课件17张PPT。二次函数的应用(一)
最优化问题
二次函数的三种式一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k
交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（8,0），顶点是（6,-12），求这个二次函数的解析式。
新课引入当x=2时,y=-1当x=3时,y=2最高点最低点●●亮出你的风采 二次函数最值的理论新课引入整理后得 例1 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地 的面积 S 最大？ 解： ， ∴ 当 时， S 有最大值为 ．当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．（0＜l＜30）． 例题分析 最值应用题——面积最大 学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面
墙，围成一个矩形花坛，如图所示，学校现已备足
可以砌100m长的墙的材料，怎样砌法，才能使矩
形花坛的面积最大？活动探究 学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面
墙，围成一个矩形花坛，如图所示，学校现已备足
可以砌100m长的墙的材料，怎样砌法，才能使矩
形花坛的面积最大？何时面积最大？(1)与围墙相对的一面墙的长度为: (2)这时矩形花坛的面积为: (3)如果设矩形花坛的面积为s，则s与x之间的
函数关系式为:
●设与围墙相邻的每一面墙的长度为x米，那么怎样确定x的取值范围 二次函数是否有最大值，为什么？如果有最大值，如何求得？即表示当X=25时，s达到最大值1250 所以当与围墙相邻的每一面墙的长度
为25m,与围墙相对的一面墙的长度为50m
时,矩形花坛的面积最大，达到1250㎡.亮出你的风采 例2 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系是h=30t-5t2（0≤t≤6）.小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 新课引入 最值应用题——运动问题h=30t-5t2（0≤t≤6）345 新课引入 小球运动的时间是 3 s 时，小球最高．
小球运动中的最大高度是 45 m．1.已知直角三角形的两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？解：设其中一条直角边的长为x，另一条直角边为（8-x）.则直角三角形的面积: . 对称轴：x=4， 顶点坐标：（4,8）所以，当两直角边长都为4m时，面积最大为8m2.= 课堂练习 2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积. 课堂练习解: (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0 ∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米 ∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6 课堂练习 窗户是一幢建筑最重要的标志之一，我们每个人的家里都有窗户，我们小时候还经常爬在窗户前数星星，某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有粗线的长度和）是２１米，怎样设计窗户才能使窗户通过的光线最多( ＝３)亮出你的风采分析：设AD=xm，窗户通光面积为y㎡
则半圆部分所用材料长为：当X=3.36m时，
y的最大值为35.28㎡
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。解这类题目的一般步骤 新课讲解课件27张PPT。二次函数的应用(二)
桥梁建筑问题
121或－15、已知如图A（1，1），AB=3，AB∥x轴OxyAB则点B的坐标为__________.（4，1）例1：如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x2+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称． ⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
⑶你是怎样计算的？与同伴交流.⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴交流.可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流.想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗? ⑶你还有其它方法吗？与同伴交流.直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离． 练习:如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处B（1，2.25），则该抛物线的解析式为 ,如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要 ,米，才能使喷出的水流不致落到池外。 ．练习:如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处B（1，2.25），则该抛物线的解析式为 ,如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要 ,米，才能使喷出的水流不致落到池外。 y= －(x-1)2 +2.252.5 ．引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？1、求点A、B、C的坐标.2、求过点A、B、C的抛物线的函数解析式.3、你能算出丁的身高吗？引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？4、若现有一身高为1.625m的同学也想参加这个活动，请问他能参加这个活动吗？若能，则他应离甲多远的地方进入？若不能，请说明理由？若身高为1.7m呢？∴该同学应该在离甲同学1.5m至2.5m处.·例1：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．（2）求此抛物线的解析式；（3）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km（桥长忽略不计）货车以 40km／h的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点E时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？例1：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．解：（1）B（10，0），D（5，3）设货车速度为x km／h，能安全通过此桥.则4x+40≥280 解得x≥60故速度不小于60km／h，货车能安全通过此桥。（4）现有一艘载有救援物质的货船，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km，货船以 40km／h的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在AB处，当水位到达CD时，禁止船只通行）试问：如果货船按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货船安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？例：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．例2：
如图，一单杠高2.2米，两立柱
之间的距离为1.6米，将一根绳子的
两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子
自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米
的小孩站在离立柱0.4米处，其头部
刚好触上绳子，求绳子最低点到地
面的距离。
如图，一单杠高2.2米，两立柱
之间的距离为1.6米，将一根绳子的
两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子
自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米
的小孩站在离立柱0.4米处，其头部
刚好触上绳子，求绳子最低点到地
面的距离。
如图，一单杠高2.2米，两立柱
之间的距离为1.6米，将一根绳子的
两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子
自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米
的小孩站在离立柱0.4米处，其头部
刚好触上绳子，求绳子最低点到地
面的距离。
解 ：如图，所以，绳子最低点到地面
的距离为 0.2米. 以CD所在的直线为X轴，CD的中垂线为Y轴建立
直角坐标系， 则 B（0.8, 2.2），F（- 0.4, 0.7）
例3：如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度
移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，
几秒后ΔPBQ的面积最大？
最大面积是多少？PQ解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大AP=2x cm PB=（8-2x ） cm QB=x cm则 y=1/2 x（8-2x）=-x2 +4x=-（x2 -4x +4 -4）= -（x - 2）2 + 4所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大
最大面积是 4 cm2（0 销售问题
复习回顾1、二次函数 的图象是一条
，它的对称轴是 ，顶点
坐标是 . 2、二次函数 的对称轴是 ,
顶点坐标是 ，当x= 时，y的最
值是 .抛物线x=h（h，k）x=3（3,5）3小53、二次函数 的对称轴是 ,
顶点坐标是 ，当x= 时，y的最
值是 .4、二次函数 的图象是一条
，它的对称轴是 ，顶点
坐标是 . 当a>0时，开口向 ，有
最 点，函数有最 值，是 .当a<0时，
开口向 ，有最 点，函数有最 值，
是 . x=-3（-3,-1）-3大-1抛物线上低小下高大5、二次函数 的对称轴是 ,
顶点坐标是 ，当x= 时，y的最
值是 .6、关于销售问题的一些等量关系.（单件商品）利润=售价—进价总利润=单件商品利润×销售量x=2(2,1)2小1知识准备：某商品成本为20元，售价为30元，卖出200件，
则利润为 元，①若价格上涨x元，则利润为 元； ②若价格下降x元，则利润为 元； ③若价格每上涨1元，销售量减少10件，现
价格上涨x元，则销售量为 件，
利润为 元； ④若价格每下降1元，销售量增加20件，现
价格下降x元，则销售量为 件，
利润为 元； 2000200（10+x） 200（10-x）（200-10x）(10+x)(200-10x)(200+20x)(10-x)(200+20x) 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。 如果你去买商品，你会选买哪一家的？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格?，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？分析：没调价之前商场一周的利润为 元；设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示为
件，一周的利润可表示为
元，要想获得6090元利润可列方程 。 6000 （20+x）（300-10x） (20+x)( 300-10x) (20+x)( 300-10x) =6090 自主探究 已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格?，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？ 若设销售单价x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示
为 件，一周的利润可表示
为 元，要想获得6090元利润可列方程 . （x-40）[300-10(x-60) ](x-40)[300-10(x-60)] (x-40)[300-10(x-60)]=6090
问题2.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格?，每涨价一元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？合作交流解：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 件，实际卖出 件,销额为 元,
买进商品需付 元因此，所得利润为 10x(300-10x)(60+x)(300-10x)40(300-10x)y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)(0≤X≤30)怎样确定x的取值范围？所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元。问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格?，每降价一元，每星期可多卖出18件。如何定价才能使利润最大？解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300+18x)元，因此，得利润(0≤x≤20)答：定价为 元时，利润最大，最大利润为6050元 怎样确定x的取值范围？
问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在
的售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格?，每涨价一元，
每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期
可多卖出18件。如何定价才能使利润最大？ 答:综合以上两种情况，定价为65元时可
获得最大利润为6250元.
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。解这类题目的一般步骤 某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则
y=(x+30-20)(400-20x) (x≥30)
=-20x2+200x+4000
=-20(x-5)2+4500
∴当x=5时，y最大 =4500
答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元我来当老板牛刀小试 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.若每个橙子市场售价约2元，问增种多少棵橙子树，果园的总产值最高，果园的总产值最高约为多少？创新学习解：设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产
量为y个，则所以，当x=10时， ＝60500y最大 所以，60500 ×2＝121000元答：增种10棵橙子树，果园的总产值最高，果园的总产值最高约为121000元。1.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格?，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？ 在上题中,若商场规定试销期间获利不得低于40%又不得高于60%，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？能力拓展解：设商品售价为x元，则x的取值范围
为40(1＋40%)≤x≤40(1＋60%)
即56≤x≤64若涨价促销,则利润
y=(x-40)[300-10(x-60)]
=(x-40)(900-10x)
=-10x 2 ＋ 1300x-36000
=-10[(x-65)2-4225]-36000
=-10(x-65)2+6250
∵60≤x≤64
∴由函数图像或增减性知
当x=64时y最大,最大值为6250元若降价促销,则利润
y=(x-40)[300+20(60-x)]
=(x-40)(1500-20x)
=-20(x2-115x+3000)
=-20(x-57.5)2+6125
∵56≤x≤60
∴由函数图像或增减性知
当x=57.5时y最大,最大值为6125元综上所述，当销售单价定64元时，商场可获得最大利润，最大利润为6250元 2.(某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为x元(x≥50)，一周的销售量为y件．
(1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围)(2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？
(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
中考链接解：（1）y=500－10(x－50) =1000-10x(50≤x≤100) （2）S=(x－40)(1000-10x)
=－10x2＋1400x-40000
=－10(x－70)2+9000
当50≤x≤70时，利润随着单价的增大而增大. （3）－10x2＋1400x-40000=8000
解得：x1=60,x2=80
当x=60时，成本=40×[500－10（60－50）]
=16000＞10000不符要求,舍去.
当x=80时，成本=40×[500－10（80－50）]
=8000＜10000符合要求．
所以销售单价应定为80元，才能使一周销售利润达到8000元的同时，投入不超过10000 元． 问题1.已知某商品的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格?，每涨价1元，每星期要少卖出10件。已知商品进价为每件40元，该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？问题2.已知某商品的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格?，每降价1元，每星期要多卖出20件。已知商品进价为每件40元，该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？例3 某商品的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格?，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期要多卖出20件。已知商品进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 例题分析 最值应用题——销售问题解：（1）设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.y =(60-40+x)(300-10x)
=(20+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x2-10x ) +6000
=-10［(x-5)2-25 ］+6000
=-10(x-5)2+6250当x=5时，y的最大值是6250.定价:60+5=65（元）(0≤x≤30) 例题分析怎样确定x的取值范围（2）解:设每件降价x元时的总利润为y元.y=(60-40-x)(300+20x)
=(20-x)(300+20x)
=-20x2+100x+6000
=-20（x2-5x-300）
=-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20）
所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元. 答:综合以上两种情况，定价为65元时可
获得最大利润为6250元.怎样确定x的取值范围 例题分析 某商场经营T恤衫，已知成批购进时 单价是80元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单 价是100元时，销售量是100件，而单价每降低1元,就可以多售出10件，如何确定销售单价，可以获利最多活动探究解：设总利润为y元，依题意，答：当销售单价是95元时，可以获得最大利润，
最大利润是2250元
