【开学季 分层作业】11.2.3 三角形的外角 同步学案
文档属性
| 名称 | 【开学季 分层作业】11.2.3 三角形的外角 同步学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-28 15:42:53 | ||
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文档简介
人教版八年级数学上册开学季（第十一章 三角形）分层作业
11.2.3三角形的外角
知识点1三角形外角的定义
1.下列各图中，∠1是△ABC的外角的有（ ）
A.(l)(2) B.(l)(3) C.(2)(3) D.(2)(4)
2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
知识点2（三角形外角的性质）
3.[2017贵州黔东南州中考]如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A.120° B.90° C.100° D.30°
4.[2017四川凉山州中考]如图，AB∥CD，则下列式子一定成立的是（ ）
A.∠l=∠3 B.∠l=∠3 C.∠1=∠2＋∠3 D.∠3=∠1＋∠2
5.[2018山东临沂兰陵期中]一副直角三角板拼成如图所示的图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）
A.10° B.15° C.25° D.30°
6.如图，点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于点D，连接PC，∠l，∠2，∠A的大小关系是（ ）
A.∠A＞∠2＞∠l B.∠2＞∠A＞∠l
C.∠2＞∠l＞∠A D.∠l＞∠2＞∠A
7.如图，分别以△ABC的顶点为圆心，1cm长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为________cm2.
8.如图，△ABC中，∠A=44°，将△ABC沿EF折叠，点A落在点A＇处，则∠1＋∠2=_______°.
9.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B=35°，∠E=20°，求∠BAC的度数.
10.如图，△ABC中，D是BC边上一点，∠l=∠B，∠2=∠C，∠BAC=78°，求∠DAC的度数.
11.如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P.若∠A=70°，求∠P的度数.
1.[2018广东深圳实验学校课时作业]小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α＋∠β等于（ ）
A.180° B.210° C.360° D.270°
2.[2018江西吉安一中课时作业]三角形三个内角之比为1：2：3，则与这三个内角相邻的外角之比为________.
3.[2018山西朔州一中课时作业]如图，已知AE丄BC，AD平分∠BAE，∠ADB=110°，∠CAE=20°，求∠B和∠C的度数.
4.[2018河北唐山龙泉中学课时作业]某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°.当检验员量得∠BDC=145°时，就断定这个零件不合格，请你说明其中的理由.
5.[2018河南开封市四中课时作业]如图，BP，CP分别是△ABC的外角∠CBE，∠BCF的平分线，且交于点P，试探求∠A与∠P的数量关系，并证明你的结论.
6.[2018陕西宝鸡一中课时作业]探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图1的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整.
解：∵∠AFG=∠C＋∠E，∠AGF=∠B＋∠D.
∴∠AFG＋∠AGF=∠C＋∠E＋∠B＋∠D.
拓展：如图2，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数.
应用：如图3，小明将图2中的点A落在BE上，点C落在BD上，.若∠B=∠D=36°，则∠CAD＋∠ACE＋∠E=______.
参考答案
1.B
【解析】题图（1）中，∠1是△ABC的外角；题图（2）中，∠1是△ABD的外角；题图（3）中，∠1是△ABC的外角；题图（4）中，∠1是△ACE的外角.故选B.
2.C
【解析】若外角小于与它相邻的内角，则内角大于90°，外角小于90°，所以这个三角形中有一个内角为钝角，所以该三角形是钝角三角形.故选C.
3.C
【解析】∵∠ACD=120°，∠B=20°，∴∠A=∠ACD－∠B=120°－20°=100°.故选C.
4.D
【解析】如图，∵AB∥CD，∠3=∠AFC=∠l＋∠2.故选D.
5.B
【解析】由题意知∠EDC=60°，∠B=45°.因为∠EDC是△BFD的外角，所以∠BFD=∠EDC－∠B=60°－45°=15°.故选B.
6.D
【解析】根据三角形外角的性质可得∠1=∠2＋∠DCP，∠2=∠A＋∠ABD，所以∠1＞∠2＞∠A.故选D.
7.π
【解析】根据三角形的外角和等于360°，可知题图中三个扇形的面积恰好等于半径为1cm的圆的面积，所以图中阴影部分的面积为πcm2.
8.88
【解析】连接AA＇根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可知∠l＋∠2=∠BAA＇＋∠EA＇A＋∠FAA＇＋∠FA＇A=∠BAC＋∠EA＇F，∵∠BAC=∠EA＇F，∠BAC=44°，∴∠l＋∠2=2∠BAC=88°.
9.【解析】∵∠B=35°，∠E=20°，
∴∠ECD=∠B＋∠E=55°.
∵CE平分∠ACD，∴∠ACD=2∠ECD=2×55°=110°，
∴∠BAC=∠ACD－∠B=110°－35°=75°.
10.【解析】∵∠BAC＋∠B＋∠C=180°，
∴∠B＋∠C=180°－∠BAC=180°－78°=102°.
∵∠2=∠B＋∠l，∠l=∠B，∠C=∠2，∴∠C=2∠l，
∴∠B＋∠C=∠l＋2∠1=102°，∴∠l=34°，
∴∠DAC=∠BAC－∠l=78°－34°=44°.
11.【解析】∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A＋∠ABC=70°＋∠ABC.
∵CP是∠ACD的平分线，
∴∠DCP=∠ACD=(70°＋∠ABC)=35°＋∠ABC.
∵BP是∠ABC的平分线，∴∠CBP=∠ABC.
∵∠DCP是△BCP的外角，
∴∠DCP=∠CBP＋∠P=∠ABC＋∠P=∠ABC＋35°，
∴∠P=35°.
l.B
【解析】如图，∵∠α=∠D＋∠DGA=30°＋∠CGH，∠β=∠F＋∠FHB二90°＋∠CHG，∴∠α＋∠β=30°＋∠CGH＋90°＋∠CHG=120°＋(∠CGH＋∠CHG)=120°＋90°=210°.故选B.
2.5：4：3
【解析】设三角形三个内角分别为x，2x，3x，则x＋2x＋3x=180°，解得x=30°，则与三个内角相邻的外角的度数分别为180°－x=150°，180°－2x=120°，180°－3x=90°，它们的比为150°：120°：90°=5：4：3.
3.【解析】∵AE丄BC，∠CAE=20°，
∴∠C=90°－20°=70°.
∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠DAE.
∵∠ADB=110°，
∴∠DAE=∠ADB－∠AED=110°－90°=20°，
∴∠BAD=∠DAE=20°，
∴∠BAE=40°，∴∠B=90°－∠BAE=90°－40°=50°.
4.【解析】理由如下：
如图，延长CD交AB于点E.
∵∠BED=∠A＋∠C，
∠BDC=∠BED＋∠B，
∴∠BDC=∠A＋∠B＋∠C=90°＋32°＋21°=143°.
∵∠BDC=145°，∴这个零件不合格.
5.【解析】2∠P＋∠A=180°
证明：∵∠P＋∠PBC＋∠PCB=180°，
∴2∠P＋2∠PBC＋2∠PCB=360°
∵BP平分∠CBE，CP平分∠BCF，
∴∠CBE=2∠PBC，∠BCF=2∠PCB，
∵2∠P＋∠CBE＋∠BCF=360°，
又∠CBE=∠A＋∠ACB，∠BCF=∠A＋∠ABC，
∴2∠P＋(∠A＋∠ACB)＋(∠A＋∠ABC)=360°①，
又∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°②，
∴①—②得2∠P＋∠A=18°
6.【解析】
探究：需要补充的解题过程如下.
∵∠A＋∠AFG＋∠AGF=180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=180°，
又∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=36°.
拓展：∵∠AFG=∠C＋∠E，∠AGF=∠B＋∠D，
∴∠AFG＋∠AGF=∠C＋∠E＋∠B＋∠D.
∵∠A＋∠AFG＋∠AGF=180°，
∴∠A＋∠C＋∠E＋∠B＋∠D=180°，即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=180°.
应用：l08°
∵∠EAD=∠B＋∠D，∠CAE＋∠ACE＋∠E=180°，
∴∠CAD＋∠ACE＋∠E=180°－∠EAD=180°－∠B－∠D=108°.
名师点睛：掌握三角形内角和定理及三角形外角的性质是解题的关键.
11.2.3三角形的外角
知识点1三角形外角的定义
1.下列各图中，∠1是△ABC的外角的有（ ）
A.(l)(2) B.(l)(3) C.(2)(3) D.(2)(4)
2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
知识点2（三角形外角的性质）
3.[2017贵州黔东南州中考]如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A.120° B.90° C.100° D.30°
4.[2017四川凉山州中考]如图，AB∥CD，则下列式子一定成立的是（ ）
A.∠l=∠3 B.∠l=∠3 C.∠1=∠2＋∠3 D.∠3=∠1＋∠2
5.[2018山东临沂兰陵期中]一副直角三角板拼成如图所示的图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）
A.10° B.15° C.25° D.30°
6.如图，点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于点D，连接PC，∠l，∠2，∠A的大小关系是（ ）
A.∠A＞∠2＞∠l B.∠2＞∠A＞∠l
C.∠2＞∠l＞∠A D.∠l＞∠2＞∠A
7.如图，分别以△ABC的顶点为圆心，1cm长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为________cm2.
8.如图，△ABC中，∠A=44°，将△ABC沿EF折叠，点A落在点A＇处，则∠1＋∠2=_______°.
9.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B=35°，∠E=20°，求∠BAC的度数.
10.如图，△ABC中，D是BC边上一点，∠l=∠B，∠2=∠C，∠BAC=78°，求∠DAC的度数.
11.如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P.若∠A=70°，求∠P的度数.
1.[2018广东深圳实验学校课时作业]小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α＋∠β等于（ ）
A.180° B.210° C.360° D.270°
2.[2018江西吉安一中课时作业]三角形三个内角之比为1：2：3，则与这三个内角相邻的外角之比为________.
3.[2018山西朔州一中课时作业]如图，已知AE丄BC，AD平分∠BAE，∠ADB=110°，∠CAE=20°，求∠B和∠C的度数.
4.[2018河北唐山龙泉中学课时作业]某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°.当检验员量得∠BDC=145°时，就断定这个零件不合格，请你说明其中的理由.
5.[2018河南开封市四中课时作业]如图，BP，CP分别是△ABC的外角∠CBE，∠BCF的平分线，且交于点P，试探求∠A与∠P的数量关系，并证明你的结论.
6.[2018陕西宝鸡一中课时作业]探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图1的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整.
解：∵∠AFG=∠C＋∠E，∠AGF=∠B＋∠D.
∴∠AFG＋∠AGF=∠C＋∠E＋∠B＋∠D.
拓展：如图2，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数.
应用：如图3，小明将图2中的点A落在BE上，点C落在BD上，.若∠B=∠D=36°，则∠CAD＋∠ACE＋∠E=______.
参考答案
1.B
【解析】题图（1）中，∠1是△ABC的外角；题图（2）中，∠1是△ABD的外角；题图（3）中，∠1是△ABC的外角；题图（4）中，∠1是△ACE的外角.故选B.
2.C
【解析】若外角小于与它相邻的内角，则内角大于90°，外角小于90°，所以这个三角形中有一个内角为钝角，所以该三角形是钝角三角形.故选C.
3.C
【解析】∵∠ACD=120°，∠B=20°，∴∠A=∠ACD－∠B=120°－20°=100°.故选C.
4.D
【解析】如图，∵AB∥CD，∠3=∠AFC=∠l＋∠2.故选D.
5.B
【解析】由题意知∠EDC=60°，∠B=45°.因为∠EDC是△BFD的外角，所以∠BFD=∠EDC－∠B=60°－45°=15°.故选B.
6.D
【解析】根据三角形外角的性质可得∠1=∠2＋∠DCP，∠2=∠A＋∠ABD，所以∠1＞∠2＞∠A.故选D.
7.π
【解析】根据三角形的外角和等于360°，可知题图中三个扇形的面积恰好等于半径为1cm的圆的面积，所以图中阴影部分的面积为πcm2.
8.88
【解析】连接AA＇根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可知∠l＋∠2=∠BAA＇＋∠EA＇A＋∠FAA＇＋∠FA＇A=∠BAC＋∠EA＇F，∵∠BAC=∠EA＇F，∠BAC=44°，∴∠l＋∠2=2∠BAC=88°.
9.【解析】∵∠B=35°，∠E=20°，
∴∠ECD=∠B＋∠E=55°.
∵CE平分∠ACD，∴∠ACD=2∠ECD=2×55°=110°，
∴∠BAC=∠ACD－∠B=110°－35°=75°.
10.【解析】∵∠BAC＋∠B＋∠C=180°，
∴∠B＋∠C=180°－∠BAC=180°－78°=102°.
∵∠2=∠B＋∠l，∠l=∠B，∠C=∠2，∴∠C=2∠l，
∴∠B＋∠C=∠l＋2∠1=102°，∴∠l=34°，
∴∠DAC=∠BAC－∠l=78°－34°=44°.
11.【解析】∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A＋∠ABC=70°＋∠ABC.
∵CP是∠ACD的平分线，
∴∠DCP=∠ACD=(70°＋∠ABC)=35°＋∠ABC.
∵BP是∠ABC的平分线，∴∠CBP=∠ABC.
∵∠DCP是△BCP的外角，
∴∠DCP=∠CBP＋∠P=∠ABC＋∠P=∠ABC＋35°，
∴∠P=35°.
l.B
【解析】如图，∵∠α=∠D＋∠DGA=30°＋∠CGH，∠β=∠F＋∠FHB二90°＋∠CHG，∴∠α＋∠β=30°＋∠CGH＋90°＋∠CHG=120°＋(∠CGH＋∠CHG)=120°＋90°=210°.故选B.
2.5：4：3
【解析】设三角形三个内角分别为x，2x，3x，则x＋2x＋3x=180°，解得x=30°，则与三个内角相邻的外角的度数分别为180°－x=150°，180°－2x=120°，180°－3x=90°，它们的比为150°：120°：90°=5：4：3.
3.【解析】∵AE丄BC，∠CAE=20°，
∴∠C=90°－20°=70°.
∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠DAE.
∵∠ADB=110°，
∴∠DAE=∠ADB－∠AED=110°－90°=20°，
∴∠BAD=∠DAE=20°，
∴∠BAE=40°，∴∠B=90°－∠BAE=90°－40°=50°.
4.【解析】理由如下：
如图，延长CD交AB于点E.
∵∠BED=∠A＋∠C，
∠BDC=∠BED＋∠B，
∴∠BDC=∠A＋∠B＋∠C=90°＋32°＋21°=143°.
∵∠BDC=145°，∴这个零件不合格.
5.【解析】2∠P＋∠A=180°
证明：∵∠P＋∠PBC＋∠PCB=180°，
∴2∠P＋2∠PBC＋2∠PCB=360°
∵BP平分∠CBE，CP平分∠BCF，
∴∠CBE=2∠PBC，∠BCF=2∠PCB，
∵2∠P＋∠CBE＋∠BCF=360°，
又∠CBE=∠A＋∠ACB，∠BCF=∠A＋∠ABC，
∴2∠P＋(∠A＋∠ACB)＋(∠A＋∠ABC)=360°①，
又∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°②，
∴①—②得2∠P＋∠A=18°
6.【解析】
探究：需要补充的解题过程如下.
∵∠A＋∠AFG＋∠AGF=180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=180°，
又∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=36°.
拓展：∵∠AFG=∠C＋∠E，∠AGF=∠B＋∠D，
∴∠AFG＋∠AGF=∠C＋∠E＋∠B＋∠D.
∵∠A＋∠AFG＋∠AGF=180°，
∴∠A＋∠C＋∠E＋∠B＋∠D=180°，即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=180°.
应用：l08°
∵∠EAD=∠B＋∠D，∠CAE＋∠ACE＋∠E=180°，
∴∠CAD＋∠ACE＋∠E=180°－∠EAD=180°－∠B－∠D=108°.
名师点睛：掌握三角形内角和定理及三角形外角的性质是解题的关键.