4.7.2 相似三角形周长和面积的性质学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第四章　图形的相似
7　相似三角形的性质
第2课时　相似三角形周长和面积的性质
要 点 讲 解
要点　相似三角形周长和面积的性质
1. 定理2：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
用图形表示，如图，已知△ABC∽△A′B′C′，设两个三角形的相似比为k，由已知得＝＝＝k，＝＝k，即＝k.分别作两个三角形的高CD和C′D′.∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝＝k.∴＝＝·＝k2.
2. 相似三角形的周长比、面积比与相似比之间可以互相转换.?
3. 相似三角形的面积比等于相似比的平方的结论经常与“等底或等高的两个三角形的面积之比等于两个三角形的高或底之比”综合应用.
经典例题1　如图，某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造.已知△ABC的边BC长120m，高AD长80m.学校计划将它分割成△AHG，△BHE，△GFC和矩形EFGH四部分.其中矩形EFGH的一边EF在边BC上，两个顶点H，G分别在边AB，AC上.现计划在△AHG上种草，在△BHE，△GFC上都种花，在矩形EFGH上建喷泉.当FG长为多少米时，喷泉面积等于锐角三角形ABC的面积的一半？并求出此时种草的面积与种花的面积各是多少平方米.
解析：∵四边形EFGH是矩形，∴HG∥BC，易得△AHG∽△ABC，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比可得HG的代数式，进而根据喷泉的面积等于△ABC的面积的一半，可得FG的长，进而求得AK，HG的长，利用直角三角形的面积公式可得△AHG的面积，进而用△ABC面积的一半减去△AHG的面积即为种花的面积.
解：设FG＝xm，则AK＝(80－x)m.∵HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∵BC＝120m，AD＝80m，∴＝，∴HG＝(120－x)m，∵HG×FG＝S△ABC，∴(－1.5x＋120)x＝××120×80.解得x＝40.∴AK＝40m，HG＝－1.5x＋120＝60m，∴S△AHG＝×40×60＝1200(m2)，∴种花的面积＝××120×80－1200＝1200(m2).
答：当FG长为40m时，喷泉面积等于锐角三角形ABC的面积的一半，种花和种草的面积均为1200m2.
易错易混警示　误认为相似多边形的面积之比等于相似比而导致计算错误
经典例题2　如图，在△ABC中，DE∥BC，S△ADE∶S梯形BCED＝1∶4，求AD∶DB.
解：∵S△ABC∶S梯形BCED＝1∶4，∴S△ADE∶S△ABC＝1∶5.
又∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，
∴()2＝＝.∴＝，＝＝.
当 堂 检 测
1. △ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(　　)
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶16
2. 已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为(　　)
A. 2 B. 3 C. 6 D. 54
3. 如果两个相似三角形的周长之比为1∶2，那么这两个三角形的面积之比为(　　)
A. 1∶ B. 1∶2 C. 1∶4 D. 1∶8
4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为(　　)
A. 3 B. 5 C. 6 D. 8
5. 两个相似三角形的一组对应边分别是35cm和14cm，它们的周长相差60cm，则这两个三角形周长分别为 .
6. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，如果AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为 .
7. △ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：
(1)A′B′的边上的中线C′D′的长；
(2)求△A′B′C′的周长；
(3)△ABC的面积.
8. 如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABC＝2∠BAM.
(1)求证：AG＝BG；
(2)若M为BC的中点，同时S△BGM＝1，求△GDA的面积.
当堂检测参考答案
1. C 2. C 3. C 4. D
5. 100cm和40cm
6. 3
7. 解：(1)△ABC∽△A′B′C′，∴＝＝，∴＝，∴C′D′＝8cm.　
(2)∵C△ABC＝20cm，＝，∴C△A′B′C′＝40cm.　
(3)＝，S△A′B′C′＝64cm2，∴S△ABC＝64×＝16cm2.
8. 解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC.∴∠ABG＝∠ABC.又∵∠ABC＝2∠BAM，∴∠BAG＝∠ABG.∴AG＝BG.　
(2)∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠DAG＝∠BMG，∠ADG＝∠MBG.∴△BGM∽△DGA.∵M为BC的中点，∴BM＝BC＝AD，即△BGM与△DGA的相似比为1∶2.∴S△BGM∶S△DGA＝1∶4.∵S△BGM＝1，∴S△GDA＝4.