【开学季 分层作业】11.1 .2三角形的高、中线与角平分线 同步学案
文档属性
| 名称 | 【开学季 分层作业】11.1 .2三角形的高、中线与角平分线 同步学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-28 10:45:28 | ||
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文档简介
人教版八年级数学上册开学季（第十一章 三角形）分层作业
11.1 .2三角形的高、中线与角平分线
知识点1三角形的高
1.[2018广西南宁期中]下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
2.[2018福建龙岩上杭东南片区联考]如图，AE⊥BC，交BC的延长线于点E，BF丄AC，交AC的延长线于点F，CD丄AB于点D，则△ABC边上的高是（ ）
A.AE B.CD C.BF D.AF
3.下列说法中正确的是（ ）
A.三角形的三条高都在三角形内
B.直角三角形只有一条高
C.锐角三角形的三条高都在三角形内
D.三角形每一边上的高都小于其他两边
4.若一个三角形的三边的比是5：6：7，这三条边上的高的比是（ ）
A.7：6：5 B.5：6：7 C.13：12：11 D.42：35：30
5.[2017山东济宁邹城八月月考]如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm.
（1）求△ABC的面积；
（2）求CD的长.
知识点2（三角形的中线）
6.如图，D为AC上一点，AD=DC，E为BC上一点，BE=EC，则下列说法不正确的是（ ）
A.DE是△BDC的中线
B.BD是△ABC的中线
C.D为AC的中点，E为BC的中点
D.DE是△ABC的中线
7.[2017江西宜春三中期中]三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个（ ）
A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形
C.直角三角形 D.周长相等的三角形
8.[2017河北承德兴隆三道河中学月考]如图，BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD周长之差是（ ）
A.2 B.3 C.6 D.不能确定
9.已知三角形的三条中线交于点P，则下列结论：①点P在三角形的内部；②点P可能在三角形的外部；③点P是三角形的重心.其中正确的是________.(填序号）
10.如图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE=4cm2，则S△ABC=______cm2
知识点3（三角形的角平分线）
11.如图，∠l=∠2，∠3=∠4，下列结论中错误的是（ ）
A.BD是△ABC的角平分线
B.CE是△BCD的角平分线
C.∠3=∠ACB
D.CE是△ABC的角平分线
12.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，则∠ADE度数是______.
13.如图，已知AE平分∠BAC，且∠l=∠2=∠4=15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线.
1.[2018吉林七中课时作业]如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下列说法正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.[2018天津一中课时作业]△ABC的两条高分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高是（ ）
A.4 B.4或5 C.5或6 D.6
3.[2018福建福州三牧中学]如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=8cm2，则图中阴影部分△BEF的面积等于（ ）
A.1cm2 B.2cm2 C.4cm2 D.6cm2
4.[2018广东实验中学课时作业]已知△ABC中，AB=AC，周长为24，边AC上的中线BD把△ABC分成周长差为6的两个三角形，则△ABC各边的长分别为_______.
5.[2018海南华侨中学课时作业]如图，有一块三角形优良品种试验基地.由于引进的四个优良品种需要进行对比试验，故需将这块土地分成面积相等的四块，请你制订出三种划分方案以供选择.（画图说明）
6.[2018河南郑州外国语中学课时作业]如图，△ABC为钝角三角形.
（1）作出△ABC的高AM，CN.
（2）若CN=3，AM=6，求BC与AB的比值.
7.[2018河北衡水三中课时作业]如图，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是边AC，AB上的点，且DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.
（1）证明：DO是△EDF的角平分线；
（2）若将（1）中结论与“AD是△ABC的角平分线”，“DE∥AB”，“DF∥AC”中的任何一个条件交换，所得命题正确吗？请选择一个证明.
参考答案
1.D
【解析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段就是三角形的高.结合选项，可知选项D中线段是△ABC的高.故选D.
2.C
【解析】由题意，得在△ABC中，AB边上的高是CD，BC边上的高是AE，AC边上的高是BF.故选C.
3.C
【解析】根据三角形高的定义可知，锐角三角形的三条高都在三角形内，直角三角形有两条高在直角边上、一条高在三角形内，钝角三角形有两条高在三角形外、一条高在三角形内，所以A，B错误，C正确；在等腰直角三角形中，直角边上的高与另一直角边长度相等，所以D错误.故选C.
4.D
【解析】设这个三角形的面积为S，三边长分别为5x，6x，7x，则
三边上的高分别为，，.因为：：=：：=42：35：30，所以这三条边上的高的比为42：35：30.故选D.
5.【解析】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，
因此S△ABC=AC?BC=×5×12=30(cm2).
（2）∵CD是AB边上的高，∴S△ABC=AB?CD，
∴×l3×CD=30，∴CD=cm，
∴CD的长是cm.
6.D
【解析】选项A，因为BE=EC，所以DE是△BDC的中线，选项A正确；选项B，因为AD=DC，所以BD是△ABC的中线，选项B正确；选项C，因为AD=DC，所以D为AC的中点，因为BE=EC，所以E为BC的中点，选项C正确.故选D.
7.B
【解析】因为三角形一边上的中线把原三角形分成了两个等底同高的三角形，所以这两个三角形的面积相等.故选B.
8.A
【解析】∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长之差为(AB＋BD＋AD)－(BC＋BD＋CD)=AB－BC，又AB=5，BC=3，∴△ABD和△BCD的周长之差为5－3=2.故选A.
9.①③
10.16
【解析】因为CE是△ACD的中线，所以S△ACD=2S△ACE=8cm2.因为AD是△ABC的中线，所以S△ABC=2S△ADC=16cm2.
11.D
【解析】三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.由此可知BD是△ABC的角平分线，CE是△BCD的角平分线，所以A，B，C正确，D错误.故选D.
12.40°
【解祈】∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD.
∵AD平分∠BAC，∠BAC=80°，∴∠BAD=40°，∴∠ADE=∠BAD=40°.
13.【解析】因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE.
因为∠1=∠2=15°，所以∠BAE=∠1＋∠2=15°＋15°=30°，
所以∠CAE=∠BAE=30°，即∠CAE=∠4＋∠3=30°，
又∠4=15°，所以∠3=15°，
所以∠2=∠3=15°，所以AE是△DAF的角平分线.
1.B
【解析】由∠l=∠2知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，故①错误；BE经过△ABD的边AD的中点G，但BE不是△ABD内的线段，故②错误；由CF丄AD于点H，知CH是△ACD的边AD上的高，故③正确；因为AH平分∠FAC，且点H在△AFC的边FC上，所以AH为△AFC的角平分线，又AH丄FC，故AH也为△AFC的高，所以④正确.故选B.
2.B
【解析】设边BC上的高为4，边AC上的高为12，边AB上的高为h，则△ABC的面积S=×4×BC=×12×AC=×AB×h，所以BC=，AC=，AB=.根据三角形的三边关系，得＜AB＜，即＜＜，所以3＜h＜6，又h是整数，所以h=4或5.故选B.
3.B
【解析】∵点E是AD的中点，∴S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC，∴S△ABE＋S△ACE=S△ABC=×8=4(cm2)，∴S△BCE=8－4=4(cm). ∵点F是CE的中点，∴S△BEF=S△BCE=×4=2(cm2).故选B.
名师点睛：本题考查了三角形面积的求法，主要利用了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，数学原理为等底同高的两个三角形面积相等.
4. 10,10,4
【解析】分类讨论：（1）若AB＞BC，则AB－BC=6①，且2AB＋BC=24②，联立①②，解得AB=10，BC=4，经检验，10，10，4能组成三角形；（2）若AB＜BC，则BC－AB=6③，联立③②，解得AB=6，BC=12，经检验，6，6，12不能组成三角形.综上可得△ABC的各边长分别为10，10，4.
5.【解析】方案一：如图1，在BC上依次取点D，E，F，使BD=DE=EF=FC，连接AD，AE，AF.
方案二：如图2，分别取AB，BC，CA的中点D，E，F，连接DE，EF，DF.
方案三：如图3，分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD，AE，AF.
(答案不唯一，符合要求即可）
6.【分析】(1)过点A作AM丄BC，交BC的延长线于点M，过点C作CN丄AB于点N，则AM，CN为△ABD的高；（2）根据三角形面积公式，得AM?BC=CN?AB，然后利用等式的性质求BC与AB的比值.
【解析】（1）如图，∵AM，CN为所求.
（2）∵AM，CN为△ABC的高，
∴S△ABC=AM?BC=CN?AB，
∴AM?BC=CN?AB
∵CN=3，AM=6，6BC=3AB，
∴=
7.【解析】（1）如图，∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1=∠2.
∵DE∥AB，∴∠3=∠2.
∵DF∥AC，∴∠1=∠4，
∴∠3=∠4，∴DO是∠EDF的平分线.-
∴DO是△EDF的角平分线.
(2)所得命题正确.如：“DO是△EDF的角平分线”与“DF∥AC”交换.证明过程如下：
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2.
∵DE∥AB，∴∠3=∠2.
∵DO是∠EDF的平分线，∴∠3=∠4.
∴∠l=∠4，
∴DF∥AC.
(答案不唯一）
11.1 .2三角形的高、中线与角平分线
知识点1三角形的高
1.[2018广西南宁期中]下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
2.[2018福建龙岩上杭东南片区联考]如图，AE⊥BC，交BC的延长线于点E，BF丄AC，交AC的延长线于点F，CD丄AB于点D，则△ABC边上的高是（ ）
A.AE B.CD C.BF D.AF
3.下列说法中正确的是（ ）
A.三角形的三条高都在三角形内
B.直角三角形只有一条高
C.锐角三角形的三条高都在三角形内
D.三角形每一边上的高都小于其他两边
4.若一个三角形的三边的比是5：6：7，这三条边上的高的比是（ ）
A.7：6：5 B.5：6：7 C.13：12：11 D.42：35：30
5.[2017山东济宁邹城八月月考]如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm.
（1）求△ABC的面积；
（2）求CD的长.
知识点2（三角形的中线）
6.如图，D为AC上一点，AD=DC，E为BC上一点，BE=EC，则下列说法不正确的是（ ）
A.DE是△BDC的中线
B.BD是△ABC的中线
C.D为AC的中点，E为BC的中点
D.DE是△ABC的中线
7.[2017江西宜春三中期中]三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个（ ）
A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形
C.直角三角形 D.周长相等的三角形
8.[2017河北承德兴隆三道河中学月考]如图，BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD周长之差是（ ）
A.2 B.3 C.6 D.不能确定
9.已知三角形的三条中线交于点P，则下列结论：①点P在三角形的内部；②点P可能在三角形的外部；③点P是三角形的重心.其中正确的是________.(填序号）
10.如图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE=4cm2，则S△ABC=______cm2
知识点3（三角形的角平分线）
11.如图，∠l=∠2，∠3=∠4，下列结论中错误的是（ ）
A.BD是△ABC的角平分线
B.CE是△BCD的角平分线
C.∠3=∠ACB
D.CE是△ABC的角平分线
12.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，则∠ADE度数是______.
13.如图，已知AE平分∠BAC，且∠l=∠2=∠4=15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线.
1.[2018吉林七中课时作业]如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下列说法正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.[2018天津一中课时作业]△ABC的两条高分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高是（ ）
A.4 B.4或5 C.5或6 D.6
3.[2018福建福州三牧中学]如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=8cm2，则图中阴影部分△BEF的面积等于（ ）
A.1cm2 B.2cm2 C.4cm2 D.6cm2
4.[2018广东实验中学课时作业]已知△ABC中，AB=AC，周长为24，边AC上的中线BD把△ABC分成周长差为6的两个三角形，则△ABC各边的长分别为_______.
5.[2018海南华侨中学课时作业]如图，有一块三角形优良品种试验基地.由于引进的四个优良品种需要进行对比试验，故需将这块土地分成面积相等的四块，请你制订出三种划分方案以供选择.（画图说明）
6.[2018河南郑州外国语中学课时作业]如图，△ABC为钝角三角形.
（1）作出△ABC的高AM，CN.
（2）若CN=3，AM=6，求BC与AB的比值.
7.[2018河北衡水三中课时作业]如图，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是边AC，AB上的点，且DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.
（1）证明：DO是△EDF的角平分线；
（2）若将（1）中结论与“AD是△ABC的角平分线”，“DE∥AB”，“DF∥AC”中的任何一个条件交换，所得命题正确吗？请选择一个证明.
参考答案
1.D
【解析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段就是三角形的高.结合选项，可知选项D中线段是△ABC的高.故选D.
2.C
【解析】由题意，得在△ABC中，AB边上的高是CD，BC边上的高是AE，AC边上的高是BF.故选C.
3.C
【解析】根据三角形高的定义可知，锐角三角形的三条高都在三角形内，直角三角形有两条高在直角边上、一条高在三角形内，钝角三角形有两条高在三角形外、一条高在三角形内，所以A，B错误，C正确；在等腰直角三角形中，直角边上的高与另一直角边长度相等，所以D错误.故选C.
4.D
【解析】设这个三角形的面积为S，三边长分别为5x，6x，7x，则
三边上的高分别为，，.因为：：=：：=42：35：30，所以这三条边上的高的比为42：35：30.故选D.
5.【解析】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，
因此S△ABC=AC?BC=×5×12=30(cm2).
（2）∵CD是AB边上的高，∴S△ABC=AB?CD，
∴×l3×CD=30，∴CD=cm，
∴CD的长是cm.
6.D
【解析】选项A，因为BE=EC，所以DE是△BDC的中线，选项A正确；选项B，因为AD=DC，所以BD是△ABC的中线，选项B正确；选项C，因为AD=DC，所以D为AC的中点，因为BE=EC，所以E为BC的中点，选项C正确.故选D.
7.B
【解析】因为三角形一边上的中线把原三角形分成了两个等底同高的三角形，所以这两个三角形的面积相等.故选B.
8.A
【解析】∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长之差为(AB＋BD＋AD)－(BC＋BD＋CD)=AB－BC，又AB=5，BC=3，∴△ABD和△BCD的周长之差为5－3=2.故选A.
9.①③
10.16
【解析】因为CE是△ACD的中线，所以S△ACD=2S△ACE=8cm2.因为AD是△ABC的中线，所以S△ABC=2S△ADC=16cm2.
11.D
【解析】三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.由此可知BD是△ABC的角平分线，CE是△BCD的角平分线，所以A，B，C正确，D错误.故选D.
12.40°
【解祈】∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD.
∵AD平分∠BAC，∠BAC=80°，∴∠BAD=40°，∴∠ADE=∠BAD=40°.
13.【解析】因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE.
因为∠1=∠2=15°，所以∠BAE=∠1＋∠2=15°＋15°=30°，
所以∠CAE=∠BAE=30°，即∠CAE=∠4＋∠3=30°，
又∠4=15°，所以∠3=15°，
所以∠2=∠3=15°，所以AE是△DAF的角平分线.
1.B
【解析】由∠l=∠2知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，故①错误；BE经过△ABD的边AD的中点G，但BE不是△ABD内的线段，故②错误；由CF丄AD于点H，知CH是△ACD的边AD上的高，故③正确；因为AH平分∠FAC，且点H在△AFC的边FC上，所以AH为△AFC的角平分线，又AH丄FC，故AH也为△AFC的高，所以④正确.故选B.
2.B
【解析】设边BC上的高为4，边AC上的高为12，边AB上的高为h，则△ABC的面积S=×4×BC=×12×AC=×AB×h，所以BC=，AC=，AB=.根据三角形的三边关系，得＜AB＜，即＜＜，所以3＜h＜6，又h是整数，所以h=4或5.故选B.
3.B
【解析】∵点E是AD的中点，∴S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC，∴S△ABE＋S△ACE=S△ABC=×8=4(cm2)，∴S△BCE=8－4=4(cm). ∵点F是CE的中点，∴S△BEF=S△BCE=×4=2(cm2).故选B.
名师点睛：本题考查了三角形面积的求法，主要利用了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，数学原理为等底同高的两个三角形面积相等.
4. 10,10,4
【解析】分类讨论：（1）若AB＞BC，则AB－BC=6①，且2AB＋BC=24②，联立①②，解得AB=10，BC=4，经检验，10，10，4能组成三角形；（2）若AB＜BC，则BC－AB=6③，联立③②，解得AB=6，BC=12，经检验，6，6，12不能组成三角形.综上可得△ABC的各边长分别为10，10，4.
5.【解析】方案一：如图1，在BC上依次取点D，E，F，使BD=DE=EF=FC，连接AD，AE，AF.
方案二：如图2，分别取AB，BC，CA的中点D，E，F，连接DE，EF，DF.
方案三：如图3，分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD，AE，AF.
(答案不唯一，符合要求即可）
6.【分析】(1)过点A作AM丄BC，交BC的延长线于点M，过点C作CN丄AB于点N，则AM，CN为△ABD的高；（2）根据三角形面积公式，得AM?BC=CN?AB，然后利用等式的性质求BC与AB的比值.
【解析】（1）如图，∵AM，CN为所求.
（2）∵AM，CN为△ABC的高，
∴S△ABC=AM?BC=CN?AB，
∴AM?BC=CN?AB
∵CN=3，AM=6，6BC=3AB，
∴=
7.【解析】（1）如图，∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1=∠2.
∵DE∥AB，∴∠3=∠2.
∵DF∥AC，∴∠1=∠4，
∴∠3=∠4，∴DO是∠EDF的平分线.-
∴DO是△EDF的角平分线.
(2)所得命题正确.如：“DO是△EDF的角平分线”与“DF∥AC”交换.证明过程如下：
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2.
∵DE∥AB，∴∠3=∠2.
∵DO是∠EDF的平分线，∴∠3=∠4.
∴∠l=∠4，
∴DF∥AC.
(答案不唯一）