陕西省西安市蓝田县2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试卷 Word版含解析

蓝田县2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.等于（ ）
A. B. C. D.
2.复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.用反证法证明“”时，应假设（ ）
A. B.
C. D.
4.在一组样本数据不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A. 3 B. 0 C. D. 1
5.完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）
A. 5种 B. 4种 C. 9种 D. 20种
6.下列求导运算的正确是（ ）
A. 为常数 B.
C. D.
7.已知随机变量服从正态分布，则等于（ ）
A. B. C. D.
8.某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（ ）
A. 8种 B. 15种 C. 种 D. 种
9.已知具有线性相关关系的两个变量，的一组数据如下表：

2
4
5
6
8

20
40
60
70
80
根据上表，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则的值为（ ）
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5
10.盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（　　）
A. B. C. D.
11.周末，某高校一学生宿舍有甲乙丙丁四位同学分别在做不同的四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：
①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐；
③如果甲不在听音乐，那么丁也不在写信； ④丙不在看书，也不在写信.
已知这些判断都是正确的，依据以上判断，乙同学正在做的事情是（ ）
A. 玩游戏 B. 写信 C. 听音乐 D. 看书
12.在下面的四个图象中，其中一个图象是函数的导数的图象，则等于（ ）
A. B. C. 或 D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设函数可导，若，则__________．
14.已知随机变量，则的值为__________．
15.由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为__________．
16.已知定义域为的偶函数的导函数为，对任意，均满足：.若，则不等式的解集是__________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
18.已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为.
（I）求的值；
（II）求的展开式中的常数项.
19.已知函数对任意实数都有，且.
（I）求的值，并猜想的表达式；
（II）用数学归纳法证明（I）中的猜想.
20.中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图如图所示, 支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表：
年龄（岁）
支持“延迟退休年龄政策”人数
15
5
15
28
17
（I）由以上统计数据填写下面列联表；
年龄低于45岁的人数
年龄不低于45岁的人数
总计
支持
不支持
总计
（II）通过计算判断是否有的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
参考公式：
21.已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
22.某小组共有10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动1次的有2人、2次的有4人、3次的有4人.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（I）设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；
（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.
答案与解析
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据排列数的定义求解.
【详解】，故选A.
【点睛】本题考查排列数的定义.
2.复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
把复数化简为一般形式即可求解.
【详解】因为，所以复数对应的点为，在第四象限，故选D.
【点睛】本题考查复数的运算及复数的几何意义.
3.用反证法证明“”时，应假设（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即可得出正确选项．
【详解】根据反证法的步骤，假设是对原命题的否定，P（x0）成立的否定是使得P（x0）不成立，即用反证法证明“?x∈R，2x＞0”，应假设为?x0∈R，0
故选：A．
【点睛】本题考查反证法的概念，全称命题的否定，注意 “ 改量词否结论”
4.在一组样本数据不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A. 3 B. 0 C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据回归直线方程可得相关系数．
【详解】根据回归直线方程是
可得这两个变量是正相关，故这组样本数据的样本相关系数为正值，
且所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线上，则有|r|＝1，
∴相关系数r＝1．
故选：D．
【点睛】本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解题的关键．
5.完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）
A. 5种 B. 4种 C. 9种 D. 20种
【答案】C
【解析】
【分析】
分成两类方法相加.
【详解】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C.
【点睛】本题考查分类加法计数原理.
6.下列求导运算的正确是（ ）
A. 为常数 B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据常用函数的求导公式.
【详解】因为（为常数），，
，，
所以，选项B正确.
【点睛】本题考查常用函数的导数计算.
7.已知随机变量服从正态分布，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正态分布的性质求解.
【详解】因为随机变量服从正态分布，所以分布列关于对称，
又所有概率和为1，所以.
故选D.
【点睛】本题考查正态分布的性质.
8.某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（ ）
A. 8种 B. 15种 C. 种 D. 种
【答案】C
【解析】
由题意得，每一封不同的电子邮件都有三种不同的投放方式，所以把封电子邮件投入个不同的邮箱，共有种不同的方法，故选C.
9.已知具有线性相关关系的两个变量，的一组数据如下表：

2
4
5
6
8

20
40
60
70
80
根据上表，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则的值为（ ）
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5
【答案】B
【解析】
【分析】
回归直线经过样本中心点.
【详解】样本中心点为 ，因为回归直线经过样本中心点，所以， .
故选B.
【点睛】本题考查回归直线的性质.
10.盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：在第一次取出新球的条件下，盒子中还有9个球，这9个球中有5个新球和4个旧球，
故第二次也取到新球的概率为
考点：古典概型概率
11.周末，某高校一学生宿舍有甲乙丙丁四位同学分别在做不同的四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：
①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐；
③如果甲不在听音乐，那么丁也不在写信； ④丙不在看书，也不在写信.
已知这些判断都是正确的，依据以上判断，乙同学正在做的事情是（ ）
A. 玩游戏 B. 写信 C. 听音乐 D. 看书
【答案】D
【解析】
【分析】
根据事情判断其对应关系进行合情推理进而得以正确分析
【详解】由于判断都是正确的，那么由①知甲在听音乐或玩游戏；由②知乙在看书或玩游戏；由③知甲听音乐时丁在写信；由④知丙在听音乐或玩游戏，那么甲在听音乐，丙在玩游戏，丁在写信，由此可知乙肯定在看书
故选：D．
【点睛】本题考查了合情推理，考查分类讨论思想，属于基础题．
12.在下面的四个图象中，其中一个图象是函数的导数的图象，则等于（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求导，根据二次函数性质确定导函数图像，再求解.
【详解】因为导函数，
所以导函数图像是开口向上的抛物线，
所以导函数图像是从左至右第三个，所以 ，
又，即，所以，
所以.
故选D.
【点睛】本题主要考查函数求导及二次函数的性质.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设函数可导，若，则__________．
【答案】3
【解析】
分析】
根据导数的定义求解.
【详解】因为，
所以，即，
故.
【点睛】本题考查导数的定义.
14.已知随机变量，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二项分布的期望公式求解.
【详解】因为随机变量服从二项分布，
所以.
【点睛】本题考查二项分布的性质.
15.由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
转化为定积分求解.
【详解】如图：
,
曲线与直线及所围成的封闭图形的为曲边形 ,
因 ,
曲线与直线及的交点分别为，
且，，
所以，
.
由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为.
【点睛】本题考查定积分的意义及计算.
16.已知定义域为的偶函数的导函数为，对任意，均满足：.若，则不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据已知得出函数的单调性，再根据单调性解不等式.
【详解】因为是上的偶函数，所以是上的偶函数，


在 上单调递增，
，即
解得 ，解集为.
【点睛】本题主要考查函数与单调性的关系，注意构造的新函数的奇偶性及单调性的判断.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)利用积的导数和和差的导数法则求导.(2)利用商的导数和积的导数的法则求导.
【详解】(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x.
(2)f(x)=-2x=1--2x,则f'(x)=-2xln 2.
【点睛】本题主要考查对函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
18.已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为.
（I）求的值；
（II）求的展开式中的常数项.
【答案】（I）12；（II）672.
【解析】
【分析】
（I）先考虑特殊要求，再排列其他的；（II）根据二项式定理展开式的通项公式求解.
【详解】（I）所有不同的排法种数.
（II）由（I）知，，
的展开式的通项公式为，
令，解得，
展开式中的常数项为.
【点睛】本题考查排列与二项式定理.
19.已知函数对任意实数都有，且.
（I）求的值，并猜想的表达式；
（II）用数学归纳法证明（I）中的猜想.
【答案】（I）；（II）证明见解析.
【解析】
【分析】
（I）根据的值猜想的表达式；（II）分和两步证明.
【详解】（I），
，
，
，
猜想.
（II）证明：当时，，猜想成立；
假设时，猜想成立，即，
则当时，，
即当时猜想成立.
综上，对于一切均成立.
【点睛】本题考查抽象函数求值与归纳猜想.
20.中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图如图所示, 支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表：
年龄（岁）
支持“延迟退休年龄政策”人数
15
5
15
28
17
（I）由以上统计数据填写下面列联表；
年龄低于45岁的人数
年龄不低于45岁的人数
总计
支持
不支持
总计
（II）通过计算判断是否有的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
参考公式：
【答案】（I）列联表见解析；（II）有.
【解析】
【分析】
（I）先根据频率分布直方图算出各数据，再结合支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结表求解；（II）算出观测值与3.841比较.
【详解】（I）由统计数据填写的列联表如下：
年龄低于45岁的人数
年龄不低于45岁的人数
总计
支持
35
45
80
不支持
15
5
20
总计
50
50
100
（II）计算观测值，
有的把握认为以45岁为分界点的同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.
【点睛】本题考查频率分布直方图与独立性检验.
21.已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）.
（2）时，递减区间为；当时，在递减，在递增.
【解析】
【分析】
（1）求导数，利用导数的几何意义求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）先求出函数的导数，通过讨论a的取值范围求出函数的单调区间．
【详解】（1）当时，函数，，
∴，，
∴曲线在点处的切线方程为
（2）.
当时，，的单调递减区间为；
当时，在递减，在递增
【点睛】本题考查利用导数研究切线方程、函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题．
22.某小组共有10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动1次的有2人、2次的有4人、3次的有4人.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（I）设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；
（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（I）；（II）.
【解析】
【分析】
（I）和为4次有两种情况，一个是1次一个是3次与两个都是2次；（II）随机变量的所有可能取值有三种，为0,1,2，分别求出其概率即可求解.
详解】（I）由已知得：，
所以，事件发生的概率为.
（II）随机变量的所有可能取值为0,1,2；
计算，
，
；
所以，随机变量的分布列为：
0
1
2
随机变量的数学期望为：.
【点睛】本题考查随机事件的概率、分布列及其期望.