陕西省韩城市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试卷 Word版含解析

韩城市2018-2019学年度第二学期期末教学检测
高二数学（理科）试题
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在一组样本数据，，…，（，，…不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A. -3 B. 0 C. -1 D. 1
3.（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 2
4.用反证法证明命题：“若，且，则a，b全为0”时，要做的假设是（ ）
A. 且 B. a，b不全为0
C. a，b中至少有一个为0 D. a，b中只有一个为0
5. 把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（　　）
A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种
6.在某项测量中测量结果，若X在内取值的概率为0.3，则X在内取值的概率为（ ）
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.8 D. 0.9
7.甲、乙、丙三位同学独立的解决同一个间题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、，则有人能够解决这个问题的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.自2020年起,高考成绩由“”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目，某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
9.设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图像可能为( )
A. B.
C. D.
10.的展开式中的系数为（ ）
A. 1 B. 9 C. 10 D. 11
11.某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温x（℃）
18
13
10
-1
用电量（度）
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程，预测当气温为-4℃时用电量度数为（ ）
A. 68 B. 67 C. 65 D. 64
12.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ）
A. 甲可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩
C. 甲、丁可以知道对方的成绩 D. 甲、丁可以知道自己的成绩
二、填空题。
13.若（其中i是虚数单位），则实数_____.
14.袋中装有4个黑球，3个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率是_____.
15.已知函数的导函数为，若，则的值为___.
16.函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是________.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知函数，.
（I）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在上是减函数，即在上恒成立，求实数的取值范围.
18.目前，学案导学模式已经成为教学中不可或缺的一部分，为了了解学案的合理使用是否对学生的期末复习有着重要的影响某校随机抽取200名学生，对学习成绩和学案使用程度进行了调查，统计数据如下表所示：
善于使用学案
不善于使用学案
合计
学习成绩优秀
40
学习成绩一般
30
合计
200
已知随机抽查这200名学生中的一名学生，抽到善于使用学案的学生概率是0.6.
参考公式：，其中.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（I）完成列联表（不用写计算过程）；
（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析有多大的把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关？
19.已知数列满足，.
（I）求，，值；
（Ⅱ）归纳猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
20.为了了解学生的身体素质情况，现从某校学生中随机抽取10人进行体能测试，测试的分数（百分制）如茎叶图所示，根据有关国家标准成绩不低于79分的为优秀，将频率视为概率.
（1）另从我校学生中任取3人进行测试，求至少有1人成绩是“优秀”的概率；
（Ⅱ）从抽取的这10人（成绩见茎叶图）中随机选取3人，记X表示测试成绩为“优秀”的学生人数，求X的分布列和数学期望.
21.近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），绘制了如图所示的散点图：
（I）根据散点图判断在推广期内，与（c，d为为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（I）的判断结果求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.
参考数据：
4
62
154
2535
50.12
140
3.47
其中，
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，。
22.设函数，.
（I）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若方程在上有解，证明：.
答案与解析
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
算出后可得其对应的点所处的象限.
【详解】因为，故，其对应的点为，它在第一象限，故选A.
【点睛】本题考查复数的除法及复数的几何意义，属于基础题.
2.在一组样本数据，，…，（，，…不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A. -3 B. 0 C. -1 D. 1
【答案】C
【解析】
因为所有样本点都在直线上，所以回归直线方程是，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点，都在直线上，则有相关系数，故选C.
3.（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据定积分的意义和性质，，计算即可得出.
【详解】因为，
故选C.
【点睛】本题主要考查了含绝对值的被积函数的定积分求值，定积分的性质，属于中档题.
4.用反证法证明命题：“若，且，则a，b全为0”时，要做的假设是（ ）
A. 且 B. a，b不全为0
C. a，b中至少有一个为0 D. a，b中只有一个为0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反证法的定义，第一步要否定结论，即反设，可知选项.
【详解】根据反证法的定义，做假设要否定结论，而a，b全为0的否定是a，b不全为0，故选B.
【点睛】本题主要考查了反证法，命题的否定，属于中档题.
5. 把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（　　）
A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种
【答案】
【解析】
试题分析：分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法。
三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法。
三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的。
考点：本题主要考查分类计数原理的应用。
点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和。用列举法也可以，形象、直观易懂。
6.在某项测量中测量结果，若X在内取值的概率为0.3，则X在内取值的概率为（ ）
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.8 D. 0.9
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合正态分布的对称性求解ξ在(0,+∞)内取值概率即可.
【详解】由正态分布的性质可知正态分布的图象关于直线对称，
则,,
，
即ξ在(0,+∞)内取值概率为0.8.
本题选择C选项.
【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
7.甲、乙、丙三位同学独立的解决同一个间题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、，则有人能够解决这个问题的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：此题没有被解答的概率为，故能够将此题解答出的概率为。故选D。
考点：相互独立事件的概率乘法公式．
点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率和公式、对立事件的概率公式；注意正难则反的原则，属于中档题．
8.自2020年起,高考成绩由“”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目，某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
分析：直接利用组合数进行计算即可.
详解：某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为种.
故选D.
点睛：本题考查组合的应用，属基础题..
9.设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图像可能为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.
【详解】由函数的图象可知，当时，单调递减，所以时， ，符合条件的只有D选项，故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题.
10.的展开式中的系数为（ ）
A. 1 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】
根据组合的知识可求展开式的含和的项，分别乘以的常数项和一次项，合并同类项即可求解.
【详解】因为展开式中含项的系数为,含项的系数为,乘以后含项的系数为，故选D.
【点睛】本题主要考查了用组合知识研究二项展开式的特定项的系数，属于中档题.
11.某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温x（℃）
18
13
10
-1
用电量（度）
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程，预测当气温为-4℃时用电量度数为（ ）
A. 68 B. 67 C. 65 D. 64
【答案】A
【解析】
【分析】
根据回归直线方程过样本中心点，计算出并代入回归直线方程，求得的值，然后将代入回归直线方程，求得预测的用电量度数.
【详解】解：，，
，
线性回归方程为：，
当时，，
当气温为时，用电量度数为68，
故选：A．
【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，考查方程的思想，属于基础题.
12.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ）
A. 甲可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩
C. 甲、丁可以知道对方的成绩 D. 甲、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
【解析】
【分析】
先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了.
【详解】解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选：D.
【点睛】本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.
二、填空题。
13.若（其中i是虚数单位），则实数_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由可知，根据复数的乘法运算，及复数相等的概念即可求解.
【详解】因为
所以
所以
【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于中档题.
14.袋中装有4个黑球，3个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率是_____.
【答案】.
【解析】
分析：结合古典概型概率公式，直接利用条件概率公式求解即可
详解：设甲摸到黑球事件，
则，
乙摸到白球为事件，
则，
设甲摸到黑球的条件下，
乙摸到球的概率为，故答案为.
点睛：本题主要考查古典概型概率公式以及独立事件的概率公式，条件概率公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于简单题.
15.已知函数的导函数为，若，则的值为___.
【答案】
【解析】
【分析】
求函数的导函数，令即可求出的值.
【详解】因为
令
则
所以
【点睛】本题主要考查了函数的导数，及导函数求值，属于中档题.
16.函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件构造函数，其导数为，可知函数偶函数在时是减函数，结合函数零点即可求解.
【详解】构造函数,其导数为，当时，，所以函数单调递减，又，
所以当时，，即，
因为为奇函数，所以为偶函数，所以当时，的解为，
即的解为，综上x的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了抽象函数，导数，函数的单调性，函数的奇偶性，函数的零点，属于难题.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知函数，.
（I）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在上是减函数，即在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，写出切线方程即可（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可.
【详解】（1）当时，，
所以，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为；（2）因为函数f（x）在[1，3]上是减函数，所以在[1，3]上恒成立，
令，
则 ，解得，故.
所以实数的取值范围.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性，函数的最值，导数的应用，恒成立问题，属于中档题.
18.目前，学案导学模式已经成为教学中不可或缺的一部分，为了了解学案的合理使用是否对学生的期末复习有着重要的影响某校随机抽取200名学生，对学习成绩和学案使用程度进行了调查，统计数据如下表所示：
善于使用学案
不善于使用学案
合计
学习成绩优秀
40
学习成绩一般
30
合计
200
已知随机抽查这200名学生中的一名学生，抽到善于使用学案的学生概率是0.6.
参考公式：，其中.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（I）完成列联表（不用写计算过程）；
（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析有多大的把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关？
【答案】（1）见详解（2）有99.9%的把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关.
【解析】
【分析】
（1）由已知数据列列联表，（2）由公式得：，结合参考数据下结论即可.
【详解】（1）列联表：
善于使用学案
不善于使用学案
合计
学习成绩优秀
40
50
90
学习成绩一般
80
30
110
合计
120
80
200
（2）由公式得：，
故有99.9%的把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关.
【点睛】本题主要考查了列联表及的运算及用独立性检验的思想方法分析，属于中档题.
19.已知数列满足，.
（I）求，，值；
（Ⅱ）归纳猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：
(1)利用递推关系可求得；
(2) 猜想 ，按照数学归纳法的过程证明猜想即可.
试题解析：
解:(1)计算得
猜想
证明如下：①当n=1时，猜想显然成立；
②假设当n=k（k∈N+）时猜想成立，即成立，
则当时，，
即时猜想成立
由①②得对任意，有
20.为了了解学生的身体素质情况，现从某校学生中随机抽取10人进行体能测试，测试的分数（百分制）如茎叶图所示，根据有关国家标准成绩不低于79分的为优秀，将频率视为概率.
（1）另从我校学生中任取3人进行测试，求至少有1人成绩是“优秀”的概率；
（Ⅱ）从抽取的这10人（成绩见茎叶图）中随机选取3人，记X表示测试成绩为“优秀”的学生人数，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）（2） 的分布列见解析,期望
【解析】
试题分析：
(1)由题意结合对立事件的概率公式可得至少有1人成绩是“优秀”的概率是；
(2)的取值可能为0,1,2,3，结合超几何分布的概率公式可得函数的分布列，然后可求得X的数学期望为 .
试题解析：
(1)由茎叶图知,抽取的10人中成绩是“优秀”的有6人，频率为，依题意,从我校学生中任选1人，成绩是“优秀”的概率为，记事件表示“在我校学生中任选3人，至少1人成绩是优良”,则
(2)由题意可得，的取值可能为0,1,2,3
,
,
0
1
2
3

,
∴的分布列为：
期望
点睛：(1)求解本题的关键在于：①从茎叶图中准确提取信息；②明确随机变量X服从超几何分布．
(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
21.近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），绘制了如图所示的散点图：
（I）根据散点图判断在推广期内，与（c，d为为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（I）的判断结果求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.
参考数据：
4
62
154
2535
50.12
140
3.47
其中，
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，。
【答案】（I）适合（Ⅱ）， 预测第8天人次347.
【解析】
【分析】
（I）通过散点图，判断适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型（Ⅱ）通过对数运算法则，利用回归直线方程相关系数，求出回归直线方程，然后求解第8天使用扫码支付的人次.
【详解】（I）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型.
（Ⅱ）因为，两边取常用对数得：,
设
,
，
把样本数据中心点代入得：，
，
则
所以y关于x的回归方程为，
把代入上式得：，
故活动推出第8天使用扫码支付的人次为347.
【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法及应用，数学期望的应用，考查计算能力，是中档题．
22.设函数，.
（I）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若方程在上有解，证明：.
【答案】（I）单调增区间，单调递减区间（Ⅱ）详见解析.
【解析】
【分析】
（I）， 对分类讨论即可得出单调性．
（Ⅱ）函数在有零点，可得方程f（x）=0有解，可得方程f（x）=0有解，可得有解，令，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出的取值范围．
【详解】（I）,
时， ，
函数在上单调递增，
当时,，函数在上单调递减.
（Ⅱ）函数在有零点，可得方程有解.
,有解.
令，
设函数，
所以函数在上单增，又，
存在
当时，；当时，
所以函数存在唯一最小值，满足，

有解
，
.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化问题、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．