4.8.1 位似多边形学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案
第四章　图形的相似
8　图形的位似
第1课时　位似多边形
要 点 讲 解
要点一　位似多边形的概念和性质
1. 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A′所在的直线都经过同一个点O，且有OA′＝k·OA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.实际上，k就是这两个相似多边形的相似比.
2. 位似多边形具有相似多边形的一切性质，其对应顶点的连线必过位似中心；任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比；对应线段平行(或在一条直线上).
3. 判断两个多边形是位似多边形应满足三个条件：①是相似多边形；②两个多边形任意一组对应点A，A′的连线都经过同一个点O；③满足OA′＝k·OA?k≠0?，这三个条件缺一不可.?
4. 位似多边形是一种特殊的相似多边形，但相似多边形不一定是位似多边形.?
5. 两个位似多边形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.
经典例题1　在图中，哪些图形是位似多边形，哪些图形不是位似多边形，如果是位似多边形，请指出位似中心.其中，(1)，(2)，(3)，(4)，(5)都是相似图形，(6)中△ABC与△A′B′C′不相似.

解析：图(1)中，△ABC∽△AED，且对应顶点的连线交于同一点A，所以△ABC和△AED是位似多边形，点A为位似中心；图(2)中△AOB∽△COD，且对应顶点的连线交于同一点O，所以△AOB与△COD是位似多边形，位似中心为点O；图(3)中虽然有△AOB∽△DOC，但它们对应顶点的连线不是交于同一点，所以它们不是位似多边形；图(4)中的两个图形是位似多边形，位似中心为点O；图(5)中的两个图形不是位似多边形，因为它们对应点的连线不是交于同一点；图(6)中△ABC与△A′B′C′不相似，所以它们不是位似多边形.
解：图(1)、图(2)和图(4)都是位似多边形，其位似中心分别为点A，点O，点O.图(3)、图(5)和图(6)不是位似多边形.
要点二　位似图形的画法
1. 画位似图形的一般步骤：
(1)确定位似中心；
(2)确定原图形的关键点，通常是多边形的顶点；
(3)根据放大或缩小的倍数确定相似比；
(4)通过位似中心和各关键点画射线，根据相似比在射线上取原图形中关键点的对应点，连接各对应点.
2. 画位似图形的关键是要准确地按比例画出各线段的长.?
3. 在实际操作时，有的位似中心已知，有的位似中心需要依据实际情况来确定.?
4. 当只知道关键点和位似中心，而方向不明确时，可以画出不同的位似图形.
经典例题2　工人师傅要在三角形铝板上裁下一个正方形DEFG，使D，E两点分别在三角形的边AB，AC上，F，G两点在边BC上，你能帮工人师傅画出裁剪线吗？
解析：先任意画一个正方形D′E′F′G′，使D′在AB上，F′，G′在BC上，结合位似图形的性质，画出D′E′F′G′的位似图形即可.
解：如图，(1)作正方形D′E′F′G′，使D′在AB上，F′，G′在BC上；(2)作射线BE′交AC于点E；(3)作ED∥BC交BA于点D，过点E作EF⊥BC于点F，过点D作DG⊥BC于点G；(4)则四边形DEFG就是所求作的正方形.
当 堂 检 测
1. 已知△ABC与△DEF是关于点P的位似图形，它们的一组对应点到P点的距离分别为3cm和4cm，则△ABC与△DEF的相似比为(　　)
A. 3∶4 B. 9∶16 C. 3∶7 D. 9∶49
2. 如图所示是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是(　　)
A. 平移 B. 旋转 C. 对称 D. 位似

第2题 第3题
3. 如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA∶OA1＝1∶3，则C1D1∶CD等于(　　)
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 3∶1 D. 1∶4
4. 下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.其中正确命题的序号是(　　)
A. ②③ B. ①② C. ③④ D. ②③④
5. 如图，以点O为位似中点，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是　 　.

第5题 第6题
6. 如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，相似比为，若五边形ABCDE的面积为18cm2，周长为21cm，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为 cm2，周长为 cm.
7. 如图，将△ABC放大为原来的2倍，且使位似中心点O位于两个图形之间.
当堂检测参考答案
1. A 2. D 3. C 4. A
5. 
6. 8 14
7. 解：如图所示.