是另一个的两倍，包含(1,2)，(2,4)，(3,6)，(2,1)，(4,2)，(6,3)共6个基本事件，故所求概率为＝.]
2．A [因为从含有N个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为；所以＝0.25，从而有N＝120.]
3．C [由log2xy＝1?2x＝y，x∈{1,2,3,4,5,6}，y∈{1,2,3,4,5,6}．
∴共三种．∴P＝＝.]
4.
解析 题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：BEE，EBE，EEB，∴概率为.
5.
解析
如图所示
P＝＝.
6．解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10－3－3＝4(米)．在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，
所以P(A)＝＝＝0.4.
作业设计
1．A [总体个数为N，样本容量为M，则每一个个体被抽得的概率为P＝＝＝.]
2．D [掷骰子共有36个结果，而落在圆x2＋y2＝9内的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共4种，∴P＝＝.]
3．B [所求的概率为0.4＋0.5－0.2＝0.7.]
4．A [A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{1,3,5}，
在A∪B中任取两个元素，共有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28(种)不同的取法，
从A∩B中任取2个元素，共有1 3,1 5,3 5三种不同取法，因此，C?(A∩B)的概率是P＝.]
5．A[从数字1,2,3中任取两个不同数字组成的两位数有12,21,13,31,23,32共6种，每种结果出现的可能性是相同的，所以该试验属于古典概型，记事件B为“取出两个不同数字组成两位数大于23”，则B中包含31,32两个基本事件，根据古典概型概率公式，得P(A)＝＝.]
6．C
[如图，在AB边取点P′，
使＝，
则P只能在AP′内运动，则概率为＝.]
7.
解析 此为与体积有关的几何概型问题，
∴P＝＝.
8.
解析 由古典概型的算法可得P(A)＝＝，P(B)＝，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.
9.
解析 P＝＝.
10．解 (1)对任一人，其血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A′、B′、C′、D′，它们是互斥的．由已知，有
P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B、O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′.根据互斥事件的加法公式，有
P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)由于A、AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
答 任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.
11．解 设A＝{3段构成三角形}，x，y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l－x－y，则试验的全部结果可构成集合
Ω＝{(x，y)|0l－x－y?x＋y>，
x＋l－x－y>y?y<，
y＋l－x－y>x?x<.
故所求结果构成集合
A＝{(x，y)|x＋y>，y<，x<}．
如图，阴影部分表示集合A，△OBC表示集合Ω，故所求概率为P(A)＝＝＝，
即折成的3段能构成三角形的概率为.
12．解 在坐标系中画出矩形(x＝0，x＝2，y＝0，y＝8所围成的部分)，利用面积比与概率、频率的关系进行计算．
(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)进行伸缩变换a＝a1]N1,N)，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)由几何概率公式得点落在阴影部分的概率为P＝.
∴＝，∴S≈，即为阴影部分的面积的近似值．
